MATEMATI CKA FIZIKA II, 30· 09 2009...Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu...
Transcript of MATEMATI CKA FIZIKA II, 30· 09 2009...Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu...
MATEMATICKA FIZIKA II, 30.09.2009.
1. Odrediti svojstvene vrednosti i normirane svojstvene vektore za sledece operatore:
a) Lz = −ı ∂∂φ
; b) L2z = − ∂2
∂φ2 ; c) A = −ı ∂∂φ
+a sin φ; φ je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?20b.
2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu K8.b) Indukcijom sa podgrupe H = 1,−1, ı,−ı naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . 20b.
3. Reprezentacija grupe D4 je definisana sa D(C4)(~ex, ~ey, ~ez) = (~ey,−~ex,−~ez) i D(U)(~ex, ~ey, ~ez) = (−~ey,−~ex,−~ez). Nacisimetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.
4. Pokazati da je grupa transformacija definisanih sa: T (x) = ax+bcx+d
, ad − bc 6= 0 homomorfna sa grupom linearnihtransformacija ravni: x′ = ax + by, y′ = cx + dy; ad − bc 6= 0 Odrediti jezgro ovog homomorfizma. Odrediti njihovuLie-jevu algebru. Razmotriti realan i kompleksan slucaj (a, b, c, d ∈ IR; a, b, c, d ∈ C/ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.
MATEMATICKA FIZIKA II, 14.09.2009.
1. Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru L2(IR) defnisan na sledeci nacin: Ff(t) = 1√2π
∫
IRe−ıtsf(s)ds,
komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora. (HLHOf(t) = −f ′′(t) + t2f(t).) . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
2. Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama g(x) = 1−x i f(x) = 1/x i S3.Zatim pokazati da je dejstvom permutacije σ ∈ S4 na elemente a, b, c, d u izrazu x = a−c
b−c: a−d
b−d, zadan homomorfizam
grupe S4 na S3. Sta je jezgro ovog homomorfizma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)
3. a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3.b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
4. U prostoru L2(IR4) dejstvo Poincare-ove grupe (P4 )je definisano tzv. ”pasivnom reprezentacijom” na sledeci nacin:D(g)f(x) = f(g−1(x)), g ∈ P4, x ∈ IR4. Odrediti operatore iz L2(IR4) koji reprezentuju generatore grupe P4 20b. (25b.)
MATEMATICKA FIZIKA II, 26.06.2009.
1. Operator A : C[0, 1] → [0, 1] je definisan formulom: (A(x))(t) = x(0) + tx(1). Ispitati osobine operatora A i odreditimu spektar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)
2. Grupa G je zadana preko dva generatora a i b i generatorskih relacija ab = b−1a; ba = a−1b. Odrediti klase konjugacije,invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti red elemenata a i b . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
3. Naci Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe S3. . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
4. Naci koreni sistem algebre so(1, 3, IR). Nacrtati tezinski dijagram njene ireducibilne reprezentacije sa nomenklaturom[0, 2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
MATEMATICKA FIZIKA II, 08.04.2009.
1. Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije (u(t) = 0, t ≤ 0; 1, t > 0) U(ω) = πδ(ω) + 1ıω
. Hint: izraziti stepfunkciju preko antisimetricne funkcije sgn(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
2. Paulijeve matrice σk, definisane su na sledeci nacin: σ1 =
(0 11 0
)
, σ2 =
(0 −ıı 0
)
, σ3 =
(1 00 −1
)
, σkσl =
δklI + ı∑3
d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda generisanih sa ıσ1 i ıσ2 grupa. Odrediti red grupe,klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu reprezentaciju grupe D3. Regularna reprezentacija grupe G reda nje matricna reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DR
ij(gk) = δ(gig−1j , gk) = δ(g−1
i gkgj , e). . . . . . . 20b. (25b.)
4. Pokazati da je vektorski prostor IR3 sa standardno definisanim vektorskim proizvodom (IR3,×), izomorfan algebriso(3, IR). Eksplicitno odrediti bar jedan izomorfizam V : IR3 → so(3, IR) ( za proizvoljno x ∈ IR3 odrediti a ∈ so(3, IR),tako da vazi: V (x) = a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)
MATEMATICKA FIZIKA II, 16.02.2009.
