A grande richiesta, esercizi di matematica….!

A  partire  dalla  conoscenza  del  grafico  di  f(x)  =  arctanx disegna il grafico delle seguenti funzioni

g(x) =arctan(x+1)                             g(x) = arctan(x­2)g(x) =π /4+arctanx;                             g(x)= 3arctanxg(x) = π /4 ­ arctanx;                           g(x)=|arctanx|g(x) =| π /4­arctanx | ;                        g(x) = arctan|x|g(x) =1/ (π /4­arctanx ) ;                  g(x) =1/(arctanx­ π /2 

)g(x) =1/ (π /3­ arctanx ) ;             g(x) = arctanx +|arctanx| 

     

   

In figura il grafico di arctanx

   

In  figura  il grafico di arctan(x­2)  (verde) ottenuto  traslando  il grafico di arctanx  (rosso)  orizzontalmente  verso  destra  di  2  unità;  il  grafico  di arctan(2x) (rosa); il grafico di 3arctanx (in blu) ottenuto moltiplicando per 3 i valori di arctanx, ottenendo come insieme immagine   (­3π /2, 3π /2).

   

In figura il grafico di arctanx +|arctanx|, che coincide con 2arctanx per x≥0, vale 0 per x<0, dove 

arctanx<0

   

In  figura  il  grafico  di  π /4  ­  arctanx,  ottenuto  nel  modo seguente:  si  ottiene  il  grafico di  ­arctanx  con una  simmetria rispetto  all’asse  x  del  grafico  di  arctanx,  quindi  si  trasla quest’ultimo  verticalmente verso l’ alto di π /4. La funzione vale 0 per x=1 

   

A grande richiesta, esercizi di matematica….!

Dare un esempio di funzione f(x) definita su R , che sia decrescente,  il  cui  limite  per  x→−∞  sia  0,  e  per x→+∞ il limite sia −π

Ad esempio: f(x)=−(arctanx+π /2)

Dare un esempio di funzione f(x) definita su R , che sia decrescente,  il  cui  limite  per  x→−∞  sia  π ,  e  per x→+∞ il limite sia 0

Ad esempio: f(x)= π /2− arctanx

   

A grande richiesta, esercizi di matematica….!Dire quali delle seguenti identità sono vere e quali no:sinx =cos(x +π /2)     Falsa, cos(x +π /2) =­sinxsinx = ­sin(x+π )     Veracosx = sin(x+π /2)   Veracosx = ­cos(x+π )    Veracosx= cos(x­ π )       Verasinx = ­cos(x+ π /2)  VeraRisolvere le seguenti equazioni e disequazioni:sin(3x)=1/2;     sin(3x)>1/2Soluzione: sin(3x)=1/2 quando 3x=π /6+2k π  oppure 3x=5π /6+2kπ , per ogni 

k  intero,    per  cui  l’equazione  ha  per  soluzioni  x=  π /18 +2kπ /3∪5π /18+2kπ /3.

La disequazione sin(3x)>1/2 è soddisfatta negli intervalli (π /18  +2k  π /3,        5π /18+2kπ /3  );  si  osserva  che  la  funzione  sin(3x)  ha 

periodo 2π /3.

   

A grande richiesta, esercizi di matematica….!Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:cos(3x) = 1/2;   cos(3x)> 1/2Soluzione: l’equazione è soddisfatta per 3x= ­π /3+2kπ  oppure 3x= π /3+2k π , 

dunque  le  soluzioni  dell’equazione  sono  x=  ­π /9  +2kπ /3∪π /9+2kπ /3, per ogni k intero; la disequazione è soddisfatta negli intervalli

       (­π /9 +2kπ /3, π /9+2kπ /3); si osserva che la funzione cos(3x) ha periodo 2π /3

tan(3x) = 1;       tan(3x)≤ 1Soluzione:l’equazione è soddisfatta per 3x= π /4+ kπ  , dunque x= π /12+kπ /3La disequazione è soddisfatta per ­π /2+kπ  < 3x < π /4+ kπ  , dunque per  ­π /6+kπ /3 < x < π /12+ kπ /3; si osserva che la funzione tan(3x) ha periodo 

π /3

sin(3x) ≥ 1/√2;  cos(3x) < 1/√2   

   

A grande richiesta, esercizi di matematica….!sin(3x) ≥ 1/√2;  Soluzione:la disequazione è soddisfatta (vedi grafico sinx) per π /4 +2kπ <3x<3π /4+2kπ , dunque per π /12 +2kπ /3<x<3π /12+2kπ /3, per ogni k intero

cos(3x) < 1/√2   Soluzione: la disequazione è soddisfatta (vedi grafico cosx) perπ /4 +2kπ <3x<7π /4+2kπ , dunque perπ /12 +2kπ /3<x<7π /12+2kπ /3, per ogni k intero

   

A grande richiesta, esercizi di matematica….!

