ESFUERZOS POR TEMPERATURA

l

dΔT

δ

Deformación por temperatura = α.∆T.Lα=Coeficiente de dilatación

L=Longitud

∆T=Variación de temperatura

Para este caso:

Deformación por temperatura = deformación Elástica

∝∗∆𝑻 ∗𝑳=𝑃𝐿𝐸𝐴

∝∗∆𝑇=𝜎𝐸

𝝈=∝∗∆𝑻 ∗𝑬

L1 L2

A1 A2

ΔT

δpe

Deformación por T = e + deformación elástica

∝∗∆𝑇 ∗𝐿=𝑒+𝑃𝐿𝐸𝐴

Deformación por T = deformación elástica

∝∗∆𝑇 ∗𝑙1+∝∗∆𝑇 ∗𝑙2=𝑃1𝐿1

𝐸𝐴1+𝑃2 𝐿2

𝐸𝐴2

ΔT

Problema #1Determinar el esfuerzo que se produce en el concreto al subir la temperatura en 20°C, la barra de acero esta en contacto como se indica en la figura∝=16∗10− 6/°𝐶𝐸=2∗106 𝐾𝑔/𝑐𝑚2

∝∗∆𝑇 ∗𝐿=16∗10− 6°𝐶∗20 °𝐶∗2∗106 𝐾𝑔𝑐𝑚2

𝜎=640 𝐾𝑔𝑐𝑚2

ACERO BRONCE COBRE  2,1x106

kg/Cm29.8x105 1,2x106 E

11x10-6 /°C 17,7x 10-6

16 x10-6 α

1,2Cm2 3,0 1,8 A25 Cm 15 20 L

90cm 60cm

x

BA C

Acero

cobre

Bronce

Problema # 2La T de los 3 cables aumenta 14 °C; Hallar el esfuerzo en c/cable y la posición de la carga aplicada, para que la viga permanezca horizontal.

cobre

bronce

12 ton.

Solución:D.C.L:

∑Fy = 0FAcero + FBronce+ FCobre = 12 Tn………………………..…….(1)

∑MA= 0:Fbronce( 90)+ Fcobre(150) =12000Kg(90 -X) ….……….(2)

FAcero Fbronce Fcobre

12Tn

A B C

(90-x) x 60

ΔFAcero ΔFbronce

ΔTAcero ΔTbronce ΔTrcobre

ΔFcobre

Diagrama de deformaciones:

∆𝐹 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜+∆𝑇 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜=∆𝐹 𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒+∆𝑇 𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒=∆𝐹 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒+∆𝑇 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒

𝑃 𝐿1

𝐸𝐴 +∝∗∆𝑇 ∗𝑙1=𝑃 𝐿2

𝐸𝐴 +∝∗∆𝑇 ∗𝑙2…(3)

Acero Bronce

FAcero = 0.514 Fbronce – 13.407……………………..…….(4)FCobre = 0.551 Fbronce – 82.48.……………………..…….(5)

Desarrollando: (4) y (5) en (1)

de ec. (2) X = 6.75 cm

Problema # 3Se tiene una barra rígida AB sometida a una carga de 50KN y sostenida por una varilla de Aluminio y otra de Acero. Si se incrementa la T en 40°C, hallar los esfuerzos en el Aluminio y el Acero.

● ●

Aluminio

Acero

A B

50KN3m 3m 3m

  ALUMINIO ACEROE : 70x109

N/m22x1011

N/m2

Α : 900 mm2 600 mm2

α : 23x10-6/°C 11.7x10-

6/°CL : 3 4

Solución:D.C.L:

Diagrama de Deformaciones:

● ●

A BTAluminio

TAcero

50KN

3m 3m 3m

● ●

Diagrama de deformaciones:

●

●

3m 3m 3m

ΔAluminio

ΔAcero

Deformaciones:

Por semejanza de triángulos:

Ecuación 3

De (1) y (3):

Problema # 4

Barras de Acero:E=2x106 Kg/cm2

α = 125x10-7/°CSe calienta a 40°CDeterminar los esfuerzos en las 3 barras del sistema

F

F

Acero

Acero

Acero

L1=400cm

L2=300cm

L3=200cm

(7/5)A

(6/5)A

A

Solución:

Donde: Y: …(3)(3) y (2) en (1):F=1223.3Akg

ESFUERZO CORTANTE (Τ)

Corte Simple:

Corte Doble:

,

A

j

j

F

P

Φ=d

j

j k

k

Φ=dF F

P

P

FF

ESFUERZO DE APOYO O APLASTAMIENTO

*En caso de corte doble: ● ●

t

P

P

P

d

t

P P

Esfuerzo normal

A

α

αAα

F

V

Esfuerzo cortante

P

ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO BAJO CARGA AXIAL

……………………….(1) …………………………..(2)

Reemplazo: (3), (4) y (5) en (1) y (2)

ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO BAJO CARGA AXIAL

Ejercicio:Hallar el máximo valor de P(Admisible)

a=4.6mb=2.5mc=16cmt=0.5cm d

b b

P

P

P/2

P/2

P

t

2t

t

a

Solución:

Esfuerzo de aplastamiento:

P/2

P/2

P

Corte perno:

a 2t

d

Esfuerzo Normal:

Corte:

a 2t

d

b-d/2

2t

P

(b-d/2)

PROBLEMA:

En el soporte mostrado la Porción superior del eslabón ABC es de 3/8 de pulg. Y las porciones inferiores son de c/u de ¼ de Pulgada de grueso. Se utiliza resina para unir la porción superior con la inferior en B. El pasador en A tiene un diámetro de 3/8 in, mientras en C se emplea un pasador de 1/4in.

Determinar: El esfuerzo cortante en el pasador A El esfuerzo cortante en el pasador C El máximo esfuerzo normal en el eslabón ABC El esfuerzo cortante promedio en las superficies pegadas en B. El Esfuerzo de soporte en el eslabón c(esfuerzo de apoyo de

aplastamiento)

ESFUERZOS EN CILINDROS

Fe

P P

F

p=𝐹𝐴⇒ 𝐹=𝑝 . 𝐴

P P

2r

L

𝑝 : 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

𝑃 :𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎∑ 𝐹 𝑦=0

Para L=1 unidad:

1ue

P

𝜎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙=𝑃𝐴=

𝑝 .𝑟𝑒 .1 =

𝑝 .𝑟𝑒

e

R

e

2π

F´

F´ = pπr2

ΣFy = 0 :P(πr2) = F´ = R = σlong (2πre)σlongitudinal = pr/2e

σr = pr/e

σL = pr/2e

PROBLEMA:Una tubería de gran tamaño, llamada tubería de presión en obras hidráulicas tiene 1,5m de diámetro. Está formada por duelas de madera, sujetas mediante aros de acero de 300 mm2 de sección, y se utiliza para suministrar el agua desde un embalse a la sala de máquinas. Si el máximo esfuerzo que se permite en los aros es de 130MPa, y la carga hidráulica es de 30m.Determinar la máxima separación entre aros.

L

L

L L

P=Aσ

P=Aσ

F = ρDL

Solución:La presión correspondiente a 30m de carga hidráulica es:

Del gráfico:

PROBLEMA: A una temperatura de 20° C hay un ∆ = 0,2mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de las 2 barras de acero. Determinar el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura final es 100° C.

a a

Losa rígida

Δ

acer

o

acer

o

bron

ce

  Bronce AceroA 600 mm2 400mm2

E 83Gpa 200Gpaα 18,9x10-6/°C 11,7x10-6/°C

D.C.L

a a

Diagrama de deformaciones:Δ

δTa

δFa

δTb

δFb

Posición inicial de la losa

Posición final de la losa∑ 𝑀0=0 :

2𝐹 𝐴=𝐹𝐵…(1) 𝛿𝑇 𝐵−∆−𝛿 𝐹𝐵=𝛿𝑇 𝐴+𝛿 𝐹 𝐴…(2)Reemplazando (1) en (2):

18.9 𝑥10− 6𝑥 80𝑥 799.8−0.2−2𝐹 𝐴 (800 )

83 𝑥109𝑥600 𝑥10−6 =11.7 𝑥10− 6𝑥 80 𝑥800+𝐹𝐴(800)

2 𝑥1011 𝑥 4 𝑥102𝑥10− 6

F A=6184.65 N

FB=12369.30 N

,61Mpa

Hipótesis: Cuando un eje circular se somete a torsión, todas las secciones transversales permanecen planos y sin distorsión.

