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1Séquence 8 – MA02

Probabilité : lois à densité

Séquence 8

Dans cette séquence, on introduit une situa-tion nouvelle en probabilité : l’univers Ω associé à une expérience aléatoire est formé d’une infinité d’éléments.

Sommaire

1. Prérequis 2. Lois de probabilité à densité sur un intervalle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de la séquence

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2 Séquence 8 – MA02

Plus précisément, on va étudier des variables aléatoires X, fonctions de Ω dans , les valeurs prises par la variable aléatoire X formant un intervalle I de .

L’expérience aléatoire consiste à prendre un point M sur un demi-cercle. L’univers Ω est alors formé par l’infinité des points du demi-cercle.

On considère la variable aléatoire X qui, à un point M du demi-cercle, associe la mesure en degrés de l’angle AOM.

Les valeurs prises par la variable aléatoire X forment l’intervalle 0 180;[ ] et la notation ( )0 45≤ ≤X désigne l’ensemble des points de l’arc AC.

M

C

AO

45°

B

Il est donc nécessaire d’introduire de nouveaux outils dans le cours de probabilité.

On étudie deux exemples importants de lois suivies par des variables aléatoires : les lois uniformes et les lois exponentielles. Le troisième exemple au programme, les lois normales, sera traité dans une autre séquence avec ses conséquences en statistiques.

Tous les événements étudiés dans cette séquence seront décrits par l’intermé-diaire de variables aléatoires et d’intervalles.

Dans d’autres documents vous pouvez trouver d’autres écritures sans variable aléatoire, par exemple P c d;[ ]( ) (c et d étant deux nombres réels). Dans ce cas, l’univers est lui-même un intervalle I contenant les nombres c et d et l’intervalle I est muni directement d’une loi de probabilité. Même dans ce cas, nous utilise-rons ici une variable aléatoire X pour désigner le résultat obtenu par l’expérience aléatoire. On a ainsi :

P c d P X c d P c X d; ;[ ]( ) = ∈ [ ]( ) = ≤ ≤( )

et nous n’utiliserons pas la première écriture.

Exemple



1 Prérequis

StatistiquesUne série statistique porte sur un caractère (taille, poids, sport pratiqué…).

Le caractère est qualitatif (sport pratiqué) ou quantitatif s’il peut être associé à un nombre (taille, poids…).

On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif discret (du latin dis-cretus : séparé) quand les valeurs prises par le caractère sont des nombres isolés (par exemple le nombre de frères et sœurs). Dans ce cas, la série statistique est représentée par un diagramme en bâtons.

On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif continu quand on connaît seulement les effectifs ou les fréquences des termes de la série appar-tenant à des intervalles (par exemple la taille des personnes inscrites à un club sportif). Ces intervalles sont aussi appelé « classes ». Une série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme des effectifs ou des fréquences.

Dans un histogramme des fréquences, les fréquences des classes sont représen-tées par les aires des rectangles de l’histogramme, l’aire totale mesurant 1 (soit 100 %). Pour lire l’histogramme, on indique la fréquence d’une aire de référence.

Une série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par l’histo-gramme ci-dessous.

Donner les classes et la fréquence de chaque classe.

1 2 3 4 5 6

fréquence : 5 %

Classes 1 2;[ ] 2 2 5; ,[ ] 2 5 4, ;[ ] 4 5 5; ,[ ] 5 5 6, ;[ ]

Fréquences 0,1 0,1 0,45 0,3 0,05

A

Exemple

Solution



Pour déterminer la moyenne et l’écart-type, on utilise les centres des classes, c’est-à-dire qu’on remplace la série à caractère continu par une série à caractère discret, chaque classe formée d’une infinité de valeurs étant remplacée par une seule valeur. On dit que l’on a « discrétisé » la série statistique.

Calculer la moyenne de l’exemple précédent.

Milieux des classes : xi 1,5 2,25 3,25 4,75 5,75

Fréquences : fi 0,1 0,1 0,45 0,3 0,05

On a :

x x fi i= = × + × + × + × +1 5 0 1 2 25 0 1 3 25 0 45 4 75 0 3 5 75, , , , , , , , , ×× ==

=∑ 0 05 3 55

1

5, , .

i

i

ProbabilitéVous devez avoir présent à l’esprit l’ensemble des cours de probabilité précé-dents : univers muni d’une loi de probabilité, variables aléatoires, probabilité conditionnelles. Même si le passage du discret au continu, des ensembles finis aux intervalles de , modifie certaines propriétés, les idées principales pour modéliser les situations sont très voisines.

Rappelons seulement quelques éléments concernant les variables aléatoires, pour l’instant dans un univers ayant un nombre fini d’éléments.

On dit qu’on définit une variable aléatoire X sur l’ensemble Ω lorsque, à chaque éventualité ω de l’expérience aléatoire, on associe un nombre réel X ( )ω : ω ω X ( ).

Définition

Par exemple, on tire des lettres placées dans un sac. On a alors Ω= a, b, c,... ,z et on peut choisir la variable aléatoire qui associe 1 à chaque voyelle, 2 à k, q, w, z (lettres rares en français) et 0 aux autres lettres.

Les événements sont des sous-ensembles de Ω. Précisons à l’aide de l’exemple la notation utilisée pour les événements définis à l’aide d’un variable aléatoire X.

Dans l’exemple cité ci-dessus, l’événement a, e, i, o, u, y sera aussi noté ( ).X =1 On notera de même ( )X = 2 l’événement k, q, w, z et ( )X = 0 l’évé-nement b, c, d, f, g, h, j, l, m, n, p, r, s, t, v, x .

Dans le cas général la notation ( )X a= où a est un nombre réel désigne l’événe-ment ω ω∈ = Ω / ( ) ,X a c’est-à-dire l’ensemble des éventualités ω pour les-quelles la variable aléatoire X prend la valeur a. On notera de façon analogue les événements où X intervient.

Exemple

Solution

B

Notation



Le travail sur les variables aléatoires ne fait intervenir que des aspects numé-riques, l’univers Ω apparaît peu directement.

La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par :

l’ensemble des valeurs x x xn1 2, , ... , prises par la variable aléatoire ;

les probabilités P X xi( )= pour toutes les valeurs xi prises par X (on rappelle que

P X xii

i n=( ) =

=

=∑ 1

1

).

