1.1 ODREIVANJE POLOAJA I TRAJEKTORIJE 1

1 KINEMATIKA 1.1 Odreivanje poloaja i trajektorije materijalne take

Osnovni zadatak fizike ( - priroda) je izuavanje osnovnih svojstava prirode, a to su:

- materijalnost; - permanentni proces interakcije; - dualnost; - statistinost; - kauzalnost; - evolucija; - ravnotea.

U daljem izlaganju prouavaemo prvo navedeno svojstvo, odnosno njegov osnovni atribut-kretanje. Kretanje se moe podeliti na: a) nie oblike kretanja-mehanika kretanja i kretanja u fizikim poljima, koja spadaju u vie oblike nieg kretanja i b) vie oblike kretanja-kretanja ive materije. Deo fizike koji se bavi izuavanjem najniih oblika kretanja naziva se mehanika. Cilj izuavanja mehanike je: a) utvrivanje uslova i uzroka koji dovode do promene stanja mehanikog kretanja ili mirovanja i b) da na osnovu poznatih uzroka, osobina materijalnih objekata i poetnih uslova utvrdi optu teorijsku metodologiju kojom e se uspeno opisati kretanje. Pod terminom opisivanja kretanja podrazumevamo odreivanje: - trajektorije materijalnog objekta; - poloaja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja; - pravca i smera kretanja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja; - brzine i ubrzanja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja. Pod trajektorijom podrazumevamo geometrijsko mesto taaka u prostoru kroz koje materijalni objekat sukcesivno prolazi u procesu kretanja. Za odreivanje poloaja materijalnog objekta potrebno je odrediti tri nezavisna parametra. Prilikom izbora parametara vodimo rauna da se posmatrano kretanje to jednostavnije opie. Opisivanje kretanja prema nainu izbora parametara kretanja moe biti: a) prirodno, b) vektorsko i c) koordinantno. Celokupno izuavanje mehanike se svodi na dva idealizovana modela: 1. model materijalne take, kada su dimenzije tela daleko manje od dimenzija trajektorije i 2. model krutog tela, tela koja ne menjaju oblik pod dejstvom spoljanjih sila. U daljem izlaganju koristiemo se modelom materijalne take.

1.1.1 Prirodni nain opisivanja kretanja Tri parametra koja treba odrediti su: trajektorija, orijentacija trajektorije i referentna taka na trajektoriji (taka na sl.1.1) i poloaj materijalne take u odnosu na referentnu taku-lunu koordinatu

OMOs= . Kako se poloaj materijalne take menja u vremenu to je i njena

luna koordinata funkcija vremena )(tss = , to predstavlja osnovnu kinematsku jednainu

Sl.1.1 Odreivanje poloaja materijalne take pri prirodnom opisivanju kretanja

- O

M

+

kretanja pri prirodnom opisivanju kretanja. Lunu koordinatu ne treba poistoveivati sa preenim putem materijalne take u toku kretanja . Veza izmeu preenog puta i lune koordinate data je u diferencijalnom obliku

S

1 KINEMATIKA 2

dsdS = . (1.1) Jednakost vai samo ukoliko su tokom kretanja ispunjeni sledei uslovi: 1.

, 2. i 3. . Ss =

0)0( ==ts 0>ds 0)( >ts 1.1.2 Vektorski nain opisivanja kretanja U prostoru izaberemo referentnu taku i nazovemo je pol (taka O na sl.1.2). Poloaj materijalne take odreen je vektorom s poetkom u polu O i krajem u taki na trajektoriji gde se nalazi

.

O

M

rG

Sl.1.2 Odreivanje poloaja materijalne take pri vektorskom opisivanju kretanja materijalna taka-taka M. Vektor rG se naziva vektor poloaja materijalne take. Trajektorija materijalne take predstavlja hodograf vektora poloaja. Hodograf nekog vektora je geometrijsko mesto taaka kroz koje prolazi vrh toga vektora sa fiksnim poetkom. Tri parametra koja treba odrediti pri vektorskom opisivanju kretanja su : 1. intezitet vektora poloaja, 2. pravac vektora poloaja i 3. smer vektora poloaja. Kako se vektor poloaja menja tokom vremena osnovna kinematska jednaina pri vektorskom opisivanju kretanja je . )(trr GG = 1.1.3 Koordinantni nain opisivanja kretanja Postoje razni koordinantni sistemi za opisivanje kretanja: Dekartov, Ojlerov, sferni, cilindrini, itd. Dekartov koordinantni sistem se sastoji od tri uzajamno ortogonalne ose

zyx ,, . Vektor poloaja materijalne take moemo izraziti preko jedininih vektora zyx ,,