AB

BdF

dF

dF

ρ =

B

C

*TORSIÓN

∫𝜌 .𝑑𝐹=𝑇𝑆𝑖 :𝑑𝐹=𝜏 𝑑𝐴

∫𝜌 .𝜏 𝑑𝐴=𝑇Entonces:

: deformación (radianes) : ángulo de giro De la fig. para valores pequeños de γ:AA´ = Lγ … (1)También: AA´ = ρϕ … (2)De (1) y (2) :Lγ = ρϕ

La deformación unitaria a corte en una flecha circular varía linealmente con la distancia desde el eje de la flecha.Si ρ = r :

γ

γ =

γmax =

γ =

ϕ

γ

A´

A

ρ

L

 Esfuerzos en el rango elásticoAplicando la ley de Hooke:

G: módulo de rigidezTambién: γ = Multiplicando x G:γG = Gγmax

= τmax

En la superficie:= τmax

ρr

τ

Para un eje circular hueco: También: Reemplazando , en la ecuación anterior: ; Pero: I(momento de inercia) =

Despejando:

Sustituyendo :τ: momento cortante a cualquier distancia del eje de la flecha.  Eje macizo: Eje circular hueco:

ρr

τmin

r1 r2

τmax

Ángulo de giro en el rango elástico

También: Dentro del rango elástico, el ángulo de giro ϕ es proporcional al par de torsión T aplicado al eje.

; Φ: radianes

ϕ

γ

A´

A

ρ

L

PROBLEMA: Si se aplica un momento torsor de 10000kg/cm sobre un árbol de 45mm de diámetro ¿cuál es la tensión cortante máxima producida? y ¿cuál es el ángulo de giro en una longitud de árbol de 1,20m?El material es de acero, para el cual G = 8,4x105 Kg/cm2

Solución: 

 

PROBLEMA: Un árbol hueco de acero de 3m de longitud debe transmitir un par de 250000 kg/cm. El ángulo de torsión en esta longitud no debe exceder de 2,5° y la tensión cortante admisible es de 850 kg/cm2. Determinar los diámetros exterior e interior del árbol, si G es igual a 8,5x105 kg/cm2.

DISEÑO DE EJES DE TRANSMISIÓN

Las especificaciones principales que deben cumplirse en el diseño de un eje de transmisión

son la potencia que debe transmitirse y la “velocidad de rotación del eje”.

La función del diseñador es seleccionar el “material” y la “sección transversal” del eje para

que el esfuerzo máximo del material no sea excedido cuando el eje transmite la potencia

requerida para la velocidad especificada. La potencia “P” asociada con la rotación de un

cuerpo rígido sujeto a un par “T” es :

w: velocidad de rotación (radianes/segundo)

Pero: w = 2πf;

f: frecuencia de rotación

; De la torsión elástica:

Se tiene:

;;

Si:

PROBLEMA: ¿Qué tamaño del eje debe usarse para aportar un motor de 5 hp, que opera a 3600 revoluciones por minuto, si el esfuerzo cortante no debe exceder de 8500 psi en el eje.Solución:

Mínimo valor permisible: Pero:

Debe usarse un eje de

PROBLEMA: Un eje consta de un tubo de acero de 50 mm de diámetro exterior debe transmitir 100 kwatts de potencia mientras gira a una frecuencia de 20GHz. Determinar el espesor del tubo que deberá utilizarse si el esfuerzo cortante no debe exceder de 60 MPa.

Ejercicio:

Diámetro de flecha = 2 pulgDeterminar el ángulo de torsión de la polea “D” con respecto a la polea “A”.G = 12x103 lb/pulg2

A B C D

6 pulg 4 pulg 4 pulg

7 klb-pulg 4 klb-pulg 3 klb-pulg

Solución:

AB:

BC: CD:

7 klb-pulg

A

11 klb-pulg

B

8 klb-pulg

C

Ejercicio:Un motor, mediante un conjunto de engranajes, mueve un eje a 10Hz, según la fig. El motor entrega 45 kW en A y 30 kW en C. Elegir una flecha maciza de sección circular del mismo diámetro a todo lo largo. El esfuerzo cortante admisible es de 40MPa y el ángulo de torsión admisible es de 1/12 radianes.

