θ

1

2’

2

3

1’

3’

U3, P3

u3, p3 U1, P1

U2, P2

u1, p1 u2, p2

u1

u2

u3

=

C1 C2 0 -C2 C1 0

0 0 1

U1

U2

U3

C1 = cos θ C2 = sin θ

TRANSFORMASI SUMBU KOORDINAT

Tujuan Pembelajaran Umum

Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa

Struktur Metode Matriks (ASMM)

3.5 Pendahuluan Transformasi Sumbu Koordinat

Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok dan

portal 2 Dimensi dengan transformasi sumbu koordinat

Koordinat Lokal dan Global

C S 0 -S C 0

0 0 1

C = cos θ S = sin θ

u1 u2 u3 u4 u5 u6

=

λ 0 0 λ

U1 U2 U3 U4 U5 U6

[ u ] = [ R ] [ U ] R = matriks rotasi

P1 P2 P3 P4 P5 P6

=

λΤ 0 0 λΤ

p1 p2 p3 p4 p5 p6

[ P ] = [ R ]T [ p ] R = matriks rotasi

K

Atau dapat ditulis : u = λ U

Dimana :

λ =

Untuk transformasi sumbu sebuah titik dengan 6 dof dapat ditulis :

Transformasi sumbu juga berlaku untuk gaya :

p = λ P

P = λ-1 p λ-1 = λT

P = λT p

p = k u ; u = R U

P = RT p P = K U

= RT k u K = RT k R

= RT k R U

β 0 0 -β 0 0 0 12 6L 0 -12 6L 0 6L 4L2 0 -6L 2L2 -β 0 0 β 0 0 0 -12 -6L 0 12 -6L 0 6L 2L2 0 -6L 4L2

Matriks kekakuan elemen untuk 6 dof :

6 x 6

Dimana :

α = β =

[ K ] = [ R ]T [ k ] [ R ]

k =

2323 LEI 6

LEI 12- 0

LEI 6

LEI 12 0

LEI 2

LEI 6- 0

LEI 4

LEI 6 0 22

2323 LEI 6 -

LEI 12 0

LEI 6

LEI 12 0 -−

LEI 4

LEI 6- 0

LEI 2

LEI 6 0 22

0 0 L

EA- 0 0 L

EA

0 0 L

EA- 0 0 L

EA−

k = α

LEI 3

ILA

2

C -S 0 S C 0 0 0 1

C -S 0

S C 0

0 0 1

0

0

β 0 0 -β 0 0 0 12 6L 0 -12 6L 0 6L 4L2 0 -6L 2L2 -β 0 0 β 0 0 0 -12 -6L 0 12 -6L 0 6L 2L2 0 -6L 4L2

C S 0 -S C 0 0 0 1

C S 0

-S C 0

0 0 1

g1 g2 g4 -g1 -g2 g4

g3 g5 -g2 -g3 g5

g6 -g4 -g5 g7

g1 g2 -g4

g3 -g5

g6

0

0

Dimana :

g1 = α ( β C2 + 12 S2 ) g5 = α 6 L C

g2 = α C S ( β - 12 ) g6 = α 4 L2

g3 = α ( β S2 + 12 C2 ) g7 = α 2 L2

g4 = -α 6 L S

K = α

K =

q = 1,68 k/ft

L = 10 ft

M = 14 kft = 168 kin

L = 10 ft

1

2 3

1

2

E = 30.000 ksi A = 5 in2 I = 50 in4 L = 10 ft

1

2

1

2 3

0

0

3

1 0

0

2

0

0 Sumbu Global DOF [ Ks ] 3 x 3

1

2

1

2 3

2

4

5 4

5

6

1 3 Sumbu Lokal DOF [ k ] 3 x 3

6

1

3

2

2

1

2

x

x’

1

θ = 270o

λ1 =

C S 0 -S C 0 0 0 1

=

0 -1 0 1 0 0 0 0 1

Contoh 7 Sebuah portal seperti gambar, dengan menggunakan transformasi

sumbu hitunglah gaya-gaya dalam yang bekerja.

