MATEMATI CKA FIZIKA II, 30· 09 2009 ... Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu...

Click here to load reader

  • date post

    08-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    4
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of MATEMATI CKA FIZIKA II, 30· 09 2009 ... Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu...

  • MATEMATIČKA FIZIKA II, 30.09.2009.

    1. Odrediti svojstvene vrednosti i normirane svojstvene vektore za sledeće operatore:

    a) L̂z = −ı ∂

    ∂φ ; b) L̂2z = −

    ∂2

    ∂φ2 ; c) Â = −ı ∂

    ∂φ +a sin φ; φ je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?

    20b.

    2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuće faktor-grupe za grupu K8. b) Indukcijom sa podgrupe H = {1,−1, ı,−ı} naći neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . 20b.

    3. Reprezentacija grupe D4 je definisana sa D(C4)(~ex, ~ey, ~ez) = (~ey,−~ex,−~ez) i D(U)(~ex, ~ey, ~ez) = (−~ey,−~ex,−~ez). Naći simetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.

    4. Pokazati da je grupa transformacija definisanih sa: T (x) = ax+b cx+d , ad − bc 6= 0 homomorfna sa grupom linearnih

    transformacija ravni: x′ = ax + by, y′ = cx + dy; ad − bc 6= 0 Odrediti jezgro ovog homomorfizma. Odrediti njihovu Lie-jevu algebru. Razmotriti realan i kompleksan slučaj (a, b, c, d ∈ IR; a, b, c, d ∈ C/ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 14.09.2009.

    1. Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru L2(IR) defnisan na sledeći način: Ff(t) = 1√ 2π

    IR e−ıtsf(s)ds,

    komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora. (HLHOf(t) = −f ′′(t) + t2f(t).) . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    2. Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama g(x) = 1−x i f(x) = 1/x i S3. Zatim pokazati da je dejstvom permutacije σ ∈ S4 na elemente a, b, c, d u izrazu x =

    a−c b−c :

    a−d b−d , zadan homomorfizam

    grupe S4 na S3. Šta je jezgro ovog homomorfizma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)

    3. a) Indukcijom sa ciklične podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3. b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    4. U prostoru L2(IR4) dejstvo Poincare-ove grupe (P4 )je definisano tzv. ”pasivnom reprezentacijom” na sledeći način: D(g)f(x) = f(g−1(x)), g ∈ P4, x ∈ IR

    4. Odrediti operatore iz L2(IR4) koji reprezentuju generatore grupe P4 20b. (25b.)

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 26.06.2009.

    1. Operator A : C[0, 1] → [0, 1] je definisan formulom: (A(x))(t) = x(0) + tx(1). Ispitati osobine operatora A i odrediti mu spektar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)

    2. Grupa G je zadana preko dva generatora a i b i generatorskih relacija ab = b−1a; ba = a−1b. Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti red elemenata a i b . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    3. Naći Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe S3. . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    4. Naći koreni sistem algebre so(1, 3, IR). Nacrtati težinski dijagram njene ireducibilne reprezentacije sa nomenklaturom [0, 2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 08.04.2009.

    1. Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije (u(t) = {0, t ≤ 0; 1, t > 0}) U(ω) = πδ(ω) + 1 ıω

    . Hint: izraziti step funkciju preko antisimetrične funkcije sgn(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    2. Paulijeve matrice {σk}, definisane su na sledeći način: σ1 =

    ( 0 1 1 0

    )

    , σ2 =

    ( 0 −ı ı 0

    )

    , σ3 =

    ( 1 0 0 −1

    )

    , σkσl =

    δklI + ı ∑3

    d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogućih proizvoda generisanih sa ıσ1 i ıσ2 grupa. Odrediti red grupe, klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu reprezentaciju grupe D3. Regularna reprezentacija grupe G reda n je matrična reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DRij(gk) = δ(gig

    −1 j , gk) = δ(g

    −1 i gkgj , e). . . . . . . 20b. (25b.)

