Web viewarsura – ottobre 2014. Sommario. 1. Scopo3. 2. ... (M w2)] ± 0,3 μm. 3)...

applicazioni di metrologia

modalità e calcoli per la determinazione del diametro

di

TAMPONI CONICI FILETTATI(con il metodo due-fili)(8 ÷ 100 mm) (1/16” ÷ 4”)

autore: renato marsura – ottobre 2014

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Sommario

1. Scopo....................................................................................................................................3

2. Misure del diametro medio dei tamponi conici filettati.......................................................3

2.1 Posizione di misura........................................................................................................................3

2.2 Metodo di misura con due fili.........................................................................................................3

3. Calcolo della incertezza di misura.........................................................................................5

3.1 Modello della misura di Mw...........................................................................................................5

3.2 Calcolo dei coefficienti di sensibilità ci (x).......................................................................................6

3.3.1 Incertezza di misura del misuratore di lunghezza [u(Mw1)]......................................................7

3.3.2 Incertezza di ripetibilità del misuratore di lunghezza [u(Mw2)]................................................7

3.3.3 Incertezza dovuta alla risoluzione di lettura [u(Mw3)].............................................................7

3.3.4 Incertezza da attribuire agli effetti termici [u(Mw4)- u(Mw5)]...................................................7

3.3.5 Incertezza del passo del filetto [u(P1)]....................................................................................8

3.3.6 Incertezza di taratura dei diametri delle sfere di misura [u(w1)].............................................8

3.3.7 Incertezza dovuta alla deformazione elastica [u(W2)]............................................................9

3.3.8 Incertezza totale con livello di confidenza del 95%.................................................................9

3.3.9 Linearizzazione della incertezza.............................................................................................9

3.3.10 Grafico della linearizzazione della incertezza.......................................................................10



1. ScopoLa seguente trattazione fa riferimento alla norma ANSI B1.20.5 – 1991 (Revision of ANSI B1.20.5-1978) in cui l’estensore pensa di fare cosa gradita a porla a disposizione di tutti coloro che in qualche modo possono essere interessati all’argomento. Tutti i paragrafi si richiamano alla norma citata ad eccezione del paragrafo 3 e successivi i quali sono trattati specificatamente dall’estensore del presente documento.In modo particolare la trattazione della incertezza vuole essere solo da guida al trattamento dei dati in possesso dello sperimentatore ed alla scelta dei dati interessati ad essa, senza la pretesa di rappresentare l’unico modo corretto per raggiungere il risultato finale.Un caso particolare è rappresentato dal trattamento dei dati relativi alla ripetibilità (§3.3.2) ed alla risoluzione della lettura del misuratore di quota (§3.3.3), i quali in questa esposizione, sono trattati separatamente. Generalmente, la seconda è considerata parte integrante della prima e quindi, correttamente, da omettere dal calcolo evitando di processarla . Tuttavia la ripetibilità non sempre è disponibile per cui il secondo dato non può essere omesso a priori.Lo scopo dell’estensore , comunque, era quello di dare una precisa indicazione di come trattare questo parametro nel caso di mancanza della ripetibilità.

2. Misure del diametro medio dei tamponi conici filettatiIl diametro medio di un calibro a tampone a filettatura conica è misurato in modo molto simile a quella di un calibro cilindrico, eccetto che deve essere definita una posizione del filetto in cui la misurazione deve essere effettuata

2.1 Posizione di misura.

La posizione in cui eseguire la misura del diametro medio è individuata nel seguente modo.

Una punta conica ed un Bpp sono impiegati per determinare l’altezza, L, in cui dovrà essere eseguita la misura del diametro.

La base del tampone filettato, posto in posizione verticale, ed un Bpp sul quale è posta la punta conica devono essere appoggiati e bloccati entrambi sul piano di appoggio (piano di riscontro) del misuratore. La somma della lunghezza del Bpp e la distanza della punta conica dal Bpp deve corrispondere rigorosamente alla lunghezza L1. Avvicinando la punta conica al tampone, come mostrato nella Figura 1, si dovrà ruotare il tampone stesso fino a che la punta conica entra esattamente in contatto con il fondo del filetto. Questa posizione, dal momento che rappresenta il punto in cui varrà effettuata la misura, dovrà essere accuratamente marcata con una impronta di matita colorata possibilmente indelebile.

