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Analisis de Fourier

Tema 6: Convergencia

7, 12, 19, 21, 26 y 28 de noviembre

1 Absoluta y uniforme

2 En el espacio de Hilbert

3 En espacios de Banach

4 Puntual y uniforme

Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme

Espacios de sucesiones (I)

Los espacios lp(Z) con 1 6 p < ∞

CZ ={

α : Z→ C}. Para ρ : Z→ R+

0 escribimos:

+∞

∑n=−∞

ρ(n) = lımn→∞

n

∑k=−n

ρ(k) ∈ [0,∞]

1 6 p < ∞ : lp(Z) =

{α ∈ CZ :

+∞

∑n=−∞

|α(n)|p < ∞

}

espacio de Banach con la norma ‖α‖p =

(+∞

∑n=−∞

|α(n)|p)1/p

∀α ∈ lp(Z)

Desigualdad de Holder

Si 1 < p < ∞ y1p

+1p∗

= 1 , para α,β : Z→ R+0 se tiene:

∞

∑n=−∞

α(n)β(n) 6

(∞

∑n=−∞

α(n)p

)1/p(∞

∑n=−∞

β(n)p∗)1/p∗


Espacios de sucesiones (II)

Espacios de sucesiones acotadas

l∞(Z) ={

α ∈ CZ : sup{|α(n)| : n ∈ Z}< ∞}

espacio de Banach con la norma ‖α‖∞ = sup{|α(n)| : n ∈ Z} ∀α ∈ l∞(Z)

c0(Z) ={

α ∈ CZ : lım|n|→∞

α(n) = 0}

subespacio cerrado de l∞(Z) , luego espacio de Banach con la norma

‖α‖∞ = max{|α(n)| : n ∈ Z} ∀α ∈ c0(Z)

c00(Z) ={

α ∈ CZ : {n ∈ Z : α(n) 6= 0} finito}⊂ c0(Z)

Relacion entre los espacios de sucesionesPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:

α ∈ lp(Z) =⇒ α ∈ lq(Z) =⇒ α ∈ c0(Z) con ‖α‖∞ 6 ‖α‖q 6 ‖α‖p

c00(Z) es denso en lp(Z) y tambien en c0(Z)


Primer teorema de convergencia

Teorema de inversion para series de Fourier

Si f ∈ L1(T) y f ∈ l1(Z) , entonces

la serie de Fourier de f converge absoluta y uniformemente en R ,

y se tiene: f (t) =+∞

∑n=−∞

f (n)eint p.c.t. t ∈ R

Por tanto, no se pierde generalidad suponiendo que f ∈C(T) , en cuyo caso:

f (t) =+∞

∑n=−∞

f (n)eint ∀ t ∈ R

El algebra de Wiener

A(T) = { f ∈C(T) : f ∈ l1(Z)}

Con el producto de convolucion, y la norma ‖ f‖= ‖ f ‖1 ∀ f ∈ A(T) ,

A(T) es un algebra de Banach conmutativa, el algebra de Wiener


El espacio de Hilbert L2(T)

El producto escalar en L2(T)

Para f ,g ∈ L2(T) se tiene f g ∈ L1(T) , luego podemos definir:(f∣∣g) =

12π

∫π

−π

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(T)

(·|·) es un producto escalar en el espacio vectorial complejo L2(T) ,

es decir, para f ,g,h ∈ L2(T) y λ,µ ∈ C , se tiene:

Forma sexquilineal:(λ f + µh

∣∣g) = λ(

f∣∣g) + µ

(h∣∣g)(

f∣∣λg + µh

)= λ

(f∣∣g) + µ

(f∣∣h)

Hermıtica:(

g∣∣ f)

=(

f∣∣g), luego

(f∣∣ f)∈ R

La forma cuadratica f 7→(

f | f)

es definida positiva:

f 6= 0 =⇒(

f∣∣ f)

