Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve...

Corrigé d’un exercice sur la matrice derotation dans le plan

Denis Bitouzé

IUT Génie Thermique et Énergie de Dunkerque

7 mai 2020

Plan

Énoncé de l’exercice

Où l’on découvre en quoi la matrice de rotation est unematrice de rotation

Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n foisune rotation d’angle α revient à lui faire subir une rotationd’angle nα


Soit α un réel et Rα la matrice rotation définie par :

Rα =

(cosα −sinαsinα cosα

)

1. Calculer R2α et R3

α .

2. En déduire une formule pour Rnα (n ∈N∗) à démontrer par

récurrence.

Plan




Matrice de rotation

#»v ′ =# »

OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM

x

y

O

a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=

(OM ′ cosγOM ′ sinγ

)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′

(cos(α+ β)sin(α+ β)

)=OM ′

(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ

)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v

Matrice de rotation

#»v ′ =# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)

#»v ′ =# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′


)=OM ′


)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v

Matrice de rotation#»v ′ =

# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)

=


)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′


)=OM ′


)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v


# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)

=OM ′(cosγsinγ

)=OM ′


)=OM ′


)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v


# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)=OM ′

(cosγsinγ

)

=OM ′(cos(α+ β)sin(α+ β)

)=OM ′


)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v


# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′


)

=OM ′(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ

)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v


# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′


)=OM ′


)

=OM ′(cosα −sinαsinα cosα

)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v


# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′


)=OM ′


)=OM ′


)(cosβsinβ

)

=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v


# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′


)=OM ′


)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)

=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v


# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′


)=OM ′


)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)

=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v


# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′


)=OM ′


)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)

=


)#»v

= Rα#»v


# »


x

y

O a

b M

#»v

a ′

b ′ M ′

α

#»v ′

γ

β

#»v =# »OM =

(ab

)#»v ′ =

# »

OM ′ =(a′b ′

)=


)=OM ′

(cosγsinγ

)=OM ′


)=OM ′


)=OM ′


)(cosβsinβ

)=OM


)(cosβsinβ

)=


)(OM cosβOM sinβ

)=


)(ab

)=


)#»v

= Rα#»v

Plan




Calcul de R2α

R2α = RαRα

=


)(cosα −sinαsinα cosα

)=

(cos2α − sin2α −2cosα sinα

2cosα sinα cos2α − sin2α

)=

(cos2α −sin2αsin2α cos2α

)= R2α

Calcul de R2α

R2α = RαRα

=



)

=



)=


)= R2α

Calcul de R2α

R2α = RαRα

=



)=



)

=


)= R2α

Calcul de R2α

R2α = RαRα

=



)=



)=


)

= R2α

Calcul de R2α

R2α = RαRα

=



)=



)=


)= R2α

Calcul de R2α (remarque)

Faire subir à un vecteur #»v 2 fois une rotation d’angle α revientà Rα (Rα

#»v ).

Or :

Rα (Rα#»v ) = (RαRα)

#»v (associativité du produit matriciel)

= R2α

#»v

= R2α#»v (d’après le calcul précédent)

Autrement dit, faire subir à un vecteur 2 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 2α.

Calcul de R2α (remarque)

Faire subir à un vecteur #»v 2 fois une rotation d’angle α revientà Rα (Rα

#»v ). Or :

Rα (Rα#»v ) = (RαRα)

#»v (associativité du produit matriciel)

= R2α

#»v

= R2α#»v (d’après le calcul précédent)

Autrement dit, faire subir à un vecteur 2 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 2α.

Calcul de R3α

R3α = R2

αRα

= R2αRα d’après le transparent précédent

=



)=

(cos2α cosα − sin2α sinα −cos2α sinα − cosα sin2αsin2α cosα+cos2α sinα −sin2α sinα+cos2α cosα

)=


)= R3α

Donc, de même, faire subir à un vecteur 3 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 3α.

Calcul de R3α

R3α = R2

αRα= R2αRα d’après le transparent précédent

=



)=


)=


)= R3α


Calcul de R3α

R3α = R2


=



)

=


)=


)= R3α


Calcul de R3α

R3α = R2


=



)=


)

=


)= R3α


Calcul de R3α

R3α = R2


=



)=


)=


)

= R3α


Calcul de R3α

R3α = R2


=



)=


)=


)= R3α


Conjecture

I On conjecture que, pour tout n > 1, on a Rnα = Rnα .

I Prouvons-le par récurrence.

RécurrencePremière étape : initialisation

La relation Rnα = Rnα est bien vraie au rang n = 1. En effet :

R1α = Rα par définition de la puissance d’une matrice

= R1α


La relation Rnα = Rnα est bien vraie au rang n = 1.

En effet :


= R1α


La relation Rnα = Rnα est bien vraie au rang n = 1. En effet :


= R1α

RécurrenceDeuxième étape : hérédité (programme)

1. On suppose la relation vraie au rang n :

Rnα = Rnα (hypothèse de récurrence)

2. On prouve que, alors, la relation est vraie au rang n +1 :

Rn+1α = R(n+1)α




2. On prouve que, alors, la relation est vraie au rang n +1

:

Rn+1α = R(n+1)α




2. On prouve que, alors, la relation est vraie au rang n +1 :

Rn+1α = R(n+1)α

RécurrenceDeuxième étape : hérédité (preuve que la relation est vraie au rang n +1)

On a :

Rn+1α = RαR

nα

= RαRnα par hypothèse de récurrence

=


)(cosnα −sinnαsinnα cosnα

)=

(cosα cosnα − sinα sinnα −cosα sinnα − sinα cosnαsinα cosnα+cosα sinnα −sinα sinnα+cosα cosnα

)=

(cos(n +1)α −sin(n +1)αsin(n +1)α cos(n +1)α

)= R(n+1)α

La relation est bien vraie au rang n +1.


On a :

Rn+1α = RαR

nα


=



)

=


)=


)= R(n+1)α



On a :

Rn+1α = RαR

nα


=



)=


)

=


)= R(n+1)α



On a :

Rn+1α = RαR

nα


=



)=


)=


)

= R(n+1)α



On a :

Rn+1α = RαR

nα


=



)=


)=


)= R(n+1)α


RécurrenceTroisième étape : conclusion

I On a prouvé par récurrence que, pour tout n > 1, Rnα = Rnα .

I Donc, faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle αrevient à lui faire subir une rotation d’angle nα.

RécurrenceRemarque

On aurait même pu prouver

1

que, pour tout n > 0, Rnα = Rnα .

1. Preuve laissée en exercice.

RécurrenceRemarque

On aurait même pu prouver 1 que, pour tout n > 0, Rnα = Rnα .

1. Preuve laissée en exercice.

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