Définition

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre, noté E(X), défini par :

X x P X x x P X x x P X x

x p x p x p x p

E( ) ( ) ( ) ... ( )

... = .

r r

r r i ii

i n1 1 2 2

1 1 2 2=1∑

= = + = + + =

= + + +=

Définition

Intégration Aire sous une courbe

Par définition, l’aire du domaine sous la courbe d’une fonction continue positive

définie sur un intervalle a b;[ ] a pour mesure f t tab

( ) d∫ en unités d’aire.

a b

x

1

1

0

y

1 ua

C



Cas particulier

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Quel que soit α élément de I, on

a f t t( ) d 0.∫ =αα

Intégrale et primitive

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une de ses primitives sur I, les nombres a et b sont dans I. On a

f t t F t F b F a

ab

ab( ) ( ) ( ) ( ).d∫ = [ ] = −

En particulier, u étant une fonction dérivable sur I telle que ′u est continue sur I, alors :

′ =

= −∫ u t tu t

a

b u ta

b u b u a( ) .( ) ( ) ( ) ( )e d e e e



2 Loi de probabilité à densité sur un intervalle

Objectifs du chapitre On se place dans un univers ayant un nombre infini d’éléments. Cet infini ne per-met pas d’utiliser la définition d’une loi de probabilité rencontrée dans les cours précédents où l’univers était fini (il suffisait de donner les probabilités des évé-nements élémentaires et de vérifier que la somme de ce nombre fini de termes positifs était égale à 1).

On définit ici des lois de probabilité de variables aléatoires X pouvant prendre toutes les valeurs d’un intervalle I de .

On donne quelques propriétés élémentaires de certaines de ces variables aléa-toires : les variables aléatoires à densité sur un intervalle.

Pour débuter

Des équations interviennent dans la situation de cet exercice, mais il ne s’agit pas de les résoudre.

L’équation x x x3 20 79 10 722 12 276 0− − + =, , , possède une seule solution entière (c’est 3). Quelle est la probabilité d’obtenir cette solution en lançant un dé cubique non truqué ? un dé dodécaédrique non truqué ? (Rappel : un dé dodécaédrique a douze faces numérotées de 1 à 12.)

L’équation x x x3 20 876543211 1 876543211 0 246913578 0+ + − =, , , , notée (E), possède une unique solution d dans , d = 0 123456789, .

a) Justifier qu’il y a 1010 nombres décimaux qui s’écrivent avec au plus neuf chiffres après la virgule dans l’intervalle 0 1; .[ [

b) On choisit au hasard dans 0 1;[ [ un nombre décimal s’écrivant avec au plus neuf chiffres après la virgule, quelle est la probabilité qu’il soit égal au nombre d solution de l’équation (E) ?

a) Montrer que l’équation x x3 1 0+ − = possède une solution unique dans et que cette solution, qui est notée α , appartient à l’intervalle 0 1; .[ ]

b) Soit n un entier naturel non nul. On partage l’intervalle 0 1;[ ] en n inter-

valles de même amplitude 1n

.

A

B Activité 1



On choisit au hasard un de ces intervalles, quelle est la probabilité qu’il contienne la solution α ?

c) On choisit au hasard un nombre X de l’intervalle 0 1; ,[ ] quelle valeur pro-posez-vous pour la probabilité de l’événement X = α ?

On a interrogé des clients d’un magasin en leur demandant dans laquelle des classes proposées se trouvait le montant de leurs achats (en €).

On a obtenu le tableau suivant :

Montant des achats (en €)

[0 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200]

Fréquence 0,09 0,20 0,22 0,24 0,16 0,09

On représente cette série statistique par un histogramme dans un repère ortho-gonal.

Pour construire les rectangles de l’histogramme, on a besoin de leurs dimen-sions : remplir le tableau suivant.

Montant des achats (en €)

[0 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200]

Amplitude de la classe =

largeur du rectangle20

Aire du rectangle 0,09

Hauteur du rectangle

Quelle est la graduation maximale indiquée sur l’axe des ordonnées ? Les fré-quences sont-elles indiquées sur l’axe des ordonnées ? Construire l’histogramme.

Cours

1. Définitions

L’activité 2 a permis d’approfondir la représentation d’une série statistique par un histogramme.

Les fréquences sont représentées par les aires des rectangles.

Les hauteurs des rectangles sont les densités de fréquence, ces densités sont indiquées sur l’axe des ordonnées.

Les densités de fréquences sont positives, elles sont constantes sur chacun des intervalles formant les classes de la série statistique. Elles définissent une fonc-tion constante par morceaux.

Activité 2

C



Par analogie, en probabilité, on utilisera des fonctions, continues à valeurs posi-tives, et les probabilités des intervalles seront données par des aires, c’est-à-dire par des intégrales.

On dit qu’une fonction f, définie sur un intervalle I de , est une densité de probabilité sur I lorsque :

la fonction f est continue sur I ;

la fonction f est à valeurs positives sur I ;

l’aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a..

Définition 1

La troisième condition correspond à plusieurs cas différents suivant la nature de l’intervalle I.

Dans le tableau ci-dessous, a et b désignent des nombres réels.

a bI ;[ ]= aI ;[ [= +∞

f t tab

( ) d∫ =1

lim ( )x a

xf t t

→+∞∫

=d 1

ba

1

1O a 1

1

O

bI ;] ]= −∞ I ;] [= −∞ +∞

lim ( )y y

bf t t

→−∞∫

=d 1 lim ( ) lim ( )

y y x

xf t t f t t

→−∞ →+∞∫ ∫

+

d d

00

==1

b1

1

O1

0,5

O



Montrer que la fonction f définie sur 0 1;[ ] par f t t( )=− +2 2 est une densité de probabilité sur 0 1; .[ ]

Même question pour la fonction g définie sur 1;+∞[ [ par g tt

( ) .= 12

La fonction f est une fonction affine continue sur 0 1; .[ ] Pour tout t de 0 1; ,[ ]on a t ≤1, d’où − + ≥− × +2 2 2 1 2t , donc la fonction f est une fonction posi-tive.

Comme t t t t2 2 d 2 1 2 0 1,01 2

0

1∫ ( ) ( )− + = − +

= − + − = la troisième condition est

vérifiée, la fonction f est bien une densité de probabilité sur 0 2; .[ ]

y = f(t)

j

O i

La fonction g est une fonction rationnelle continue sur son ensemble de défi-nition et elle est à valeurs positives.

Comme on a lim lim ,x

x

xtt

x→+∞ →+∞∫

= −

=

11

11

21d la troisième condition est

vérifiée, la fonction g est bien une densité de probabilité sur 1; .+∞[ [

y = g(t)

1

1

densité deprobabilité

2 3O

Dans le cas de cet exemple 1, on observe que la fonction f prend des valeurs supérieures à 1 sur l’intervalle 0 0 5; ,[ ] : c’est possible car f x( ) n’est pas une probabilité, c’est une densité de probabilité.