Matriks transformasi batang :

Batang 1 : θ = 270o cos 270o = 0

sin 270o = -1

2 3 x x’

θ = 0o

λ2 =

C S 0 -S C 0 0 0 1

=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

C S 0 -S C 0 0 0 1

C S 0

-S C 0

0 0 1

0

0

0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

C S 0 -S C 0 0 0 1

C S 0

-S C 0

0 0 1

0

0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Batang 2 : θ = 0o cos 0o = 1

sin 0o = 0

R1 = =

R2 = =

Matriks kekakuan system struktur

Elemen 1 :

α1 = 331 12) . 10(

50 . 30.000 LEI

= = 0,87

β1 = 50

12) . (10 . 5 ILA 22

1 = = 1.440

C = 0 ; S = -1

g1 g2 g4 -g1 -g2 g4

g3 g5 -g2 -g3 g5

g6 -g4 -g5 g7

g1 g2 -g4

g3 -g5

-g4 g6

0 0 0 1 0 2

g1 -g4 0 -g4 g6 0 0 0 0

1 2 3

10,44 -626,4 0 -626,4 50.112 0 0 0 0

{ T } = { 0 0 0 1 0 2 }T

0 0 0 1 0 2

1 2 3

g1 = α ( β C2 + 12 S2 ) = 0,87 [ 0 + 12 (-1)2 ] = 10,44

g4 = -α 6 L S = -0,87 . 6 . 120 (-1) = 626,4

g6 = α 4 L2 = 0,87 . 4 . 1202 = 50.112

Sehingga :

Elemen 2 :

α2 = 331 12) . 10(

50 . 30.000 LEI

= = 0,87

β2 = 50

12) . (10 . 5 ILA 22

1 = = 1.440

C = 1 ; S = 0

K1 =

K1 =

K1 =

g1 g2 g4 -g1 -g2 g4

g3 g5 -g2 -g3 g5

g4 g6 -g4 -g5 g7

g1 g2 -g4

g3 -g5

g4 g7 g6

1 0 2 0 0 3

g1 g4 g4 g4 g6 g7 g4 g7 g6

1 2 3

1.252,8 0 0 0 50.112 25.056 0 25.056 50.112

1.263,24 -626,4 0 -626,4 100.224 25.056 0 25.056 50.112

{ T } = { 1 0 2 0 0 3 }T

1 0 2 0 0 3

1 2 3

g1 = α ( β C2 + 12 S2 ) = 0,87 [ 1.440 . 12 + 12 (0)2 ] = 1.252,8

g4 = -α 6 L S = -0,87 . 6 . 120 (0) = 0

g6 = α 4 L2 = 0,87 . 4 . 1202 = 50.112

g7 = α 2 L2 = 0,87 . 2 . 1202 = 25.056

Sehingga :

K1 =

K1 =

KS =

K1 =

q = 0,14 k/in

168 kin 168 kin 168 kin 0 0

0 168 0

1.263,24 -626,4 0 -626,4 100.224 25.056 0 25.056 50.112

- 1 0 168 0

0,00095 0,00192 -0,00096

Defleksi horizontal di 2 Rotasi di 2 Rotasi di 3

u11

u1

2

u1

3

u1

4

u1

5

u1

6

0

0 0

0,00095

0

0,00192

=

0

0 0

0

0,00095

0,00192

Matriks beban :

8,4 8,4

PS =

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

Displasement masing-masing batang (koordinat lokal)

u1 = =

US =

US =

0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

u21

u2

2

u2

3

u2

4

u2

5

u2

6

0,00095

0 0,00192

0

0

-0,0096

=

0,00095

0 0,00192

0

0

-0,0096

0

1,193 k 47,512 kin

0

-1,193 k

95,620 kin

0

1,193 k 3,959 kft

0

-1,193 k

7,968 kft

1,19 k

-7,8 k -95,84 kin

-1,19 k

-9 k

168 kin

1,19 k

-7,8 k -7,99 kft

-1,19 k

-9 k

14 kft

u2 = =

Gaya akhir batang :

Elemen 1 :

{ P1 } = [ k1 ] { u1 } + { 0 }

P1 = =

Elemen 2 :