2.2 Metodo di misura con due fili.

Assumendo che la misurazioni sono eseguite con un comparatore orizzontale, il calibro è posizionato verticalmente rispetto il comparatore, ossia la linea di misura e l’asse del filetto devono risultare ortogonali fra loro. La misura è eseguita impiegando due rulli, come mostrato in Figura 1, uno dei quali è posto nella filettatura per prendere contatto con il filetto stesso nella stessa posizione in cui si trova l’impronta colorata (ndt: lato sinistro nella Figura 1). Questo filo è denominato filo fisso. Il secondo filo è posizionato nella scanalatura del filetto sul lato opposto del calibro, il quale si trova immediatamente sopra al filo fisso. Una misurazione è pertanto eseguita per determinare la distanza fra questi due fili.

Il secondo filo è successivamente posizionato nella scanalatura della filettatura immediatamente sotto il filo fisso e, quindi, si esegue una seconda misurazione per determinare la distanza fra questi due rulli. La media delle due misurazioni è indicata con Mw. La formula generale per stabilire il diametro del calibro a tampone filettato conico è la seguente.

1 La lunghezza L è altresì denominata dalla letteratura come “lunghezza d’ingaggio”



E=Mw+P(cot∝−tan2β tan α )

2−W (1+cosec α )+ tan

2 γ cosα cotα2

(2.2.1)dove:

E = diametro medio (pitch diameter) = semi angolo del filetto [(60/2)°]

Mw = misure sui rulli (media di due misure) w = diametro medio dei rulli di misura

= semi angolo2 della conicità del filetto = angolo d’inclinazione del filettop = passo del filetto

Il termine : p (cot∝−tan2 β tan α )2

è il corretto valore della profondità del triangolo fondamentale del filetto, il quale è minore di quello dello stesso filetto di un calibro cilindrico.Per calibri con filettatura più ripida avente una conicità uguale o maggiore di 0,0625” per pollice può essere adoperato un termine più accurato . Per tali filetti, i quali hanno un angolo 3 piccolo, la formula da impiegare è:

E=Mw+P(cot α−tan2β tan∝ )

2−w (1+cosec α ) (2.2.2)

Nel caso contrario, come per American National Standard, per filetti che hanno una conicità uguale o maggiore di 0,0625” per pollice, la seguente formula semplificata, può essere impiegata.Per un filetto di 60° è : E=Mw+0,86603 p−3w 4 (2.2.3)

Per il valore di filetto conico American National Standard di 2½-8 la formula semplificata (2.2.3) dà un valore di E di 0,00005” maggiore di quella calcolata con la formula (2.2.1) e rappresenta il caso peggiore per questa serie di filetti.Il diametro medio (pitch diameter) in ogni punto del filetto, rispetto la posizione della tacca5, è ottenuto moltiplicando la distanza parallela all’asse del filetto, fra questo punto ed il punto nel quale è stata fatta la misurazione, per la conicità per pollice, sommando o sottraendo il prodotto dal diametro medio misurato in accordo con la direzione nel quale il secondo punto è posizionato rispetto al primo.

2 Il termine (tan2coscot2rappresenta la correzione per l’effetto elica del filetto il cui angolo di inclinazione dipende dal numero dei filetti/” ed è calcolato con*: P/(φmedio nominale) [*nota dell’estensore]3 vedi Figura 1. Secondo ANSI/ASME B1.20.1-1983 l’angolo = 1° 47’ 24”= 1,79° gradi decimali = 0,031241394 radianti4 generalmente per filetti con 20 o più filetti/”.5 Il termine 0,86603 p, in cui 0,86603 è = sen 60°, rappresenta l’altezza H del filetto.