Solución:Para el diseño considerar el esfuerzo cortante admisible y el ángulo de torsión admisible.Flecha AB: P = 2πTf

Flecha BC:

A C

B

3m 7,5m

45kw 75kw30kw

Para tener en cuenta el esfuerzo cortante admisible solo se debe considerar flecha AB.(El par en la flecha BC < que en flecha AB)  J = I ; C = ρ = r

Para la limitación del ángulo de torsión:Flecha AB Flecha AB

VIGAS

Son elementos rectos sometidos a un conjunto de fuerzas. P

Vigas sometidas a cargas concentradas

Vigas sometidas a cargas distribuidas

VIGAS.- son elementos prismáticos, largos y rectos.Las vigas se clasifican de acuerdo con la manera en la que se encuentran apoyadas.

B

C

W

AB C D

P1 P2

A

Carga distribuidaCargas concentradas

CLASIFICACIONVIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS: las incógnitas pueden determinarse por métodos estáticos.

L L L

a) viga simplemente apoyada

b) viga con un tramo en voladizo

c) viga en voladizo

VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS: las incógnitas no pueden determinarse por métodos estáticos, se usan las deformaciones.

L1 L2 L L

d) viga continua e) viga empotrada en un extremo f) viga empotrada

B HA C

B

(a) (b)

H

En ocasiones, dos o más vigas se conectan por bisagras para formar una estructura continua única.

Las reacciones en los apoyos involucran 4 incógnitas y no pueden determinarse del DCL del sistema de 2 vigas, entonces es conveniente considerar al DCL de cada viga por separado, obteniéndose 6 incógnitas y 6 ecuaciones.

Diagrama de cortante y momento flector

Efecto de las fuerzas externas

M M

V

V

Ejercicio:Elaborar el gráfico de cortante y

momento flector.

A B

60kg 60kg

60kg 60kg

2m 2m 2m

Solución:A B

60kg 60kg

60kg 60kg

2m 2m 2m

j

j

k

k

l

l

60

-60

120

V(+)

M(+)

V(-)

M(-)

120

Sección-:

 

M

VX

Sección-:

 

M

VX

2m60kg

60kg

Sección-:X

M

V

60kg

Ejercicio: Elaborar el gráfico de cortante y

momento flector.

AB

DC

8ft 3ft

E

2ft 3ft

Solución:B

DC

A

34kg

10kips20kips

24

34

96

168

318

148

ESFUERZOS EN VIGAS

El esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a su distancia “y” a la superficie neutra, y el radio de curvatura de la superficie es independiente de la ordenada “y” de la fibra.

Tenemos:

De (1) y (2a): 

Para el esfuerzo máximo:

También: ; (Módulo de sección)

 

Variación de los esfuerzos de flexión en una sección rectangular

ek

k

c

c

c

r

Área en compresión

Área en tensión

b

h/2

h/2

h

Ejercicio:Una viga de sección rectangular

de 150 x 250 mm, soporta la carga que se indica en la figura.

Determinar el máximo esfuerzo por flexión que se produce.

150

200

15KN

1m2m

6KN/m

Solución:

1,5m 0,5m 1,0m

6KN/m

A B

R1 = 14KN R2 = 19KN

14

2

-13

A = ((14+2)2)/2 = 16KN-m

Mmax

Ejercicio:Una viga de madera de 8m de longitud soporta las cargas según la figura. Si el máximo esfuerzo admisible es de 9Mpa.¿Para qué valor máximo de W se anula la fuerza cortante bajo P y cuánto vale P?

8m

P

6m 2m

d=300mm

S = πd³/32

PERFILES COMERCIALES

En una viga de sección rectangular o circular, las fibras situadas en la proximidad del eje neutro, están sometidas a un esfuerzo muy pequeño comparado con el esfuerzo en la parte superior o en la inferior.El hecho de que una gran parte de la sección esté poco aprovechada las hace poco apropiadas para trabajara flexión.

E N E N E N E N

(a) (b) (c) (d)Viga ala ancha perfil (w) Viga I perfil (s)

La fig. (c) representa una sección I de ala ancha que suele llamarse H. Es uno de los perfiles más eficientes, ya que no solo tiene gran resistencia trabajando a la flexión como viga sino también como columna.Otro tipo de perfil es el I normal (fig. (d)), pero no es muy eficiente.

