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+2 (4+2 - itutorpavia.altervista.org · 1) Dimostrare che comunque presi z = x + iy e w = + i si ha...
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1) Dimostrare che comunque presi z = x + iy e w = α + iβ si ha |z + w| 2 = |z| 2 + |w| 2 +2Re z ¯ w 6b) Scrivere in forma algebrica e calcolare il modulo di w = (1 - 3i)/(4 + 2i) 25d) Dato w =1 - √ 3i risolvere l’equazione z 2 =1/w. 31) Risolvere l’equazione (3 + 4i)z 2 + (2 - 4i)z - 1=0 26) Quanti elementi ha l’insieme A = 1+i √ 2 n : n ∈ N ? 18) Sia z = (1/2)( √ 3+ i). Scrivere in forma algebrica e trigonometrica il numero 1/(2¯ z 2 -|z| 2 ). Dire se esiste n naturale tale che z n = -i. 38) Calcolare le radici cubiche di -8i. Sia w una di esse: l’equazione z/ ¯ z = w ha soluzione? 33+8b+44c) • lim x→+∞ x e -1/x 2 - cos(1/ √ x) • lim x→2 + sin 2x cos(π/x) • lim x→+∞ 2 2x-1 -x 3 x -x 2 -1 • lim x→+∞ x 2 -log x x 2 log x 32) f (x) = log 2x-1 x+1 e g(x)= x 2 -2x+3 sin x+( √ x-1) 4 . E’ vero che per x sufficientemente grande f (x) <g(x)? 5) Scrivere l’eq. della retta tangente all’ellisse di equazione x 2 /4+ y 2 = 1 nel suo punto P =( √ 2, 1/ √ 2) 10b) Calcolare derivata prima e seconda in x = 0. g(x)= e x 2 ln(2x + 1) 3) Sia f : [0, +∞) → R, f (x) = (1+ x 2 )/[(1 + x) 2 ]. f ` e limitata superiormente e/o inferiormente? Ha massimo/minimo assoluti? 11) Tracciare grafico qualitativo di f (x)=1/(x 2 + e -x 2 ) 9) Dire se le seguenti funzioni hanno, nell’intervallo -1 <x ≤ 3/2, massimo e/o minimo assoluti. Se s` ı, determinarli. f (x)=1+ |x| g(x)=(f (x)) 2 35) La funzione f (x)= x/(1 + x 2 ) ha massimo assoluto? 21) Sia f (x)= a log(x) - x con a> 0. • Quante soluzioni ha l’equazione f (x) = 0 se a = 3? • Per quali valori di a, l’eq f (x) = 0 non ha soluzione? • Nel caso a = 2, verificare che vi ` e un punto in cui la retta tangente al grafico di f ` e parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante; scrivere l’equazione di tale retta tangente. 40b) Individuare gli eventuali punti x 0 in cui la retta tangente al grafico di f (x)= x/(x + 1) passa per (-1, 0) 1) Dimostrare che comunque presi z = x + iy e w = α + iβ si ha |z + w| 2 = |z| 2 + |w| 2 +2Re z ¯ w 6b) Scrivere in forma algebrica e calcolare il modulo di w = (1 - 3i)/(4 + 2i) 25d) Dato w =1 - √ 3i risolvere l’equazione z 2 =1/w. 31) Risolvere l’equazione (3 + 4i)z 2 + (2 - 4i)z - 1=0 26) Quanti elementi ha l’insieme A = 1+i √ 2 n : n ∈ N ? 18) Sia z = (1/2)( √ 3+ i). Scrivere in forma algebrica e trigonometrica il numero 1/(2¯ z 2 -|z| 2 ). Dire se esiste n naturale tale che z n = -i. 38) Calcolare le radici cubiche di -8i. Sia w una di esse: l’equazione z/ ¯ z = w ha soluzione? 33+8b+44c) • lim x→+∞ x e -1/x 2 - cos(1/ √ x) • lim x→2 + sin 2x cos(π/x) • lim x→+∞ 2 2x-1 -x 3 x -x 2 -1 • lim x→+∞ x 2 -log x x 2 log x 32) f (x) = log 2x-1 x+1 e g(x)= x 2 -2x+3 sin x+( √ x-1) 4 . E’ vero che per x sufficientemente grande f (x) <g(x)? 5) Scrivere l’eq. della retta tangente all’ellisse di equazione x 2 /4+ y 2 = 1 nel suo punto P =( √ 2, 1/ √ 2) 10b) Calcolare derivata prima e seconda in x = 0. g(x)= e x 2 ln(2x + 1) 3) Sia f : [0, +∞) → R, f (x) = (1+ x 2 )/[(1 + x) 2 ]. f ` e limitata superiormente e/o inferiormente? Ha massimo/minimo assoluti? 11) Tracciare grafico qualitativo di f (x)=1/(x 2 + e -x 2 ) 9) Dire se le seguenti funzioni hanno, nell’intervallo -1 <x ≤ 3/2, massimo e/o minimo assoluti. Se s` ı, determinarli. f (x)=1+ |x| g(x)=(f (x)) 2 35) La funzione f (x)= x/(1 + x 2 ) ha massimo assoluto? 21) Sia f (x)= a log(x) - x con a> 0. • Quante soluzioni ha l’equazione f (x) = 0 se a = 3? • Per quali valori di a, l’eq f (x) = 0 non ha soluzione? • Nel caso a = 2, verificare che vi ` e un punto in cui la retta tangente al grafico di f ` e parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante; scrivere l’equazione di tale retta tangente. 40b) Individuare gli eventuali punti x 0 in cui la retta tangente al grafico di f (x)= x/(x + 1) passa per (-1, 0)
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1) Dimostrare che comunque presi z = x+ iy e w = α+ iβ si ha |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re zw
6b) Scrivere in forma algebrica e calcolare il modulo di w = (1− 3i)/(4 + 2i)
25d) Dato w = 1−√3i risolvere l’equazione z2 = 1/w.