> 0

‖ f‖ =(

f∣∣ f)1/2 ∀ f ∈ L2(T) , luego L2(T) es un espacio de Hilbert


El espacio de Hilbert l2(Z)

El producto escalar en l2(Z)

Para α,β ∈ l2(Z) se tiene αβ ∈ l1(Z) , luego podemos definir:(α∣∣β) =

+∞

∑n=−∞

α(n)β(n) ∀α,β ∈ l2(Z)

Tenemos un producto escalar en l2(Z)

y la norma dada por ‖α‖ =(

α∣∣α)1/2 ∀α ∈ l2(Z) , es completa,

luego l2(Z) tambien es un espacio de Hilbert


Relacion entre ambos espacios de Hilbert (I)

Primer paso: sistemas ortonormales

Sistema trigonometrico: {en : n ∈ Z} donde en(t) = e int ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z

Para n,m ∈ Z se tiene:(

en∣∣em

)=

{1 si n = m0 si n 6= m

El sistema trigonometrico es un sistema ortonormal en L2(T)

Coeficientes de Fourier: f ∈ L2(T) =⇒ f (n) =(

f∣∣en)

∀n ∈ Z

Pn(T) polinomios trigonometricos de grado menor o igual que n ∈ N∪{0}

P ∈ Pn(T) =⇒ P(t) =n

∑k=−n

P(k)ek

P ∈ P (T ) =⇒∥∥P∥∥ =

(+∞

∑k=−∞

∣∣ P(k)∣∣2)1/2

=∥∥ P

∥∥P 7→ P identifica totalmente P (T)⊂ L2(T) con c00(Z)⊂ l2(Z)


Relacion entre ambos espacios de Hilbert (II)

Segundo paso: desigualdad de Bessel

Serie de Fourier de f ∈ L2(T) : Sn( f ) =n

∑k=−n

(f∣∣ek)

ek ∀n ∈ N∪{0}

Fijados f ∈ L2(T) y n ∈ N∪{0}, se tiene:

−n 6 j 6 n =⇒(

f −Sn( f )∣∣e j)

= 0

P ∈ Pn(T) =⇒(

f −Sn( f )∣∣P) = 0(

f −Sn( f )∣∣Sn( f )

)= 0∥∥ f

∥∥2 =∥∥Sn( f )

∥∥2 +∥∥ f −Sn( f )

∥∥2

∥∥ f∥∥2 =

n

∑k=−n

∣∣ f (k)∣∣2 +∥∥ f −Sn( f )

∥∥2

Desigualdad de Bessel: f ∈ L2(T) =⇒ f ∈ l2(Z) y∥∥ f∥∥ 6

∥∥ f∥∥


Relacion entre ambos espacios de Hilbert (III)

Tercer paso: bases ortonormalesVolviendo a fijar f ∈ L2(T) y n ∈ N∪{0}, se tiene:

P ∈ Pn(T) =⇒∥∥ f −P

∥∥2 =∥∥ f −Sn( f )

∥∥2 +∥∥Sn( f )−P

∥∥2

∥∥ f −Sn( f )∥∥2 = mın

{∥∥ f −P∥∥2 : P ∈ Pn

}= d

(f , Pn(T)

)2

∥∥ f∥∥2 =

n

∑k=−n

∣∣ f (k)∣∣2 + d

(f , Pn(T)

)2

L2(T) = P (T) : {en : n ∈ Z} es una base ortonormal de L2(T)

{Sn( f )} converge a f en L2(T)

∥∥ f∥∥ =

∥∥ f∥∥

Φ : L2(T) → l2(Z) dada por Φ( f ) = f ∀ f ∈ L2(T) , es lineal e isometrica


Relacion entre ambos espacios de Hilbert (IV)

Cuarto y ultimo paso: complitudHa llegado el momento de usar la integral de Lebesgue: L2(T) es completo

Φ : L2(T) → l2(Z) , Φ( f ) = f ∀ f ∈ L2(T) era lineal e isometrica

luego Φ(

L2(T))

es un subespacio cerrado de l2(Z)

