Circuiti in regime sinusoidale

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 26-4-2011)

2

Funzioni sinusoidali

fT

2π2

2

TT

f1

AM ampiezza fase iniziale (radianti, rad)

(≤ )

pulsazione (rad/s)

f frequenza (hertz, Hz)

T periodo (secondi, s)

)cos()a( tAt M

3

Regimi sinusoidali

● Si considera un circuito lineare in cui tutti i generatori indipendenti sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione

● Le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni differenziali lineari nel quale i termini noti sono funzioni sinusoidali con pulsazione

● Le equazioni generalmente ammettono una soluzione sinusoidale con pulsazione

● Se il circuito è asintoticamente stabile, questa soluzione particolare rappresenta la componente di regime della risposta( regime sinusoidale)

4

Regimi sinusoidali

● Regime sinusoidale: condizione di funzionamento di un circuito nella quale tutte le tensioni e le correnti sono funzioni sinusoidali del tempo aventi la stessa pulsazione

● Fissata la pulsazione, una funzione sinusoidale è definita da due parametri

Ampiezza

Fase

● Il problema della determinazione della soluzione particolare sinusoidale delle equazioni del circuito (cioè della determinazione delle ampiezze e delle fasi di tutte le tensioni e correnti) puòessere ricondotto ad un problema di tipo algebrico mediante la trasformata di Steinmetz

● Il metodo di analisi basato sulla trasformata di Steinmetz è detto anche metodo simbolico

5

Trasformata di Steinmetz

● Trasformata di Steinmetz: S

Ad ogni funzione sinusoidale di pulsazione a(t) AMcos(t+)si associa un numero complesso A avente

modulo AM ( ampiezza della funzione sinusoidale)

argomento ( fase della funzione sinusoidale)

A fasore o numero complesso rappresentativo di a(t)

● Antitrasformata di Steinmetz: S1

)sen(cos)a( jAeAt Mj

MSA

)cos(ReRe)a( )(1 tAeAet Mtj

MtjAAS

6

Interpretazione geometrica

)cos(eRe)a( tAt MtjA

)(ee)( tjM

tj At As

7

Proprietà della trasformata di Steinmetz

Unicità● La trasformata di Steinmetz stabilisce una corrispondenza

biunivoca tra le funzioni sinusoidali di pulsazione e i numeri complessi

BA ttt )b()a(

)cos()b(

)cos()a(

tBt

tAt

M

M

j

M

jM

Bt

At

e)b(

e)a(

SS

B

A

8

Proprietà della trasformata di Steinmetz

Linearità● La trasformata di Steinmetz è un’operazione lineare

BA 212121

21

)b()a()b()a(

:,

kktktktktk

kk

SSS

R

)cos()b(

)cos()a(

tBt

tAt

M

M

j

M

jM

Bt

At

e)b(

e)a(

SS

B

A

9

Proprietà della trasformata di Steinmetz

Regola di derivazione● La trasformata della derivata di una funzione sinusoidale si ottiene

moltiplicando per j la trasformata della funzione

● Dimostrazione:

A

jtjdt

d)a(

a SS

)cos()a( tAt M jMAt e)a(SA

2

cos)sen(a

tAtAdt

dMM

)a(eeeea 22 tjjAjAA

dt

d jM

jjM

j

M SS

A

10

Proprietà della trasformata di Steinmetz

Regola di derivazione● Applicando ricorsivamente la regola di derivazione si possono

ottenere le trasformate delle derivate di ordine superiore

A

AA

AA

nn

n

n

n

jdt

dj

dt

d

jjdt

dj

dt

d

jdt

dj

dt

d

)(aa

)(aa

)(aa

1

1

332

2

3

3

222

2

SS

SS

SS

11

Antitrasformata

● Noto il numero complesso rappresentativo A di una funzione sinusoidale

e nota la pulsazione , è possibile determinare in modo univoco la funzione sinusoidale a(t) mediante la relazione

● Nota:

Vale la relazione tg yx ma questo non consente di affermare che arctgyx

Dato che la funzione tangente ha periodo esistono due valori di nell’intervallo in cui la tangente ha lo stesso valore

Per determinare occorre tenere conto dei segni di x e y

)arg(cos)cos()a( 1 AAA ttAt MS

jyxeA jaM A

12

Antitrasformata – determinazione della fase

13

Antitrasformata – determinazione della fase

01

00

01

)sgn(

0arctg

0)sgn(2

0)sgn(arctg

22

y

y

y

x

x

x

y

x

y

y

yx

y

yxAM

per

per

per

per

per

per

jM eAjyxA

14

Bipoli in regime sinusoidale

● Condizioni di regime sinusoidale

● Tensione e corrente orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore:

● Sfasamento fra tensione e corrente: V I

)cos()i(

)cos()v(

IM

VM

tIt

tVt

I

V

jM

jM

eIt

eVt

)i(

)v(

SS

I

V

15

Resistore in regime sinusoidale

)cos()v()i(

)cos()i()v(

VM

IM

tGVtGt

tRItRt

VI

IV

G

R

0

IV

MM RIV

la tensione e la corrente sono in fase

16

Induttore in regime sinusoidale

)2

cos()sen(i

)v(

IMIM tLItLIdt

dLt

22

IV

MM LIV

la corrente è in quadratura in ritardorispetto alla tensione

17

Induttore – relazioni tra i fasori

LX L Reattanza:

Suscettanza:L

L XLB

11

dt

dLt

i)v(

VVI

IIV

L

L

jBL

j

jXLj

1

18

Condensatore in regime sinusoidale

)2

cos()sen(v

)i(

VMVM tCVtCVdt

dCt

22

IV

MM CVI

la corrente è in quadratura in anticiporispetto alla tensione

19

Condensatore – relazioni tra i fasori

CBC Suscettanza:

Reattanza:C

C BCX

11

dt

dCt

v)i(

IIV

VVI

C

C

jXC

j

jBCj

1

20

Impedenza e ammettenza

● Le relazioni tra i fasori della tensione e della corrente per ilresistore, l’induttore e il condensatore sono casi particolari delle equazioni

YVIZIV

Resistore

Induttore

Condensatore

Componente

Cj

1

Lj

1Lj

Cj

R G

Z Y

21

Impedenza e ammettenza

● Più in generale, per un bipolo lineare non contenente generatori indipendenti, la tensione e la corrente sono legate tra loro da relazioni differenziali lineari omogenee

Per la proprietà di linearità e la regola di derivazione della trasformata di Steinmetz, le corrispondenti relazioni tra i fasori della tensione e della corrente sono lineari algebriche omogenee, e quindi ancora del tipo

● Nel caso generale Z e Y sono funzioni complesse della pulsazione

YVIZIV

)()()( jXRZ

)()()( jBGY

22

Impedenza

● Per un bipolo lineare non contenente generatori si definisce impedenzail rapporto

● Il modulo dell’impedenza è uguale al rapporto tra le ampiezze della tensione e della corrente

● L’argomento dell’impedenza è uguale allo sfasamento tra la tensione e la corrente

j

M

M

I

Ve

I

VΖ

M

M

I

VZ

IV )arg(Z

jXR Z R resistenzaX reattanza

(unità di misura ohm)

corrente in ritardo sulla tensione corrente in anticipo sulla tensione

23

Ammettenza

● Il reciproco dell’impedenza è detto ammettenza

● Valgono le relazioni

j

M

M

V

Ie

1

V

I

ZY

jBG Y

22))((

1

XR

jXR

jXRjXR

jXR

jXR

Y

222222ZZ

X

XR

XB

R

XR

RG

222222YY

B

BG

BX

G

BG

GR

22

1

BG

jBG

jBG

Z

G conduttanzaB suscettanza

(unità di misura siemens)

24

Esempio - Bipolo RL serie

IVVV SSLSRS

SSLSRS

LjR

dt

dLtiRttt

i

)()(v)(v)v(

S

SSS LX

RRLjRZ

22

22

2222

)(

)()()(

1

SS

S

SS

S

SS

S

SS

S

LR

LB

LR

RG

LR

Lj

LR

R

ZY

25

Esempio - Bipolo RL serie

22 )( SS LR Z

S

S

R

Larctg)arg(Z

200,0

SS LR

La corrente è in ritardo rispetto alla tensione

26

Esempio - Bipolo RL parallelo

VIIIVVI

PPRLRP

PP

t

PPPPLPRP

Lj

RLRjj

tLdt

d

Rdt

ddxx

Lt

Rttt

1111

)v(1v1i

)v(1

)v(1

)(i)(i)i(

27

Esempio - Bipolo RL parallelo

22

2

22

22

22

2

22

22

)(

)()()(

1

PP

PP

PP

PP

PP

PP

PP

PP

LR

LRX

LR

LRR

LR

LRj

LR

LR

YZ

P

P

PP

LB

RG

Lj

R 1

111

Y

28

Esempio - Bipolo RL parallelo

22 )(11

1

PP LR

Z

P

P

L

Rarctg)arg(Z

200,0

PP LR

La corrente è in ritardo rispetto alla tensione

29

Esempio - Bipolo RC serie

IVVVIIV

SSCSRS

SS

t

SS

SSCSRS

CjR

CjRj

tCdt

dR

dt

ddxx

CtRttt

11

)i(1iv

)i(1

)i()(v)(v)v(

30

Esempio - Bipolo RC serie

S

S

SS

CX

RR

CjR 11

Z

2

2

22

22

22

)(1

)(1)(1)(1

1

SS

S

SS

SS

SS

S

SS

SS

CR

CB

CR

CRG

CR

Cj

CR

CR

ZY

31

Esempio - Bipolo RC serie

22

)(

1

SS C

R

Z

SSCR

1arctg)arg(Z

02

0,0

CC LR

La corrente è in anticipo rispetto alla tensione

32

Esempio - Bipolo RC parallelo

VIII

PP

CPRP

PP

CPRP

CjR

dt

dCt

Rttt

1

v)v(

1)(i)(i)i(

P

PPP CB

RG

CjR

11

Y

2

2

2

2

2

2

)(1

)(1

)(1)(1

1

PP

PP

PP

P

PP

PP

PP

P

CR

CRX

CR

RR

CR

CRj

CR

R

YZ

33

Esempio - Bipolo RC parallelo

22 )(

1

1

PP

CR

Z

)arctg()arg( PPCR Z

02

0,0

CC LR

La corrente è in anticipo rispetto alla tensione

34

Analisi di circuiti in regime sinusoidale

Equazioni dei componenti

● Generatori indipendenti:sono note le tensioni o le correnti sono noti anche i loro fasori