3. Calcolo della incertezza di misuraLa formula generale per stabilire il diametro del calibro a tampone filettato conico fa riferimento alla formula (2.2.1) del § 2.2.Tuttavia per definire l’incertezza di misura occorre conoscere il metodo di misurazione adottato, le condizioni ambientali in cui si eseguono le misurazioni e gli strumenti utilizzati nel processo di misurazione. Tutti questi parametri vengono definiti ai § 3.1, 3.2 e 3.3.

3.1 Metodo di misurazione

Il metodo di misurazione è quello richiamato ai § 3 & 4 in cui si descrive il procedimento di misura del diametro dell’anello filettato.

3.2 Condizioni ambientaliGeneralmente le tarature sono eseguite in ambiente controllato in temperatura in quanto questo parametro contribuisce a stabilisce il livello di incertezza. Il condizionamento termico è definito dalla norma UNI 9052 in cui la temperatura di riferimento è di 20°C mentre le oscillazioni devono avere una costante di tempo maggiore di 1h per una variazione di ±0,5°C oppure maggiore di 2 h per variazione di ±1°C. Per i nostri calcoli adotteremo la prima condizione ossia una temperatura di 20 °C ± 05°C. Durante il processo di misurazione la differenza di temperatura tra misuratore e misurando non deve essere superiore a 0,5°C.

3.3 Strumenti utilizzati

Gli strumenti utilizzati nel processo di misurazione sono:

strumento utilizzato nella misura1. Misuratore di lunghezza del diametro del tampone2. Termometro a contatto della temperatura del misuratore e del tampone3. Rulli calibrati del diametro del tampone

Tabella 2

La formula generale per stabilire il diametro del calibro a tampone filettato conico fa riferimento alla formula (2.2.1) del §2.2 la quale risulta la più conservativa rispetto la (2.2.2). Infatti la (2.1) prende in considerazione l’effetto elica non considerato nella (2.2). Occorre però tenere presente che questo termine rappresenta un modesto contributo al risultato finale tanto che può essere omesso senza commettere errori apprezzabili (circa 0,3 μm). Per completezza di dimostrazione, però, si adotterà il modello riproposto qui di seguito, ma la trattazione non perde di applicabilità alla formula (2.2.2).

E=Mw+P(cot∝−tan2β tan α )

2−w (1+cosec α )+( tan2 γ cosα cotα )

2

dove:

E = diametro medio (pitch diameter) α = semi angolo del filetto [(60/2)°]Mw = lunghezza misurata sui rulli (media di due misure) w = diametro medio dei rulli di misuraβ = semi angolo6 della conicità del filetto ϒ = angolo d’inclinazione del filettop = passo del filetto(toll. Alla Tav. 4 ANSI B1.20.5 -1978)

Tabella 1

La misura della lunghezza Mw è però interessata dagli effetti della temperatura la quale introduce conseguenti variazioni di lunghezza a causa della dilatazione dei materiali costruttivi, sia dello

6 per ‘tacca’ è intesa la posizione contrassegnata in fase di determinazione di L (vedi § 2.1)



strumento di misura che il tampone in misura, le quali possono modificare il risultato della misura anche in termini significativi. Temperatura e dilatazione termica sono due variabili correlate fra loro in quanto un aumento della temperatura comporta un aumento del diametro del tampone e viceversa. Nella trattazione che segue per rimuovere le correlazioni dovute alle temperature (ϴ M & ϴT) ed ai coefficienti di dilatazione termica (αM & αT) esistenti tra misuratore di lunghezza e tampone in misura, le differenze (ϴM-ϴT) e (αM-αT) sono entrambe considerate nulle mentre non vengono considerate nulle le loro incertezze.

