1

Onde armoniche piane

0( , ) ( ) [ ( v ) ]x t y,z sen k x tψ ϕ ϕ= ± +

e’ di tipo sinusoidale, descrivono una perturbazione periodica

la funzione d’onda e’ del tipo :

in cui la forma della funzione d’onda f

che si propaghi lungo l’asse delle ascisse ad esempio per un onda sinusoidale o cosinusoidale,

[ ]0( , ) ( )x t Asen kx tψ ω ϕ= ± +posto vkω = si ha

ampiezza costante onda piana uniforme ( , )y z costante Aϕ = =Onde armoniche piane uniformi

0( , ) [ ( v ) ]x t Asen k x tψ ϕ= ± +

2

vλν =vkω =da si ricava la relazione

dove 1T

ν = e’ la frequenza dell’onda

Periodicita’ spaziale e temporale

2T πω

=detto “periodo”

2kπλ =detto “lunghezza d’onda”

periodo temporale

periodo spaziale

-1.000

1.000

-50

-48

-46

-44

-42

-40

-38

-36

-34

-32

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

1- sen(kx + ωt) : onda regressiva a t = 0 s

sin(kx + wt) t=0…

a)

0

0.5 1.0

− 0.5 − 1.0

10 20 30 40 50 0 -40 -30 -20 -10 -50

3

-1.000

1.000

-50

-48

-46

-44

-42

-40

-38

-36

-34

-32

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

1- sen(kx + ωt) : onda regressiva a t = 0 s

sin(kx + wt) t=0…

0

0.5 1.0

− 0.5 − 1.0

10 20 30 40 50 0 -40 -30 -20 -10 -50

t = 0 s

t = 0.2 s

t = 0.4 s t = 0.6 s

e)

0

0.5 1.0

− 0.5 − 1.0

10 20 30 40 50 0 -40 -30 -20 -10 -50

2) sen(kx + ωt) onda regressiva a

ω = 3.14 rad s-1 k = 0.2 rad m-1 ϕ0 = 0 rad

t = 0 s

c)

t = 0.2 s

d)

t = 0.4 s t = 0.6 s

e)

b)

0

0.5 1.0

− 0.5 − 1.0

10 20 30 40 50 0 -40 -30 -20 -10 -50

1) sen(kx − ωt) onda progressiva a

ω = 3.14 rad s-1 k = 0.2 rad m-1 ϕ0 = 0 rad

onda armonica progressiva onda armonica regressiva

x = −∞ x = +∞

e che trasla rigidamente da

che si estende da a

−∞ +∞a

x = −∞ x = +∞

e che trasla rigidamente da

che si estende da a

−∞+∞ a

ondulazione ondulazione

e il fronte d’onda e’ un piano

nota bene : l’onda piana armonica uniforme si estende tra e −∞ +∞

4

n̂

onda piana, uniforme e armonica, progressiva

2ˆ ˆ k kn nπλ

= =^

P

lungo la direzione individuata

vettore di propagazione con

sin( )A k r tω= ⋅ −

[ ]ˆsin ( v )A k n r tψ = ⋅ −

dal versore

5

( )( , )x t Asen kx tψ ω= − ( )( )i kx tIm Ae ω−=

Espressioni di un onda piana uniforme armonica progressiva di tipo sinusoidale:

ψ (x,t) puo’ essere considerata come la parte immaginaria

( )i kx tAe ω−

un onda piana armonica uniforme

( )( , ) i kx tx t Ae ωψ −=

un onda piana armonica uniforme

( )( , ) i kx tx t Ae ωψ +=d’onda del tipo

del numero complesso quindi in generale

progressiva con una funzione regressiva con una funzione

d’onda del tipo

si rappresenta

6

evidenziare la parte sinusoidale

per questo anziche’ derivare

poi, se occorre evidenziare il coseno, si conserva solo la parte

metodo “simbolico”

o la parte immaginaria se occorre

si opera su esponenziali complessi

reale del risultato

rappresentare grandezze armoniche con numeri complessi

comporta una notevole semplificazione dei calcoli

o integrare funzioni trigonometriche

7

ad esempio 0 0( ) cos( )x t A tω ϕ= +se x(t) avesse andamento del tipo

( ) ( )0 0( )( ) Re ( ) Re i tx t z t Ae ω ϕ+= =

eseguiremo le operazioni richieste direttamente su z(t)

( )0 0( )d( )

d

i tAez t

t

ω ϕ+

=

( )0 0( )0Re( ( )) Re i tz t i Ae ω ϕω +=

quindi dato che Re( ( )) ( )z t x t≡

ad esempio:

0 0 0 0 0 0( sin( )) sin( ) ( )i A i t A t x tω ω ϕ ω ω ϕ= + = − + ≡

[ ]( )0 0 0 0 0Re cos( ) sin( )i A t i tω ω ϕ ω ϕ= + + + =

e’ vero che 0 0sen( )dx A tdt

ω ω ϕ= − +

essere considerata come la parte reale del numero complesso 0 0( )( ) i tz t Ae ω ϕ+=

potrebbe

in considerazione la parte reale del risultato

e solo alla fine dei calcoli prenderemo

0 0( )0

i ti Ae ω ϕω += 0 ( )i z tω=

8

ma attenzione: il metodo simbolico funziona solo se le

infatti solamente le operazioni lineari commutano con sono lineari nella funzione armonica

in particolare, sono lineari le equazioni di Kirchhoff, di Maxwell, e di D’Alambert

equazioni considerate

l’operazione “prendere la parte reale” o ’’ immaginaria’’

secondo esempio: 0 0

0 0

( )( )

0 0

( )( )i t

i t Ae z tz t dt Ae dti i

ω ϕω ϕ

ω ω

++= = =∫ ∫

0 0( )

0 00 0

Re( ( ) ) Re( ) sin( ) ( )i tAe Az t dt t x t dti

ω ϕ

ω ϕω ω

+

= = + ≡∫ ∫ed in effetti di nuovo si ha che Re( ( ) ) ( )z t dt x t dt≡∫ ∫altro aspetto utile: le equazioni integro-differenziali (con soluzione sinusoidale) diventano algebriche (lineari)

9

quindi nel piano complesso la ψ (x,t)

se un vettore ruota con velocità angolare costante ω = ω0 ,

da un vettore rotante o “fasore”

sugli assi cartesiani oscillano armonicamente

le sue proiezioni

sara’ rappresentata geometricamente

Re

Im ( , )x tψ

( )kx tω−

Asen( kx t )ω−

Rappresentazione delle funzioni armoniche complesse tramite vettori rotanti o ’’fasori’’

10

Onde armoniche sferiche

generica onda sferica: ( )( , )( , ) ( )gr t f k r tr

θ ϕψ = −v

generica onda sferica armonica: ( , )( , ) sin( )gr t kr t

rθ ϕψ ω= −

onda sferica, armonica e uniforme: ( , ) sin( )Ar t kr tr

ψ ω= −

da notare come nelle onde sferiche l’ampiezza decresca come 1r

( , ) ( )Ar t sen kr tr

ψ ω≡ ± onde cilindriche armoniche uniformi

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-1.000

1.000

-50

-48

-46

-44

-42

-40

-38

-36

-34

-32

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

1- sen(kx + ωt) : onda regressiva a t = 0 s

sin(kx + wt) t=0…

a)

0

0.5 1.0

− 0.5 − 1.0

10 20 30 40 50 0 -40 -30 -20 -10 -50

-1.000

1.000

-50

-48

-46

-44

-42

-40

-38

-36

-34

-32

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

1- sen(kx + ωt) : onda regressiva a t = 0 s

sin(kx + wt) t=0…

0

0.5 1.0

− 0.5 − 1.0

10 20 30 40 50 0 -40 -30 -20 -10 -50

t = 0 s

t = 0.2 s

t = 0.4 s t = 0.6 s

e)

0

0.5 1.0

− 0.5 − 1.0

10 20 30 40 50 0 -40 -30 -20 -10 -50

2) sen(kx + ωt) onda regressiva a

ω = 3.14 rad s-1 k = 0.2 rad m-1 ϕ0 = 0 rad

t = 0 s

c)

t = 0.2 s

d)

t = 0.4 s t = 0.6 s

e)

b)

0

0.5 1.0

− 0.5 − 1.0

10 20 30 40 50 0 -40 -30 -20 -10 -50

1) sen(kx − ωt) onda progressiva a

ω = 3.14 rad s-1 k = 0.2 rad m-1 ϕ0 = 0 rad

onda armonica progressiva onda armonica regressiva

x = −∞ x = +∞

e che trasla rigidamente da

che si estende da a

−∞ +∞a

x = −∞ x = +∞

e che trasla rigidamente da

che si estende da a

−∞+∞ a

ondulazione ondulazione

e il fronte d’onda e’ un piano

nota bene : l’onda piana armonica uniforme si estende tra e −∞ +∞

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Cenni al teorema di Fourier e all’analisi di Fourier

se f(x) : e’ una funzione periodica in 2π

0

1( ) ( cos )

2

n

n k kk

aS f a kx b senkx=

= + +∑1 ( )cos ka f x kx dx

π

ππ −= ∫

1 ( ) kb f x senkx dxπ

ππ −= ∫0k ≥ 1k ≥dove

il polinomio trigonometrico

polinomio di Fourier

i numeri reali ak e bk sono i coefficienti di Fourier della funzione f

di grado n della funzione f e’ detto

il polinomio di Fourier e’ quello che

0

1( cos )

2 k kk

a a kx b senkx∞

=

+ +∑se n tende all’infinito si ha la serie di Fourier

meglio approssima la funzione f

e sommabile nell’intervallo [ – π ;+ π ]

13

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