● Bipoli lineari:

● Generatori dipendenti:per la proprietà di linearità, le relazioni tra i fasori sono

G

G

II

VV

YVI

ZIV

1212

1212

VVIV

VIII

r

g

35

Analisi di circuiti in regime sinusoidale

Equazioni dei collegamenti

● Le relazioni tra le grandezze funzioni del tempo sono espresse da equazioni algebriche lineari omogenee del tipo

Per le proprietà di unicità e di linearità della trasformata di Steinmetz

Le leggi di Kirchhoff valgono anche per i fasori delle tensionie delle correnti

k k

k k

t

t

0)(v

0)(i

k k

k k

0

0

V

I )(v)(i tt kkkk SS VI

36

Analisi di circuiti in regime sinusoidale

● Le equazioni di un circuito lineare in regime sinusoidale, scritte in termini di fasori, hanno la stessa forma delle equazioni di un circuito lineare resistivo in regime stazionario

● Le proprietà e metodi di analisi dedotti a partire delle equazioni generali dei circuiti resistivi possono essere estesi ai circuiti in regime sinusoida-le con le sostituzioni: Resistenza Impedenza Conduttanza Ammettenza Tensione Fasore della tensione Corrente Fasore della corrente

● In particolare si possono estendere ai circuiti in regime sinusoidale le relazioni di equivalenza riguardanti collegamenti tra resistori o

generatori (serie, parallelo, stella-triangolo, formule di Millman ecc.) i metodi di analisi generali (metodo delle maglie,metodo dei nodi e

metodo degli anelli) il teorema di sovrapposizione i teoremi di Thévenin e Norton

37

Impedenze in serie e in parallelo

● Impedenze in serie

● Impedenze in parallelo

kkk

k

N

kk

IZV

II

VV

1

N

kKS

S

1

ZZ

IZV

kkk

k

N

kk

VYI

VV

II

1

N

k k

PP

N

kKP

P

1

1

111

ZY

Z

YY

VYI

38

Partitore di tensione e di corrente

● Partitore di tensione

● Partitore di corrente

N

kk

jj

1

Z

ZVV

N

kk

jj

1

Y

YII

39

Trasformazioni dei generatori

GGGG YVIZIV

40

Equivalenza stella-triangolo

231312

23133

231312

23122

231312

13121

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

1

32312123

2

32312113

3

32312112

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

41

Teorema di sovrapposizione

● Ipotesi:

circuito lineare contenente

NV generatori indipendenti di tensione vG1(t), ..., vGNV(t)

NI generatori indipendenti di corrente iG1(t), ..., iGNI(t)

tutti i generatori sono sinusoidali con la stessa pulsazione condizioni di regime sinusoidale

I fasori della tensione e della corrente del generico lato i sono combinazioni lineari dei fasori delle tensioni e delle correnti impresse dai generatori indipendenti

IV

IV

N

kGkik

N

kGkiki

N

kGkik

N

kGkiki

11

11

IβVyI

IzVαV

42

Funzioni di rete

● I coefficienti delle combinazioni sono funzioni complesse della pulsazione e sono detti funzioni di di rete

● Le funzioni di rete che mettono in relazione i fasori della tensione e della corrente dello stesso lato sono dette funzioni di immettenza

● Le funzioni di rete che mettono in relazione fasori di tensioni e correnti di lati diversi sono dette funzioni di trasferimento

h

khGk

iik

Gh

Gh

0

0

I

VV

Iy

kh

hGk

iik

Gh

Gh

0

0

I

VI

Iβ

(adimensionale) (ha le dimensioni di un’impedenza)

(ha le dimensioni di un’ammettenza) (adimensionale)

h

khGk

iik

Gh

Gh

0

0

I

VV

Vα

kh

hGk

iik

Gh

Gh

0

0

I

VI

Vz

43

Funzioni di immettenza

● Impedenza di ingresso

● Ammettenza di ingresso

kh

hGk

kk

Gh

Gh

0

0IN )(

I

VI

VZ

h

khGk

kk

Gh

Gh

0

0)(

I

VV

IY

44

Funzioni di trasferimento

● Rapporto di trasferimento di tensione

● Rapporto di trasferimento di corrente

h

khGk

iik

Gh

Gh

0

0)(

I

VV

Vα

kh

hGk

iik

Gh

Gh

0

0)(

I

VI

Iβ

45

Funzioni di trasferimento

● Impedenza di trasferimento

● Ammettenza di trasferimento

kh

hGk

iik

Gh

Gh

0

0)(

I

VI

Vz

h

khGk

iik

Gh

Gh

0

0)(

I

VV

Iy

46

Teorema di Thévenin

● Ipotesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo A-B è formato da componenti lineari e generatori