3.4 Calcolo dei coefficienti di sensibilità ci (x)

La formula [1] può essere trascritta con:

E=Mw+P(cot α−tan2β tan α )

2−w (1+cosec α )+ tan

2 γ cos α cotα2

[3.1]

Sviluppando il 2° e 3° termine della [3.6], i quali sono interessati alle derivazioni parziali, si ottiene:

E=Mw+P·0,865744+W·3+tan2 γ cosα cotα

2 [3.2]

Derivando i termini della [3.2] si ottengono i seguenti coefficienti di sensibilità.

ci(Mw) =∂E∂MW

= 1

ci(P) =∂E∂ P = (cotα−tan2β tan α )

2=0,865744

ci(W) =∂ E∂w = 1+cosec α = 3

Tabella 13.5 Calcolo della Incertezza di MwIl calcolo è rivolto a tamponi il cui diametro non supera 100 mm (4 pollici) le cui incertezze di misura della lunghezza del diametro sono da attribuire ai seguenti contributi:

1) misuratore di lunghezza [u(MW1)] ±(0,4+L/250) μm (L espresso in m)2) ripetibilità del misuratore di lunghezza [u(Mw2)] ± 0,3 μm3) lettura (risoluzione del misuratore di lunghezza)7 [u(Mw3)] ± 0,1 μm4) misura di temperatura [u(Mw4)] ± 0,2 °C5) coefficiente di dilatazione termica [u(Mw5)] ± 1,5 ·10-6·°C-1

6) passo del filetto [u(P1)] 10 μm (secondo ANSI B1.20.2M- 2006)8

7) misura dei diametri delle sfere [u(w1)] ± 0,1 μm8) deformazione elastica [u(w2)] ± 0,02 μm (con F = 0,05±10% kgf )

7 Il termine (tan2coscot2rappresenta la correzione per l’effetto elica del filetto il cui angolo di inclinazione dipende dal numero dei filetti/” ed è calcolato con*: P/(φmedio nominale) espresso in radianti [*nota dell’estensore]8 vedi Figura 1. Secondo ANSI/ASME B1.20.1-1983 semi angolo = 1° 47’ 24” sessagesimali = 1,79° gradi decimali = 0,031241394 radianti



Tabella 3

3.3.1 Incertezza di misura del misuratore di lunghezza [u(Mw1)]E' desunta dalle specifiche tecniche del costruttore, la quale, per un livello di confidenza del 95%, risulta essere ±(0,4+L/250) µm, dove L è espressa in mm. Nella presente procedura tutte le lunghezze sono espresse in metri (m) per cui l’espressione può essere trascritta con ±(0.4+4L) , con L espressa in metri, senza perdere la sua validità per qualsiasi lunghezza. Si considera tale intervallo come la semi ampiezza di una distribuzione rettangolare, quindi:

u(Mw1) =

0,4+ L250

√3=0 . 4+4 L

√3=

0.23+2,3 Ln (µm) con Ln espressa in metri

3.3.2 Incertezza di ripetibilità del misuratore di lunghezza [u(Mw2)]Dal certificato di taratura del misuratore si ricava che il massimo scarto quadratico medio per un livello di confidenza del 95% è di 0.30 µm quindi assumeremo:

u(Mw2)= 0 .32 = 0.15 µm

3.3.3 Incertezza dovuta alla risoluzione di lettura [u(Mw3)]La risoluzione con la quale è letto il valore della lunghezza è di 0,1 μm. L’incertezza tipo, con campo di variabilità di tipo rettangolare, ad essa associata è:

u(Mw3) = 0,12√3 = 0,029 μm

3.3.4 Incertezza da attribuire agli effetti termici [u(Mw4)- u(Mw5)] Vengono considerate:

a. i contributi dovuti all’incertezza con cui è conosciuta la differenza di temperatura tra misuratore e tampone in misura,

b. i contributi dovuti alla incertezza con cui sono conosciuti i coefficienti di dilatazione termica.

La differenza di temperatura tra tampone in misura e misuratore di lunghezza non viene considerata poiché è stata posta a zero al § 3.3.

