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Tracciamento dei Diagrammi di Bode G. Oriolo Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Sapienza Universit` a di Roma October 25, 2018

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Tracciamento deiDiagrammi di Bode

G. Oriolo

Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale

Sapienza Universita di Roma

October 25, 2018

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diagrammi di Bode

• rappresentazioni grafiche separate del modulo |W (jω)| e della fase6 W (jω) del numero complesso W (jω) al variare di ω ∈ (0,+∞)

Re

Im

W(j!)

W(j!)

W(j!)

Re[ ]W(j!)

]Im[W(j!)

• essendo

6 (1/W (jω)) = −6 W (jω) (∗)

le fasi di 1/W (jω) si ottengono ribaltando quelle di W (jω)

• sia W (s) = W1(s) ·W2(s); essendo

6 (W1(jω) ·W2(jω)) = 6 W1(jω) + 6 W2(jω) (∗∗)

le fasi di W (jω) si ottengono sommando quelle di W1(jω) e W2(jω)

Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 1

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• il modulo |W (jω)| non gode di proprieta come le (∗),(∗∗) ⇒ si passa al

logaritmo; in particolare, il modulo si esprime in decibel (dB)

|W (jω)|dB = 20 log10 |W (jω)|

• essendo

|1/W (jω)|dB = − |W (jω)|dB (�)

i moduli in dB di 1/W (jω) si ottengono ribaltando quelli di W (jω)

• sia W (s) = W1(s) ·W2(s); essendo

|W1(jω) ·W2(jω)|dB = |W1(jω)|dB + |W2(jω)|dB (��)

i moduli in dB di W (jω) si ottengono sommando quelli di W1(jω) e

W2(jω)

• alcuni valori notevoli

|0.1|dB = −20, |1|dB = 0, |10|dB = 20, |100|dB = 40,∣∣∣√2

∣∣∣dB≈ 3

Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 2

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• le pulsazioni vengono riportate sull’asse delle ascisse usando una scala

logaritmica in base 10

0.1

decadedecade

0.01 101 1000.2 0.3 2 3 4 5 6

!

• la funzione log10(ω) e lineare in tale scala

10-2

10-1

100

101

102

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

! (scala logaritmica)

log 10!

• i diagrammi di alcune funzioni elementari (fattori monomio, binomio e

trinomio, vedi piu avanti) assumono una forma particolarmente semplice

• un altro vantaggio derivante dall’adozione delle scale logaritmiche (in

ascissa per le pulsazioni, e in ordinata per i moduli) e ovviamente la

possibilita di rappresentare ampi intervalli di variazione delle grandezze

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forma di Bode della risposta armonica

W (jω) = costante

∏monomi

∏binomi

∏trinomi∏

monomi∏

binomi∏

trinomi

contiene 4 tipi di fattori elementari

• costante k

• monomio jω

proviene da uno zero (se a numeratore) o da un polo (se a denominatore)

in s = 0

• binomio 1 + jωτ

proviene da uno zero (se a numeratore) o da un polo (se a denominatore)

reale in −1/τ

• trinomio 1 + 2ζjω/ωn + (jω)2/ω2n

proviene da una coppia di zeri (se a numeratore) o di poli (se a denomi-

natore) complessi coniugati in a± jb, con ωn =√a2 + b2 e ζ = −a/ωn

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fattore costante k

sul piano complesso

(e.g., k1 = 10, k2 = 0.5, k3 = −10)Re

Im

k1k3 k2

modulo

fase

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fattore monomio a numeratore jω

sul piano complessoRe

Im

!

90o e si ha |jω|dB = 20 log10 ω

modulo

10-2

10-1

100

101

102

- 40

- 20

0

20

40

Pulsazione (rad/s)M

odulo (d

B) 20 dB/dec

fase

10-2

10-1

100

101

102

0

20

40

60

80

100

Pulsazione (rad/s)

Fase

(d

eg)

90

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fattore monomio a denominatore 1/jω

dalle (�), (∗) si ha

modulo

10-2

10-1

100

101

102

- 40

- 20

0

20

40

Pulsazione (rad/s)

Modulo (d

B)

-20 dB/dec

fase

10-2

10-1

100

101

102

- 100

- 80

- 60

- 40

- 20

0

Pulsazione (rad/s)

Fase

(d

eg)

- 90

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fattore binomio a numeratore 1 + jωτ

sul piano complesso

Re

Im

1

!¿

¿ > 0

oppureRe

Im

1

!¿

¿ < 0

• modulo: |1 + jωτ |dB = 20 log10

√1 + ω2τ2; essendo

√1 + ω2τ2 ≈

1 se ω � 1/|τ |

ω|τ | se ω � 1/|τ |si ha

|1 + jωτ |dB ≈

0 se ω � 1/|τ |

20 log10 ω + 20 log10 |τ | se ω � 1/|τ |

queste due semirette costituiscono il diagramma asintotico del modulo

nota: lo scostamento max tra il diagramma reale e quello asintotico si ha proprio in

corrispondenza alla pulsazione di rottura 1/|τ | e vale |1 + jτ/|τ | |dB = 20 log10

√2 ≈ 3

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• fase: procedendo in modo analogo si ha

