Analisis de Fourier

Tema 3: El producto de convolucion

3, 8, 10 y 17 de octubre

1 Motivacion

2 Fubini

3 Convolucion en RN

4 Convolucion en T

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Motivacion

Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes

α,β : Z→ C , f (z) =+∞

∑n=−∞

α(n)zn , g(z) =+∞

∑n=−∞

β(n)zn (sumas formales)

Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,

entonces f y g son funciones racionales en C∗

Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios

El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞

∑n=−∞

γ(n)zn

donde γ(n) =+∞

∑k=−∞

α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z

Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β

Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:

f (t)∼ ∑n∈Z

α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z

β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z

γ(n)eint

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?

De la convolucion de funciones al producto de coeficientes

f ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta

Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1

2π

∫π

−π

e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z

Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z

f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene

Sn( f , t) =n

∑k=−n

f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R

donde Dn(t) =n

∑k=−n

eikt ∀ t ∈ R

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?

De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta

Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1

2π

∫π

−π

e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z

Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z

f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene

Sn( f , t) =n

∑k=−n

f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R

donde Dn(t) =n

∑k=−n

eikt ∀ t ∈ R

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?

De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta

Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1

2π

∫π

−π

e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z

Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z

f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene

Sn( f , t) =n

∑k=−n

f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R

donde Dn(t) =n

∑k=−n

eikt ∀ t ∈ R

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?

De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta

Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1

2π

∫π

−π

e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z

Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z

f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene

Sn( f , t) =n

∑k=−n

f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R

donde Dn(t) =n

∑k=−n

eikt ∀ t ∈ R

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?

De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta

Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1

2π

∫π

−π

e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z

Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Z

f (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Zf (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ Z

La serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene

Sn( f , t) =n

∑k=−n

f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R

donde Dn(t) =n

∑k=−n

eikt ∀ t ∈ R

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?

De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta

Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1

2π

∫π

−π

e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z

Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z

f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene

Sn( f , t) =n

∑k=−n

f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R

donde Dn(t) =n

∑k=−n

eikt ∀ t ∈ R

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?

De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta

Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1

2π

∫π

−π

e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z

Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z

f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ Z

La serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene

Sn( f , t) =n

∑k=−n

f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R

donde Dn(t) =n

∑k=−n

eikt ∀ t ∈ R

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?

De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta

Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1

2π

∫π

−π

e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z

Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z

f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene

Sn( f , t) =n

∑k=−n

f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R

donde Dn(t) =n

∑k=−n

eikt ∀ t ∈ R

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?

Convolucion en RN

f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta

Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN

f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro

La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones

Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f

Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos

La convolucion es muy util para “regularizar” funciones

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?

Convolucion en RN

f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta

Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN

f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro

La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones

Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f

Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos

La convolucion es muy util para “regularizar” funciones

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?

Convolucion en RN

f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta

Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN

f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro

La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones

Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f

Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos

La convolucion es muy util para “regularizar” funciones

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?

Convolucion en RN

f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta

Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN

f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro

La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones

Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f

Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos

La convolucion es muy util para “regularizar” funciones

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?

Convolucion en RN

f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta

Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN

f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro

La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones

Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f

Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos

La convolucion es muy util para “regularizar” funciones

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?

Convolucion en RN

f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta

Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN

f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro

La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones

Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f

Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos

La convolucion es muy util para “regularizar” funciones

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?

Convolucion en RN

f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta

Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN

f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro

La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones

Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f

Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos

La convolucion es muy util para “regularizar” funciones

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?

Convolucion en RN

f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta

Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN

f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro

La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones

Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f

Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos

La convolucion es muy util para “regularizar” funciones

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?

Convolucion en RN

f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta

Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN

f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro

La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones

Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f

Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos

La convolucion es muy util para “regularizar” funciones

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (I)

Notacion: secciones de una funcion

F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,

definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:

Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN

Teorema de Fubini para funciones medibles positivas

Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:

Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (I)

Notacion: secciones de una funcion

F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,

definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:

Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN

Teorema de Fubini para funciones medibles positivas

Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:

Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (I)

Notacion: secciones de una funcion

F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,

definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:

Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN

Teorema de Fubini para funciones medibles positivas

Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:

Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (I)

Notacion: secciones de una funcion

F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,

definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:

Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN

Teorema de Fubini para funciones medibles positivas

Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:

Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (I)

Notacion: secciones de una funcion

F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,

definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:

Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN

Teorema de Fubini para funciones medibles positivas

Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:

Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (I)

Notacion: secciones de una funcion

F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,

definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:

Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN

Teorema de Fubini para funciones medibles positivas

Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:

Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (I)

Notacion: secciones de una funcion

F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,

definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:

Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN

Teorema de Fubini para funciones medibles positivas

Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:

Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (I)

Notacion: secciones de una funcion

F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,

definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:

Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN

Teorema de Fubini para funciones medibles positivas

Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:

Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (II)

El caso de una funcion caracterıstica

E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:

Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN

Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE

)x = χEx

∀x ∈ RN y(χE

)y = χEy ∀y ∈ RM

Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:

λN+M(E) =∫

RNλM(Ex)dx =

∫RM

λN(Ey)dy

La integral en RN como medida en RN+1

Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,

entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible

y se verifica que: λN+1(S f ) =∫

RNf (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (II)

El caso de una funcion caracterıstica

E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:

Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN

Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE

)x = χEx

∀x ∈ RN y(χE

)y = χEy ∀y ∈ RM

Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:

λN+M(E) =∫

RNλM(Ex)dx =

∫RM

λN(Ey)dy

La integral en RN como medida en RN+1

Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,

entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible

y se verifica que: λN+1(S f ) =∫

RNf (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (II)

El caso de una funcion caracterıstica

E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:

Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN

Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM

(χE

)x = χEx

∀x ∈ RN y(χE

)y = χEy ∀y ∈ RM

Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:

λN+M(E) =∫

RNλM(Ex)dx =

∫RM

λN(Ey)dy

La integral en RN como medida en RN+1

Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,

entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible

y se verifica que: λN+1(S f ) =∫

RNf (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (II)

El caso de una funcion caracterıstica

E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:

Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN

Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE

)x = χEx

∀x ∈ RN y(χE

)y = χEy ∀y ∈ RM

Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:

λN+M(E) =∫

RNλM(Ex)dx =

∫RM

λN(Ey)dy

La integral en RN como medida en RN+1

Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,

entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible

y se verifica que: λN+1(S f ) =∫

RNf (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (II)

El caso de una funcion caracterıstica

E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:

Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN

Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE

)x = χEx

∀x ∈ RN y(χE

)y = χEy ∀y ∈ RM

Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:

λN+M(E) =∫

RNλM(Ex)dx =

∫RM

λN(Ey)dy

La integral en RN como medida en RN+1

Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,

entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible

y se verifica que: λN+1(S f ) =∫

RNf (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (II)

El caso de una funcion caracterıstica

E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:

Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN

Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE

)x = χEx

∀x ∈ RN y(χE

)y = χEy ∀y ∈ RM

Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:

λN+M(E) =∫

RNλM(Ex)dx =

∫RM

λN(Ey)dy

La integral en RN como medida en RN+1

Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,

entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible

y se verifica que: λN+1(S f ) =∫

RNf (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (II)

El caso de una funcion caracterıstica

E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:

Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN

Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE

)x = χEx

∀x ∈ RN y(χE

)y = χEy ∀y ∈ RM

Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:

λN+M(E) =∫

RNλM(Ex)dx =

∫RM

λN(Ey)dy

La integral en RN como medida en RN+1

Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,

entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible

y se verifica que: λN+1(S f ) =∫

RNf (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (II)

El caso de una funcion caracterıstica

E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:

Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN

Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE

)x = χEx

∀x ∈ RN y(χE

)y = χEy ∀y ∈ RM

Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:

λN+M(E) =∫

RNλM(Ex)dx =

∫RM

λN(Ey)dy

La integral en RN como medida en RN+1

Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,

entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible

y se verifica que: λN+1(S f ) =∫

RNf (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Teorema de Fubini (III)

Teorema de Fubini para funciones integrables

Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M

F(z)dz =∫

RN

(∫RM

F(x,y)dy)

dx =∫

RM

(∫RN

F(x,y)dx)

dy

Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM

ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:

ϕ(x) =∫

RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =

∫RN

Fy p.c.t. y ∈ RM

Se verifica que∫

RN+MF =

∫RN

ϕ =∫

RMψ

Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue

T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.

f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)

y en ambos casos se tiene:∫

RNf(T (x)

)dx =

∫RN

f (x)dx

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Preparativos para la existencia de la convolucion

Lema 1: cuestiones de medibilidad

Para f ,g ∈ L(RN) se define:

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN

Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN

Lema 2: Continuidad de las traslaciones

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:

f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN

La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]

∥∥p < ε

Notacion

1p

+1p∗

= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion en varias variables

Definicion de la convolucion en RN

Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N

Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x

y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)

en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy

entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN

en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:

( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

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Convolucion en varias variables

Definicion de la convolucion en RN

Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N

Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x

y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)

en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy

entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN

en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:

( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

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Convolucion en varias variables

Definicion de la convolucion en RN

Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N

Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x

y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)

en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy

entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN

en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:

( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

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Convolucion en varias variables

Definicion de la convolucion en RN

Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N

Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x

y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)

en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy

entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN

en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:

( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

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Convolucion en varias variables

Definicion de la convolucion en RN

Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N

Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x

y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)

en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy

entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN

en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:

( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

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Convolucion en varias variables