La incertezze u(Mw4) e u(Mw5) sono date da:

u(Mw4) = Ln(uΔ t · α )/√3 μm u(Mw5) = Ln(uΔα · Δθ)/√3 ) μm

dove:a. Ln = valore della lunghezza (diametro) del tampone in misura espressa in metri;

b. u =

incertezza dei coefficienti di dilatazione associata all’ipotesi di eguaglianza dei coefficienti di dilatazione termica del misuratore di lunghezza e del tampone in misura, pari a 3·10-6 °C -1 [ ±(2x1,5·10-6 °C -1) ];

c. Δ

differenza di temperatura tra misuratore e tampone in misura, pari a 0.5°C ;

d. uΔ t =

incertezza con cui è nota la differenza di temperatura, pari a 0.2°C;



e. α = valore nominale del coefficiente di dilatazione termica, pari a 11.5·10-6 °C -1. Diametro

Pertanto si ottiene: u(Mw4) = Ln(0,2×11,5)/√3 = 1.33 Ln μm

u(Mw5) = Ln(3×0,5)/√3 ) = 0.87 Ln μm

3.3.5 Incertezza del passo del filetto [u(P1)]

La norma stabilisce un limite massimo alla tolleranza del passo del filetto. Questa tolleranza, la quale è dipendente dal numero di filetti per pollice, ha l’effetto di creare un filetto virtuale 9 modificando il valore reale del diametro del tampone.In questo contesto consideriamo la variazione del diametro come una tolleranza del diametro stesso, che, per un tampone filettato con 8 filetti per pollice vale:

ΔØ = √3 x Δ Ph

in cui ΔPh è la tolleranza ammessa dalle norme10.Essendo la tolleranza del passo definita in 0,01 mm (10 μm) la variazione sul passo risulta essere:

ΔØ = 1,73205 x 10 μm = 17,3 μm

Tuttavia, in questa trattazione dobbiamo solamente tenere conto della incertezza di cui è affetta la tolleranza del passo.Stabiliamo l’incertezza del passo applicando il criterio del rapporto tolleranza/incertezza (TUR) di 4:1. Se prendiamo in considerazione il valore massimo della tolleranza, il quale è rappresentato da un campo di variabilità di tipo rettangolare, l’incertezza u(P1) sarebbe:

u(P1) = tolleranzaTUR·2 ·√3

= 17,34 ·2 ·√3 = 1,25 μm

3.3.6 Incertezza di taratura dei diametri delle sfere di misura [u(w1)]

Il risultato della misurazione è strettamente legato al diametro delle sfere di tasteggio tant’è che qualsiasi variazione si ripercuote sul risultato della misura dello stesso ammontare ma di segno opposto. Le sfere sono certificate e sono immesse nel calcolo con il loro valore reale per cui qui verrà presa in considerazione la sola incertezza di misura, la quale, in assenza di altro dato, può essere rappresentata dalla risoluzione del misuratore con le quali sono state tarate. Infatti la misurazione del diametro è fatta per comparazione con un campione la quale elimina qualsiasi errore nella valutazione del diametro. La risoluzione del misuratore, il cui campo di variabilità è di tipo rettangolare, risulta essere di 0,1 μm ed essendo 2 i rulli utilizzati nella misurazione avremo:

u(W1) = 2 0,12√3 = 0,06 μm

3.3.7 Incertezza dovuta alla deformazione elastica [u(W2)]

Stabilita in 0,05kgf (0,5N) la forza nominale da applicare ai rulli di misura, la forza realmente applicata perpendicolarmente al fianco del filetto è quella nominale mentre quella applicata in direzione del senso dimisura risulta pressoché doppia; inoltre la forza applicata si può scostare dal valore nominale entro ±10%. Generalmente l’errore introdotto dall’inevitabile schiacciamento del rullo viene tenuto in conto dal software di calcolo il quale, però, non può tenere conto delle incertezze dovute alla variazione della forza