indipendenti il bipolo A-B è comandato in corrente

Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di tensione V0 in serie con un’impedenza Zeq V0 è la tensione a vuoto del bipolo A-B Zeq è l’impedenza equivalente del bipolo A-B con i generatori

indipendenti azzerati

AB0AB IZVV eq

47

Teorema di Norton

● Ipotesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo A-B è formato da componenti lineari e generatori

indipendenti il bipolo A-B è comandato in tensione

Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di corrente Icc in parallelo con un’ammettenza Yeq Icc è la corrente di cortocircuito del bipolo A-B Yeq è l’ammettenza equivalente del bipolo A-B con i generatori

indipendenti azzerati

ABAB VYII eqcc

48

N-porte lineari in regime sinusoidale

● Per un N-porte lineare in condizioni di regime sinusoidale le relazioni costitutive, in termini di fasori, sono del tipo

con

● Nel caso di componenti resistivi i coefficienti delle matrici A e B sono reali, mentre nel caso di componenti dinamici, in generale, sonocomplessi

● Se il componente è comandato in corrente oppure in tensione èpossibile rappresentarlo mediante parametri di impedenza o di ammettenza che costituiscono una generalizzazione dei parametri di resistenza e di conduttanza

0BiAv

NNN

N

NNN

N

NN bb

bb

Β

aa

aa

A

I

I

i

V

V

v

1

111

1

11111

49

Matrice di impedenza

● Matrice di impedenza

Ziv

NNN

N

NN zz

zz

Z

I

I

i

V

V

v

1

11111

khk

jjk

h

0I

I

Vz

50

Matrice di ammettenza

● Matrice di ammettenza

Yvi

NNN

N

NN yy

yy

Y

I

I

i

V

V

v

1

11111

khk

jjk

h

0V

V

Iy

51

Doppi bipoli lineari in regime sinusoidale

● Per i doppi bipoli lineari in regime sinusoidale è possibile generalizzare anche le matrici ibride e di trasmissione

● Nel caso di componenti dinamici i coefficienti delle matrici, in generale, sono complessi

2

1

2

1

2221

1211

2

1

V

IH

V

I

hh

hh

I

VMatrice ibrida

2

1

2

1

2221

1211

2

1

I

VH

I

V

hh

hh

V

IMatrice ibrida inversa

2

2

2

2

1

1

I

VT

I

V

DC

BA

I

V Matrice di trasmissione(matrice catena)

1

1

1

1

2

2

I

VT

I

V

DC

BA

I

V Matrice di trasmissione inversa(matrice catena inversa)

52

Significato dei parametri di impedenza

z11 impedenza di ingresso a vuoto alla porta 1

z21 impedenza di trasferimento a vuoto dalla porta 1 alla porta 2

z22 impedenza di ingresso a vuoto alla porta 2

z12 impedenza di trasferimento a vuoto dalla porta 2 alla porta 1

01

111

2

I

I

Vz

01

221

2

I

I

Vz

02

112

1

I

I

Vz

02

222

1

I

I

Vz

53

Significato dei parametri di ammettenza

y11 ammettenza di ingresso in cortocircuito alla porta 1

y21 ammettenza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 1 alla porta 2

y22 ammettenza di ingresso in cortocircuito alla porta 2

y12 ammettenza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 2 alla porta 1

01

111

2

V

V

Iy

01

221

2

V

V

Iy

02

112

1

V

V

Iy

02

222

1

V

V

Iy

54

Significato dei parametri ibridi

h11 impedenza di ingresso in cortocircuito alla porta 1

h21 rapporto di trasferimento di corrente in cortocircuito dalla porta 1 alla porta 2

h22 ammettenza di ingresso a vuoto alla porta 2

h12 rapporto di trasferimento di tensione a vuoto dalla porta 2 alla porta 1

01

111

2

V

I

Vh

01

221

2

V

I

Ih

02

112

1

I

V

Vh

02

222

1

I

V

Ih

55

Significato dei parametri di trasmissione

01

2

2

1

I

V

V

A01

2

2

1

VV

I

B

01

2

2

1

I

I

V

C01

2

2

1

VI

I

D

56

Trasformatore ideale in regime sinusoidale

● Le tensioni alla porta 1 e alla porta 2 sono in fase tra loro

● Le correnti alla porta 1 e alla porta 2 sono in opposizione di fase

21

21

1i

Ki

Kvv

21

21

1II

VV

K

K

57

Induttori accoppiati in regime sinusoidale

● Le equazioni sono un caso particolare di rappresentazione mediante di coefficienti di impedenza

dt

tdL

dt

tdMt

dt

tdM

dt

tdLt

)(i)(i)(v

)(i)(i)(v

22

12

2111

2212

2111

IIV

IIV

LjMj

MjLj

2

1

2

1

2

1

2

1

I

IZ

I

I

V

V

LjMj

MjLj

58

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

● Potenza assorbita dal bipolo

cos2

1)2cos(

2

1

)cos()2cos(2

1

)cos()cos()i()v()p(

MMIVMM

IVIVMM

IMVM

IVtIV

tIV

tItVttt

IV

IM

VM

tIt

tVt

)cos()i(

)cos()v(

59

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

60

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

● La potenza è data dalla somma di un termine sinusoidale con pulsazione 2 (potenza fluttuante) e di un termine costante