Pero Φ(

L2(T))

es denso en l2(Z) , pues de hecho,

Φ(

P (T))

= c00(Z) ya es denso en l2(Z) ,

luego Φ(

L2(T))

= l2(Z)

Φ es un isomorfismo isometrico de L2(T) sobre l2(Z) , y en particular,

los espacios de Hilbert L2(T) y l2(Z) son identicos


Series de Fourier en L2(T)

Resumen de resultados sobre las series de Fourier en L2(T)

Si f ∈ L2(T) , entonces:

(1) f ∈ l2(Z) y∥∥ f∥∥

2 =∥∥ f∥∥

2 (igualdad de Bessel)

(2) Se verifica de hecho la igualdad de Parseval:(f∣∣g) =

∞

∑n=−∞

f (n) g(n) ∀g ∈ L2(T)

(3) La serie de Fourier de f converge a f en L2(T)

(4) Teorema de Riesz-Fischer: (1) no se puede mejorar, ya que:

Para cada α ∈ l2(Z) , existe f ∈ L2(T) tal que f = α

(5) Finalmente, para cualesquiera f ,g ∈ L2(T) y n ∈ Z se tiene:

f g (n) =+∞

∑k=−∞

f (n− k) g(k) y f ∗g(n) = f (n) g(n)


Historicamente, el primer teorema del Analisis Funcional

Version abstracta del teorema sobre las series de Fourier en L2(T)

H espacio de Hilbert (real o complejo) separable de dimension infinita.

Entonces H tiene una base ortonormal infinita y numerable {un : n ∈ N}

y por tanto H se identifica totalmente con l2 . Mas concretamente:

‖x‖2 =∞

∑n=1

∣∣(x |un )∣∣2 ∀x ∈ H

(x∣∣y) =

∞

∑n=1

(x∣∣un)(

un∣∣y) ∀x,y ∈ H

x =∞

∑n=1

(x∣∣un)

un ∀x ∈ H

∀α ∈ l2 ∃x ∈ H :(

x∣∣un)

= α(n) ∀n ∈ Z


La version general del mismo teorema

Clasificacion de los espacios de Hilbert

Todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal

Todas las bases ortonormales de un espacio de Hilbert tienen el mismo

cardinal, llamado dimension hilbertiana del espacio

Dos espacios de Hilbert son isometricamente isomorfos (identicos)

si, y solo si, tienen la misma dimension hilbertiana

Para cada cardinal ℵ existe un espacio de Hilbert

cuya dimension hilbertiana es ℵ

En resumen, salvo isomorfismos isometricos, existenexactamente tantos espacios de Hilbert como cardinales


Una aplicacion importante de las series de Fourier en L2(T)

Condicion suficiente para la convergencia absoluta y uniforme

Supongamos que f ∈C(T) es de clase C1 a trozos en [−π , π] , es decir,

existe una particion −π = t0 < t1 < .. . < tn = π de dicho intervalo, tal que

la restriccion de f a [tk−1, tk] es de clase C1 para todo k ∈ {1,2, . . . ,n} .

Entonces f ∈ l1(Z) ,

luego la serie de Fourier de f converge absoluta y uniformemente en R con:

f (t) =+∞

∑n=−∞

f (n)e int ∀ t ∈ R

El recıproco esta muy lejos de ser cierto

W (t) =∞

∑n=0

1n!

cos[(n!)2 t

]∀ t ∈ R

W ∈C(T) , pero W no es derivable en ningun punto de RLa serie usada para definir a W “es” su serie de Fourier,

solo hemos omitido los terminos que son identicamente nulos


El lema de categorıa de Baire

Conjuntos de primera y segunda categorıa

X espacio topologico, E , A ⊂ X

E es magro en X cuando(

E)◦ = /0

equivalentemente: E ⊂ F donde F = F ⊂ X y F ◦ = /0

A es un conjunto de primera categorıa en X cuando

A es union numerable de conjuntos magros en X , es decir,

A esta contenido en una union numerable de cerrados con interior vacıo

A es un conjunto de segunda categorıa en X cuando no es de primera

Y espacio topologico, X ⊂ Y . Si X tiene la topologıa inducida por Y :