Sl.1.3 Odreivanje poloaja materijalne take pri opisivanjukretanja u Dekartovom koordinantnom sistemu

jG

M(x,y,z)

z y

x

kG

x

y

iG

z

1.1 ODREIVANJE POLOAJA I TRAJEKTORIJE MATERIJALNE TAKE 3

osa: kjiGGG

,, , respektivno (vidi sl.1.3) kzjyixrGGGG ++= , (1.2)

gde su kzjyixGGG ,, komponente vektora rG , a koeficijenti su njegove skalarne

komponente i predstavljaju lokaciju materijalne take du osa u odnosu na koordinantni poetak. Da bi odredili poloaj materijalne take u svakom trenutku moramo poznavati skalarne komponente

zyx i ,

)(),(),( tzztyytxx === , odnosno osnovne parametarske kinematske jednaine kretanja. Vreme mereno od poetka kretanja t je nezavisan parametar. Trajektorija materijalne take odreuje se iz parametarskih jednaina kretanja tako to vreme izrazimo preko koordinate t x , )(xt = , gde je funkcija inverzna funkcija funkciji

, i tako izraeno vreme zamenimo u ostale dve parametarske jednaine. Kao rezultat dobijamo jednaine dve povri

)(txx =))(( xyy = i ))(( xzz = u ijem se preseku dobija dobija

kriva linija-trajektorija. Intezitet vektora poloaja odreujemo iz relacije

0222 ++= zyxrG , (1.3) a pravac preko uglova koje radijus vektor gradi sa pozitivnim smerovima yx, i ose z

zyx

xrxir

222),cos(

++== GGG , (1.4a)

zyx

yryjr

222),cos(

++== GGG , (1.4b)

zyx

zrzkr

222),cos(

++== G

GG . (1.4c)

Uzimajui u obzir (1.4a)-(1.4c) lako je pokazati da je 1),(cos),(cos),(cos 222 =++ krjrir

GGGGGG . (1.5) U sluaju dvodimenzionalnog kretanja (2-D), kretanja u fiksnoj ravni , potrebno je znati dve parametarske jednaine i

xOy)(txx = )(tyy = .

M(x,y) x

jG

x

yiG

y

Sl.1.3.1 Odreivanje poloaja materijalne take pri opisivanju kretanja u Dekartovom koordinantnom sistemu yx -0-

Izraze za vektor poloaja i njegov intezite dobijamo iz (1.2) i (1.3) stavljajui da je 0=z

jyixrGGG += , (1.2a)

022 += yxrG . (1.3a) Odgovarajui uglovi koje radijus vektor gradi sa pozitivnim smerovima x i y ose su

4 1 KINEMATIKA

yx

xrxir

22),cos(

+== GGG , (1.4ax)

yx

yryjr

22),cos(

+== GGG . (1.4bx)

Jednaina trajektorije je ))(( xyy = , gde je )(xt = , odnosno je inverzna funkcija funkciji . )(txx = 1.1.4 Prirodni ortogonalni triedar Spada u grupu pokretnih koordinantnih sistema i koristi se pri prirodnom opisivanju kretanja. ine ga tri meusobno ortogonalne ravni: oskulatorna, tangentna i normalna ravan. Najpre emo objasniti postupak konstruisanja prirodnog ortogonalnog triedra, koji je prikazan na sl.1.4. U taki M , mestu na trajektoriji gde se nalazi materijalna taka, povuemo tangentu na trajektoriju. Jedinini vektor tangente G usmeren je u smeru porasta lune koordinate. Oskulatorna ravan prolazi kroz tangentu i u taki M najbolje nalee na trajektoriju. Tangentna ravan prolazi kroz tangentu i normalna je na oskulatornu ravan. Normalna ravan u taki M je

+

MG n

GbG

normalna ravan

tangentna ravan

oskulatorna ravan

glavna normala

binormala

tangenta

O

Sl.1.4 Prirodni ortogonalni triedar normalna na tangentnu i na oskulatornu ravan. U preseku normalne i oskulatorne ravni je prava koje se naziva glavna normala krive. Jedinini vektor glavne normale usmeren je na konkavnu stranu trajektorije. U preseku tangentne i normalne ravni nalazi se prava binormala, iji jedinini vektor

nG

bG

skoji sa vektorima G i nG ini desnu orijentaciju: nb GGG = . 1.1.5 Podela kretanja Prema obliku trajektorije kretanja se dela na: a) pravolinijska i b) krivolinijska. U svakoj taki trajektorije moemo definisati poluprenik trajektorije i centar krivine C koji lei na glavnoj normali. Krug poluprenika koga opisijumo iz C lei u oskulatornoj ravni (vidi sl.1.4). Iz take u taku trajektorije i C se u optem sluaju menjaju.

