1) Dimostrare che comunque presi z = x+ iy e w = α+ iβ si ha |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re zw

6b) Scrivere in forma algebrica e calcolare il modulo di w = (1− 3i)/(4 + 2i)

25d) Dato w = 1−√3i risolvere l’equazione z2 = 1/w.

31) Risolvere l’equazione (3 + 4i)z2 + (2− 4i)z − 1 = 0

26) Quanti elementi ha l’insieme A ={(

1+i√2

)n

: n ∈ N

}

?

18) Sia z = (1/2)(√3 + i). Scrivere in forma algebrica e trigonometrica il numero 1/(2z2 − |z|2). Dire se esiste n naturale

tale che zn = −i.

38) Calcolare le radici cubiche di −8i. Sia w una di esse: l’equazione z/z = w ha soluzione?

33+8b+44c)[[

• limx→+∞ x(

e−1/x2 − cos(1/√x))]]

• limx→2+sin 2x

cos(π/x) • limx→+∞22x−1−x3x−x2−1 • limx→+∞

x2−log xx2 log x

32) f(x) = log 2x−1x+1 e g(x) = x2−2x+3

sin x+(√x−1)4

. E’ vero che per x sufficientemente grande f(x) < g(x)?

5) Scrivere l’eq. della retta tangente all’ellisse di equazione x2/4 + y2 = 1 nel suo punto P = (√2, 1/

√2)

10b) Calcolare derivata prima e seconda in x = 0. g(x) = ex2

ln(2x+ 1)

3) Sia f : [0,+∞) → R, f(x) = (1 + x2)/[(1 + x)2]. f e limitata superiormente e/o inferiormente? Ha massimo/minimoassoluti?

11) Tracciare grafico qualitativo di f(x) = 1/(x2 + e−x2

)

9) Dire se le seguenti funzioni hanno, nell’intervallo −1 < x ≤ 3/2, massimo e/o minimo assoluti. Se sı, determinarli.

f(x) = 1 + |x| g(x) = (f(x))2

35) La funzione f(x) = x/(1 + x2) ha massimo assoluto?

21) Sia f(x) = a log(x) − x con a > 0. • Quante soluzioni ha l’equazione f(x) = 0 se a = 3? • Per quali valori di a, l’eqf(x) = 0 non ha soluzione? • Nel caso a = 2, verificare che vi e un punto in cui la retta tangente al grafico di f e parallelaalla bisettrice del primo e terzo quadrante; scrivere l’equazione di tale retta tangente.

40b) Individuare gli eventuali punti x0 in cui la retta tangente al grafico di f(x) = x/(x+ 1) passa per (−1, 0)

1) Dimostrare che comunque presi z = x+ iy e w = α+ iβ si ha |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re zw

6b) Scrivere in forma algebrica e calcolare il modulo di w = (1− 3i)/(4 + 2i)

25d) Dato w = 1−√3i risolvere l’equazione z2 = 1/w.

31) Risolvere l’equazione (3 + 4i)z2 + (2− 4i)z − 1 = 0

26) Quanti elementi ha l’insieme A ={(

1+i√2

)n

: n ∈ N

}

?

18) Sia z = (1/2)(√3 + i). Scrivere in forma algebrica e trigonometrica il numero 1/(2z2 − |z|2). Dire se esiste n naturale

tale che zn = −i.

38) Calcolare le radici cubiche di −8i. Sia w una di esse: l’equazione z/z = w ha soluzione?

33+8b+44c)[[

• limx→+∞ x(

e−1/x2 − cos(1/√x))]]

• limx→2+sin 2x

cos(π/x) • limx→+∞22x−1−x3x−x2−1 • limx→+∞

x2−log xx2 log x

32) f(x) = log 2x−1x+1 e g(x) = x2−2x+3

sin x+(√x−1)4

. E’ vero che per x sufficientemente grande f(x) < g(x)?

5) Scrivere l’eq. della retta tangente all’ellisse di equazione x2/4 + y2 = 1 nel suo punto P = (√2, 1/

√2)

10b) Calcolare derivata prima e seconda in x = 0. g(x) = ex2

ln(2x+ 1)

3) Sia f : [0,+∞) → R, f(x) = (1 + x2)/[(1 + x)2]. f e limitata superiormente e/o inferiormente? Ha massimo/minimoassoluti?

11) Tracciare grafico qualitativo di f(x) = 1/(x2 + e−x2

)

9) Dire se le seguenti funzioni hanno, nell’intervallo −1 < x ≤ 3/2, massimo e/o minimo assoluti. Se sı, determinarli.

f(x) = 1 + |x| g(x) = (f(x))2

35) La funzione f(x) = x/(1 + x2) ha massimo assoluto?

21) Sia f(x) = a log(x) − x con a > 0. • Quante soluzioni ha l’equazione f(x) = 0 se a = 3? • Per quali valori di a, l’eqf(x) = 0 non ha soluzione? • Nel caso a = 2, verificare che vi e un punto in cui la retta tangente al grafico di f e parallelaalla bisettrice del primo e terzo quadrante; scrivere l’equazione di tale retta tangente.

40b) Individuare gli eventuali punti x0 in cui la retta tangente al grafico di f(x) = x/(x+ 1) passa per (−1, 0)

Soluzione degli esercizi

1, 6b, 25d, 31, 26, 18, 38; 33, 8b, 44c, 32; 5, 10b, 3, 11, 9, 35, 21, 40b.

del file

http://www-dimat.unipv.it/vitali/Chimica/Esercizi_rete/Ricapitolazione_I_itinere.pdf

(numeri complessi, studio di funzioni).

Per ora ignorate il limite 33a): è stato risolto utilizzando il teorema di de l'Hôpital