A de primera categorıa en X =⇒ A de primera categorıa en Y ,

pero el recıproco es falso

Lema de categorıa de BaireSi X es un espacio metrico completo, todo abierto no vacıo de X

es de segunda categorıa en X ,

En particular, X es de segunda categorıa en sı mismo


Teorema de Banach-Steinhaus

Norma de operadores

X ,Y normados, L(X ,Y ) ={

operadores lineales continuos de X en Y}

La norma de operadores se define en L(X ,Y ) por:

‖T ‖ = mın{

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

}= sup

{‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖ 6 1

}∀T ∈ L(X ,Y )

Cuando Y = K tenemos la norma dual en X∗ = L(X ,K)

Teorema de Banach-SteinhausX espacio de Banach, Y espacio normado, E ⊂ L(X ,Y )

Sea A el conjunto de puntos de X en los que E esta acotado:

A ={

x ∈ X : sup{‖T (x)‖ : T ∈ E}< ∞}.

Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) A es un conjunto de segunda categorıa en X

(2) A = X

(3) sup{‖T ‖ : T ∈ E

}< ∞


Series de Fourier que no convergen en norma

Operadores de convolucion en L1(T)

Fijada g ∈ L1(T) , definiendo: Φ( f ) = f ∗g ∀ f ∈ L1(T)

se tiene Φ ∈ L(

L1(T) , L1(T))

con ‖Φ‖ = ‖g‖1

En L1(T) , la convergencia en norma es atıpica

Para cada n ∈ N∪{0} usamos el operador Sn : L1(T)→ L1(T) dado por:

Sn( f ) = f ∗Dn ∀ f ∈ L1(T)

Se tiene: Sn ∈ L(

L1(T),L1(T))

con ‖Sn ‖ = ‖Dn ‖1 ∀n ∈ N

Deducimos que{‖Sn ‖

}→+∞ , luego:

Las clases de equivalencia cuya serie de Fourier esta acotada,

forman un conjunto de primera categorıa en L1(T)


Series de Fourier que no convergen puntualmente

Funcionales lineales continuos en C(T)

Fijada g ∈ L1(T) , definimos: ϕ( f ) =1

2π

∫π

−π

f (t)g(t)dt ∀ f ∈C(T)

se tiene ϕ ∈C(T)∗ con ‖ϕ‖ = ‖g‖1

En C(T) , incluso la convergencia puntual es atıpica

Para cada n ∈ N∪{0} definimos:

ϕn( f ) = Sn( f ,0) =1

2π

∫π

−π

f (t)Dn(t)dt ∀ f ∈C(T )

Se tiene: ϕn ∈C(T)∗ , ‖ϕn ‖ = ‖Dn ‖1 ∀n ∈ N∪{0}

Deducimos que{‖ϕn ‖

}→+∞ , luego:

Las funciones cuya serie de Fourier esta acotada en el origen,

forman un conjunto de primera categorıa en C(T) .


Informacion adicional sobre convergencia en norma

Un teorema de M. Riesz

Si f ∈ Lp(T) con 1 < p < ∞ , entonces {Sn( f )}→ f en Lp(T)

Desigualdad de Hausdorff-YoungSi f ∈ Lp(T) con 1 < p < 2 , entonces:

f ∈ lp∗(Z) con∥∥ f∥∥

p∗ 6∥∥ f∥∥

p , donde1p

+1p∗

= 1

¿Que ocurre para p > 2?