G

nG

C

1.2 BRZINA 5

Definisaemo novu fiziku vektorsku veliinu-vektor krivine trajektorije nk GG = 1 . Za

pravolinijska kretanja u svakoj taki putanje mora biti ispunjeno da , to je ekvivalentno uslovu 0== kk G . Prema mestu gde se vri kretanje imamo: 1) ravansko kretanje (ravan je fiksna) i 2) povrinsko kretanje. Kod povrinskih kretanja, ija je jednaina trajektorije 0),,( =zyx , potrebno je poznavati dva parametra, npr. x i y , iz kojih se na osnovu jednaine trajektorije moe odrediti trei parametar . ),( yxfz = Kruta tela se mogu kretati: a) translatorno-kretanje kod koga svaka prava koja pripada telu se translatorno pomera , tj. svaka taka date prave prelazi isti put i b) rotaciono kretanje-kretanje kod kojeg se materijalne take krutog tela kreu po koncetrinim krunicama, a njihovi radijus vektori prebrisavaju istu povrinu u jedinici vremena.

1.2 BRZINA

Brzina je vektorska veliina kojom se definie brzina, pravac i smer kretanja. Kao pojam prvi ju je uveo Galilej. 1.2.1 Brzina pri vektorskom opisivanju kretanja Pretpostavimo da se materijalna taka kree s leva na desno. U trenutku nalazi se poloaju, oznaenim sa takom

tt =1M na trajektoriji, koji je definisan vektorom poloaja

. U trenutku nalazi se u taki , a vektor poloaja ima vrednost . Promena vektora poloaja-vektor pomeraja za vremenski interval

)(1 trrGG = ttt +=2 M 1

)(2 ttrr += GG ttt 12 = je

vG sr rG

vG

rG2rG1

.

MM 1

Sl.1.5 Brzina i srednja brzina pri vektorskom opisivanju kretanja

)()(12 trttrrrrGGGGG +== . (1.6)

Definiimo vektor srednje brzine kao odnos vektora pomeraja i vremenskog intervala u

kome je promena nastala

tr=GGvsr . (1.7)

Kao to se sa sl.1.5 vidi vektor srednje brzine ne daje tanu informaciju o pravcu i smeru kretanja. Vektor trenutne brzine, koji nam daje pravu informaciju, dobija se kada uzmemo beskonano mali vremenski interval 0t . Smanjujui vremenski interval vektori t rG i vG sr poprimaju sve vie pravac tangente na trajektoriju i u graninom sluaju vG sr prelazi u vektor trenutne brzine (ili samo vektor brzine)

6 1 KINEMATIKA

dtrd

tr

tsr

t

GGGG === 00 limvlimv . (1.8)

Kao to vidimo vektor brzine predstavlja prvi izvod vektora poloaja po vremenu. Vremenski izvod promenljivog vektora je uvek novi vektor, koji je po pravcu tangente na hodograf tog promenljivog vektora. Dakle, vektor brzine u svakoj taki trajektorije je po pravcu tangente na trajektoriju u datoj taki, iz razloga to je trajektorija hodograf vektora poloaja. Pri definisanju vektora brzine

veoma je vano uoiti razliku izmeu vektora i dr rdG (vidi sl.1.6).

rdGrG

dr

Sl.1.6 Razlika izmeu vektora i dr rdG

Dimenzija vektora brzine je tl)v(= , a jedinica u SI je sm . 1.2.2 Brzina pri prirodnom opisivanju kretanja Pretpostavimo da je luna koordinata materijalne take u poloaju oznaenom sa takom M na sl.1.7 , a u poloaju )(1 tss = M 1 )(2 ttss += . Kako je vrednost lune koordinate funkcija vremena )(tss = to vreme moemo prikazati kao funkciju lune koordinate

)(st = , gde je inverzna funkcija funkciji )(tss = . Takoe i vektor poloaja moemo prikazati kao funkciju lune koordinate ))(()( srtrr GGG == .

s2s1

rGvG

rG2rG1

.

MM 1

Sl.1.7 Vektor brzine pri prirodnom opisivanju kretanja Polazei od definicije vektora brzine, (1.11), i injenice da je vektor poloaja funkcija lune koordinate, vektor brzine moemo definisati na sledei nain

dtds

dsrd =GGv . (1.12)

Skalarnu veliinu koju emo definisati kao dtds=v , (1.13)

nazvaemo algebarska vrednost inteziteta vektora brzine. Nazvali smo je algebarskom vredniu jer moe imati vrednosti i manje i vee od nule (naravno moe imati i vrednost nule). Ukoliko je vrednost prirataja lune koordinate vei od nule tada je i , a ukoliko je tada je .