{ P2 } = [ k2 ] { u2 } + { Faksi }

P2 = =

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

q = 1,68 k/ft 14 kft

7,8 k 9 k

1

2 1,19 k 1,19 k

7,99 kft

1,193 k

1,193 k

0

3,959

7,968 kft

3,959

+

- 7,99

7,99 14

+ +

-

Free body diagram :

Bidang M :

+

+

-

1,193

1,193

7,8

9

- 1,19 1,19

Bidang D :

Bidang N :

Aplikasi dengan SAP 2000 V9.0.3 Untuk Contoh 6 1. Menentukan Sistem Grid

• Buka program SAP 2000 dengan mengklik Start >> All program >>

Sap2000 9 >> Sap2000.

• Klik menu File >> New Model dan ganti satuan dalam bentuk Kip,ft,F dan

pilih grid only untuk membuat model

Setelah memilih menu grid only, maka akan muncul tampilan untuk mengisikan

jarak dan jumlah grid searah sumbu x, y dan z seperti pada gambar berikut.

Isikan pada Number of Grid Lines, X direction = 2, Ydirection = 1, dan Z

directon = 2

Isikan pada Grid Spacing , X direction =10, Y direction = 1, dan Z direction

=10.

Kemudian klik OK.

2. Mendefenisikan Property Material

Ubah satuan menjadi Kip,in,F hal ini karena satuan dari E adalah Ksi

Klik Define >> Material untuk mendefinisikan material yang akan digunakan.

Pilih Other kemudian klik ‘Modify/Show Material...’

Isikan Modulus of Elasticity = 30000 ksi kemudian klik OK 2 kali

3. Mendefenisikan Properti Penampang Batang

Pastikan satuan di pojok kanan bawah adalah Kip,in,F

Pilih menu Define >> Frame Section kemudian akan muncul tampilan dialog

Frame Properties box sebagai berikut.

Di bagian Choose Property Type to Add pilih Add Rectanguler kemudian klik

Add New Property

Kemudian akan muncul tampilan dialog Rectanguler Section box sebagai berikut.

Isikan data-data untuk penampang :

Section Name = FRAME

Material = Other

Dimension : Depth (t3) = 6 in ; Width (t2) = 4 in

Kemudian klik Set Modifier maka akan keluar dialog box sepeti di bawah ini.

Ubah parameter Shear Area in 2 direction dan Shear Area in 3 direction menjadi

0. Hal ini dilakukan karena kita hanya memperhitungkan pengaruh lentur dari

penampang dan tidak memperhitungkan pengaruh geser dari penampang. Selain itu,

nilai Moment of Inertia juga harus diubah. Hal ini karena nilai I di soal adalah 50

in4 sedangkan I penampang SAP2000 = 7264121 3 =×× in4 (asumsi penampang

yang digunakan adalah segiempat dengan b = 4 in dan h = 6 in), jadi nilai Moment

of Inertia about 2 axis dan Moment of Inertia about 3 axis di ubah menjadi =7250

0,694444444.

Klik OK 2 kali sehingga muncul dialog Frame Properties box sebagai berikut.

Pastikan batang yang kita beri nama FRAME sudah terbentuk. Kemudian klik OK.

4. Merubah definisi Tipe Beban

Klik Menu Define >> Load Cases untuk membuka menu Define Load, kemudian

akan muncul tampilan dialog Define Loads box seperti berikut.

Karena berat sendiri diabaikan maka parameter Self Weight Multiplier diganti

0, kemudian klik Modify Load dan Klik OK.

5. Menggambar Balok

Tutup jendela 3D dengan mengklik tanda X pada window 3D, kemudian pilih

set XZ View pada toolbar.

Sehingga muncul window seperti di bawah ini :

Klik tombol atau klik Draw >> Draw Frame/Cable/Tendon untuk

menggambar frame

Lalu muncul dialog Properties of Object dan pada section pilih FRAME

Klik pada nodal dan tarik garis FRAME yang akan dibuat seperti pada

gambar di bawah.