On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une loi de probabilité P.

Soit X une variable aléatoire, fonction de Ω dans , qui, à chaque issue ω , associe un nombre réel X ( )ω d’un intervalle I de .

Exemple 1

Solution

Remarque



Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de probabilité sur I.

On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur l’intervalle I (ou est « à densité f sur I ») lorsque, pour tout intervalle J inclus dans I, la probabilité de l’événement X( J)∈ est la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine : x y x y f xM ; ; J et 0 ( ) . ( ) ∈ ≤ ≤

Définition 2

On a : P X( I) 1.∈ =

En effet, la mesure de l’aire sous la courbe de la fonction de densité f est égale à 1.

En général, un calcul de probabilités se ramènera donc à un calcul d’intégrale.

Soit f la fonction densité de probabilité de l’exemple 1 et soit X une variable aléatoire ayant pour densité la fonction f sur 0 1; .[ ] On appelle J l’intervalle

0 3 0 8, ; , .[ ] Déterminer P X( J)∈ c’est-à-dire P X0 3 0 8, , .≤ ≤( )On mesure l’aire sous la courbe sur l’intervalle J.

y = f(t)

j

O 0,3 0,8 i

On a :

P X t t t t0 3 0 8 2 2 20 3

0 8 20 3

0 8, ,

,

,

,

,≤ ≤( ) = − + = − +

∫ d

= − + ×( )− − +0 8 2 0 8 0 3 22 2, , , ××( )= − =

0 3

0 96 0 51 0

,

, , ,445.

On admet que l’on peut prolonger la loi de probabilité à toute union finie d’inter-valles de telle sorte que l’on ait la propriété :

Conséquence

Remarque

Exemple 2

Solution

Remarque

Propriété 1

si J et J′ sont deux unions finies d’intervalles inclus dans I, on a :

P X P X P XJ J J J .( ) ( ) ( )∈ ∪ ′ = ∈ + ∈ ′



2. Propriétés

j

O c di

Propriété 2

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I, on a les propriétés suivantes.

a) Pour tout intervalle c dJ ;[ ]= de I, on a : P c X d f t tcd≤ ≤( ) = ∫ ( ) .d

b) Pour tout réel α de I, on a : P X 0.( )=α =

c) Pour tous réels c et d de I,

P c X d P c X d P c X d P c X d≤ ≤( ) = < ≤( ) = ≤ <( ) = < <( ).d) Soit J un intervalle inclus dans I, on a : P X P XJ 1 J .( ) ( )∈ = − ∈

Démonstration

a) Pour tout intervalle c dJ ;[ ]= inclus dans I, la probabilité de l’événement X c X d( J) ( )∈ = ≤ ≤ est la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine M ; etx y x c d y f x; ; ( ) ,( ) ∈ [ ] ≤ ≤ 0 on a donc bien :

P c X d f t tcd≤ ≤( ) = ∫ ( ) .d

b) Pour tout réel α de I, on a : P X f t t=( ) = =∫ααα

( ) .d 0

c) Pour tous réels c et d de I, l’événement ( )c X d≤ ≤ est la réunion des deux événements incompatibles ( )X c= et ( ).c X d< ≤ On a : P c X d P X c P c X d≤ ≤( ) = = + < ≤( )( ) . Comme P X c=( ) = 0 d’après la propriété précédente, on a bien P c X d P c X d≤ ≤( ) = < ≤( ). Les deux autres égalités se démontrent de la même façon.

d) On a P X( I) 1,∈ = soit P X( J J) 1.∈ ∪ = D’après la propriété 1, on peut écrire P X P X P X( J J) ( J) ( J) 1∈ ∪ = ∈ + ∈ = donc P X P XJ 1 J .( ) ( )∈ = − ∈

La définition suivante généralise la définition des probabilités conditionnelles qui a été donnée dans le cas d’une loi de probabilité dans un univers fini.



Soit I’ un intervalle de I tel que P X I 0( )∈ ′ ≠ et soit J un autre intervalle de I. On définit la probabilité conditionnelle P X JX I ( )∈∈ ′ par l’égalité :

P XP X

P XJ

J I'

I'.X I ( ) ( )

( )∈ =

∈ ∩∈∈ ′

Définition 3

Soit X une variable aléatoire de densité f définie sur 0 1;[ ] par f x x( )=− +2 2 (exemple 1).

Déterminer P XX( , )( , , ).0 0 5 0 4 0 6≤ ≤ ≤ ≤

On a J 0,4 ; 0,6[ ]= et I 0 ; 0,5 ,[ ]′ = donc J I 0,4 ; 0,5 .[ ]∩ ′ = Alors :

P X P X t t

t t

( J I') (0,4 0,5) 2 2 d

2 0,75 0,64 0,11.

0,40,5

20,4

0,5

∫ ( )∈ ∩ = ≤ ≤ = − +

= − +

= − =

De même :

P X P X t t

t t

( I ) (0 0,5) 2 2 d

2 0,75 0 0,75.

00,5

20

0,5

∫ ( )∈ ′ = ≤ ≤ = − +

= − +

= − =

D’où P XX( , )( , , ),,

, .0 0 5 0 4 0 60 110 75

0 147≤ ≤ ≤ ≤ = ≈

3. Espérance d’une variable à densité X

L’espérance E( )X d’une variable aléatoire à densité f sur a b;[ ] est définie par :

E d( ) ( ) .X x f x xab= ∫

Définition 4

On note que cette définition constitue un prolongement dans le cadre continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs. En effet, dans le cas discret fini, en classe de Première, on a défini l’espérance par :

X x P X x x P X x x P X x

x p x p x p x p

E( ) ( ) ( ) ... ( )

... = .

r r

r r i ii

i n1 1 2 2

1 1 2 2=1∑

= = + = + + =

= + + +=

Dans le cas où la variable aléatoire est à densité, on ne peut pas faire une somme d’un nombre infini de termes. Mais le terme f x x( )d peut s’interpréter comme

Exemple 3

Solution

Remarque



l’aire d’un rectangle de côtés dx et f x( ) (avec dx « infiniment petit ») four-nissant en quelque sorte la probabilité que la variable X prenne la valeur x. Dans

ces conditions l’intégrale x f x xab

( )∫ d correspond à une « somme » de produits

x f x x× ( )d (d’ailleurs le symbole ∫ se lit « intégrale » ou « somme »).

Dans les cas où l’intervalle I a une borne infinie, on utilisera une limite d’intégrale quand on le pourra.

