MATEMATI CKA FIZIKA II, 30 09 2009 ... Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu...

Click here to load reader

download MATEMATI CKA FIZIKA II, 30 09 2009 ... Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu reprezentaciju

of 12

  • date post

    08-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    4
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of MATEMATI CKA FIZIKA II, 30 09 2009 ... Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu...

  • MATEMATIČKA FIZIKA II, 30.09.2009.

    1. Odrediti svojstvene vrednosti i normirane svojstvene vektore za sledeće operatore:

    a) L̂z = −ı ∂

    ∂φ ; b) L̂2z = −

    ∂2

    ∂φ2 ; c) Â = −ı ∂

    ∂φ +a sin φ; φ je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?

    20b.

    2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuće faktor-grupe za grupu K8. b) Indukcijom sa podgrupe H = {1,−1, ı,−ı} naći neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . 20b.

    3. Reprezentacija grupe D4 je definisana sa D(C4)(~ex, ~ey, ~ez) = (~ey,−~ex,−~ez) i D(U)(~ex, ~ey, ~ez) = (−~ey,−~ex,−~ez). Naći simetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.

    4. Pokazati da je grupa transformacija definisanih sa: T (x) = ax+b cx+d , ad − bc 6= 0 homomorfna sa grupom linearnih

    transformacija ravni: x′ = ax + by, y′ = cx + dy; ad − bc 6= 0 Odrediti jezgro ovog homomorfizma. Odrediti njihovu Lie-jevu algebru. Razmotriti realan i kompleksan slučaj (a, b, c, d ∈ IR; a, b, c, d ∈ C/ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 14.09.2009.

    1. Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru L2(IR) defnisan na sledeći način: Ff(t) = 1√ 2π

    IR e−ıtsf(s)ds,

    komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora. (HLHOf(t) = −f ′′(t) + t2f(t).) . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    2. Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama g(x) = 1−x i f(x) = 1/x i S3. Zatim pokazati da je dejstvom permutacije σ ∈ S4 na elemente a, b, c, d u izrazu x =

    a−c b−c :

    a−d b−d , zadan homomorfizam

    grupe S4 na S3. Šta je jezgro ovog homomorfizma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)

    3. a) Indukcijom sa ciklične podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3. b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    4. U prostoru L2(IR4) dejstvo Poincare-ove grupe (P4 )je definisano tzv. ”pasivnom reprezentacijom” na sledeći način: D(g)f(x) = f(g−1(x)), g ∈ P4, x ∈ IR

    4. Odrediti operatore iz L2(IR4) koji reprezentuju generatore grupe P4 20b. (25b.)

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 26.06.2009.

    1. Operator A : C[0, 1] → [0, 1] je definisan formulom: (A(x))(t) = x(0) + tx(1). Ispitati osobine operatora A i odrediti mu spektar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)

    2. Grupa G je zadana preko dva generatora a i b i generatorskih relacija ab = b−1a; ba = a−1b. Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti red elemenata a i b . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    3. Naći Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe S3. . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    4. Naći koreni sistem algebre so(1, 3, IR). Nacrtati težinski dijagram njene ireducibilne reprezentacije sa nomenklaturom [0, 2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 08.04.2009.

    1. Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije (u(t) = {0, t ≤ 0; 1, t > 0}) U(ω) = πδ(ω) + 1 ıω

    . Hint: izraziti step funkciju preko antisimetrične funkcije sgn(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    2. Paulijeve matrice {σk}, definisane su na sledeći način: σ1 =

    ( 0 1 1 0

    )

    , σ2 =

    ( 0 −ı ı 0

    )

    , σ3 =

    ( 1 0 0 −1

    )

    , σkσl =

    δklI + ı ∑3

    d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogućih proizvoda generisanih sa ıσ1 i ıσ2 grupa. Odrediti red grupe, klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

    3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu reprezentaciju grupe D3. Regularna reprezentacija grupe G reda n je matrična reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DRij(gk) = δ(gig

    −1 j , gk) = δ(g

    −1 i gkgj , e). . . . . . . 20b. (25b.)