1. Polazeci od generatrise e2st−s2
=∑∞
n=0 Hn(t) sn
n! , odrediti 〈m | x | n〉 =∫ ∞−∞ xe−x2
Hn(x)Hm(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
2. Paulijeve matrice σk, definisane su na sledeci nacin: σ1 =
(0 11 0
)
, σ2 =
(0 −ıı 0
)
, σ3 =
(1 00 −1
)
, σkσl =
δklI + ı∑3
d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda generisanih sa σ1 i σ2 grupa. Odrediti red grupe,klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25b.
3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za potprostor koji odgovara dvodimenzionalnoj IR-i grupe C4v. Regularnareprezentacija grupe G reda n je matricna reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DR
ij(gk) = δ(gig−1j , gk) =
δ(g−1i gkgj , e). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
4. Pokazati da je matricu rotacije za ugao Ω oko orta n, moguce napisati na sledeci nacin: R(n, Ω) = exp(−ıΩn ·T), pricemu je T = (T1, T2, T3), a [Tk]lm = −ıεklm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
MATEMATICKA FIZIKA II, 03.07.2008.
1. Ako je raspodela g(x, n) definisana na sledeci nacin (kao n-ta iteracija funkcije f(x)): g(x, 1) ≡ f(x) = ||x| − 1|,g(x, n) = f(f(...f
︸ ︷︷ ︸
n
(x))), odrediti g′′(x, 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
2. a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3.b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
3. Matrice D(C4) =
(0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
)
i D(Ux) =
(0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0
)
definisu permutacionu reprezentaciju grupe D4. Naci vektore
koji pripadaju potprostoru za ireducibilnu reprezentaciju E1,−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
4. Pokazati da su grupe SO(2, IR) =
(cos(ϕ) − sin(ϕ)sin(ϕ) cos(ϕ)
)
| ϕ ∈ [0, 2π) i SO(1, 1, IR) =
(cosh(t) sinh(t)sinh(t) cosh(t)
)
| t ∈ IR
razlicite realne forme grupe SO(2, C/ ) =
(cos(z) − sin(z)sin(z) cos(z)
)
| z ∈ C/ . Pokazati da su hiperbole koje pripadaju
familiji x2 − y2 = k | k ∈ IR invarijantne na dejstvo grupe SO(1, 1, IR) (analogno invarijantnosti kruznica iz familijex2 + y2 = k2 | k ∈ IR na dejstvo grupe SO(2, IR)). Skicirati dejstvo grupe SO(1, 1, IR) na pojedine tacke hiperbole.Hint: dejstvo grupe SO(1, 1, IR) razmatrati u koordinatnom sistemu koji je u odnosu na pocetni zarotiran za ugao π
4u kojem je familija hiperbola zadana sa xy = k | k ∈ IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
MATEMATICKA FIZIKA II, 14.02.2008.
1. Izjednacavanjem odgovarajucih Furier-ovih komponenti pokazati da vazi: δ(t) = limσ→01√2πσ
e−t2
2σ2 . . . . . . . . . . . . . .25b.
2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu K8. b) Indukcijom sapodgrupe H = 1,−1, j,−j naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
3. Za grupu K8 odrediti CG serije i CG koeficijente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
4. Pokazati da su bilinearne kombinacije kreacionih i anihilacionih operatora fermionskog tipa za dva stanja, oznacena sap i n (”bilinearne kombinacije” = linearne kombinacije monoma tipa: apan, a†
pan, apa†n, a†
pa†n) zatvorene za operaciju
komutator. Razmatranjem samo elemenata koji ne menjaju broj cestica (jedna kreacija i jedna anihilacija), i koristecismenu t+ = a†
pan, t− = a†nap, t0 = 1
2 (a†pap − a†
nan), b = a†pap + a†
nan, utvrditi Lie-jevu algebru koju ovi elementicine sa komutatorom kao Lie-jevim proizvodom. Kreacioni i anihilacioni operatori fermioskog tipa zadovoljavaju tzv.antikomutacione relacije: [ap, an]+ = [ap, ap]+ = [an, an]+ = [a†
p, an]+ = [ap, a†n]+ = 0; [ap, a
†p]+ = [an, a†
n]+ = 1, pricemu je antikomutator definisan na sledeci nacin: [x, y]+
.= xy + yx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.
1
Norma operatora, adjungovani operator, spektar i sv. vektori
1. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora translacije = + na ℝ .
2. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora : ℂ → ℂ , = , = − , neparno + , parno
3. U Hilbertovom prostoru definisan je operator A: = + . Dokazati da je A ogranicen i
naci normu i spektar.