31) Risolvere l’equazione (3 + 4i)z2 + (2− 4i)z − 1 = 0
26) Quanti elementi ha l’insieme A ={(
1+i√2
)n
: n ∈ N
}
?
18) Sia z = (1/2)(√3 + i). Scrivere in forma algebrica e trigonometrica il numero 1/(2z2 − |z|2). Dire se esiste n naturale
tale che zn = −i.
38) Calcolare le radici cubiche di −8i. Sia w una di esse: l’equazione z/z = w ha soluzione?
33+8b+44c)[[
• limx→+∞ x(
e−1/x2 − cos(1/√x))]]
• limx→2+sin 2x
cos(π/x) • limx→+∞22x−1−x3x−x2−1 • limx→+∞
x2−log xx2 log x
32) f(x) = log 2x−1x+1 e g(x) = x2−2x+3
sin x+(√x−1)4
. E’ vero che per x sufficientemente grande f(x) < g(x)?
5) Scrivere l’eq. della retta tangente all’ellisse di equazione x2/4 + y2 = 1 nel suo punto P = (√2, 1/
√2)
10b) Calcolare derivata prima e seconda in x = 0. g(x) = ex2
ln(2x+ 1)
3) Sia f : [0,+∞) → R, f(x) = (1 + x2)/[(1 + x)2]. f e limitata superiormente e/o inferiormente? Ha massimo/minimoassoluti?
11) Tracciare grafico qualitativo di f(x) = 1/(x2 + e−x2
)
9) Dire se le seguenti funzioni hanno, nell’intervallo −1 < x ≤ 3/2, massimo e/o minimo assoluti. Se sı, determinarli.
f(x) = 1 + |x| g(x) = (f(x))2
35) La funzione f(x) = x/(1 + x2) ha massimo assoluto?
21) Sia f(x) = a log(x) − x con a > 0. • Quante soluzioni ha l’equazione f(x) = 0 se a = 3? • Per quali valori di a, l’eqf(x) = 0 non ha soluzione? • Nel caso a = 2, verificare che vi e un punto in cui la retta tangente al grafico di f e parallelaalla bisettrice del primo e terzo quadrante; scrivere l’equazione di tale retta tangente.
40b) Individuare gli eventuali punti x0 in cui la retta tangente al grafico di f(x) = x/(x+ 1) passa per (−1, 0)
1) Dimostrare che comunque presi z = x+ iy e w = α+ iβ si ha |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re zw
6b) Scrivere in forma algebrica e calcolare il modulo di w = (1− 3i)/(4 + 2i)
25d) Dato w = 1−√3i risolvere l’equazione z2 = 1/w.
31) Risolvere l’equazione (3 + 4i)z2 + (2− 4i)z − 1 = 0
26) Quanti elementi ha l’insieme A ={(
1+i√2
)n
: n ∈ N
}
?
18) Sia z = (1/2)(√3 + i). Scrivere in forma algebrica e trigonometrica il numero 1/(2z2 − |z|2). Dire se esiste n naturale
tale che zn = −i.
38) Calcolare le radici cubiche di −8i. Sia w una di esse: l’equazione z/z = w ha soluzione?
33+8b+44c)[[
• limx→+∞ x(
e−1/x2 − cos(1/√x))]]
• limx→2+sin 2x
cos(π/x) • limx→+∞22x−1−x3x−x2−1 • limx→+∞
x2−log xx2 log x
32) f(x) = log 2x−1x+1 e g(x) = x2−2x+3
sin x+(√x−1)4
. E’ vero che per x sufficientemente grande f(x) < g(x)?
5) Scrivere l’eq. della retta tangente all’ellisse di equazione x2/4 + y2 = 1 nel suo punto P = (√2, 1/
√2)
10b) Calcolare derivata prima e seconda in x = 0. g(x) = ex2
ln(2x+ 1)
3) Sia f : [0,+∞) → R, f(x) = (1 + x2)/[(1 + x)2]. f e limitata superiormente e/o inferiormente? Ha massimo/minimoassoluti?
11) Tracciare grafico qualitativo di f(x) = 1/(x2 + e−x2
)
9) Dire se le seguenti funzioni hanno, nell’intervallo −1 < x ≤ 3/2, massimo e/o minimo assoluti. Se sı, determinarli.
f(x) = 1 + |x| g(x) = (f(x))2
35) La funzione f(x) = x/(1 + x2) ha massimo assoluto?
21) Sia f(x) = a log(x) − x con a > 0. • Quante soluzioni ha l’equazione f(x) = 0 se a = 3? • Per quali valori di a, l’eqf(x) = 0 non ha soluzione? • Nel caso a = 2, verificare che vi e un punto in cui la retta tangente al grafico di f e parallelaalla bisettrice del primo e terzo quadrante; scrivere l’equazione di tale retta tangente.
40b) Individuare gli eventuali punti x0 in cui la retta tangente al grafico di f(x) = x/(x+ 1) passa per (−1, 0)
Soluzione degli esercizi
1, 6b, 25d, 31, 26, 18, 38; 33, 8b, 44c, 32; 5, 10b, 3, 11, 9, 35, 21, 40b.
del file
http://www-dimat.unipv.it/vitali/Chimica/Esercizi_rete/Ricapitolazione_I_itinere.pdf
(numeri complessi, studio di funzioni).
Per ora ignorate il limite 33a): è stato risolto utilizzando il teorema di de l'Hôpital
