Post on 13-Mar-2021
4. Odrediti meñusobnu kapacitivnost dva koaksijalna lineična obruča
poluprečnika a , načinjena od tanke žice kružnog poprečnog preseka
poluprečnika darr ,, 00 << .
ad/2
d/2
2 r0
z
r
2 r0
-Q
+Q ϕ=ϕ1
ϕ=ϕ2
Potrebno je najpre odrediti potencijal od jednog usamljenog obruča opterećenog
naelektrisanjem Q . Cilindrični koordinatni sistem postavljen je kao na Slici. Kako se
radi o lineičnom obruču, naelektrisanje se ravnomerno rasporeñuje po obimu obruča,
pri čemu je podužna gustina naelektrisanja constq =' . Elementarno naelektrisanje
'' ψadq smešteno na elementu obruča 'ψad u okolini tačke A ponaša se kao tačkasto i
u tački M koja leži u ravni 0=y stvara potencijal
'cos24
'd'
4
''d
222 ψ−++πε
ψ=
πε
ψ=ϕ
arazr
aq
d
adq .
Isti potencijal stvara i naelektrisanje smešteno na elementu obruča u tački A',
simetrično u odnosu na ravan 0=y , pa se rezultujući potencijal može superpozicijom
odrediti kao
∫∫π
ψ−++πε
ψ=ϕ=ϕ
0222 'cos24
'd'2d
arazr
aq.
Dobijeni izraz važi u bilo kojoj tački u okolini obruča. Uvoñenjem smene α−π=ψ 2' ,
dobija se
),2()(
2
sin1
d
)(
2
'cos2
'd
220
2
02222222
kKrazkrazarazr
π++
=α−
α
++=
ψ−++
ψ∫ ∫π π
,
gde je ∫π
α−
α=π
2
022
sin1
d),2(
kkK potpuni eliptički integral prve vrste, i
22
2
)(
4
zra
ark
++= . Sada je potencijal ),
2(
)(2 222kK
zra
Q π
++επ=ϕ , gde je π= aqQ 2'
ukupno naelektrisanje obruča. U tačkama na površini obruča je 0rz ≈ i ar ≈ , pa
moduo eliptičkog integrala teži jedinici 1→k . Takoñe je '
4ln)1,2(k
kK =→π gde je
a
rkk
21' 02 ≈−= komplementarni moduo. Za potencijal tačaka na površini obruča
dobija se približno 0
2
8ln
4 r
a
a
QU
επ=ϕ , dok je kapacitivnost usamljenog obruča
0
2
8ln
4
r
a
aQC
U
επ=
ϕ= .
Potencijal sistema dva obruča postavljena kao na gornjoj slici, u cilindričnom
koordinatnom sistemu je na osnovu prethodno rečenog,
),2
(
)2/()(2
),2
(
)2/()(2 222222pK
dzra
QkK
dzra
Q π
+++επ−
π
−++επ=ϕ , gde je
∫π
−=
π 2/
022 )(sin1
d),
2(
xk
xkK potpuni eliptički integral prve vrste, dok su odgovarajući
moduli,
22
2
)2/()(
4
dzra
ark
−++= i
22
2
)2/()(
4
dzra
arp
+++= . Kada se podesi potencijal 1ϕ=ϕ u
tački arrdz =+= ,)2/( 0 , važi da je 14
42
02
22 ≈
+=
ra
ak , pa je
'
4ln)1,
2(
kkK ≈→
π, gde je
a
r
ra
rkk
241' 0
20
2
202 ≈+
=−= . U istoj tački je moduo 22
22
4
4
da
ap
+≈ .
Za potencijal gornjeg obruča dobija se
)
4
2,
2(
42
8ln
4222222
02
022
1
da
aK
da
Q
r
a
ra
Q
+
π
+επ−
+επ=ϕ , odnosno, kada se iskoristi da
je 0ra >>> , )
4
2,
2(
42
8ln
4 222220
21
da
aK
da
Q
r
a
a
Q
+
π
+επ−
επ=ϕ
Na sličan način, u tački arrdz =+−= ,2/ 0 na donjem obruču je
)
4
2,
2(
42
8ln
4 222220
22
da
aK
da
Q
r
a
a
Q
+
π
+επ+
επ−=ϕ
pa je kapacitivnost izmeñu dva koaksijalna obruča
)4/(1
)4
2,
2(
8ln
2
22
22
0
2
21
ad
da
aK
r
a
aQC
+
+
π
−
επ=
ϕ−ϕ= .