9 Vedi nota 13 a piè di pagina 10 La norma riporta un errore di 0,010 mm



applicata, valutata in ±0,02 μm, il cui campo di variabilità è considerata come semi ampiezza di una distribuzione rettangolare. Inoltre essendo 2 i rulli utilizzati per la misurazione u(W2) sarà:

u(W2) =20,02√3 = 0,024 μm

3.3.8 Incertezza totale con livello di confidenza del 95%

Tipo incertezza sorgente della incertezza u (Xi)ci |ci| u(Xi)ci (Xi) u(Xi) df/dXi

ci(Mw0)u(Mw1) incertezza del misuratore di lunghezza 0.23+2,3Ln 1 0.23+2,3Ln

u(Mw2) osservazioni ripetute (ripetibilità) 0,150 1 0,150u(Mw3) risoluzione di lettura del misuratore11 0,029 0 0,0

ci() u(Mw4) incertezza della misura di temperatura (0,2°C) 1.33 Ln 1 1.33 Ln

ci() u(Mw5) incertezza della dilatazione termica (1,5 10-6°C-1) 0.87 Ln 1 0.87 Ln

ci(P) u(P1) tolleranza del passo del filetto 1,25 0,8658 1,081 ci(W0) u(W0) incertezza del φ dei rulli di misura 0,060 3 0,18 ci(W1) u(W1) incertezza della deformazione elastica dei rulli di misura 0,024 1 0,012

Tabella 5L’assenza di correlazione fra le incertezza ci consente di adottare la formula:

u(E)=√∑i=18

¿¿¿

In cui:u (E )=√[|ci|u (MW 1) ]

2+[|ci|u (MW 2) ]2+[|ci|u (MW 4 )]2+[|ci|u (MW 5 ) ]2+ ...

√…+[|ci|u (P1) ]2+[|ci|u (W 0 )]2+[|ci|u (W 1 )]2

e l’incertezza estesa U(E)(95) = 2 u(E)

Questa formula è applicabile per calcolare ogni valore discreto la cui lunghezza Ln non sia superiore a 100 mm ed in cui Ln sia espressa in metri.

3.3.9 Linearizzazione della incertezza

Un metodo che permette di calcolare rapidamente l’incertezza complessiva Uc è l’impego di una formula di linearizzazione, espressa con la seguente formula binomiale:

U(95)= ± k (a + b Ln) con Ln espresso in metri

Sommando le varianze s2 dei singoli contributi per Ln = 100 mm (0,1 m) e per Ln = 0 mm (0,0 m) si ottiene: per Ln = 100 mm s2

100 = 1,4609 µm 2 [3.3.9.1]

per Ln = 0 mm s20

= 1,2769 µm 2 [3.3.9.2]

da cui si ricavano le rispettive incertezze u: u100 = 1,2087 µm e [3.3.9.3] u0 = 1,1300 µm [3.3.9.4]

Posto a = u0 = 1,1300 µm

11 se nel calcolo di E è stato posto a zero il termine legato alla tolleranza del passo che equivale a δD P =±|δP|/tan(α/2) il quale andrebbe sommato a Mw come correttivo della lunghezza calcolata, non può essere omessa la sua incertezza.



quale contributo costante e

b =

u100−u0Ln

=(1 ,,2087−1 ,1300)

0 .1=

0,786 µm [3.3.9.5]quale contributo proporzionale alla lunghezza Ln, espressa in metri, si ottiene:

uc = ± (1,1300 + 0,7866 Ln) μm

L’incertezza estesa con livello di confidenza del 95% sarà:

Uc = ± 2 (1,1300 + 0,7866 Ln) μm ossia Utot = ± (2,2600 + 1,5732 Ln) μm

Arrotondando, per facilità di calcolo, ed assumendo:

U(95) = ± (2,26 +1,6 Ln) μmcome valore per il computo dell’incertezza, si ottiene un risultato sovrastimato massimo, rispetto l’incertezza non linearizzata, dello 0,7% per il valore Ln di 50 mm.

3.3.10 Grafico della linearizzazione della incertezza

Figura 2 – variazione dell’incertezza di misura in funzione del diametro del tampone


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 1052.20

2.25

2.30

2.35

2.40

2.45

2.50

incertezza di misura

linearizzata - U(95) = ±(2,26 + 1,6 Ln)non linearizzata - Utot

diametro del tampone Ln (mm)

μm

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