4. Odrediti meñusobnu kapacitivnost dva koaksijalna lineična obruča

poluprečnika a , načinjena od tanke žice kružnog poprečnog preseka

poluprečnika darr ,, 00 << .

ad/2

d/2

2 r0

z

r

2 r0

-Q

+Q ϕ=ϕ1

ϕ=ϕ2

Potrebno je najpre odrediti potencijal od jednog usamljenog obruča opterećenog

naelektrisanjem Q . Cilindrični koordinatni sistem postavljen je kao na Slici. Kako se

radi o lineičnom obruču, naelektrisanje se ravnomerno rasporeñuje po obimu obruča,

pri čemu je podužna gustina naelektrisanja constq =' . Elementarno naelektrisanje

'' ψadq smešteno na elementu obruča 'ψad u okolini tačke A ponaša se kao tačkasto i

u tački M koja leži u ravni 0=y stvara potencijal

'cos24

'd'

4

''d

222 ψ−++πε

ψ=

πε

ψ=ϕ

arazr

aq

d

adq .

Isti potencijal stvara i naelektrisanje smešteno na elementu obruča u tački A',

simetrično u odnosu na ravan 0=y , pa se rezultujući potencijal može superpozicijom

odrediti kao

∫∫π

ψ−++πε

ψ=ϕ=ϕ

0222 'cos24

'd'2d

arazr

aq.

Dobijeni izraz važi u bilo kojoj tački u okolini obruča. Uvoñenjem smene α−π=ψ 2' ,

dobija se

),2()(

2

sin1

d

)(

2

'cos2

'd

220

2

02222222

kKrazkrazarazr

π++

=α−

α

++=

ψ−++

ψ∫ ∫π π

,

gde je ∫π

α−

α=π

2

022

sin1

d),2(

kkK potpuni eliptički integral prve vrste, i

22

2

)(

4

zra

ark

++= . Sada je potencijal ),

2(

)(2 222kK

zra

Q π

++επ=ϕ , gde je π= aqQ 2'

ukupno naelektrisanje obruča. U tačkama na površini obruča je 0rz ≈ i ar ≈ , pa

moduo eliptičkog integrala teži jedinici 1→k . Takoñe je '

4ln)1,2(k

kK =→π gde je

a

rkk

21' 02 ≈−= komplementarni moduo. Za potencijal tačaka na površini obruča

dobija se približno 0

2

8ln

4 r

a

a

QU

επ=ϕ , dok je kapacitivnost usamljenog obruča

0

2

8ln

4

r

a

aQC

U

επ=

ϕ= .

Potencijal sistema dva obruča postavljena kao na gornjoj slici, u cilindričnom

koordinatnom sistemu je na osnovu prethodno rečenog,

),2

(

)2/()(2

),2

(

)2/()(2 222222pK

dzra

QkK

dzra

Q π

+++επ−

π

−++επ=ϕ , gde je

∫π

−=

π 2/

022 )(sin1

d),

2(

xk

xkK potpuni eliptički integral prve vrste, dok su odgovarajući

moduli,

22

2

)2/()(

4

dzra

ark

−++= i

22

2

)2/()(

4

dzra

arp

+++= . Kada se podesi potencijal 1ϕ=ϕ u

tački arrdz =+= ,)2/( 0 , važi da je 14

42

02

22 ≈

+=

ra

ak , pa je

'

4ln)1,

2(

kkK ≈→

π, gde je

a

r

ra

rkk

241' 0

20

2

202 ≈+

=−= . U istoj tački je moduo 22

22

4

4

da

ap

+≈ .

Za potencijal gornjeg obruča dobija se

)

4

2,

2(

42

8ln

4222222

02

022

1

da

aK

da

Q

r

a

ra

Q

+

π

+επ−

+επ=ϕ , odnosno, kada se iskoristi da

je 0ra >>> , )

4

2,

2(

42

8ln

4 222220

21

da

aK

da

Q

r

a

a

Q

+

π

+επ−

επ=ϕ

Na sličan način, u tački arrdz =+−= ,2/ 0 na donjem obruču je

)

4

2,

2(

42

8ln

4 222220

22

da

aK

da

Q

r

a

a

Q

+

π

+επ+

επ−=ϕ

pa je kapacitivnost izmeñu dva koaksijalna obruča

)4/(1

)4

2,

2(

8ln

2

22

22

0

2

21

ad

da

aK

r

a

aQC

+

+

π

−

επ=

ϕ−ϕ= .