Definicion de la convolucion en RN

Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N

Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x

y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)

en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy

entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN

en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:

( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

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Convolucion en varias variables

Definicion de la convolucion en RN

Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por

H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N

Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x

y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)

en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy

entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN

en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:

( f ∗g)(x) =∫

RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

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Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

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Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

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Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

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Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

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Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:

∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g : RN → C es uniformemente continua

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

El algebra de Banach L1(RN)

El producto de convolucion

( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)

es una aplicacion bilineal, asociativa

que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)

L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa

No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

El algebra de Banach L1(RN)

El producto de convolucion

( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)

es una aplicacion bilineal, asociativa

que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)

L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa

No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)

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El algebra de Banach L1(RN)

El producto de convolucion

( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)

es una aplicacion bilineal, asociativa

que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)

L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa

No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

El algebra de Banach L1(RN)

El producto de convolucion

( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)

es una aplicacion bilineal, asociativa

que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)

L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa

No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

El algebra de Banach L1(RN)

El producto de convolucion

( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)

es una aplicacion bilineal, asociativa

que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)

L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa

No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

El algebra de Banach L1(RN)

El producto de convolucion

( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)

es una aplicacion bilineal, asociativa

que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)

L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa

No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

El algebra de Banach L1(RN)

El producto de convolucion

( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)

es una aplicacion bilineal, asociativa

que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)

L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa

No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Integrales dependientes de un parametro

Continuidad

Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:

Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN

∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN

Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫

RNH(x,y)dy ∀x ∈ E

Derivacion parcial

Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:

Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk

(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk

(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN

Entonces:∂

∂xk

∫RN

H(x,y)dy =∫

RN

∂H∂xk

(x,y)dy ∀x ∈Ω

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion con funciones test

Corolario

Funciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:

D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:

∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0

)Ndonde,

si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN

∂xk11 . . .∂xkN

N

f ∗g es lipschitziana

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion con funciones test

Corolario

Funciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:

D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:

∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0

)Ndonde,

si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN

∂xk11 . . .∂xkN

N

f ∗g es lipschitziana

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion con funciones test

CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:

D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:

∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0

)Ndonde,

si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN

∂xk11 . . .∂xkN

N

f ∗g es lipschitziana

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion con funciones test

CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:

D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:

∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0

)Ndonde,

si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN

∂xk11 . . .∂xkN

N

f ∗g es lipschitziana

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion con funciones test

CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:

D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:

∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0

)Ndonde,

si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN

∂xk11 . . .∂xkN

N

f ∗g es lipschitziana

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion con funciones test

CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:

D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:

∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0

)Ndonde,

si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN

∂xk11 . . .∂xkN

N

f ∗g es lipschitziana

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion con funciones test

CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:

D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:

∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0

)Ndonde,

si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN

∂xk11 . . .∂xkN

N

f ∗g es lipschitziana

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion con funciones test

CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:

D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:

∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0

)Ndonde,

si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN

∂xk11 . . .∂xkN

N

f ∗g es lipschitziana

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion con funciones test

CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:

D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)

Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:

∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN

|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN

f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0

)Ndonde,

si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN

∂xk11 . . .∂xkN

N

f ∗g es lipschitziana

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:

∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

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Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

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Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ N

Si δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

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Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

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Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

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Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Unidades aproximadas

Unidad aproximada en RN

Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:

lımn→∞

∫RN\Bδ

|ϕn(x)|dx = 0

Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales

Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:

g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN

1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especiales

Existe una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫

RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especiales

Existe una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫

RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫

RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ N

sop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫

RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫

RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N

∫RN

ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫

RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫

RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫

RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Regularizacion de funciones

Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:

ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0

ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫

RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N

En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN

Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞

D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion de funciones periodicas

Definicion de la convolucion en T

Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por

H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)

)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t

y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)

en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:

( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion de funciones periodicas

Definicion de la convolucion en T

Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por

H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)

)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t

y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)

en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:

( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion de funciones periodicas

Definicion de la convolucion en T

Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por

H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)

)

Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t

y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)

en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:

( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion de funciones periodicas

Definicion de la convolucion en T

Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por

H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)

)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t

y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)

en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:

( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion de funciones periodicas

Definicion de la convolucion en T

Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por

H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)

)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t

y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)

en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:

( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion de funciones periodicas

Definicion de la convolucion en T

Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por

H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)

)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t

y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)

en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:

( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Convolucion de funciones periodicas

Definicion de la convolucion en T

Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por

H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)

)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t

y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)

en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds

entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)

Decimos que existe la convolucion de f y g

y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:

( f ∗g)(t) =1

2π

∫π

−π

f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R

Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo punto

Si f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R

( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.

Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucion

L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucionL1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)

Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T

Existencia de la convolucion

Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces

∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)

‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗

Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:

∃ f ∗g

f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1

El producto de convolucionL1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion

Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)