● L’ampiezza del termine oscillante è

● Il termine costante rappresenta il valore medio sul periododella potenza istantanea

● cos è detto fattore di potenza

Il fattore di potenza è il rapporto tra il termine costante e l’ampiezza del termine oscillante

A parità di ampiezza di v e i, il valore medio sul periodo della potenza istantanea aumenta al crescere del fattore di potenza

T

MMm IVdttT

p0

cos2

1)p(

1

MM IV21

61

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

● Il fattore di potenza cos vale 1 se la tensione e la corrente sono in fase ( 0)

● Aumentando || il fattore di potenza si riduce fino ad annullarsi quando tensione e corrente sono in quadratura

● Per || > 2 il fattore di potenza diventa negativo e vale 1 se la tensione e la corrente sono in opposizione di fase

● cos 0 in ogni semiperiodo l’energia assorbita dal bipolo è 0

● cos 0 in ogni semiperiodo l’energia assorbita dal bipolo è 0

questa condizione si può verificare solo se il bipolo è attivo

per un bipolo passivo si ha necessariamente cos 0

62

Potenza assorbita da un resistore

VMM tIVt 22cos12

1)p(

22

2

1

2

1

2

1MMMMm GVRIIVp 0

63

Potenza assorbita da un induttore

2

22cos2

1

222cos

2

1)p( 2

VMVMM tLItIVt

0cos2

1 MMm IVp

2

64

Potenza assorbita da un condensatore

2

22cos2

1

222cos

2

1)p( 2

VMVMM tCVtIVt

0cos2

1 MMm IVp

2

65

Componenti attiva e reattiva della corrente

● Nel caso generale, si può scomporre la corrente istantanea nellasomma di due termini:

uno in fase con la tensione (come nei resistori)

componente attiva: iA(t) uno in quadratura con la tensione (come negli induttori e nei

condensatori)

componente reattiva: iR(t)

)(i

)2/cos(sen

)(i

)cos(cos

)sen(sen)cos(cos

])()cos[(

)cos()i(

t

tI

t

tI

tItI

tI

tIt

R

VM

A

VM

VMVM

IVVM

IM

66

Componenti attiva e reattiva della corrente

Rappresentazione nel piano complesso

VV

V

jM

j

MR

jMA

IjI

I

esenesen

ecos

2I

I

67

Potenza istantanea attiva e reattiva

● Scomposizione della potenza istantanea

● Potenza istantanea attiva

● Potenza istantanea reattiva

)(p)(p)(i)v()(i)v()(i)(i)v()p( tttttttttt RARARA

)22cos(1cos2

1

)cos(cos

)cos(cos)cos()(p2

VMM

VMM

VMVMA

tIV

tIV

tItVt

)22(sensen2

1

)(sensen)cos()(p

VMM

VMVMR

tIV

tItVt

68

Potenza istantanea attiva e reattiva

69

Potenza istantanea attiva e reattiva

● La potenza istantanea attiva non cambia mai segno (se cos > 0 è sempre 0)

flusso unidirezionale di energia (dall’esterno verso il bipolo se cos > 0)

● La potenza istantanea reattiva è una funzione sinusoidale del tempo con pulsazione 2 l’energia ad essa associata fluisce alternativamente

dall’esterno verso il bipolo e viceversa

in un intervallo di durata pari a un semiperiodo di v e i, l’energia complessivamente scambiata tra il circuito e il bipolo è nulla

70

Potenza attiva

● Potenza attiva:valore medio sul periodo della potenza istantanea attiva = valore medio sul periodo della potenza istantanea (unità di misura watt, W)

● Un intervallo t T può essere approssimato con un numero intero di periodi

L’energia assorbita da un bipolo in un intervallo di durata molto grande rispetto al periodo può essere ottenuta dalla relazione

cos2

1)p(

1)(p

1

00

MM

TT

A IVdttT

dttT

P

tPtwa ),0(

71

Potenza reattiva

● Potenza reattiva: valore massimo della potenza istantanea reattiva col segno di

● L’unità di misura della potenza reattiva è il volt-ampere reattivo (VAR)

● Q è un indice dell’entità degli scambi energetici associati alla potenza istantanea reattiva

● Convenzionalmente si attribuisce

segno alla potenza reattiva assorbita dagli induttori

segno alla potenza reattiva assorbita dai condensatori

sen2

1)sgn()(pmax MMR IVtQ

72

Potenza apparente

● Potenza apparente: è definita dalla relazione

● L’unità di misura della potenza apparente è il volt-ampere (VA)

● La potenza apparente coincide con l’ampiezza del termine oscillante della potenza istantanea

● S dipende solo dalle ampiezze della tensione e della corrente

MM IVS2

1

73

Triangolo delle potenze

● Rappresentazione grafica delle relazioni tra potenza attiva reattiva e apparente

tg

sen

cos

22

PQ

SQ

SP

QPS

74

Potenza complessa

● Si definisce potenza complessa la quantità

● Inserendo le espressioni di V e I si ottiene

Quindi si ha

*

2

1VIN

jQPIVjIV

IVIV

MMMM

jMM

jM

jM

IV

sen2

1cos

2

1

e2

1ee

2

1N

QIV

PIV

MM

MM

sen2

1Im

cos2

1Re

N

N

)arg(2

1

N

N SIV MM

(I* indica il coniugato di I)