4. Odrediti spektar operatora = − + ciji je domen ℝ .
5. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom: [ + ]
6. Za operator : → , , , , … = ( , + √ , √ + √ , … naci domen, ispitati
ogranicenost, adjungovanost i spektar.
7. * Neka je linearni operator : ℂ → ℂ definisan na sledeci nacin: , , … , − , , … = + , + , … , + + . Odrediti:
a. normu operatora ‖ ‖
b. adjungovani operator † c. spektar i sv. vektore operatora T.
8. * Linearni operator : ℂ → ℂ je definisan na sledeci nacin: , , … , , … = , , … , , … . Odrediti normu i (diskretan) spektar operatora . Pokazati da su sv.
podprostori operatora beskonacno dimenzionalni.
9. , , … = ( , √ , … , da li je ogranicen, odrediti †, odrediti spektre od i †.
10. , , … = ( , , √ , … , da li je ogranicen, odrediti †.
11. ** Operator : → , definisan je na sledeci nacin: ( , , ,… = , , … , − , … .
a. Odrediti normu operatora ‖ ‖,
b. diskretan spektar i odgovarajuce sv. vektore,
c. adjungovani operator † i njegov diskretni spektar ( † .
12. * Fourier-Plancherel-ov operator je u prostoru ℝ definisan na sledeci nacin: =√ ∫ −ⅈ ⅆℝ . Odrediti mu spektar. Hint: proveriti dejstvo operatora na Hermite-ove
funkcije.
13. * Operator : [ , ] → [ , ] je definisan formulom: ( = + . Ispitati
osobine operatora i odrediti mu spektar.
14. * Odrediti sv. vrednosti i normirane sv. vektore za sledece operatore:
a. = −ⅈ
b. = − 22
c. = −ⅈ + sin je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?
15. * Odrediti sv. vrednosti i sv. vektore operatora = 22, ako je domen definisan sa:
a. = ∈ [ , ]: = = ;
b. = ∈ [ , ]: ′ = ′ = ;
c. = ∈ [ , ]: = , ′ = ′ .
Integralno jezgro
16. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom [ + ] 17. * Polazeci od definicije celog dela preko step funkcije, naci izvod raspodele sa integralnim
jezgrom [ − ].
18. * Neka oznacava integralni operator u prostoru [− , ] sa integralnim jezgrom , = + + . Odrediti (diskretni) spektar i sv. vektore operatora . Reprezentovati operator u
bazisu Legendre-ovih polinoma.
19. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora : [ , ] → [ , ] definisanog na sledeci nacin: = ∫ , ⅆ , pri cemu je , = − , ≤ ≤ ≤− , ≤ ≤ ≤ . Hint: diferencirati sv. jednakost.
20. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora : [ , ] → [ , ] definisanog na sledeci nacin: = ∫ , ⅆ , pri cemu je , = max , , ≤, ≤ . Hint: diferencirati sv. jednakost.
21. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora : [ , ] → [ , ] definisanog na sledeci nacin: = ∫ , ⅆ , pri cemu je , = min , , ≤, ≤ . Hint: diferencirati sv. jednakost.
22. * Neka oznacava integralni operator u prostoru [ , ] sa integralnim jezgrom , = +. Odrediti sv.vrednosti i sv. vektore operatora .
Ostalo
23. * Pokazati da niz funkcija = + 2 2 slabo konvergira ka funk iji. Za „do re“ test funkcije smatrati ogranicene ∞ ℝ funkcije.
24. ** Izjednacavanjem odgovarajucih Fourier-ovih komponenti pokazati da vazi: =ⅈ→ √ − 222.
25. * Polazeci od generatrise − 2 = ∑ !∞= odrediti || =∫ − 2 ⅆ∞−∞ .
26. * Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru ℝ definisan na sledeci nacin: = √ ∫ −ⅈ ⅆℝ , komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora.
( = − ′′ + ).
27. * Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije ( = , ≤ ; , > ) = + ⅈ . Hint: izraziti step funkciju preko antisimetricne funkcije .
28. * Ako je raspodela , definisana na sledeci nacin (kao n-ta iteracija funkcije ): , = = ||| − |, , = (… , odrediti ′′ , .
2
Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i centar
1. ** Za grupu ℎ = ⊗ odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i
centar.
2. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, komutant za grupu , kao i
moguce nacine razlaganja grupe na semidirektni proizvod.
3. * Data je grupa = ∧ . Odrediti klase konjugacije, podgrupe, invarijantne podgrupe i
odgovarajuce faktor grupe.