De la fórmula de la flexión:

Demuestra que si el área de la sección rectangular (fig. (a)) pudiera distribuirse de manera que la viga siguiera teniendo la misma altura, pero con su forma indicada en la fig. (b), el momento de inercia aumentaría muchísimo, por lo que el momento flexionante que podría soportar sería mucho mayor.Físicamente, el incremento de momento resistente es debido a que hay muchas más fibras a mayor distancia del eje neutro, fibras que soportarán un esfuerzo mayor, y con un brazo de momento también mayor respecto al eje neutro. Sin embargo, la sección de la fig. (b) no es realizable, las dos partes en que ha quedado dividida no pueden estar aisladas. Es necesario emplear parte del área en la sujeción como se indica en la fig. (c). El área del alma soporta prácticamente la totalidad de la fuerza cortante vertical.La fig. (c) representa una sección I de ala ancha que suele llamarse H. Es uno de los perfiles más eficientes, ya que no solo tiene gran resistencia trabajando a la flexión como viga sino también como columna.Otro tipo de perfil es el I normal (fig. (d)), pero no es muy eficiente.Las características de perfiles estructurales se dan en tablas.

 *Perfiles

Comerciales

Problema: Seleccionar el perfil más ligero que puede soportar la carga indicada en la fig., sin exceder el esfuerzo admisible de 120 Mpa. Determinar el esfuerzo real en el perfil escogido.

4m 2m

45KN

R1=15KN R2=30KN

SoluciónDeterminando modulo de sección:

En tabla:

Se elige el mayor:

Tipo SW200x52 512xW250x45 535xW310x39 549x

Problema: Se pretende diseñar una viga que soporte las cargas estáticas mostradas en la fig. La sección transversal de la viga será rectangular y se fabricará de una placa de acero estructural ASTM A36 de 1,25 pulg de espesor. Especifique una altura adecuada para la sección transversal.

Tabla (propiedades de aceros estructurales):Perfil Resistencia a cedenciaA - 36 36000 lb/pulg²

b

h =??

1275lb 1275lb

3pies 3pies6pies

Aplicando:

Problema: Una viga de acero en voladizo de 5 m de longitud está sometida a una carga aislada de 150 kg en su extremo libre. La viga tiene sección rectangular de 5cm de ancho y 8cm de altura. Determinar la magnitud y situación de las tensiones de flexo tracción y compresión de la viga.

Solución :

Problema: Con los datos del problema anterior en el caso en que se sustituye la viga rectangular por un perfil comercial de acero designado por H160. Esta nomenclatura indica que la altura del perfil es de 160 cm. Determinar las tensiones de tracción y compresión máximas.

PROBLEMA: Considerar la viga con voladizo sobre una carga uniformemente repartida. Se trata del perfil H120. ¿Cuál es el máximo esfuerzo de flexión producido en la viga?

E N

6cm

6cm

1m 4m

160kg/m

Solución :

De la tabla:

VIGAS ASIMÉTRICAS

Todas las vigas examinadas hasta ahora han sido simétricas con respecto a la línea neutra. Como el esfuerzo por flexión varía linealmente con la distancia al eje neutro que pasa por el centro de gravedad, tales secciones son útiles para materiales que tengan igual resistencia a la tensión que a la compresión, pero para aquellos otros que son relativamente débiles a la tensión y más resistentes a la compresión, como es el caso del hierro fundido, es preferible emplear secciones asimétricas con respecto al eje neutro. Con esta forma de sección las fibras de gran resistencia pueden colocarse a mayor distancia de la línea neutra que las fibras más débiles. La sección ideal sería aquella en la que el centro de gravedad, se colocara en tal posición que la relación de distancias de las fibras que van a quedar sometidas a máxima tensión y compresión, fuera la misma relación que los esfuerzos admisibles para cada caso. De esta manera se alcanzarían simultáneamente los valores admisibles a tensión y compresión.

PROBLEMA: Una viga de fundición simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida. Determinar el ancho “b” de la sección en “T” invertida de manera que se alcancen los esfuerzos admisibles de 30 y 90 MPa a tensión y compresión respectivamente.