Existe f ∈C(T) tal que f /∈ lp(Z) para todo p < 2


Primera estrategia: neutralizar el nucleo de Dirichlet

Un lema basico

Si f ∈ L1(T) verifica que∫

π

−π

∣∣∣∣ f (s)s

∣∣∣∣ ds < ∞ ,

entonces {Sn( f ,0)}→ 0

Criterio de Dini

Dados f ∈ L1(T) y t ∈ R , supongamos que∫

π

−π

∣∣∣∣ f (t− s)− f (t)s

∣∣∣∣ ds < ∞ .

Entonces {Sn( f , t)}→ f (t)

Criterio de DirichletSi f ∈ L1(T) es derivable por la izquierda y por la derecha

en un punto t ∈ R , entonces {Sn( f , t)}→ f (t) .

Por tanto, si f ∈C(T) es derivable por la izquierda y por la derecha

en todo punto de R , entonces la serie de Fourier de f

converge a f puntualmente en R


Localizacion

Version uniforme del Lema de Riemann-LebesgueSi K es un subconjunto compacto de L1(T) , entonces:

lımn→∞

f (n) = lımn→∞

f (−n) = 0

uniformemente con respecto a f ∈ K , es decir:

∀ε > 0 ∃ m ∈ N : n ∈ Z , |n|> m =⇒ | f (n)| < ε ∀ f ∈ K

Principio de localizacion de RiemannSea f ∈ L1(T) y a,b ∈ R con a < b tales que

f (t) = 0 p.c.t. t ∈]a,b[ .

Entonces, la serie de Fourier de f converge a cero,

uniformemente en cada subconjunto compacto de ]a,b[ ,

y en particular {Sn( f , t)}→ 0 para todo t ∈]a,b[


Segunda estrategia: revertir el criterio de la media aritmetica

Teorema tauberiano de HardySupongamos que f ∈ L1(T) verifica la siguiente condicion (tauberiana):

∃ M ∈ R+ : |n f (n)| 6 M ∀n ∈ Z

Sean {Sn( f )} la serie de Fourier

y {σn( f )} la sucesion de sumas de Cesaro de f .

Si {σn( f )} converge uniformemente en un conjunto E ⊂ R ,

Entonces, {Sn( f )−σn( f )} converge uniformemente a cero en E ,

luego {Sn( f )} converge uniformemente en E al mismo lımite que {σn( f )} .


Se buscan funciones que cumplan la condicion tauberiana

Funciones de variacion acotada

Para a,b ∈ R con a < b y una funcion f : E → C con [a,b]⊂ E ⊂ R,

la variacion de f en [a,b] , que se denota por V ba f ∈ [0,∞] , es:

V ba f = sup

{ n

∑k=1

∣∣ f (tk)− f (tk−1)∣∣ : n ∈ N , a = t0 < t1 < .. . < tn = b

}y f es de variacion acotada en [a,b] cuando V b

a ( f ) < ∞

Otros motivos por los que son interesantes

V ba f < ∞ es la condicion natural para definir la longitud de la curva

parametrizada por una funcion continua f : [a,b]→ Cf es de variacion acotada si, y solo si, lo son Re f y Im f

f : [a,b]→ R es de variacion acotada si, y solo si,

f = v−u donde u,v : [a,b]→ R son funciones crecientes

Por tanto, las funciones de variacion acotada forman el

espacio vectorial engendrado por las funciones crecientes

Si V ba f < ∞ , entonces f tiene lımites laterales en todo punto de [a,b]


Un buen criterio de convergencia puntual o uniforme

Las funciones de variacion acotada cumplen la condicion tauberianaPara g ∈ L1(T) se tiene:

4 |ng(n) | 6 V π−π g ∀n ∈ Z

Criterio de JordanSea f ∈ L1(T) y supongamos que

existen a,b ∈ R , con a < b , tales que V ba f < ∞ . Entonces:

{Sn( f , t)}→ f (t−)+ f (t+)2

∀ t ∈]a,b[

Si ademas f es continua en ]a,b[ , entonces

{Sn( f )}→ f uniformemente en cada compacto J ⊂]a,b[

El caso particular mas naturalSi f ∈C(T) y V π

−π f < ∞ , entonces:

la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en R

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