2

1

1

0

1 2

Ingat: pada proses penggambaran frame, frame yang telah di beri nomor 1 pada

soal harus digambar terlebih dahulu kemudian di gambar frame nomor 2 dan

seterusnya. Arah penggambaran frame sesuai dengan titik nodal di soal. Jadi,

frame nomor 1 diatas di gambar dari koordinat sumbu Z+ ke koordinat 0,0

(berlawanan dengan sumbu Z+) untuk frame nomor 2 di gambar dari sumbu X =

0 ke sumbu X+.

Arah penggambaran Frame

Untuk melihat section frame klik menu View >> Set Display Option maka

akan keluar dialog Display Option For Active Window seperti dibawah ini.

Beri tanda Check pada Section pada Frame/Cables/Tendons. Kemudian

klik OK.

Sehingga section frame terlihat seperti pada gambar berikut.

Untuk memberi nomor joint dan frame klik menu View >> Set Display

Option maka akan keluar dialog Display Option For Active Window seperti

dibawah ini. Beri tanda Check pada Label pada Joint dan Frame.

Sehingga frame dan joint telah diberi nomor seperti pada gambar berikut.

6. Memberi perletakan

Select joint 1 dengan cara mengklik joint 1

Klik Assign >> Joint >> Restraints, kemudian akan muncul dialog box

sebagai berikut :

Klik gambar jepit untuk mendefinisikan perletakan sebagai jepit. Kemudian,

klik OK.

Select joint 2

Klik Assign >> Joint >> Restraints, kemudian akan muncul dialog box

sebagai berikut :

Klik gambar rol untuk mendefinisikan perletakan sebagai rol. Kemudian, klik

OK.

Select joint 3

Klik Assign >> Joint >> Restraints, kemudian akan muncul dialog box

sebagai berikut :

Klik gambar sendi untuk mendefinisikan perletakan sebagai sendi.

Kemudian, klik OK.

Hasilnya adalah sebagai berikut :

Select joint 1

Klik Assign >> Joint >> Local Axes, kemudian akan muncul dialog box

seperti di bawah ini. Ubah parameter Rotation about Y’ menjadi1800.

Sehingga Local Axes untuk join 3 berubah seperti gambar berikut.

7. Memberikan Beban

Ganti satuan menjadi Kip,ft,F

Select frame 2 dengan cara mengklik frame 2

Klik Assign >> Frame /Cable/Tendon Loads >> Distributed

Kemudian akan muncul dialog Frame Distributed Loads seperti gambar di bawah

ini. Pastikan satuan pada units adalah Kip,ft,F. Load Case Name sebagai Dead,

Isikan Uniform Load dengan 1,68 pastikan directionnya adalah gravity kemudian

klik OK.

Sehingga muncul pada gambar seperti dibawah ini .

Select joint 3 dengan cara mengklik joint 3

Klik Assign >> Joint Loads >> Forces

Kemudian akan muncul dialog Joint Forces seperti gambar di bawah ini. Pastikan

satuan pada units adalah Kip,ft,F. Load Case Name sebagai Dead, Isikan Moment

about Global Y = 14 kemudian klik OK.

Catatan :

Pemberian beban momen sesuai dengan sumbu putarnya. Jika moment resebut

berputar pada sumbu X maka diberikan beban moment pada Moment about Global

X (Mx), jika momen berputar pada sumbu Y maka di berikan momen pada Moment

about Global Y (My) demikian juga untuk beban momen yang berputar pada sumbu

Z.

Pada soal diatas moment berputar pada sumbu Y maka diberikan moment pada

Moment about Global Y. Bila searah berputarnya jarum jam maka nilai moment

negatif (-) namun bila berlawanan dengan perputaran jarum jam maka nilai moment

positif (+).

Y

X

Z

My Mz

Mx

Untuk meyakinkan apakah beban momen sudah masuk maka klik kanan joint 3, akan

muncul dialog Point information box, pilih Loads.

Kemudian klik OK

8. Analisis Model

Klik menu Analyze >> set analysis option, maka akan muncul dialog

Analysis Option seperti pada gambar di bawah ini. Klik pada Plane Frame

– XZ Plane kemudian klik OK.