Solución :

Tomando momentos respecto al eje X:ay

PROBLEMA: La viga con voladizo de la figura es de fundición y los esfuerzos admisibles son de 40MPa a tensión y 100MPa a compresión. Determinar la carga máxima uniformemente distribuida que puede soportar.

IEN = 50x106mm4

Tramo AB: Rb=Rc=2.7WWA tensión:; A compresión:; Tramo BC:WA tensión:; A compresión:; Se toma el menor valor:

PROBLEMA: Determinar los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la viga. La sección es una T, con las dimensiones de la figura.IEN = 40x106mm45Kn.m

ESFUERZO CORTANTE

yy1

c

b

Eje Neutro

H2H1

c

y1

Fuerza cortante resistente

dF = τbdx

1 2

dx1 2

σ1dA σ2dA

y

Sección 1-1

dx

b

Sección 2-2

Esfuerzo cortante horizontal:; A’y: momento estáticoFlujo de cortante (q):

Aplicación del esfuerzo cortante a una sección rectangular:

Deducción de la fórmula del esfuerzo cortante horizontal:

PROBLEMA: Una viga de sección rectangular soporta una carga uniformemente repartida de w(N/m) sobre un claro L. Determinar la longitud crítica para la cual el esfuerzo cortante y el normal alcanzan simultáneamente sus valores admisibles.

W(N/m)

b

h

L

Sabemos: Pero: Entonces: ;

W=wL

W/2 W/2

W/2=Vmax

-W/2Mmax

cuando el cortante se hace cero:; Por fórmula de flexión: … (3)

Sustituyendo W por su valor en función de

PROBLEMA: Una viga simplemente apoyada de 120mm de ancho por 180mm de alto y 6m de longitud, soporta una carga uniforme de 4KN/m.Determinar el esfuerzo cortante horizontal en los sucesivos planos horizontales trazados cada 30mm desde la parte superior de la viga, en una sección que dista 1m del apoyo izquierdo.Calcular el máximo esfuerzo cortante.

L

30mm

60mm

120mm

Ȳ=75mm

180mm Eje Neutro

y

x

dθ

dθ

y

x

dx

ds

Elástica de la vigaρ

FLEXION

De la figura:

También: radio de curvatura del área.De ; Sabemos que: Igualando a la ecuación (4): Sustituyendo valores:

Teniendo en cuenta que es muy pequeño, su cuadrado es despreciable frente a la unidad.

Integrando la ecuación:; ecuación de la pendiente

Integrando nuevamente:

PROBLEMA: Determinar la ecuación general de momentos.

A B C D450KN/m

500N

2m 1m 2m

Solución:

A B C D

500N

2m 1m 2m

y

x

X

450(X-3)

RA=480 RB=920

V

M

Continuidad en vigas

400KN/m

1m 3m 2m 2m

600N

1300N500N

y

x

400KN/m

600N

1300N

500N

1m 3m 2m 2m

PROBLEMA: Determinar la ecuación de la elástica y la máxima deflexión de la viga.

A

y

x

2m 1mB

C

Solución:

A

B

C

RA

300N

M

VRC

Reemplazando X=0; Y=0 (del pto. C) en la ecuación (3):

Reemplazando X=3; y=0 en la ecuación (3):

Reemplazando en (2) donde la pendiente máxima es cero:

Reemplazando X=1,63 en la ecuación (3):

PROBLEMA: Hallar el valor de EIy en el punto medio y en extremo volado de la viga. 400N/m

AB C D E

600N

1m 3m 2m 2m

PROBLEMA: Determinar la ecuación de la elástica y el valor de la deflexión máxima. w = 400N/m E = 10x109N/m2

I = 1,5x10-6m4

L = 4m

LL/2

W(N/m)

Solución:De la estática, por simetría:

Ecuación general de momentos para AB(

Integrando (por primera vez):

Integrando (por segunda vez):

Para X=0, Y=0: Por simetría, para , Reemplazando en ecuación (1):

Reemplazando en (1), yCalculando Y para X=L/2:

Reemplazando valores:

BIBLIOGRAFIA FERDINAND P. BEER , E. RUSSELL

JOHNSTON, JR. MECANICA DE MATERIALES