Matlab Pdetool

Lezione 1Elettrostatica

Ing Flavio Calvano

bull Richiami sul metodo degli elementi finitibull Pdetool in modalitagrave GUIbull Pdetool su linee di comandobull Calcolo Capacitagrave in elettrostatica

Argomenti trattati

Formulazione Classica

Le soluzioni sono funzioni di classe C2(Ω)

0 in Ω E - u0 in Ω

in Ω

ED

D Eε

nablatimes = rArr = nabla nabla sdot = =

Elettrostatica in un mezzo omogeneo

Moltiplichiamo lrsquoequazione di Laplace per unrsquoarbitraria funzione test wand integriamo su Ω

Formulazione Debole

e la formula di Green

Questa forma egrave detta debole Sia u sia w devono essere continue e derivabili a tratti devono cioegrave appartenere ad H1(Ω)

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Sono introdotti dei vincoli per w mentre i requisiti per u sono meno stringenti rispetto alproblema originale

Sfruttando lrsquoidentitagrave vettoriale

rArr

rArr

Metodo di Galerkin

Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio

Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk

NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema

Funzioni di Forma 1D

Xh-1 Xh Xh+1

Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Funzioni lineari a tratti

Funzioni di Forma 1D

leleminusminus

leleminusminus

= ++

+

minusminus

minus

altrove0

xxxperxxxx

xxxperxxxx

)x(w 1hhh1h

1h

h1h1hh

1h

h

Per valutare gli integrali dxdx

dwdx

dwl k

lh

hk int=0

=∆

+=minus=∆

minus

=

altrove0

per2

11per1

khx

hkehkx

lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito

Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare

1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=

Discretizzazione del dominio in elementi triangolari

)()()()( )( rh

rh

rh

rh cybxayxw ++=

)(2

1)(ji

r

rh yy

Aa minus= )(

21)(

ijr

rh xx

Ab minus= )(

21)(

ijjir

rh yxyx

Ac minus=

Ar =12

xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]

ybxayxw rk

rk

rk ˆˆ)( )()()( +=nabla

Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva

Funzioni di Forma 2D

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

Matlab pdetool modalitagrave GUI

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

bull Richiami sul metodo degli elementi finitibull Pdetool in modalitagrave GUIbull Pdetool su linee di comandobull Calcolo Capacitagrave in elettrostatica

Argomenti trattati

Formulazione Classica

Le soluzioni sono funzioni di classe C2(Ω)

0 in Ω E - u0 in Ω

in Ω

ED

D Eε

nablatimes = rArr = nabla nabla sdot = =

Elettrostatica in un mezzo omogeneo

Moltiplichiamo lrsquoequazione di Laplace per unrsquoarbitraria funzione test wand integriamo su Ω

Formulazione Debole

e la formula di Green

Questa forma egrave detta debole Sia u sia w devono essere continue e derivabili a tratti devono cioegrave appartenere ad H1(Ω)

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Sono introdotti dei vincoli per w mentre i requisiti per u sono meno stringenti rispetto alproblema originale

Sfruttando lrsquoidentitagrave vettoriale

rArr

rArr

Metodo di Galerkin

Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio

Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk

NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema

Funzioni di Forma 1D

Xh-1 Xh Xh+1

Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Funzioni lineari a tratti

Funzioni di Forma 1D

leleminusminus

leleminusminus

= ++

+

minusminus

minus

altrove0

xxxperxxxx

xxxperxxxx

)x(w 1hhh1h

1h

h1h1hh

1h

h

Per valutare gli integrali dxdx

dwdx

dwl k

lh

hk int=0

=∆

+=minus=∆

minus

=

altrove0

per2

11per1

khx

hkehkx

lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito

Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare

1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=

Discretizzazione del dominio in elementi triangolari

)()()()( )( rh

rh

rh

rh cybxayxw ++=

)(2

1)(ji

r

rh yy

Aa minus= )(

21)(

ijr

rh xx

Ab minus= )(

21)(

ijjir

rh yxyx

Ac minus=

Ar =12

xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]

ybxayxw rk

rk

rk ˆˆ)( )()()( +=nabla

Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva

Funzioni di Forma 2D

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

Matlab pdetool modalitagrave GUI

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
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• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
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• Diapositiva numero 10
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• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
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• Equazioni alle derivate parziali
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• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
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• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Formulazione Classica

