Pendugaan Parameter

?.......μ=x?.......22

xxs σ=?.......σ=s

Penduga ParameterPenduga Parameter

Penduga titik yaitu parameter populasi diduga dengan suatug y p p p g gbesaran statistik, misal: rata-rata, proporsi, ragam, dll

Penduga Selang (Interval) yaitu parameter populasi didugaPenduga Selang (Interval) yaitu parameter populasi didugadengan menggunakan selang nilai tertentu dengan titiksebagai titik tengah selang. Lebar selang sangat tergantungtingkat kepercayaan yang diinginkan dan standar error darig p y y g gpenduga titik.

Proses Pendugaan

Random SamplingSampel:Rata-rata produksi 3000 liter

p g

Produksinya3000 liter

Saya yakin 95% produksinya antara 2750 sampai 3250 liter

3000 liter

PendugaanTitik Pendugaan Interval

Elemen dari Selang Kepercayaan

i iKemungkinan parameter terletak dalam interval

Selang Kepercayaan Statistik

Limit Bahan Kepercayaan Limit Atas Kepercayaan

Sifat Penduga :Sifat Penduga :

P d dih k d l h b if BLUEPenduga parameter yang diharapkan adalah bersifat BLUEBest (terbaik) yaitu penduga parameter memiliki ragampenduga terkecilMin Var( )Linear yaitu penduga parameter merupakan kombinasilinier dari pengamatan

θ̂

linier dari pengamatan=a1x1+a2x2+…+anxn

Unbiased (tidak berbias) yaitu nilai harapan dari penduga d

θ̂

parameter sama dengan parameternyaE( )= θθ̂

Sifat PendugaSifat Penduga1. Tidak bias2 Efisien2. Efisien3. Konsisten

Tak Bias : Takbias berarti nilai harapan penduga sama dengan parameter yang diduga. μ=xEfEfisien :Efisiensi penduga ditunjukkan oleh besarnya ragam penduga tersebut.Makin kecil ragam suatu penduga makin efisien makin efisien penduga tersebut.

Konsisten :Makin besarnya ukuran sampel, ragam penduga makin kecil

Parameter yang DidugaParameter yang Diduga

Populasi(Parameter)

Sampel(Statistik)

Rata-rata μ

Proporsi p ps

x

2 2Ragam

Perbedaan σ S

2xσ 2

xs

Batas kepercayaan dari Rata-rata Populasi

Parameter = Statistik ± Standar Error (Se) SeX ±=μXXSe −−= μμ atau

SeXZ μ=

−=

XXSe μμ atau

Terdahulu :XX σσ

ZSe σ= xZSe σ

ZX σμ ±= XZX σμ ±=

Selang Kepercayaang p y

Wilayah Penolakan

(1 )

(α/2)

Wilayah Penolakan

(α/2)

Wilayah Penerimaan

(1 - α)

Dengan selang kepercayaan 95% atau 0,95, α= 1−0,95 = 0,05Tiap sudut penolakan = α/2 = 0,05/2 = 0,025

Faktor yang mempengaruhi Interval

Variasi Data diukur olehσ XX

zXzX σσ +− sampai

Ukuran Sampel

nXX /σσ =

Selang Kepercayaan

(1 - α)

Selang Kepercayaan σ diketahui

• AsumsiStandar Deviasi populasi diketahuiPopulasi berdistribusi normalSampel banyak (biasanya sampel > 30)

nZX

nZX σμσ

αα •+<<•− 2/2/ nn

Selang Kepercayaan σ tidak diketahui

AsumsiStandar deviasi populasi tidak diketahuiPopulasi berdistribusi normalMenggunakan distribusi tMenggunakan distribusi t

SSnStX

nStX nn •+<<•− −− 1,2/1,2/ αα μ

nn

Contoh Selang Kepercayaan σ diketahuiSuatu perusahaan obat hewan menguji isi vaksin dalamkemasan botol. Diambil 50 sampel dan rata-ratanya 100 ml dengan simpangan baku 10 mldengan simpangan baku 10 ml.Buat selang kepercayaan pada taraf 95%

50;10;100ˆ ==== nx σμ 50 ;10 ;100 nx σμ

nZX

nZX σμσ

αα •+<<•− 2/2/

Selang kepercayaan 95 %; α = 5 % 5%/2 = 2.5 %

z z2 5 0 025 1 96. % . .= = Lihat Tabel z

mln

ZSe 77,250

1096,12/ =•=•=σ

α

Isi = 100 ± 2,77 ml

97, 23 ml < μ < 102,77 lm

Contoh Selang Kepercayaan σ tidak diketahui

Dari sebuah sampel acak bobot badan100 ekor sapi umur 9 bulan yangdiambil dari suatu propinsi. Rata-rata ( ) = 112 kg dan s = 10. Berapakah pendugaan rata-rata populasi pada taraf kepercayaan 95%Berapakah pendugaan rata-rata populasi pada taraf kepercayaan 95%

Jawab :

a. Pendugaan titik : bobot badan = 112 kga. Pendugaan titik : bobot badan 112 kg b. Selang kepercayaan 95% atau 0,95, α = 0,05

984,199,025,01100;2/05,01,2/ === −− ttt nα

1,98410√100

1,984

atau

112 1,98410√100

112 1,98410√100

Atau : 110,02 < µ < 113,98

Sampel Sedikit (< 30)

AsumsiStandar deviasi populasi tidak diketahuiPopulasi berdistribusi normalMenggunakan distribusi tMenggunakan distribusi t

nStX

nStX nn •+<<•− −− 1,2/1,2/ αα μ

nn

contoh : Sampel Sedikit (< 30)

Untuk mengetahui bobot badan ayam kampung umur 1 tahun, diambil 10 ekor sampel. Beratnya adalah (kg) : p y ( g)1.7, 1.2, 1.5, 1.9, 2.0, 1.1, 1.3, 1.4, 1.7, dan 1.5. Berapa berat ayam kampung tersebut pada taraf kepercayaan 95%.

nStX

nStX nn •+<<•− −− 1,2/1,2/ αα μ

kgX 53,1= nnn = 10

262,29;025,0110;1,2/ 205,0 === −− ttt nα

( ) 29,01

2

=−−

=n

xxs i

;2

Sampel Sedikit (< 30)

210090262229,02622StS 21,009,0262,210,262,21,2/ =•=•=•= − n

tSe nα

kgX 21,053,1 ±=

1,32 kg < μ < 1,74 kg

Banyaknya Sampely y pTerlalu banyak : Mahal

Terlalu Sedikit : Bias

• Apa yang akan diduga?Berapa besar perbedaan yang masih• Berapa besar perbedaan yang masihmau diterima antara yang diduga danpenduga?

• Berapa derajat kepercayaan/koefisienBerapa derajat kepercayaan/koefisienkepercayaan yang diinginkan dalamsuatu pendugaan?

ContohBerapa sampel yang diperlukan untuk selang kepercayaan90% kesalahan ± 5 dan disarankan standar deviasi 4590%, kesalahan ± 5 dan disarankan standar deviasi 45

2

22Zn σ= 2Se

n

645,105,0201,0

2%10 =⇒=== tabelZZ

220221945.645,1 22

≅==n

2

2202,21952 ≅==n