Klik menu Analyze >> Set Analysis Cases to Run, maka akan muncul

dialog Set Analysis Cases to Run seperti pada gambar di bawah ini. Klik

pada Modal kemudian klik Run/Do Not Run Case. Kemudian klik Run

Now

Untuk pekerjaan SAP yang belum disimpan sebelumnya, akan muncul

tampilan untuk menyimpan pekerjaan. Simpan pekerjaan SAP yang telah

dikerjakan dengan memberi nama pada File Name, kemudian tekan Save.

Kemudian akan muncul hasil Run sebagai berikut :

Pastikan tidak ada pesan Warning/Error pada proses analysis.

Klik kanan pada joint untuk melihat nilai dari rotasi dan defleksi di titik yang di cari

misalnya joint 3 maka klik kanan joint 3.

Untuk melihat output joint displacement secara keseluruhan bisa dilakukan dengan

cara klik menu Display >> Show table maka akan keluar dialog Choose Tables for

Display klik Joint output >> Displacements kemudian klik Select Analysis Cases

pilih Dead kemudian klik OK 2 kali.

0,00095 0,00192 -0,00096

Defleksi horizontal di 2 Rotasi di 2 Rotasi di 3

Sedangkan hasil dari perhitungan dengan menggunakan ASMM didapatkan hasil

seperti di bawah ini.

Perbandingan nilai rotasi metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3

Joint Metode ASMM Hasil SAP2000 Error (%)

1 0 0 0

2 0,00192 0,001921 0,0521

3 0,00096 0,000961 0,1042

Perbandingan nilai translasi metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3 Joint Metode ASMM Hasil SAP2000 Error (%)

1 0 0 0

2 0,00095 0,000017

3 0 0 0

US =

9. Menampilkan nilai bidang M (Momen)

Klik menu Display >> Show forces/Stresses >> Frames/Cables maka akan

muncul dialog Member Forces Diagram for Frames seperti gambar berikut.

Pastikan Case/Combo Name sebagai Dead kemudian klik pada Moment 3-3,

pilih Show values on Diagram, setelah itu klik OK

10. Menampilkan nilai bidang D (Gaya Lintang)

Klik menu Display >> Show forces/Stresses >> Frames/Cables maka akan

muncul dialog Member Forces Diagram for Frames seperti gambar berikut.

Pastikan Case/Combo Name sebagai Dead kemudian klik pada Shear 2-2, pilih

Show values on Diagram, setelah itu klik OK.

11. Menampilkan nilai bidang N (Gaya Normal)

Klik menu Display >> Show forces/Stresses >> Frames/Cables maka akan

muncul dialog Member Forces Diagram for Frames seperti gambar berikut.

Pastikan Case/Combo Name sebagai Dead kemudian klik pada Axial Force ,

pilih Show values on Diagram, setelah itu klik OK.

Untuk melihat output gaya dalam Momen, Gaya Lintang dan Gaya Normal secara

keseluruhan bisa dilakukan dengan cara klik menu Display >> Show table maka

akan keluar dialog Choose Tables for Display klik Element Output >> Frame

Output kemudian klik Select Analysis Cases pilih Dead kemudian klik OK

Kemudian klik OK maka akan keluar dialog Element Forces-Frames

Pada dialog Element Forces - Frames klik file >> Export current table >> to Excel Maka akan dihasilkan table Output Frame dalam format Excel seperti gambar berikut.

Perbandingan nilai Momen metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3 Joint Metode ASMM

(Kip-ft)

Hasil SAP2000

(Kip-ft)

Error (%)

1 3,989 3,9926 0,09

2 -7,99 -7,9955 0,069

3 -14 -14 0

Perbandingan nilai Gaya Lintang metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3 Posisi Metode ASMM

(Kip)

Hasil SAP2000

(Kip)

Error (%)

1kr 0 0 0

1kn 1,193 1,199 0,503

2kr 1,193 1,199 0,503

2kn 7,8 7,8 0

3kr 9 9 0

3kn 0 0 0

Perbandingan nilai Gaya Normal metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3 Frame Metode ASMM

(Kip)

Hasil SAP2000

(Kip)

Error (%)

1 0 0 0

2 1,19 1,199 0,4737