    4. Pokazati da je vektorski prostor IR3 sa standardno definisanim vektorskim proizvodom (IR3,×), izomorfan algebri so(3, IR). Eksplicitno odrediti bar jedan izomorfizam V̂ : IR3 → so(3, IR) ( za proizvoljno x ∈ IR3 odrediti a ∈ so(3, IR), tako da važi: V̂ (x) = a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

  • MATEMATIČKA FIZIKA II, 16.02.2009.

    1. Polazeći od generatrise e2st−s 2

    = ∑∞

    n=0 Hn(t) sn

    n! , odrediti 〈m | x̂ | n〉 = ∫ ∞ −∞ xe

    −x2Hn(x)Hm(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    2. Paulijeve matrice {σk}, definisane su na sledeći način: σ1 =

    ( 0 1 1 0

    )

    , σ2 =

    ( 0 −ı ı 0

    )

    , σ3 =

    ( 1 0 0 −1

    )

    , σkσl =

    δklI + ı ∑3

    d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogućih proizvoda generisanih sa σ1 i σ2 grupa. Odrediti red grupe, klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25b.

    3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za potprostor koji odgovara dvodimenzionalnoj IR-i grupe C4v. Regularna reprezentacija grupe G reda n je matrična reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DRij(gk) = δ(gig

    −1 j , gk) =

    δ(g−1i gkgj , e). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    4. Pokazati da je matricu rotacije za ugao Ω oko orta n, moguće napisati na sledeći način: R(n, Ω) = exp(−ıΩn ·T), pri čemu je T = (T1, T2, T3), a [Tk]lm = −ıεklm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 03.07.2008.

    1. Ako je raspodela g(x, n) definisana na sledeći način (kao n-ta iteracija funkcije f(x)): g(x, 1) ≡ f(x) = ||x| − 1|, g(x, n) = f(f(...f

    ︸ ︷︷ ︸

    n

    (x))), odrediti g′′(x, 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    2. a) Indukcijom sa ciklične podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3. b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    3. Matrice D(C4) =

    ( 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

    )

    i D(Ux) =

    ( 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

    )

    definǐsu permutacionu reprezentaciju grupe D4. Naći vektore

    koji pripadaju potprostoru za ireducibilnu reprezentaciju E1,−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    4. Pokazati da su grupe SO(2, IR) = {

    ( cos(ϕ) − sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ)

    )

    | ϕ ∈ [0, 2π)} i SO(1, 1, IR) = {

    ( cosh(t) sinh(t) sinh(t) cosh(t)

    )

    | t ∈ IR}

    različite realne forme grupe SO(2, C/ ) = {

    ( cos(z) − sin(z) sin(z) cos(z)

    )

    | z ∈ C/ }. Pokazati da su hiperbole koje pripadaju

    familiji {x2 − y2 = k | k ∈ IR} invarijantne na dejstvo grupe SO(1, 1, IR) (analogno invarijantnosti kružnica iz familije {x2 + y2 = k2 | k ∈ IR} na dejstvo grupe SO(2, IR)). Skicirati dejstvo grupe SO(1, 1, IR) na pojedine tačke hiperbole. Hint: dejstvo grupe SO(1, 1, IR) razmatrati u koordinatnom sistemu koji je u odnosu na početni zarotiran za ugao π4 u kojem je familija hiperbola zadana sa {xy = k | k ∈ IR}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 14.02.2008.

    1. Izjednačavanjem odgovarajućih Furier-ovih komponenti pokazati da važi: δ(t) = limσ→0 1√ 2πσ

    e− t 2

    2σ2 . . . . . . . . . . . . . .25b.

    2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuće faktor-grupe za grupu K8. b) Indukcijom sa podgrupe H = {1,−1, j,−j} naći neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    3. Za grupu K8 odrediti CG serije i CG koeficijente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    4. Pokazati da su bilinearne kombinacije kreacionih i an