Le soluzioni sono funzioni di classe C2(Ω)

0 in Ω E - u0 in Ω

in Ω

ED

D Eε

nablatimes = rArr = nabla nabla sdot = =

Elettrostatica in un mezzo omogeneo

Moltiplichiamo lrsquoequazione di Laplace per unrsquoarbitraria funzione test wand integriamo su Ω

Formulazione Debole

e la formula di Green

Questa forma egrave detta debole Sia u sia w devono essere continue e derivabili a tratti devono cioegrave appartenere ad H1(Ω)

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Sono introdotti dei vincoli per w mentre i requisiti per u sono meno stringenti rispetto alproblema originale

Sfruttando lrsquoidentitagrave vettoriale

rArr

rArr

Metodo di Galerkin

Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio

Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk

NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema

Funzioni di Forma 1D

Xh-1 Xh Xh+1

Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Funzioni lineari a tratti

Funzioni di Forma 1D

leleminusminus

leleminusminus

= ++

+

minusminus

minus

altrove0

xxxperxxxx

xxxperxxxx

)x(w 1hhh1h

1h

h1h1hh

1h

h

Per valutare gli integrali dxdx

dwdx

dwl k

lh

hk int=0

=∆

+=minus=∆

minus

=

altrove0

per2

11per1

khx

hkehkx

lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito

Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare

1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=

Discretizzazione del dominio in elementi triangolari

)()()()( )( rh

rh

rh

rh cybxayxw ++=

)(2

1)(ji

r

rh yy

Aa minus= )(

21)(

ijr

rh xx

Ab minus= )(

21)(

ijjir

rh yxyx

Ac minus=

Ar =12

xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]

ybxayxw rk

rk

rk ˆˆ)( )()()( +=nabla

Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva

Funzioni di Forma 2D

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

Matlab pdetool modalitagrave GUI

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Formulazione Debole

e la formula di Green

Questa forma egrave detta debole Sia u sia w devono essere continue e derivabili a tratti devono cioegrave appartenere ad H1(Ω)

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Sono introdotti dei vincoli per w mentre i requisiti per u sono meno stringenti rispetto alproblema originale

Sfruttando lrsquoidentitagrave vettoriale

rArr

rArr

Metodo di Galerkin

Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio

Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk

NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema

Funzioni di Forma 1D

Xh-1 Xh Xh+1

Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Funzioni lineari a tratti

Funzioni di Forma 1D

leleminusminus

leleminusminus

= ++

+

minusminus

minus

altrove0

xxxperxxxx

xxxperxxxx

)x(w 1hhh1h

1h

h1h1hh

1h

h

Per valutare gli integrali dxdx

dwdx

dwl k

lh

hk int=0

=∆

+=minus=∆

minus

=

altrove0

per2

11per1

khx

hkehkx

lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito

Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare

1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=

Discretizzazione del dominio in elementi triangolari

)()()()( )( rh

rh

rh

rh cybxayxw ++=

)(2

1)(ji

r

rh yy

Aa minus= )(

21)(

ijr

rh xx

Ab minus= )(

21)(

ijjir

rh yxyx

Ac minus=

Ar =12

xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]

ybxayxw rk

rk

rk ˆˆ)( )()()( +=nabla

Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva

Funzioni di Forma 2D

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

Matlab pdetool modalitagrave GUI

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Metodo di Galerkin

Per risolvere numericamente tale equazione si puograve applicare il metodo di Galerkin Si cercaunrsquoapprossimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita imponendo chelrsquoequazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio

Se si considera una base BM dello spazio finito UM la soluzione cosigrave come le funzionipeso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base wh ottenendo ilseguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti uk

NB In uk saranno presenti implicitamente anche i termini noti sui nodicorrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Dirichlet di potenzialeassegnato Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto delsistema