Exercices d’apprentissage

Pour chacune des fonctions représentées graphiquement ci-dessous, dire s’il s’agit d’une densité de probabilité sur l’intervalle I en justifiant votre réponse.

O 3

1/3

1

1I = [1 ; 3]

O 0,5

2

1

1

I = [0 ; 0,5]

O

I = [0 ; 2]1,5 20,5

1/3

0,5

2/3

1

1

O–1 1

1

I = [–1 ; 1]

Vérifier que la fonction f définie sur 0 1;[ ] par f t t( )= 4 3 est une densité de probabilité. Représenter la fonction f dans un repère orthogonal.

Soit X une variable aléatoire ayant pour densité f.

a) Indiquer sur le graphique la probabilité P X0 5 0 75, , .≤ ≤( ) Calculer cette probabilité.

Remarque

D

Exercice 1

Exercice 2



b) Déterminer un nombre m tel que P X m≤( ) = 0 5, .

Peut-on déterminer un réel k positif tel que la fonction f définie sur 1;+∞[ [

par f t k

t( )=

3 soit une densité de probabilité sur 1;+∞[ [ ?

Même question pour la fonction g définie sur 1;+∞[ [ par g t kt

( ) .=

Soit g la fonction de densité de probabilité sur 1;+∞[ [ définie par g tt

( )= 12

(deuxième fonction de l’exemple 1). Soit X une variable aléatoire qui a pour den-sité g.

Calculer P X1 10≤ ≤( ). Que représente le nombre P XX( )1 10 1 5≤ ≤ ≤ ≤( ) ? Calculer ce nombre.

Exercice 3

Exercice 4



3 Lois uniformes

Objectifs du chapitre Dans ce chapitre, on étudie les lois uniformes qui correspondent aux lois équiré-parties du cas fini et qui sont très importantes.

Pour débuterOn souhaite donner un sens précis à l’expression « prendre un nombre au hasard ».

Il faut d’abord dire dans quel intervalle on prendra ce nombre. Raisonnons avec l’intervalle 0 1;[ ] qui nous permettra ensuite d’aborder le cas des intervalles

a b; .[ ]On cherche donc une loi de probabilité à densité pour la variable X correspondant à l’expérience aléatoire qui fournit un nombre réel « au hasard » compris entre 0 et 1.

Tout d’abord, remarquons que, d’après le chapitre précédent, pour tout réel α , on a P X( )= =α 0 lorsque la variable aléatoire X suit une loi à densité.

Il est naturel de penser que, si on choisit un nombre au hasard, les probabilités P X ∈ [ ]( )0 0 5; , et P X ∈ [ ]( )0 5 1, ; sont égales.

Comme ( ) ( ) ( )( )

( )[ ] [ ] [ ][ ]

∈ + ∈ = ∈ − =

= ∈ =

P X P X P X P X

P X

0 ; 0,5 0,5 ;1 0 ;1 0,5

0 ;1 1,

on souhaite donc que : P X P X∈ [ ]( ) = ∈ [ ]( ) =0 0 5 0 5 112

; , , ; .

De même, on souhaite que P X P X

P X P X

0 ; 0,25 0,25 ; 0,5

0,5 ; 0,75 0,75 ;1

( ) ( )( ) (

[ ] [ ]

[ ] [ ]

∈ = ∈

= ∈ = ∈

Il semble intuitivement que, pour la loi cherchée, plus un intervalle a une grande amplitude (longueur), plus il est probable que le nombre pris au hasard lui appartienne. Si l’amplitude de l’intervalle I’ est deux fois celle de l’intervalle I, on souhaite que P X P XI 2 I( ) ( )∈ ′ = ∈ , et que la probabilité que le nombre pris au hasard appartienne à un intervalle soit proportionnelle à l’amplitude de cet intervalle. Comme l’amplitude de l’intervalle 0 1;[ ] est égale à 1, on aboutit finalement à P c X d d c≤ ≤( ) = − , c et d étant des nombres réels de l’intervalle

0 1; ,[ ] avec c d≤ . C’est effectivement cette égalité qui va définir la loi uniforme

A

B



et nous verrons dans le cours qu’il est possible de la présenter sous un autre aspect.

Comme la loi équirépartie dans le cas où la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs, la loi uniforme intervient dans de très nombreuses situations.

Pour faire des simulations, vous avez déjà utilisé votre calculatrice ou un tableur car on y trouve des générateurs de nombres « aléatoires ». Les nombres obte-nus sont parfois appelés « pseudo-aléatoires » pour exprimer le fait qu’ils sont construits par des processus algorithmiques déterministes. Il s’agit d’imiter le hasard le mieux possible. Créer de tels générateurs est un vrai défi.

La copie d’écran ci-dessous illustre la répartition de 5 000 nombres « aléatoires » fournis par le tableur OpenOffice dans les dix intervalles ayant pour bornes : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; … ; 0,9 ; 1.

E

Les 5 000 nombres sont dans la colonne A. Pour visualiser les résultats, un gra-phique est donné. Il s’agit d’un diagramme en bâtons car le logiciel ne fait pas d’histogrammes (au sens mathématiques).

En utilisant la touche F9 vous pouvez renouveler le tirage des nombres « aléa-toires » (attention : l’axe des ordonnées du diagramme en bâtons ne commence pas toujours à 0 mais à une valeur plus grande, ce qui augmente l’apparence de l’irrégularité des fréquences).

On observe que les fréquences sont toutes proches de 0,10 (10 %) : c’est ce qui est attendu d’un générateur de nombres aléatoires.



Cours

1. Loi uniforme sur 0 ; 1

Nous venons de voir ci-dessus que nous souhaitons obtenir une loi d’une variable aléatoire X où la probabilité que X appartienne à un intervalle, inclus dans 0 1; ,[ ] est égale à l’amplitude de l’intervalle.

Si on cherche à exprimer cette condition pour avoir une loi à densité, on doit faire intervenir des intégrales et on se souvient de l’intégrale d’une fonction constante.

On peut aussi penser qu’une fonction de densité constante exprime bien la notion d’uniformité.

La définition qui est donnée utilise ce point de vue et permettra de considérer l’espérance de cette loi.

Propriété 3

La fonction constante f définie sur 0 1;[ ] par f x( )=1 est une densité de probabilité.

Démonstration

Une fonction constante est continue sur son ensemble de définition, la fonction f

est positive et 1 1 0 101

01dx x∫ = [ ] = − = donc les trois conditions sont vérifiées, la

fonction f est bien une densité de probabilité.