Risolvere le seguenti  disequazioni:3sinx≤­3/2  Soluzione: la disequazione equivale a   sinx ≤ ­1/2 che è soddisfatta per

7π /6 +2kπ <x<11π /6+2kπ , per ogni k intero

  |3sinx|≥3/2          (si  suggerisce  di  utilizzare  il  risultato  ottenuto  nella  precedente disequazione….)

Soluzione:  dal  grafico  di  |sinx|  si  capisce  che  la  disequazione  è  soddisfatta nell’intervallo (7π /6 , 11π /6), a meno di multipli interi di π  (la funzione |sinx| ha infatti periodo π ), quindi la disequazione ha per soluzioni

                                7π /6 +kπ <x<11π /6+kπ , per ogni k intero

   

A grande richiesta, esercizi di matematica….!

Risolvere le seguenti  disequazioni:3cosx ≤  ­3√3/2  Soluzione:  la  disequazione  equivale  a  cosx≤    ­√3/2  ,  soddisfatta  (vedi  grafico 

cosx) per 5π /6 +2kπ <x<7π /6+2kπ , per ogni k intero

|3cosx|≥  3√3/2  (si  suggerisce  di  utilizzare  il  risultato  ottenuto  nella  precedente disequazione….)

Soluzione:  dal  grafico  di  |cosx|  si  capisce  che  la  disequazione  è  soddisfatta nell’intervallo (5π /6 , 7π /6), a meno di multipli  interi di π  (la funzione  |cosx| ha infatti periodo π ), quindi la disequazione ha per soluzioni

                                5π /6 +kπ <x<7π /6+kπ , per ogni k intero

   

Funzioni sinusoidali

Determinare  una  funzione  sinusoidale  che  descriva  la concentrazione  di  una  certa  sostanza nel  sangue,  che  varia  nel tempo  periodicamente  con  periodo  24  ore,  con  valore  minimo 10mg/100ml alle ore 4 e valore massimo 80 mg/100ml   alle ore 16.

Soluzione: Abbiamo visto a lezione (vedi Lez18) che una funzione sinusoidale si può scrivere come f(x)=Acos(2π /P(x­x0)) + y0

Dove A è l’ampiezza, P è il periodo, x0 la fase ed y0 il valor medio.Nel nostro caso si ha P=24, A=(80­10)/2=35, y0  =(80+10)/2=45 ed 

infine x0 =16, quindi otteniamo la funzione     f(x)=35cos(2π /24(x­16))+45Si verifica che per x=4 otteniamo f(4)=10

   

Funzioni sinusoidali

Formule di prostaferesi:

sinα  +sinβ  = 2sin((α + β )/2)cos((α ­ β )/2)sinα  ­ sinβ  = 2sin((α  ­ β )/2)cos((α + β )/2)cosα  +cosβ  = 2cos((α + β )/2)cos((α ­ β )/2)cosα  ­ cosβ  = ­ 2sin((α + β )/2)sin((α ­ β )/2)

   

Funzioni sinusoidali

Sommiamo  due  sinusoidi  di  uguale  ampiezza  e  periodo, ma differente fase

Posto ω  = 2π /PAcos(ω (x­F)) + Acos(ω (x­F’)) =Usiamo la corrispondente formula di prostaferesi=2Acos(ω (F’­F)/2)cos(ω (x­ (F’+F)/2))Se  ω (F’­F)/2=π /2,  vale  a  dire  F’­F=  π /ω =P/2,    la 

somma delle due sinusoidi è nulla!Fenomeni di interferenzaI  colori  della  coda  di  un  pavone  sono  generati  non  dai 

pigmenti  ma  dall’interferenza  della  luce  (vd. Batschelet pag.136)

   

Funzioni sinusoidali

Una  funzione  sinusoidale,  può  essere  scritta  nel  modo seguente 

Acos(ω (x­F)) + y* = = Acos(ω F)cos(ω x) + Asin(ω F)sin(ω x) + y* = 

a1cos(ω x) + b1sin(ω x) dove si è posto a1= Acos(ω F), b1= Asin(ω F)

La somma di due funzioni sinusoidali con uguale periodo, ma differente ampiezza e/o fase,  può non essere sinusoidale

   

Funzioni sinusoidali

I polinomi trigonometrici

p(x) =y* + a1cos(ω x) + a2cos(2ω x)+….+ ancos(nω x) + +b1sin(ω x) + b2sin(2ω x) +…+ bnsin(nω x) 

Sono tutte funzioni di periodo 2π /ω  , ma non sono funzioni sinusoidali

Ogni  funzione  periodica  (non  “patologica”)  di  frequenza angolare  ω  è  ben  approssimabile  da  polinomi trigonometrici di frequenza angolare ω

(analisi di Fourier)