Funzioni di Forma 1D

Xh-1 Xh Xh+1

Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Funzioni lineari a tratti

Funzioni di Forma 1D

leleminusminus

leleminusminus

= ++

+

minusminus

minus

altrove0

xxxperxxxx

xxxperxxxx

)x(w 1hhh1h

1h

h1h1hh

1h

h

Per valutare gli integrali dxdx

dwdx

dwl k

lh

hk int=0

=∆

+=minus=∆

minus

=

altrove0

per2

11per1

khx

hkehkx

lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito

Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare

1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=

Discretizzazione del dominio in elementi triangolari

)()()()( )( rh

rh

rh

rh cybxayxw ++=

)(2

1)(ji

r

rh yy

Aa minus= )(

21)(

ijr

rh xx

Ab minus= )(

21)(

ijjir

rh yxyx

Ac minus=

Ar =12

xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]

ybxayxw rk

rk

rk ˆˆ)( )()()( +=nabla

Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva

Funzioni di Forma 2D

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

Matlab pdetool modalitagrave GUI

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
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• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Funzioni di Forma 1D

Xh-1 Xh Xh+1

Il modo piugrave semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a H1 [x0 xN] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti

H1(Ω)=vΩrarrR visinL2(Ω) vrsquoisinL2(Ω) egrave lo spazio delle funzioni in cui le funzioni e le loro derivate generalizzate sono a quadrato sommabili

Funzioni lineari a tratti

Funzioni di Forma 1D

leleminusminus

leleminusminus

= ++

+

minusminus

minus

altrove0

xxxperxxxx

xxxperxxxx

)x(w 1hhh1h

1h

h1h1hh

1h

h

Per valutare gli integrali dxdx

dwdx

dwl k

lh

hk int=0

=∆

+=minus=∆

minus

=

altrove0

per2

11per1

khx

hkehkx

lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito

Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare

1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=

Discretizzazione del dominio in elementi triangolari

)()()()( )( rh

rh

rh

rh cybxayxw ++=

)(2

1)(ji

r

rh yy

Aa minus= )(

21)(

ijr

rh xx

Ab minus= )(

21)(

ijjir

rh yxyx

Ac minus=

Ar =12

xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]

ybxayxw rk

rk

rk ˆˆ)( )()()( +=nabla

Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva

Funzioni di Forma 2D

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

Matlab pdetool modalitagrave GUI

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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Funzioni di Forma 1D

leleminusminus

leleminusminus

= ++

+

minusminus

minus

altrove0

xxxperxxxx

xxxperxxxx

)x(w 1hhh1h

1h

h1h1hh

1h

h

Per valutare gli integrali dxdx

dwdx

dwl k

lh

hk int=0

=∆

+=minus=∆

minus

=

altrove0

per2

11per1

khx

hkehkx

lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito

Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare

1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=

Discretizzazione del dominio in elementi triangolari

)()()()( )( rh

rh

rh

rh cybxayxw ++=

)(2

1)(ji

r

rh yy

Aa minus= )(

21)(

ijr

rh xx

Ab minus= )(

21)(

ijjir

rh yxyx

Ac minus=

Ar =12

xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]

ybxayxw rk

rk

rk ˆˆ)( )()()( +=nabla

Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva

Funzioni di Forma 2D

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

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Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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leleminusminus

leleminusminus

= ++

+

minusminus

minus

altrove0

xxxperxxxx

xxxperxxxx

)x(w 1hhh1h

1h

h1h1hh

1h

h

Per valutare gli integrali dxdx

dwdx

dwl k

lh

hk int=0

=∆

+=minus=∆

minus

=

altrove0

per2

11per1

khx

hkehkx

lhkrArrotimesx egrave la lunghezza dellrsquoelemento finito

Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare

1)x(we0)x(wu)x(u kkkikk ==rArr=

Discretizzazione del dominio in elementi triangolari

)()()()( )( rh

rh

rh

rh cybxayxw ++=

)(2

1)(ji

r

rh yy

Aa minus= )(

21)(

ijr

rh xx

Ab minus= )(

21)(

ijjir

rh yxyx

Ac minus=

Ar =12

xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]

ybxayxw rk

rk

rk ˆˆ)( )()()( +=nabla

Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva

Funzioni di Forma 2D

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

Matlab pdetool modalitagrave GUI

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Discretizzazione del dominio in elementi triangolari

)()()()( )( rh

rh

rh

rh cybxayxw ++=

)(2

1)(ji

r

rh yy

Aa minus= )(

21)(

ijr

rh xx

Ab minus= )(

21)(

ijjir

rh yxyx

Ac minus=

Ar =12

xiy j minus x j yi( )+ x j yh minus xh y j( )+ xh yi minus xiyh( )[ ]

ybxayxw rk

rk

rk ˆˆ)( )()()( +=nabla

Lu=0 La matrice L egrave simmetrica e definita positiva

Funzioni di Forma 2D

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

Matlab pdetool modalitagrave GUI

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
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• Definizione del problema 2d
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• Calcolo soluzione
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• Campo Elettrico
• Risultati