On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 1;[ ] si sa densité est la fonction définie sur 0 1;[ ] par f x( ) .=1

Définition 5

c d 1

1

O

C



Propriété 4

Pour tout intervalle c d;[ ] inclus dans 0 1; ,[ ] on a :

P X c d P c X d d c∈ [ ]( ) = ≤ ≤( ) = −; .

Démonstration

En effet, P X c d P c X d t t d ccd

cd∈ [ ]( ) = ≤ ≤( ) = = [ ] = −∫; .1d

Sur la figure, le rectangle dont on mesure l’aire a pour largeur d c− et 1 pour hauteur.

On choisit un nombre au hasard dans 0 1; .[ ] Quelle est la probabilité qu’il soit compris entre 0,2 et 0,25 ?

Comme l’énoncé précise que le nombre est choisi « au hasard », la variable aléatoire X, qui modélise ce choix, suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 1; .[ ] On a alors P X0 2 0 25 0 25 0 2 0 05, , , , , .≤ ≤( ) = − =

On rappelle que P X P X P X P0 2 0 25 0 2 0 25 0 2 0 25 0 2, , , , , , ,≤ ≤( ) = ≤ <( ) = < ≤( ) = < XX <( )0 25, , donc l’expression « compris entre 0,2 et 0,25 » peut être interprétée avec des inégalités strictes sans changement du résultat.

2. Loi uniforme sur [a ; b]

Comme sur 0 1;[ ] on cherche une loi pour laquelle un intervalle a une probabilité proportionnelle à son amplitude et pour laquelle la densité est constante.

Propriété 5

La fonction constante f définie sur a b;[ ] par f xb a

( )=−1

est une densité de probabilité.

Démonstration

La fonction f est bien continue à valeurs positives.

On a : 11

b at t

b ab

b aa

b aab

a

b

−=

−

=−

−−

=∫ d .

Les trois conditions sont vérifiées, la fonction f est bien une densité de proba-bilité.

Exemple 4

Solution



Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle a b;[ ] si sa

densité est la fonction f définie sur a b;[ ] par f xb a

( ) .=−1

Définition 6

c d b = 3 a = –1 1

1

O

0,25

Propriété 5


P X c d P c X d d cb a

∈ [ ]( ) = ≤ ≤( ) = −−

; .

Démonstration

On a : P c X db a

t tb a

db a

cb a

d cbc

d

c

d≤ ≤( ) =

−=

−

=−

−−

= −−∫ 1

daa

.

Sur la figure, le rectangle dont on mesure l’aire a pour largeur d c− et pour

hauteur1

0 25b a−

= , .

On choisit un nombre réel au hasard dans 0 100; .[ [ Quelle est la probabilité qu’il soit compris entre 90 et 100 ?

Comme l’énoncé précise que le nombre est choisi « au hasard », la variable aléa-toire X, qui modélise ce choix, suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 100; ,[ [ on a

alors P X90 100100 90100 0

0 1≤ <( ) = −−

= , .

3. Espérance d’une loi uniforme

Rappelons la définition de l’espérance d’une loi à densité f sur a b;[ ] :

E d( ) ( ) .X x f x xab= ∫

Exemple 5

Solution



Propriété 7

L’espérance E( )X d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur a b;[ ] est telle que :

E( ) .X a b= +2

Démonstration

On a : E d( )( ) ( )

Xb a

x x xb a

b ab aa

b

a

b

=−

=−

= −−

=∫ 12 2

2 2 2 aa b+2

.

Cas particulier

L’espérance de la loi uniforme sur 0 1;[ ] vaut donc 12

.


Le facteur vient déposer le courrier dans la boîte aux lettres du lycée entre 10 heures et 10 h 30.

Le facteur passe toujours pendant cette plage horaire et on a observé qu’il peut arriver à tout instant avec les mêmes chances. La variable aléatoire F désigne l’heure d’arrivée du facteur en minutes après 10 heures (par exemple ( )F = 8 désigne l’événement « le facteur passe à 10 h 08 »). Comment peut-on modéliser la variable aléatoire F (valeurs prises par F, densité) ?

Calculer la probabilité que le facteur passe :

a) à 10 h 25 exactement ; b) entre 10 h 15 et 10 h 20 ;

c) avant 10 h 20 ; d) après 10 h 15.

Quelle est l’heure moyenne de son passage ?

À partir de 7 heures, le tram passe toutes les dix minutes à l’arrêt qui se trouve devant la maison d’Ayana.

Le moment de l’arrivée d’Ayana à l’arrêt du tram est modélisé par la variable aléatoire X exprimée en minutes après 7 heures. On suppose que X suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 20; .[ ] Quelle est la probabilité qu’Ayana attende le tram moins de deux minutes ?

Quelle est la probabilité qu’Ayana attende le tram plus de cinq minutes ?

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur 0 1; .[ ] Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire T où T est la première décimale de X.

D

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7



4 Lois exponentiellesObjectifs du chapitre

Dans ce chapitre, on étudie les variables aléatoires qui suivent une loi exponen-tielle sur 0 ; .+∞[ [Ce sont des lois à densité.

Ces lois sont utilisées concrètement pour étudier des systèmes non soumis à des phénomènes d’usure ou pour modéliser des situations où la radio-activité intervient.

Pour débuter

Un laboratoire de recherche a inventé des petits robots et étudié leur solidité. On observe que, chaque semaine, 5 % des robots tombent en panne et ne peuvent être réparés.

On fait fonctionner 1 000 robots de ce type pendant trois mois.

Faire un tableau indiquant le nombre (en valeur approchée à l’entier inférieur le plus proche) de robots en fonctionnement au début de chaque semaine pendant les 12 premières semaines.

On choisit au hasard un robot.

Déterminer la probabilité :

a) qu’il soit en fonctionnement plus de trois semaines ;

b) qu’il soit en fonctionnement plus de cinq semaines ;

c) qu’il soit en fonctionnement plus de cinq semaines sachant qu’il a fonc-tionné plus de trois semaines ;

d) qu’il soit en fonctionnement plus de deux semaines.

e) Comparer les résultats des questions c) et d).

Imaginer des questions qui amènent à la même observation que celle faite en e).

A

B Activité 3



Cours

1. Définition d’une loi exponentielle

Propriété 8

Soit λ un nombre réel strictement positif.

La fonction f définie sur I = 0 ;+∞[ [ par f t t( )= −λ λe est une densité de probabilité.

Démonstration

Montrons que f vérifie les trois conditions.

Par composition, la fonction f est continue sur 0 ; .+∞[ [La fonction f est à valeurs positives sur I car λ est positif et la fonction expo-nentielle positive.