75

Conservazione delle potenze complesse(Teorema di Boucherot)

● Ipotesi: Circuito con l lati Versi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la convenzione

dell’utilizzatore Condizioni di regime sinusoidale Vk, Ik (k 1, ..., l) fasori delle tensioni e delle correnti

La somma delle potenze complesse assorbite dai componenti del circuito è nulla

Le somme delle potenze attive e delle potenze reattive assorbite dai componenti sono nulle

● Dimostrazione: I fasori Vk e Ik soddisfano le leggi di Kirchhoff. Se i fasori delle

correnti soddisfano la LKI, anche i loro coniugati la soddisfano La proprietà deriva direttamente dal teorema di Tellegen

02

1

1

*

1

l

kkk

l

kk IVN 00

11

l

kk

l

kk QP

76

Additività delle potenze complesse

● Si assume che il lato l del circuito sia costituito da un bipolo

● Si divide il circuito in due parti

una formata dal solo lato l una formata dagli altri lati (che complessivamente costituiscono un

bipolo)

● Per il teorema di Boucherot vale la relazione

● Nl è la potenza erogata dal bipolo l, cioè la potenza assorbita dal bipolo formato dagli altri componenti

La potenza complessa assorbita da un bipolo formato da più compo-nenti collegati tra loro è pari alla somma delle potenze assorbite dai singoli componenti

La stessa proprietà vale per le potenze attive e per le potenze reattive

1

1

1

1

1

1

,l

kkl

l

kkl

l

kkl QQPPNN

77

Potenza complessa in funzione di Z e Y

22*22

22*22

2**2**

2

1

2

1Im

2

1

2

1Im

2

1

2

1Re

2

1

2

1Re

2

1)(

2

1

2

1

2

1

2

1

VVYIIZ

VVYIIZ

VYYVVIZZIIVIN

BXQ

GRP

VYVI

IZIV

)(

)(

jBG

jXR

0,00

0,00

BXQ

GRP

78

Segni delle parti reali e immaginarie di Z e Y

● Si considera un bipolo formato da componenti R, L, C passivi

● Dalle espressioni delle potenze complesse in funzione di Z e Y e dalla proprietà di additività delle potenze, a seconda del tipo di componenti contenuti nel bipolo, si ricavano le seguenti condizioni:

Re[Z] Im[Z] Re[Y] Im[Y]P Q

Componenti

R

L

C

R-L

R-C

L-C

R-L-C

79

Valori efficaci

● Si definisce valore efficace di una funzione a(t) periodica di periodo T la quantità

● In particolare, se a(t) è sinusoidale, risulta

T

eff dttT

A0

2 )(a1

2)]22cos(1[

22

)(cos2

2

0

2

2

0

22

MM

Meff

Adtt

A

dttAA

80

Valori efficaci

● Espressioni della potenza attiva e reattiva in funzione dei valori efficaci

● Potenza assorbita da un resistore

Il valore efficace di una tensione (corrente) sinusoidale corrisponde al valore di una tensione (corrente) costante che applicata a un resistore dà luogo ad una dissipazione di potenza pari al valore medio sul periodo della potenza assorbita dal resistore in regime sinusoidale

sensen2

1

coscos22

cos2

1

effeffMM

effeffMM

MM

IVIVQ

IVIV

IVP

22effeff GVRIP

81

Valori efficaci

● E’ possibile definire la trasformata di Steinmetz anche facendo riferimento ai valori efficaci invece che ai valori massimi

● La trasformata così definita conserva le stesse proprietà della trasformata basata sui valori massimi

● Le impedenze e le ammettenze (essendo definite come rapporti tra fasori) non cambiano se si fa riferimento ai valori efficaci

● L’espressione della potenza complessa diviene

)sen(cos22

)a( jA

eA

t MjMee SA

)cos(Re2Re)a( ][][ )(1 tAeAet Mtj

Mtj

eee AAS

*eeIVN

82

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva

● Si considera un bipolo formato da un generatore di tensione sinusoidale VG in serie con un impedenza Z caricato da un’impedenza ZC

Al variare di ZC, la potenza attiva ceduta al carico è massima quando vale la condizione ZC Z* (adattamento coniugato)

In queste condizioni la potenza attiva (potenza disponibile) vale

jXR Z

CCC jXR Z

R

V

RP GeffG

d 48

22

V

83

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (1)

● Corrente e tensione nel carico

● Potenza attiva ceduta al carico

● Al variare di XC il denominatore è minimo (e quindi PC è massimo) se

● In queste condizioni

C

G

ZZ

VI

C

CG

ZZ

ZVV

])()[(22

Re

2

1Re

22

2

2

2

*

*

CC

CG

C

CG

C

G

C

CGC XXRR

RP

V

ZZ

ZV

ZZ

V

ZZ

ZV

XX C

2

2

)(2 C

CGC RR

RP

V

84

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (2)

● Al variare di PC il massimo si ottiene per

cioè RC R infatti:

PC è positivo per RC > 0 e si annulla per R 0 e R la derivata di PC si annulla solo per RC R questo punto deve corrispondere a un massimo

Quindi deve essere RC R, XC X ZC Z*

● In queste condizioni si ha

0)(

)(2)(

2 4

22

C

CCCG

C

C

RR

RRRRR

R

P V

RRR

RPP GG

dC 8)(2

2

2

2

max

VV

85

Rendimento

● In condizioni di adattamento coniugato la potenza attiva erogata dal generatore vale

Il rendimento definito come rapporto tra la potenza attiva erogata dal generatore e la potenza attiva ceduta al carico è

La condizione di adattamento coniugato non rappresenta una soluzione ottimale nel caso in cui è importante ottenere rendimenti elevati

RRP GG

GG 42Re

2

12* VV

V

5.04

8 2

2

G

G

G

C R

RP

P

V

V

86

Rifasamento

● Distribuzione dell’energia elettrica (schema semplificato)

● Impedenza equivalente della linea:

● Condizioni di funzionamento ottimali:

Ampiezza della tensione sul carico praticamente indipendente dalla corrente (normalmente gli utilizzatori sono progettati facendo riferimento a un valore nominale della tensione sono tollerati scostamenti di pochi percento dal valore nominale prefissato)

Minima dissipazione di potenza nella linea

LLL jXR Z

Linea di distribuzione

Generatore Utilizzatore

87

Rifasamento

● Al crescere dell’ampiezza della corrente I nella linea

si riduce l’ampiezza della tensione sul V carico

aumentano le perdite per effetto Joule lungo la linea

2MLL 2

1IRP

IZVV LGM V

Linea di distribuzione

Generatore Utilizzatore

88

Rifasamento

● Fissata l’ampiezza tensione VM, a parità di potenza attiva P assorbita dal carico l’ampiezza della corrente è inversamente proporzionale al fattore di potenza

L’ampiezza della componente attiva dellacorrente è fissata dal valore della potenzaattiva

Al diminuire del fattore di potenza (cioèall’aumentare dell’angolo ) aumental’ampiezza della componente reattivadella corrente (e quindi l’ampiezza dellacorrente totale)

Per ridurre le perdite occorre aumentare il fattore di potenza del carico

cos

2

MM V

PI

89

Rifasamento

● Un basso fattore di potenza risulta svantaggioso per il fornitore di energia elettrica

Se il valore medio mensile del fattore di potenza risulta inferiore a certi limiti vengono applicate delle maggiorazioni sul costo dell’energia

● Le norme attuali, per impianti a bassa tensione con potenza impegnata 15 kW, prevedono:

per cos 0.9 nessuna penale

per 0.7 cos 0.9 pagamento di una penale commisurata al rapporto tra l’integrale della potenza reattiva (energia reattiva) e quello della potenza attiva (energia attiva) nel periodo di fatturazione

i limiti sono prossimi ai valori di cos per cui l’energia attiva e quella reattiva sono uguali (cos 0.707) e l’energia reattiva èpari al 50% dell’energia attiva (cos 0.894)

per cos < 0.7 obbligo da parte dell’utente di prendere provvedi-menti per aumentare il fattore di potenza

90

Rifasamento

● Per aumentare il fattore di potenza si ricorre al rifasamento del carico

● Si collega in parallelo all’utilizzatore un bipolo puramente reattivo con reattanza di segno opposto a quella del utilizzatore stesso

● Se il carico è ohmico-induttivo XU 0, (caso più comune) la reattanza XR deve essere negativa ( condensatore)

91

Rifasamento

● Dimensionando opportunamente la reattanza XR si può fare in modo che

gli scambi di potenza reattiva avvengano prevalentemente tra il carico e il bipolo di rifasamento, riducendo gli scambi di potenza reattiva con il generatore

la componente reattiva IR della corrente nel carico circoli prevalen-temente nel bipolo di rifasamento, riducendo l’ampiezza della cor-rente reattiva IR nella linea

92

Rifasamento

● La potenza reattiva assorbita complessivamente dal carico e dal bipolo di rifasamento è

● Per portare il fattore di potenza da cos ad un valore accettabile cosla potenza reattiva assorbita dal bipolo di rifasamento deve essere

● Se il bipolo di rifasamento è un condensatore (capacità = CR) si ha

Quindi la capacità di rifasamento vale

22M

R

)tg(tg)tg(tg2

effV

P

V

PC

2MRR 2

1VCQ

RQQQ

)()(R tgtgPQQQ

93

Risonanza serie

● Bipolo RLC serie in regime sinusoidale

● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione

● Pulsazione di risonanza:

● Per 0

Im[Z] 0

|Z| è minimo

arg(Z) 0

CLjR

CjLjR

11Z

22 1

CLRZ

RC

L

1

arctg)arg(Z

LC

10

94

Risonanza serie

CLjR

1Z

22 1

CLRZ

● prevale la reattanza capacitiva

● prevale la reattanza induttiva

● la reattanza si annulla

95

Risonanza serie

● la corrente è in anticipo sulla tensione

● la tensione è in anticipo sulla corrente

● la tensione e la corrente sono in fase

RC

L

1

arctg)arg(Z

96

Risonanza serie

97

Risonanza serie

● Potenza complessa assorbita:

● Potenza attiva:

● Potenza reattiva:

Q 0

Q 0

Q 0

22)

1(

2

1

2

1MI

CLjR

IZN

2

2

1MRIP

22

2

1

2

1MM I

CLIQ

98

Risonanza serie

● Corrente nell’induttore:

Energia nell’induttore:

● Tensione del condensatore:

Energia nel condensatore:

● In condizioni di risonanza:

In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante

)cos()i()(i IML tItt

)(cos)(i)(w 22212

21

IML tLItLt

)sen(1)(v1IMCC tI

Ct

Cj

IV

)(sen2

1)(v)(w 22

22

21

IMCC tIC

tCt

)(sen)(sen2

1)(w 0

2202

10

2202

0

IMIMC tLItIC

t

202

1)(w)(w MCL LItt

99

Fattore di merito

● In condizioni di risonanza, si definisce fattore di merito la quantità

● Per un bipolo RLC serie, se l’ampiezza della corrente in condizioni di risonanza è IM0 si ottiene

● L’espressione dell’impedenza del bipolo può essere posta nella forma

RCR

L

TRI

LIQ

M

M

0

0

02

021

202

1

0

12

0

001

11

1jQR

RCR

LjR

CLjRZ

0

0

2T

20Q Energia accumulataEnergia dissipata in un periodo

100

Curve di risonanza

● Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie, di solito si considera la funzione di trasferimento

● Se V è fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la corrente nel bipolo al variare di e la corrente in condizioni di risonanza I0

0

001

1)(

jQ

RR

ZV

VH

0

)(I

IH

101

Curve di risonanza

102

Curve di risonanza

103

Larghezza di banda

● Se V è fissato, l’ampiezza della corrente nel bipolo, e quindi la potenza attiva assorbita, sono massime per 0

● In queste condizioni si ha

● La potenza attiva assorbita può essere espressa in funzione di come

● Larghezza di banda (a metà potenza), B: ampiezza dell’intervallo compreso tra le pulsazioni 1 e 2 per cui risulta P = P0/2

● All’aumentare di Q0 il modulo di H() presenta un picco sempre piùstretto nell’intorno di 0

La larghezza di banda diminuisce con l’aumentare del fattore di merito

20

2

0 2

1

2

1M

M RIR

VP

0

220

22 )()(2

1

2

1PIRRIP MM HH

12 B

104

Larghezza di banda

● La potenza attiva assorbita dal bipolo vale P = P0/2 se è verificata la relazione

● Le soluzioni positive di questa equazione sono

Quindi si ha

● Per valori sufficientemente elevati di Q0 (in pratica per Q0 ≥ 10), si può ritenere

10

00

Q 020

0

02

Q

20

021 4

11

2

1,

oQQ

0

012 Q

B

22

11, 0

0021

B

Q

RCR

LB 2

0

105

Risonanza parallelo

● Bipolo RLC parallelo in regime sinusoidale

● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione

● Pulsazione di risonanza:

● Per 0

Im[Y] 0

|Y| è minimo

arg(Y) 0

LC

10

LCjG

LjCjG

11Y

22 1

LCGY

GL

C

1

arctg)arg(Y

106

Risonanza parallelo

LCjGY

1

22 1

LCGY

● prevale la suscettanza induttiva

● prevale la suscettanza capacitiva

● la suscettanza si annulla

107

Risonanza parallelo

● la tensione è in anticipo sulla corrente

● la corrente è in anticipo sulla tensione

● la tensione e la corrente sono in fase

GL

C

1

arctg)arg(Y

108

Risonanza parallelo

109

Risonanza parallelo

● Potenza complessa assorbita:

● Potenza attiva:

● Potenza reattiva:

Q 0

Q 0

Q 0

22* )1

(2

1

2

1MV

LCjG

VYN

2

2

1MGVP

22

2

1

2

1MM CVV

LQ

110

Risonanza parallelo

● Tensione del condensatore:

Energia nel condensatore:

● Corrente nell’induttore:

Energia nell’induttore:

● In condizioni di risonanza:

In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante

)cos()v()(v VMC tVtt

)(cos)(v)(w 22212

21

VMC tCVtCt

)sen(1)(i1VMLL tV

Lt

Lj

VI

)(sen2

1)(i)(w 22

22

21

VMLL tVL

tLt

)(sen)(sen2

1)(w 0

2202

10

2202

0

VMVML tCVtVL

t

202

1)(w)(w MCL CVtt

111

Fattore di merito

● Per un bipolo RLC parallelo il fattore di merito è

In questo caso l’ammettenza può essere espressa come

LGG

C

TGV

CVQ

M

M

0

0

02

021

202

1

0

12

0

001

11

1jQG

LGG

CjG

LCjGY

112

Larghezza di banda

● Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie, di solito si considera la funzione di trasferimento

● Se I è fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la tensione nel bipolo al variare di e la tensione in condizioni di risonanza V0

● L’andamento di H in funzione di coincide con quello visto per il bipolo RLC serie

● La larghezza di banda in questo caso vale

0

001

1)(

jQ

GR

YI

IH

0

)(V

VH

LGG

C

QB 2

00

0