Definizione del problema fisico

Definizione della geometria

Condizioni alcontorno

Discretizzazionedel dominio

Assemblaggio matrici e soluzionedel problema

Matlab pdetool modalitagrave GUI

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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• Formulazione Debole
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• Funzioni lineari a tratti
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• Diapositiva numero 10
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• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
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• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

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Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
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• Campo Elettrico
• Risultati

Disegno geometria

Creazione geometriaVariazione parametri geometriciForme 2d

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Condizioni al contorno

Passiamo in boundary mode

Fissiamo le condizioni al contorno

R1-E1-E2

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Condizioni di Dirichlethmiddotu=r

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Condizioni di Neumannnmiddotcmiddotgrad(u)+qu=g

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Equazione differenziale risolvente

-div(cmiddotgrad(u))+amiddotu=f

pde mode Elliptic equation

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Mesh a elementi finitiInitialize mesh

Refine mesh

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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• Formulazione Debole
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• Funzioni lineari a tratti
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• Diapositiva numero 10
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• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
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• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
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• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
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• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Equazioni alle derivate parziali

Ωin)( yxfuu yyxx =+ Ellittiche

Ωin)( yxfuu xxt =minus Paraboliche

Ωin)( yxfuu xxtt =minus Iperboliche

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
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• Formulazione Debole
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• Funzioni lineari a tratti
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• Diapositiva numero 10
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• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Post processingSelezione dei plot

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

PotentialeContour Plot

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Campo ElettricoArrow plot

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Utilizzo di pdetool da linea di comando

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

• Matlab Pdetool
• Argomenti trattati
• Formulazione Classica
• Formulazione Debole
• Metodo di Galerkin
• Funzioni di Forma 1D
• Funzioni lineari a tratti
• Funzioni di Forma 1D
• Diapositiva numero 9
• Diapositiva numero 10
• Matlab pdetool modalitagrave GUI
• Disegno geometria
• Condizioni al contorno
• Condizioni di Dirichlet
• Condizioni di Neumann
• Equazione differenziale risolvente
• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Definire la geometria

pderect([xmin xmax ymin ymax]R1)

pdecirc(xcycr R2lsquo)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringR1)

dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Esportare le informazioni geometriche

Geometria

Condizioni al contornopdesetbd(5neu100)

pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

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pdesetbd(4dir11V)

Dirichlethmiddotu=r

Neumanncmiddotgrad(u)+qu=g

Esportare le condizioni al contorno

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

V=num2str(10)

MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

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cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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MeshLa mesh viene esportata per default nelle matrici p e t

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

pdeplot(pet) Plot della mesh

Matrice p matrice dei nodi della mesh [2Np] (Np egrave il numero di nodi della mesh) Laprima riga contiene le ascisse dei nodi la seconda contiene le ordinateMatrice e matrice del contorno della mesh [7 Ne] (Ne egrave il numero di nodi del contorno)La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmentielementari di frontiera la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali delparametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione) la quinta riga contiene ilnumero del segmento di frontiera la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodominia destra e a sinistra del segmentoMatrice t matrice dei triangoli della mesh [ 4 Nt ] (Nt egrave il numero di triangoli) Ersquo forse lapiugrave importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli Lagenerica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degliindici dei nodi h i j appartenenti ad esso

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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• Campo Elettrico
• Risultati

Assemblaggio matrici e soluzione

u=assempde(blpetcaf) assembla e risolve

bl egrave la matrice delle condizioni al contorno ottenuta con il comando

-div(cgrad(u))+au=f

h=findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)bl=get(findobj(get(hChildren)flatlsquo TagPDEBoundMode)UserData)

pet sono le matrici che descrivono la mesh ottenute con il comando

[p1e1t1]=initmesh(dlHmax001initoff) inizializzazione[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular) rifinitura

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

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Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