Dans l’exercice V de la séquence 7 (Intégration), on a montré que

lim ,x

txt

→+∞−∫

=λ λe d

01 donc l’aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a.


Une variable à densité X suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa den-sité est la fonction f définie sur 0 ;+∞[ [ par f x x( ) .= −λ λe

1O

Définition 7

Le paramètre λ est égal à l’ordonnée du point de la courbe représentant la densité situé sur l’axe des ordonnées car f ( ) .0 0= =− ×λ λλe

C

Remarque



Propriété 9

Quels que soient les nombres réels positifs c et d, on a :

P X c d P c X d t; e d e e .cd c d– t∫ λ( ) ( )[ ]∈ = ≤ ≤ = = −λ λ λ− −

Démonstration

Comme la fonction t t λ λe− a pour primitive la fonction t t − −e λ (eu est une primitive de ′u ue ), on a :

P c X d te d e e e e e .cd t

c

d d c c dt∫ λ ( ) ( )( )≤ ≤ = = − = − − − = −λ λ λ λ λ λ− − − − − −

On a le même résultat si les inégalités sont strictes.

Cas particulier

Pour tout réel positif a, on a : P X a a( ) .≤ = − −1 e λ En effet, pour tout réel a, on a :

P X a P X a a a( ) .≤ = ≤ ≤( ) = − = −− × − −0 10e e eλ λ λ

Propriété 10

Pour tout réel positif a, on a : P X a a( ) .≥ = −e λ

Démonstration

D’après la propriété 2 du chapitre 2, P X a P X a( ) ( )≥ = − <1 car les événements ( )X a≥ et ( )X a< sont des événements contraires : X a X a( ) ( ).≥ = < D’après le cas particulier précédent, on obtient :

P X a P X a P X a a a( ) ( ) ( ) .≥ = − < = − ≤ = − −( ) =− −1 1 1 1 e eλ λ

Il est très utile de connaître les formules des propriétés 9 et 10, mais, pour rédiger, il faut refaire les calculs au moins une fois dans une copie d’examen.

On considère un composant électronique dont la durée de vie T (en années) suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0 08, .

Calculer la probabilité (à 10 2− près) qu’un tel composant ait une durée de vie :

égale exactement à 6 ans ;

inférieure à 6 ans ;

supérieure à 8 ans ;

comprise entre 8 et 12 ans.

Remarque

Remarque

Exemple 6



P T( )= =6 0 car T est une variable aléatoire à densité ;

P T( ) ,, ,< = − = − ≈− × −6 1 1 0 380 08 6 0 48e e ;

P T( ) ,, ,≥ = = ≈− × −8 0 530 08 8 0 64e e ;

P T( ) ,, , , ,8 12 0 140 08 8 0 08 12 0 64 0 96≤ ≤ = − = − ≈− × − × − −e e e e ..

2. Espérance d’une loi exponentielleOn généralise la définition de l’espérance d’une variable aléatoire à densité qui a été donnée dans le chapitre 2 dans le cas où les valeurs de X forment un inter-valle fermé borné a bI ; .[ ]= Comme ici I 0 ; ,[ [= +∞ on prend une limite. Si la limite est finie, et c’est le cas pour les lois exponentielles, on dit que cette limite est l’espérance de la variable aléatoire (si la limite n’est pas finie, on ne définit pas E( )).X

On définit l’espérance E( )X d’une variable aléatoire suivant la loi exponen-tielle de paramètre λ en posant :

E e d( ) lim .X t tx

tx=→+∞

−∫ λ λ0

Définition 8

Propriété 11

L’espérance E( )X d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ est telle que :

E( ) .X = 1λ

Démonstration

On cherche d’abord, sur 0 ; ,+∞[ [ une primitive de la fonction

f t f t t t: ( ) = −λ λe sous la forme F t F t at b t: ( ) ( ) . = + −e λ

La fonction F est dérivable sur 0 ;+∞[ [ et

F t a at b at a bt t'( ) ( ) ( ) .= − +( ) = − + −( )− −λ λ λλ λe e

Pour que l’égalité f t F t( ) ( )= ′ soit vraie pour tout réel t positif, il suffit que

− =− =

λ λλa

a b 0, il suffit donc que

a

b

=−

= −

1

1λ

, soit que F t t( )1

e .tλ

= − −

λ−

Ensuite on calcule l’intégrale :

t t t

x x

e d1

e

1e 0

1e

11 e e .

tx tx

x x x

00

0

∫ λλ

λ λ λλ( )

= − −

= − −

− −

= − −

λ λ

λ λ λ

− −

− − −

Solution



Et enfin, on étudie la limite quand x tend vers +∞ par composition.

La fonction x x e−λ est la composée de x x −λ et de X X e , or

limx

x→+∞

− =−∞λ (λ est strictement positif) et lim ,X

X

→−∞=e 0 on peut donc

écrire lim e lim ex

x

X

X

→+∞−

→−∞= =λ 0 par composition avec X x=−λ .

On a aussi x Xlim e lim e 0.x

x

X

Xλ = − =λ→+∞

−→−∞

On conclut donc lim limx

tx

x

x xt t x→+∞

−→+∞

− −∫= − −λ

λλλ λ λe d e e

01

1(( ) = 1λ

et

on trouve bien le résultat annoncé.

On a : λ = 1E( )

.X

Dans les applications, la variable aléatoire X désigne souvent la

mesure d’une grandeur, une unité étant précisée, par exemple l’heure. Dans ces cas, le paramètre λ est exprimé dans l’unité inverse, par exemple l’« h-1».

3. Propriété de durée de vie sans vieillissement

On montre ici la propriété analogue à celle qui a été rencontrée dans l’activité 3.

Propriété 12

Une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle est telle que, pour tous réels x et h positifs, on a

P X t h P X hX t≥ ≥ +( ) = ≥( ).

Démonstration

Par définition, on a : P X t hP X t h X t

P X t( ) ( )

.X t ( ) ( )≥ + = ≥ + ∩ ≥

≥≥

Comme l’événement X t h( )≥ + est inclus dans l’événement X t( ),≥ l’intersec-tion des événements devient X t h X t X t h( ) ( ) ( ).≥ + ∩ ≥ = ≥ + D’où :

P X t hP X t h

P X te

e.X t

t h

t

( )( ) ( )

( )≥ + =

≥ +≥

=λ

λ≥− +

−

On simplifie le quotient d’exponentielles : P X t hX th

≥−≥ +( ) = e λ .

