MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE

PHASE (III/IV)

1. Récapitulatif des différents cas

(1) Valeurs propres réelles et distinctes négatives : noeud

stable

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ1=−3, λ

2=−1

1

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)2

(2) Valeurs propres réelles et distinctes positives : noeud

instable

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ1=1, λ

2=4

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)3

(3) Valeurs propres réelles et distinctes positive et néga-

tive : selle

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ1=11, λ

2=−4

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)4

(4) Une valeur propre nulle et une réelle négative : système

non-simple stable

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ1=0, λ

2=−1

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)5

(5) Une valeur propre nulle et une réelle positive : système

non-simple instable

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ1=0, λ

2=1

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)6

(6) Valeurs propres réelles et non-distinctes avec matrice

A diagonalisable : noeud singulier

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ1=−1, λ

2=−1

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)7

(7) Valeurs propres réelles et non-distinctes avec matrice

A non diagonalisable (un seul vecteur propre et une

valeur propre négative) : noeud dégénéré stable

2v

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)8

(8) Valeurs propres réelles et non-distinctes avec matrice

A non diagonalisable (un seul vecteur propre et une

valeur propre positive) : noeud dégénéré instable

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ1=1, λ

2=1

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)9

(9) Valeurs propres complexes conjuguées avec partie réelle

nulle : centre

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ1=5.5511e−017+2.2361i, λ

2=5.5511e−017−2.2361i

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)10

(10) Valeurs propres complexes conjuguées avec partie réelle

négative : foyer stable

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)11

(11) Valeurs propres complexes conjuguées avec partie réelle

positive : foyer instable

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ1=2+2i, λ

2=2−2i

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)12

2. Rappel : Règles heuristiques pour dessiner un

portrait de phases qualitatif

(1) Calculer les valeurs propres. En déduire le type de sys-

tème et la nature de l’équilibre.

(2) Calculer, s’il y a lieu, les vecteurs propres, et en déduire

les droites invariantes.

(3) Calculer les isoclines et associer les signes des dérivées

aux portions du plan délimitées par ces isoclines.

(4) Dessiner les vecteurs vitesse pour certains points bien

choisis.

(5) Tracer des trajectoires qualitativement :

(a) Par chaque point passe une et une seule trajectoire.

Aucun croisement n’est donc possible.

(b) Utiliser les signes associées aux portions du plan

par les isoclines.

(c) Utiliser les vecteurs propres pour déterminer la di-

rection asymptotique de la trajectoire.

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)13

3. Exercice 1 : dessin qualitatif

Soit le système

A =

2 1

1 2

– Calculer les valeurs propres et en déduire le type du sys-

tème

– Calculer les isoclines et dessiner des vecteurs vitesse sur

ces isoclines

– Associer les signes des portions du plan délimitées par

les isoclines.

– Tracer des trajectoires qualitativement

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)14

4. Exercice 1 : dessin qualitatif

Soit le système

A =

2 1

1 2

– Calculer les valeurs propres et en déduire le type du sys-

tème

λ2 − 4λ + 3 = 0

λ1,2 =4 ±

√4

2= {1, 3}

Les deux valeurs sont réelles, distinctes et positives, nous

avons donc un noeud instable.

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)15

– Calculer les vecteurs propres et en déduire les droites

invariantes :

(A − λ1I)v1 = 0

⇐⇒

1 1

1 1

x

y

=

0

0

⇐⇒

x

y

= k ·

1

−1

∀k

=⇒ v1 =

1

−1

(A − λ2I)v2 = 0

⇐⇒

−1 1

1 −1

x

y

=

0

0

⇐⇒

x

y

= k ·

1

1

∀k

=⇒ v2 =

1

1

Les droites invariantes ont donc pour équations x2 = x1

et x2 = −x1.

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)16

– Calculer les isoclines :

2x1 + x2 = 0 ⇐⇒ x2 = −2x1

x1 + 2x2 = 0 ⇐⇒ x2 = −x1/2

– Tracer des trajectoires qualitativement

– Solution :

−+ 1

dx /dt=01

dx /dt=02

dx /dt=02

++

++

+−

−−

dx /dt=0

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)17

5. Exercice 2 : dessin qualitatif

Soit le système

A =

−1 −1

1 −1

– Calculer les valeurs propres et en déduire le type du sys-

tème

– Calculer les isoclines et dessiner des vecteurs vitesse sur

ces isoclines

– Associer les signes des portions du plan délimitées par

les isoclines.

– Tracer des trajectoires qualitativement

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)18

6. Exercice 2 : dessin qualitatif

Soit le système

A =

−1 −1

1 −1

– Calculer les valeurs propres et en déduire le type du sys-

tème

λ2 + 2λ + 2 = 0

λ1,2 =−2 ±

√−4

2= −1 ± i

Nous avons deux complexes conjugués avec partie réelle

négative, l’origine est donc un foyer stable. (Dans ce cas,

les droites invariantes n’existent pas.)

– Calculer les isoclines et dessiner des vecteurs vitesse sur

ces isoclines :

−x1 − x2 = 0 ⇐⇒ x2 = −x1

x1 − x2 = 0 ⇐⇒ x2 = x1

– Associer les signes des portions du plan délimitées par

les isoclines.

– Tracer des trajectoires qualitativement

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)19

– Solution :

−+

1

dx /dt=01

2dx /dt=0

2dx /dt=0

−+

−−−−

+−

+−

++++

dx /dt=0

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)20

7. Exercice 3 : dessin qualitatif

Soit le système

A =

−2 0

−4 −2

– Calculer les valeurs propres et en déduire le type du sys-

tème

– Calculer les isoclines et dessiner des vecteurs vitesse sur

ces isoclines

– Associer les signes des portions du plan délimitées par

les isoclines.

– Tracer des trajectoires qualitativement

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)21

8. Exercice 3 : dessin qualitatif

Soit le système

A =

−2 0

−4 −2

– Calculer les valeurs propres et en déduire le type du sys-

tème

λ2 + 4λ + 4 = 0

λ1,2 =−4

2= −2

– Calculer les vecteurs propres et en déduire les droites

invariantes :

(A − λ1I)v1 = 0

⇐⇒

0 0

−4 0

x

y

=

0

0

⇐⇒

x

y

= k ·

0

1

∀k

=⇒ v1 =

0

1

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)22

L’unique vecteur propre est [0, 1]. La droite invariante

est donc l’axe x2.

– Nous avons deux valeurs propres réelles confondues né-

gatives et un seul vecteur popre, l’origine est donc un

noeud dégénéré stable.

– Calculer les isoclines :

−2x1 = 0 ⇐⇒ x1 = 0

−4x1 − 2x2 = 0 ⇐⇒ x2 = −2x1

– Tracer des trajectoires qualitativement

MODÉLISATION ET SIMULATIONTP 6 : DESSIN QUALITATIF DES PORTRAITS DE PHASE (III/IV)23

– Solution :

−+ dx /dt=0

2dx /dt=0 dx /dt=01

−−+−

++

++−−

2