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0

0005

001

0015

Campo Elettrico

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cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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• Condizioni di Neumann
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• Mesh a elementi finiti
• Equazioni alle derivate parziali
• Post processing
• Potentiale
• Campo Elettrico
• Diapositiva numero 22
• Geometria
• Condizioni al contorno
• Mesh
• Assemblaggio matrici e soluzione
• Esercitazione 1
• Definizione del problema 2d
• Costruzione geometria
• Condizioni al contorno
• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Esercitazione 1

Calcolo capacitagrave in regime elettrostatico

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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• Definizione mesh
• Calcolo soluzione
• Energia immagazzinata da un condensatore
• Calcolo capacitagrave con energia del sistema
• Plot soluzione-Potenziale u
• Campo Elettrico
• Risultati

Definizione del problema 2d

=partpart

=

=

=nabla

0

0

100

inf

2

2

1

nu

u

uu

l

l

u potenziale elettrostaticoE=-grad(u) campo elettrico

dArr

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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• Risultati

Costruzione geometria

xmin=0xmax=01 ymin=-01ymax=01dh=75e-4epsr=29pderect([xmin xmax dh2 ymax]R1)pderect([xmin xmax -dh2 ymin]R2)pderect([15xmin 15xmax 5ymin 5ymax]R3)

set(findobj(get(pde_figChildren)TagPDEEval)StringlsquoR3-R2-R1)dl=get(findobj(get(pde_figChildren)flatTagPDEBoundMenu)UserData)

Piano ρ-z

pdesetbd(6neu100)pdesetbd(5neu100)pdesetbd(4dir110)pdesetbd(3dir110)pdesetbd(2dir11num2str(v))pdesetbd(1dir11num2str(v))

Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

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0

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002

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Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

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0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

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Condizioni al contornopdesetbd(12neu100)pdesetbd(11neu100)pdesetbd(10neu100)pdesetbd(9dir11num2str(v))pdesetbd(8dir110)pdesetbd(7neu100) Neumann in aria (in blu)=campo elettrico nullo allrsquoinfinito

Dirichlet sulle armature (in rosso)= definizione dei potenziali sulle armature

Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

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Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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Definizione mesh[p1e1t1]=initmesh(dlHmax01initoff)

[pet]=refinemesh(dlp1e1t1regular)

Calcolo soluzione

Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

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Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

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Passaggio a coordinate cilindriche x-gtrang

coordinata ro del baricentro dei triangolix=pdeintrp(ptp(1))

u = assempde(blpetx00)

c a f

Energia immagazzinata da un condensatore

22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

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pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

-002

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

002

0025

Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

-001

-0005

0

0005

001

0015

Campo Elettrico

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cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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22222 E21E)dA(

21dE

dA

21VC

21Energia ετ=ε=

εrArr∆=

τε= intreal

d)zyx(E21Energia

3

2

Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

002 004 006 008 01 012-0025

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0

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002

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Campo Elettrico

0095 01 0105 011 0115 012

-0015

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0

0005

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0015

Campo Elettrico

Risultati

cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

R=10 cmD=29 mm

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Calcolo capacitagrave con energia del sistema

Nt=size(t2) Numero dei triangoli

eps=epsr885e-12

calcolo delle componenti del gradiente di u lungo ρ e z

[URUZ]=pdegrad(ptu)

coordinata ρ dei baricentri dei triangolirc=pdeintrp(ptp(1))

area=abs(pdetrg(pt)) area di ogni triangolo

Energia=0for n=1Nt

E2= (UR(n)^2+UZ(n)^2) norm(E)^2Energia=Energia+epsE2rc(n)area(n)pi

end

cnumerico=2Energiav^2

cteorico=epspi((xmax)^2)dh

Plot soluzione-Potenziale u

figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

Campo Elettrico

figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

Oppure semplicemente con il comando

pdeplot(petflowdata-[URUZ]flowstylearrow)

Ma esso non consente lrsquoopzione scale

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0

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Campo Elettrico

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Campo Elettrico

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cnumerico = 11064e-009 Fcpiattoindefinito = 10751e-009 F

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figure pdegplot(dl) hold onpdecont(ptu12)

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figurepdegplot(dl)hold onuu=pdeprtni(ptUR) conversione baricentri-nodivv=pdeprtni(ptUZ)scale=05x=p(1)y=p(2)quiver(xy-uu-vvscaler-)title(Campo Elettrico)

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