On reconnaît P X h( ),≥ d’où P X t h P X hX t≥ ≥ +( ) = ≥( ).Cette propriété est appelée propriété de durée de vie sans vieillissement. En effet, si on interprète X comme la durée de vie d’un appareil, cette égalité signi-fie que la probabilité que l’appareil fonctionne encore au-delà du temps t h+ sachant qu’il fonctionne encore à l’instant t est égale à la probabilité que l’appa-

Remarque



reil fonctionne au-delà du temps h. Cela signifie que, pendant l’intervalle 0 ; ,t[ ] l’appareil ne s’est pas usé puisque son fonctionnement à partir de l’instant t est identique à celui qu’il avait à partir du temps 0.

La durée de vie X (en années) d’un appareil électrique suit une loi exponen-tielle de paramètre λ = 0 05, .

Quelle est la probabilité qu’il fonctionne plus de 8 ans sachant qu’il a déjà fonctionné pendant 5 ans ?

Un appareil du même modèle fonctionne déjà depuis 7 ans, quelle est la pro-babilité qu’il fonctionne encore au moins pendant 3 ans ?

On veut déterminer P XX ≥ ≥( )5 8 . Puisque X suit une loi exponentielle qui est sans vieillissement, on calcule 8 5 3− = et on a P X P XX ≥ ≥( ) = ≥( )5 8 3 .

Donc P X P XX ≥− × −≥( ) = ≥( ) = = ≈5

0 005 3 0 0158 3 0 985e e, , , .

Sous cette forme la question possède une réponse encore plus simple. Comme la loi de X est sans vieillissement, la question « quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore au moins pendant 3 ans ? » possède la même réponse que la question « quelle est la probabilité qu’il fonctionne au moins pendant 3 ans ? » ou encore « déterminer P X( )≥ 3 ». On a trouvé P X ≥( ) ≈3 0 985, .


Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre 0,4.

Représenter graphiquement la fonction f, densité de cette variable aléatoire.

Hachurer le domaine dont l’aire mesure P X ≤( )0 5, et le domaine dont l’aire mesure P X1 2≤ ≤( ).

Calculer ces deux probabilités.

La durée de fonctionnement X (en heures) d’une ampoule électrique suit une loi exponentielle de paramètre 0,0001.

Quelle est la probabilité qu’une ampoule fonctionne plus de 200 heures ?

Quelle est la durée de fonctionnement qu’elle peut atteindre avec une proba-bilité égale à 0,95 ?

Quelle est la durée moyenne de fonctionnement d’une telle ampoule ?

Quelle est la probabilité qu’une ampoule fonctionne plus de 1 500 heures sachant qu’elle a déjà fonctionné pendant 1 000 heures ?

Exemple 7

Solution

D

Exercice 8

Exercice 9



Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse.

La variable aléatoire X modélise la durée de fonctionnement d’un appareil élec-trique. La loi de X est une loi exponentielle de paramètre λ et les informations obtenues par une association de consommateurs indiquent une durée moyenne de 8 ans.

On a λ = 0 125, .

La probabilité pour que l’appareil fonctionne moins de 8 ans est égale à e−8.

La probabilité pour que l’appareil fonctionne pendant au moins 16 ans est égale à e−2.

La probabilité pour que l’appareil fonctionne entre 8 et 12 ans est égale à 0,145 à 10 3− près.

La probabilité que l’appareil fonctionne encore au bout de 12 ans sachant

qu’il a déjà fonctionné pendant 8 ans est égale à 1e

.

Radioactivité

La durée de vie d’un atome d’un corps radioactif est modélisée par une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

On appelle demi-vie le nombre T tel que P X P X≤( ) = ≤( )T T .

Déterminer le nombre T en fonction de λ.

Le plutonium 239 a une demi-vie d’environ 24 000 ans, en déduire une valeur approchée du coefficient λ correspondant (l’unité de temps est l’année).

L’iode 123 a une demi-vie de 13 heures, en déduire une valeur approchée du coefficient λ correspondant (l’unité de temps est l’heure).

Le coefficient de la loi exponentielle de la durée de vie X d’un atome d’iode 131 est égal à 0,086 en jours-1.

Calculer la demi-vie de l’iode 131.

Calculer la probabilité qu’un atome d’iode 131 se désintègre :

pendant les deux premières semaines d’observation ;

pendant le premier mois.

Quelle est la durée moyenne de désintégration d’un atome d’iode 131 ?

Exercice 10

Exercice 11

Partie A

Partie B



5 Synthèse de la séquence

Synthèse du cours

1. Lois de probabilité à densité

On dit qu’une fonction f, définie sur un intervalle I de , est une densité de probabilité sur I lorsque :

f est continue sur I ;

f est à valeurs positives sur I ;

l’aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a.

a bI ;[ ]= aI ;[ [= +∞

f t tab

( ) d∫ =1

lim ( )x a

xf t t

→+∞∫

=d 1

ba

1

1O a 1

1

O

bI ;] ]= −∞ I ;] [= −∞ +∞

lim ( )y y

bf t t

→−∞∫

=d 1 lim ( ) lim ( )

y y x

xf t t f t t

→−∞ →+∞∫ ∫

+

d d

00

==1

b1

1

O1

0,5

O

Définition

A



On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une loi de probabilité P.

Soit X une variable aléatoire, fonction de Ω dans , qui associe à chaque issue un nombre réel d’un intervalle I de .

Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de probabilité sur I.

On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur l’intervalle I (ou est « à densité f sur I ») lorsque, pour tout événement J inclus dans I, la probabilité de l’événement X( J)∈ est la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine : x y x y f xM ; ; J et 0 ( ) . ( ) ∈ ≤ ≤

Définition

On a : P X( I) 1.∈ =

En général, les probabilités seront calculées par des intégrales.

On admet que l’on peut prolonger la loi de probabilité à toutes unions finies d’intervalles de telle sorte que l’on ait la propriété :

Propriété

Si J et J’ sont deux unions finies d’intervalles inclus dans I, on a :

P X P X P XJ J J J .( ) ( ) ( )∈ ∪ ′ = ∈ + ∈ ′

Propriété

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I, on a les propriétés suivantes.

a) Pour tout intervalle c dJ ;[ ]= de I, on a : P c X d f x xcd≤ ≤( ) = ∫ ( ) .d

b) Pour tout réel α de I, on a : P X 0.( )=α =

c) Pour tous réels c et d de I, P c X d P c X d P c X d P c X d≤ ≤( ) = < ≤( ) = ≤ <( ) = < <( ).

d) Soit J un intervalle, on a : P X P XJ 1 J .( ) ( )∈ = − ∈

Soit I’ un intervalle de I tel que P X I 0( )∈ ′ ≠ et soit J un autre intervalle de I. On définit la probabilité conditionnelle P X JX I ( )∈∈ ′ par l’égalité :

P XP X

P XJ

J I

I.X I ( ) ( )

( )∈ =

∈ ∩ ′∈ ′∈ ′

Définition

Conséquence

Remarque

Remarque



L’espérance E( )X d’une variable aléatoire à densité f sur a b;[ ] est définie par :

E d( ) ( ) .X x f x xab= ∫

Définition

2. Lois uniformes

On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 1;[ ] si sa densité est la fonction définie sur 0 1;[ ] par f x( ) .=1

c d 1

1

O

Définition

Propriété


P X c d P c X d d c∈ [ ]( ) = ≤ ≤( ) = −; .

Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle a b;[ ] si sa den-

sité est la fonction définie sur a b;[ ] par f xb a

( ) .=−1

c d b = 3 a = –1 1

1

O

0,25

Définition



Propriété


P X c d P c X d d cb a

∈ [ ]( ) = ≤ ≤( ) = −−

; .

Propriété

L’espérance E( )X d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur a b;[ ] est telle que :

E( ) .X a b= +2

3. Lois exponentielles


Une variable à densité X suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa den-sité est la fonction f définie sur 0 ;+∞[ [ par f x x( ) .= −λ λe

1O

Définition

Propriétés

Quels que soient les nombres réels positifs a, c et d, on a :

P X c d P c X d t; e d e ecd c dt∫ λ( ) ( )[ ]∈ = ≤ ≤ = = −λ λ λ− − −

P X a a( ) .≤ = − −1 e λ

P X a a( ) .≥ = −e λ

On définit l’espérance E( )X d’une variable aléatoire suivant la loi exponen-tielle de paramètre λ en posant :

E e d( ) lim .X t tx

tx=→+∞

−∫ λ λ0

Définition



Propriété

L’espérance E( )X d’une variable aléatoire X suivant une bi exponentielle de

paramètre λ est telle que E( ) .X = 1λ

Propriété Durée de vie sans vieillissement

Une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle est telle que, pour tous réels x et h positifs, on a P X t h P X hX t≥ ≥ +( ) = ≥( ).

Exercices de synthèse

Le paradoxe de Bertrand

Soit un cercle C de rayon 1, le côté d’un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle est alors égal à 3.

Le but de cet exercice est d’étudier différentes méthodes pour déterminer la pro-babilité qu’une corde du cercle, choisie au hasard, ait une longueur supérieure à 3.

A

CB

33

D

E

O

3

O

I

I

3

Première méthode

On fixe un point A sur le cercle C. On choisit au hasard un point M sur le cercle et on considère la corde AM. Quelle est la probabilité que la corde AM ait une longueur supérieure à 3 ? (On pourra utiliser les points B et C du cercle tels que le triangle ABC soit équilatéral.)

Deuxième méthode

Soit O le centre du cercle et D un point du cercle. On choisit au hasard un point I sur le segment OD[ ]. Quelle est la probabilité que la corde de milieu I ait une longueur supérieure à 3 ?

B

Exercice I



Troisième méthode

On choisit au hasard un point I à l’intérieur du cercle. Quelle est la probabilité que la corde de milieu I ait une longueur supérieure à 3 ?

Commenter les résultats précédents.

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose de composants électroniques iden-tiques. La durée de vie (ou de fonctionnement) en années d’un composant électro-nique est une variable aléatoire notée X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0.

Toutes les probabilités seront données à 10 3− près.

Sachant que P X( ) , ,≥ =10 0 286 montrer qu’une valeur approchée à 10 3− près de λ est 0,125. On prendra 0,125 pour valeur de λ dans la suite de l’exercice.

Calculer la probabilité qu’un composant du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.

Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné 8 années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?

Le responsable du laboratoire décide de commander 15 composants élec-troniques. On considère que la durée de vie Xi , 1 15≤ ≤i , d’un composant électronique est indépendante de celle des autres appareils, c’est-à-dire

P X a X b X c P X a P X b P X c... ...1 2 15 1 2 15( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )≤ ∩ ≤ ∩ ∩ ≤ = ≤ × ≤ × × ≤

Quelle est la probabilité qu’au moins un composant électronique ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?

Combien l’établissement devrait-il acheter de composants électroniques pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?

Un réparateur de vélos a acheté un stock de pneus.

On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus sans crevaison par un pneu. On fait l’hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètre λ.

Montrer que P X( ) .500 1000 500 1000≤ ≤ = −− −e eλ λ

La probabilité qu’un pneu crève pour la première fois entre 500 et 1000 kilo-

mètres étant égale à 14

, déterminer la valeur arrondie à 10 4− près du paramètre λ.

On considère deux variables aléatoire X et Y suivant toutes les deux, indépen-damment l’une de l’autre, la loi uniforme sur 0 1; .[ ]On va étudier la variable aléatoire S définie par S X Y= + .

Montrer que S prend ses valeurs dans 0 2; .[ ]

Exercice II

Exercice III

Exercice IV



On associe aux deux variables aléatoires X et Y le point aléatoire M de coor-données X Y;( ) dans un repère orthonormé O ; I J, .( ) L’ensemble (C) formé par les points M est l’intérieur du carré OIKJ.

Un événement E correspond à un ensemble (E) de points de (C). On admet que la

probabilité P(E) de l’événement E est telle que P E( )= aire(E)aire(C)

, ce qui correspond

à une loi uniforme sur l’ensemble (C). P E( )= aire(E)aire(C)

, ce qui correspond à une loi

uniforme sur l’ensemble (C).

Représenter (C) et hachurer l’ensemble (E) correspondant à l’événement E Y X= ≤ −( , ).0 5 Quelle est son aire ? Calculer P Y X( , )≤ −0 5 et P S( , ).≤ 0 5

Soit t un nombre réel tel que 0 1≤ ≤t , déterminer P S t( ).≤

Hachurer l’ensemble (G) correspondant à l’événement ( , ).Y X≤ −1 25 Mon-trer que aire(G)= 0 71875, . En déduire P S( , ).≤1 25

Soit t un nombre réel tel que 1 2≤ ≤t , montrer que P S t t t( ) .≤ =− + −2

22 1

On pose F t P S t( ) ( )= ≤ sur 0 2; .[ ] On admet que S suit une loi à densité f. Montrer que ′ =F f .

Déterminer l’expression de f t( ) suivant la valeur de t.

Vérifier que la fonction f est une densité de probabilité sur 0 2; .[ ]


Séquence 8 - Académie en ligne · Plus précisément, on va étudier des variables aléatoires X,...

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