0>ds 0v >0

1.2 BRZINA 7

Pravac novog vektora Po definiciji

sr

dsrd

s =

GGlim

0. (1.14)

Kako se smanjuje s rG se po pravcu sve vie poklapa sa pravcem G . U graninom sluaju kada pravci e im se poklopiti to znai da novi vektor moemo izraziti preko 0s G . Intezitet novog vektora U graninom sluaju intezitet prirataja radijus vektora je .sr =G . Na osnovu toga zakljuujemo da je 1limlim

00=

==

= ss

sr

sr

dsrd

ss

GGG.

Smer novog vektora Ako se kreemo u smeru tada je )(+ 0>s i algebarska vrednost inteziteta vektora rG vea je od nule. Ako se kreemo u smeru tada je )( 0

8 1 KINEMATIKA

1.2.3 Brzina u Dekartovom koordinantnom sistemu Polazei od definicije vektora brzine (1.11) i izraavajui vektor poloaja preko koordinata u Dekartovom koordinantnom sistemu (1.2) dobijamo izraz

)(v kzjyixdtd GGGG ++= . (1.22)

Kako su ortovi kjiGGG

i , konstantni vektori vektor brzine moemo napisati u sledeem obliku

kdtdzj

dtdyi

dtdx GGGG ++=v , (1.22a)

ili preko njenih skalarnih komponenti (prikazanih na sl.1.9) kji zyxGGGG ++= vvvv , (1.23)

gde su dtdzdtdydtdx zyx === v,v,v . (1.24)

Sl.1.8 Vektor brzine u Dekartovom koordinantnom sistemu y

rG

jG

vG x

vG y

zkG

x

iG

vG vG z

Ukoliko su nam poznate parametarske jednaine kretanja )(),(),( tzztyytxx === vektor brzine odreujemo na sledei nain:

1) Intezitet )/()/()/(v 222 dtdzdtdydtdx ++=G ; (1.25)

2) Pravac

Uglove koje vektor brzine zaklapa sa pozitivnim smerovima zyx ,, -osa su

v

),vcos(,v

),vcos(,v

),vcos( GGGG

GGGGG dtdzkdtdyjdtdxi === ; (1.26)

3) Smer

Informacija o smeru je sadrana u (1.26) iz razloga to su u brojiocima datih kolinika algebarske vrednosti projekcija vektora brzine.

1.2 BRZINA 9

Ako se kretanje odvija u fiksnoj ravni (kretanje u 2-D) (1.25) i (1.6) se pojednostavljavaju stavljajui da je

xOy0v =z :

)/()/(v 22 dtdydtdx +=G ; (1.25a) .vv),vcos(,vv),vcos(GGGGGG

yx ji == (1.26a)

1.2.4 Skalarna ugaona brzina Posmatramo rotaciono (kruno) kretanje materijalne take po krunici poluprenika R (vidi sl.1.9). Na krunici proizvoljno izaberemo referentnu taku . Poloaj materijalne take odreivaemo u odnosu na pravac koji je odreen polupravom koja polazi od centra krunice i prolazi kroz referentnu taku. Oigledno da je poloaj materijalne take u proizvoljnom trenutku kretanja t , poloaj obeleen sa na slici, odreen ugaonom koordinatom

O

M 1 .

..op O

--

+M 2

M 1

C

R

R

Sl.1.9 Odreivanje poloaja materijalne take pri rotaciji

Traimo fiziku veliinu koja karakterie promenu ugaone koordinate u vremenu. U trenutku materijalna taka se nala u poloaju i za vreme tt + M 2 t je prebrisala ugao . Srednja ugaona brzina definie se kao

tsr = , (1.27)

dok trenutnu ugaonu brzinu traimo kao graninu vrednost srednje ugaone brzine

dtd

ttsrt =

== 00 limlim . (1.28) 1.2.5 Vektorska ugaona brzina Vektorsku ugaonu brzinu dobijamo tako to prebrisani ugao definiemo kao vektorsku veliinu. U optem sluajevima kretanja-kretanja koja se ne odigravaju u fiksnim ravnima to moemo uraditi samo pri beskonano malim (elementarnim) promenama prebrisanog ugla.

Na koji nain prebrisani ugao za vreme t definiemo kao vektorsku veliinu ? Vektor ima intezitet

Rs= , pravac je normalan na prebrisanu povrinu, a smer mu je u smeru penetracije desne zavojnice kada je zarotiramo u smeru kretanja materijalne take na krunoj trajektoriji.

Vektor srednje ugaone brzine definiemo preko vektora prebrisanog ugla

1 KINEMATIKA 10

tsr =G , (1.29)

a vektor trenutne ugaone brzine (ili samo ugaone brzine) nalazimo kao graninu vrednost vektora srednje ugaone brzine

dtd

ttsrt

===

00limlim GG . (1.30)

..op

GJedinica u SI za ugaonu brzinu je srad .

Sl.1.10 Vektori prebrisanog ugla i ugaone brzine pri rotacionom kretanju

ss

-

-

+M 2

M 1

C

O

R

R