4. ** Paulijeve matrice , definisane su na sledeci nacin: = , = −ⅈⅈ , =− , = + ⅈ ∑ = . Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda
generisanih sa ⅈ i ⅈ grupa. Odrediti red grupe, klase konjugacije, invarijantne podgrupe i
faktor grupe.
5. * Za grupu generisanu matricama: , − odrediti red, klase konjugacije i
invarijantne podgrupe. Na taj nacin je istovremeno definisana i jedna reprezentacija iste grupe.
Da li je tako definisana reprezentacija reducibilna ili ireducibilna?
6. * Za grupu koja se sastoji od svih mogucih kompozicija funkcija generisanih sa = − i = − , odrediti red, klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe, centar i
komutant.
(a) Klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe i (b) odrediti IRR
7. **** (a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne IRR grupe
(b) Zatim odrediti IRR grupe ℎ = ⊗ .
8. *** (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu 8.
(b) Indukcijom sa podgrupe = , − , ⅈ, −ⅈ naci neekvivalentne IRR grupe 8.
9. ** Grupa G je zadata preko dva generatora i generatorskih relacija = − , = − .
Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti
red elemenata i .
10. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .
Indukcijom sa podgrupe = , , , , odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije
grupe .
11. * Data je grupa = , , , ⊗ , . Odrediti sve invarijantne podgrupe, a zatim
indukcijom sa podgrupe , , , naci sve ireducibilne reprezentacije grupe .
12. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .
(b) Indukcijom sa ciklicne podgrupe naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe .
13. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .
(b) Indukcijom sa podgrupe naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe .
14. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, faktor grupe, kao i broj ireducibilnih
reprezentacija za grupu .
15. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .
Zatim, indukcijom sa podgrupe = , , , naci sve neekvivalentne ireducibilne
reprezentacije za . ~#2.10
16. * Indukcijom sa podgrupe odrediti dvodimenzione ireducibilne reprezentacije grupe .
Ostalo
17. * Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama =− i = / i . Zatim pokazati da je dejstvom permutacije ∈ na elemente , , , ⅆ
u izrazu = −− : −− zadan homomorfizam grupe na . Sta je jezgro ovog homomorfizma?
3
Standardni bazis (SAB)
1. *** Odrediti st. bazis za reprezentaciju = ⊗ ,− ⊗ ,− grupe
2. ** Metodom grupnih projektora odrediti SAB za representacije grupe u prostoru ℂ
definisanu na sledeci nacin: = √ / /− / −√ / /√ / − / √ / , =−√ / // √ /
3. *** Reprezentacija grupe je definisana sa ( , , = , − , − i =( , , = − , − , − . Naci simetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju.
4. * Odrediti st. bazis za regularnu reprezentaciju grupe . Regularna reprezentacija grupe reda
je matricna reprezentacija u prostoru ℂ , definisana sa ⅈ = ( ⅈ − , =( ⅈ− , .
5. * Odrediti st. bazis za podprostor koji odgovara dvodimenzijalnoj IR-i grupe . Regularna
reprezentacija grupe G reda je matricna reprezentacija u prostoru ℂ , definisana sa ⅈ = ( ⅈ − , = ( ⅈ− , .
6. * Odrediti st. bazis za permutacionu reprezentaciju grupe .
7. * Odrediti SAB za subdukciju na ciklicnu podgrupu, tenzorskog kvadrata dvodimenzionalne
ireducibilne reprezentacije grupe .
8. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe .
9. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe 8 ( ,− ⊗ ,− .
CG
10. * Naci Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe .
11. * Za grupu 8 odrediti CG serije i CG koeficijente.
12. * Odrediti CG koeficijente i CG serije za IR-e grupe .
Ostalo
13. * Matrice = ) i = ) definisu permutacionu
reprezentaciju grupe . Naci vektore koji pripadaju podprostoru za ireducibilnu reprezentaciju ,− .
14. ** Metodom grupnih projektora odrediti skup 2x2 matrica iz ℂ , koje su invarijantne u odnosu
na dejstvo grupe definisano sa: ∀ ∈ ℂ ∀ ∈ = −
gde je dvodimenzionalna ireducibilna reprezentacija grupe .
15. * Reprezentacija grupe u ℂ je definisana sa: ∀ ∈ ℂ = ⅈ −ⅈ −ⅈ ⅈ , = . Naci matrice koje se pripadaju podprostoru − reprezentacije.
16. Reprezentacija grupe je definisana sa = ) i =)