    4. Pokazati da je vektorski prostor IR3 sa standardno definisanim vektorskim proizvodom (IR3,×), izomorfan algebri so(3, IR). Eksplicitno odrediti bar jedan izomorfizam V̂ : IR3 → so(3, IR) ( za proizvoljno x ∈ IR3 odrediti a ∈ so(3, IR), tako da važi: V̂ (x) = a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

  • MATEMATIČKA FIZIKA II, 16.02.2009.

    1. Polazeći od generatrise e2st−s 2

    = ∑∞

    n=0 Hn(t) sn

    n! , odrediti 〈m | x̂ | n〉 = ∫ ∞ −∞ xe

    −x2Hn(x)Hm(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    2. Paulijeve matrice {σk}, definisane su na sledeći način: σ1 =

    ( 0 1 1 0

    )

    , σ2 =

    ( 0 −ı ı 0

    )

    , σ3 =

    ( 1 0 0 −1

    )

    , σkσl =

    δklI + ı ∑3

    d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogućih proizvoda generisanih sa σ1 i σ2 grupa. Odrediti red grupe, klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25b.

    3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za potprostor koji odgovara dvodimenzionalnoj IR-i grupe C4v. Regularna reprezentacija grupe G reda n je matrična reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DRij(gk) = δ(gig

    −1 j , gk) =

    δ(g−1i gkgj , e). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    4. Pokazati da je matricu rotacije za ugao Ω oko orta n, moguće napisati na sledeći način: R(n, Ω) = exp(−ıΩn ·T), pri čemu je T = (T1, T2, T3), a [Tk]lm = −ıεklm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 03.07.2008.

    1. Ako je raspodela g(x, n) definisana na sledeći način (kao n-ta iteracija funkcije f(x)): g(x, 1) ≡ f(x) = ||x| − 1|, g(x, n) = f(f(...f

    ︸ ︷︷ ︸

    n

    (x))), odrediti g′′(x, 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    2. a) Indukcijom sa ciklične podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3. b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    3. Matrice D(C4) =

    ( 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

    )

    i D(Ux) =

    ( 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

    )

    definǐsu permutacionu reprezentaciju grupe D4. Naći vektore

    koji pripadaju potprostoru za ireducibilnu reprezentaciju E1,−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    4. Pokazati da su grupe SO(2, IR) = {

    ( cos(ϕ) − sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ)

    )

    | ϕ ∈ [0, 2π)} i SO(1, 1, IR) = {

    ( cosh(t) sinh(t) sinh(t) cosh(t)

    )

    | t ∈ IR}

    različite realne forme grupe SO(2, C/ ) = {

    ( cos(z) − sin(z) sin(z) cos(z)

    )

    | z ∈ C/ }. Pokazati da su hiperbole koje pripadaju

    familiji {x2 − y2 = k | k ∈ IR} invarijantne na dejstvo grupe SO(1, 1, IR) (analogno invarijantnosti kružnica iz familije {x2 + y2 = k2 | k ∈ IR} na dejstvo grupe SO(2, IR)). Skicirati dejstvo grupe SO(1, 1, IR) na pojedine tačke hiperbole. Hint: dejstvo grupe SO(1, 1, IR) razmatrati u koordinatnom sistemu koji je u odnosu na početni zarotiran za ugao π4 u kojem je familija hiperbola zadana sa {xy = k | k ∈ IR}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    MATEMATIČKA FIZIKA II, 14.02.2008.

    1. Izjednačavanjem odgovarajućih Furier-ovih komponenti pokazati da važi: δ(t) = limσ→0 1√ 2πσ

    e− t 2

    2σ2 . . . . . . . . . . . . . .25b.

    2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuće faktor-grupe za grupu K8. b) Indukcijom sa podgrupe H = {1,−1, j,−j} naći neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    3. Za grupu K8 odrediti CG serije i CG koeficijente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

    4. Pokazati da su bilinearne kombinacije kreacionih i an