6 1 + jωτ ≈

0◦ se ω � 1/|τ |

90◦ (−90◦) se ω � 1/|τ | e τ > 0 (τ < 0)

questi due asintoti vengono raccordati da un segmento che parte da

0.1/|τ | e termina in 10/|τ | ; il diagramma asintotico della fase e quindi

costituito da una spezzata a tre lati

nota: lo scostamento max tra il diagramma reale e quello asintotico si ha in corrispon-

denza alle pulsazioni 0.1/|τ | e 10/|τ , e vale circa ±6◦

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fattore binomio a numeratore 1 + jωτ

modulo

0

10

20

30

40

Pulsazione (rad/sec)

Modu

lo (dB

)

3

1¿

fase

per τ > 0

1 10

0

45

90

0.1¿

Fas

e (d

eg)

84

6

Pulsazione (rad/sec)

20.5

63

27

¿¿ ¿ ¿

fase

per τ < 0

-90

-45

0

Fas

e (d

eg)

-6

-84

Pulsazione (rad/sec)

0.1¿

1¿

10¿

-27

-63

0.5¿

2¿

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fattore binomio a denominatore 1/(1 + jωτ)

dalle (�), (∗) si ha

modulo

-40

-30

-20

-10

0

Modu

lo (dB

)

-3

Pulsazione (rad/sec)

1¿

fase

per τ > 0

-90

-45

0

Fas

e (d

eg)

-6

-84

Pulsazione (rad/sec)

0.1¿

1¿

10¿

-27

-63

0.5¿

2¿

fase

per τ < 0

1 10

0

45

90

0.1¿

Fas

e (d

eg)

84

6

Pulsazione (rad/sec)

20.5

63

27

¿¿ ¿ ¿

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fattore trinomio a numeratore 1 + 2ζjω/ωn + (jω)2/ω2n

sul piano complesso

Re

1-1 0

1

Im

³

= 0³

>123

>³ ³ ³ > 0

• modulo: essendo∣∣∣∣∣1 + 2ζ

ωn(jω) +

(jω)2

ω2n

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣1− ω2

ω2n

+ j2ζω

ωn

∣∣∣∣∣ =

√√√√(1−ω2

ω2n

)2

+ 4ζ2ω2

ω2n

si ha ∣∣∣∣∣1 + 2ζ

ωn(jω) +

(jω)2

ω2n

∣∣∣∣∣ ≈

1 se ω � ωn

ω2

ω2n

se ω � ωn

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da cui∣∣∣∣∣1 + 2ζ

ωn(jω) +

(jω)2

ω2n

∣∣∣∣∣dB

0 se ω � ωn

40 log10 ω − 40 log10 ωn se ω � ωn

queste due semirette costituiscono il diagramma asintotico del modulo

nota: lo scostamento tra il diagramma reale e quello asintotico in corrispondenza allapulsazione naturale ωn vale 20 log10 2|ζ|

– dipende da |ζ|! e.g., per |ζ| = 0 lo scostamento in dB vale −∞, per |ζ| = 0.5 vale0, per |ζ| = 1 vale 6

– se |ζ| < 1/√

2 ≈ 0.707, il modulo di un fattore trinomio a numeratore ha un ‘picco’negativo (antirisonanza) in prossimita della pulsazione naturale, tanto piu accen-tuato quanto minore e |ζ|

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• fase: procedendo in modo analogo si ha

6(

1 + 2ζ

ωn(jω) +

(jω)2

ω2n

)≈

0◦ se ω � ωn

180◦ (−180◦) se ω � ωn e ζ > 0 (ζ < 0)

la transizione tra questi due valori avviene in modo simmetrico rispetto

alla pulsazione naturale ωn, e tanto piu bruscamente quanto minore

e |ζ|; in particolare, per ζ = 0 si ha una discontinuita nel diagramma

delle fasi in corrispondenza a ωn

nota: non esiste un diagramma asintotico per la fase del termine trinomio

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fattore trinomio a numeratore

modulo

al variare di |ζ|(antirisonanza per |ζ| < 0.707)

-40

-20

0

20

40

60

0.10.3

0.5

0.71

0

Modu

lo (dB

)

!n 10!n0.1!nPulsazione (rad/sec)

fase

al variare di ζ ≥ 0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1800.1 0.3

0.50.7

1 0

!nFas

e (d

eg)

10!n0.1!nPulsazione (rad/sec)

fase

al variare di ζ ≤ 0

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

!n 10!n0.1!n

Fas

e (d

eg)

-10

Pulsazione (rad/sec)

-0.5-0.7

-0.3

-0.1

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fattore trinomio a denominatore

dalle (�), (∗) si ha

modulo

al variare di |ζ|(risonanza per |ζ| < 0.707)

-40

-20

0

20

40

60

Modu

lo (dB

)

!n 10!n0.1!n

1

0

Pulsazione (rad/sec)

0.10.30.5

0.7

fase

al variare di ζ ≥ 0

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

!n 10!n0.1!n

Fas

e (d

eg)

1

0

Pulsazione (rad/sec)

0.1

0.30.5

0.7

fase

al variare di ζ ≤ 0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180-0.1 -0.3

-0.5-0.7

-1 0

!n

Fas

e (d

eg)

10!n0.1!nPulsazione (rad/sec)

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