ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

έκδοση DΥΝI-INTDYN_2016b

Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα.

Copyright © Ε.Μ.Π. - 2016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών – Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών – κτ. Μ – αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

Πληροφορίες ________________________________________________ Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr, 210-7722332

Εισαγωγή

Αιτίες αστοχίας Μηχανών & Κατασκευών Συντονισμός Κόπωση Κραδασμοί Υψηλά επίπεδα θορύβου

ΑΝΑΛΥΣΗ της δυναμικής & των ταλαντώσεων συστημάτων υπό περιβαλλοντικές επιδράσεις

Περιορισμός ταλαντώσεων & συντονισμών Ασφάλεια σε οριακές καταστάσεις Λειτουργικότητα υπό ΚΣ λειτουργίας Πρόληψη καταστροφών Άνεση

Εισαγωγή: Αντικείμενο δυναμικής ανάλυσης μηχανών & κατασκευών

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Σύστημα (Μηχανή/κατασκευή)

ΜΕΤΡΗΣΗ & ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΡΑΔΑΣΜΩΝ

• Καθορισμός απόκρισης νέου συστή-ματος

• Επιδραση τροποποιήσεων στην από-κριση υπάρχοντος συστήματος

• Καθορισμός τροποποιήσεων για να επιτευχθεί η επιθυμητή απόκριση

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

1. Σύστημα (Μηχανή/κατασκευή) 2. Μοντελοποίηση 3. Εξισώσεις Κίνησης

4. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Βασικοί ορισμοί συστήματος/ μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Σύστημα (μηχανή/κατασκευή) Σύνθεση στοιχείων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και αποτελούν ένα ενιαίο σύνολο με καθορισμένα όρια

Περιβάλλον ό,τι δεν ανήκει στο σύστημα

Διέγερση (είσοδος) μεταβλητές που επιβάλονται στο σύστημα από το περιβάλλον

Απόκριση συστήματος (έξοδος) χρονική απόκριση των μεταβλητών που περιγράφουν κατάσταση των στοιχείων του συστήματος

1. ΣΥΣΤΗΜΑ (ΜΗΧΑΝΗ/ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ)

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Βαθμοί ελευθερίας

γεωμετρικοί παράμετροι που χρησιμοποιούνται για να υπολογιστούν θέσεις και κινηματικές παράμετροι σε ένα μηχανικό σύστημα

Βασικοί ορισμοί συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Μηχανικό σύστημα 1 Β.Ε. Μηχανικό σύστημα 2 Β.Ε.

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Βασικοί ορισμοί συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

max Β.Ε. συστήματος ≠

Σύνολο Β.Ε

περιορισμοί συστήματος

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Αναγνώριση διακριτών στοιχείων αδρά-νειας, ελαστικότητας & απόσβεσης

Επιλογή & απλοποίηση συστήματος

Αναγνώριση εξωτερικών διεγέρσεων ΦΥΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Αναγνώριση εξωτερικών διεγέρσεων

Βημ

ατικ

ή

διέγ

ερση

Κ

ρουσ

τική

δι

έγερ

ση

Αρμο

νική

δι

έγερ

ση

Τυχα

ία

διέγ

ερση

ΑΠ

ΟΚ

ΡΙΣΗ

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Αναγνώριση διακριτών στοιχείων αδράνειας, ελαστικότητας & απόσβεσης

Στοιχείο ελαστικότητας

Στοιχείο ελαστικότητας

Στοιχείο αδράνειας

Στοιχείο απόσβεσης

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Επιλογή & απλοποίηση συστήματος

Στοιχείο ελαστικότητας

Στοιχείο ελαστικότητας & απόσβεσης

ή

Στοιχείο απόσβεσης

Απλοποιημένο σύστημα

Απλό μαθηματικό μοντέλο συστήματος

• επιθυμητή πληροφορία • αποδεκτή ακρίβεια • περιορισμός υπολογιστικής ισχύος

Φυσικό σύστημα

Απλές υποθέσεις

• συγκεντωμένη αντί κατανεμημένη μάζα • να αγνοηθεί στοιχείο απόσβεσης (μικρή επίδραση, εύρεση μόνο

ιδιοσυχνοτήτων, κλπ) • γραμμικό αντί μη γραμμικό στοιχείο • επιλογή κατευθύνσεων κίνηση (άμεσο ενδιαφέρον αναλυτή) • κινηματικοί περιορισμοί

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Απλό/διακριτό μοντέλο

Άκαμπτο σώμα Γραμμική συμπεριφορά

Σύνθεση μαζών αδράνειας Περιορισμένη πληροφορία

Εύκολη ανάλυση

Σύνθετο/συνεχές μοντέλο

Ελαστικό σώμα Μη γραμμική συμπεριφορά

Περισσότερο ρεαλιστικό Πεπερασμένα στοιχεία

Πλούσια πληροφορία

Δύσκολη ανάλυση

2. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Περιστροφική κίνηση (rotational motion)

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Μεταφορική κίνηση (translation motion)

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ

Διακριτό μοντέλο Συνεχές μοντέλο

Μηχανικό σύστημα

Ηλεκτρικό σύστημα

Ρευστ/χανικό σύστημα

Γραμμική κίνηση

Περιστροφική κίνηση

Κάμψη

Εφαλκυσμός

Στρέψη

2. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Μοντελοποίηση φυσικού συστήματος

Σύνθεση πολλών απλών/διακριτών μοντέλων

Επιμέρους μηχανικό σύστημα

Απλό μοντέλο

Συνολικό μηχανικό σύστημα

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Συνολικό μηχανικό σύστημα

Μάζα (mass) Αδράνεια (inertia)

Ελατήριο (spring) Δυσκαμψία (stiffness)

Αποσβεστήρας (damper)

Εξωτερικές δυνάμεις

ΑΠ

ΟΘ

ΗΚ

ΕΥΣ

Η

ΕΝ

ΕΡΓ

ΕΙΑ

Σ Α

ΠΩ

ΛΕ

ΙΑ

ΕΝ

ΕΡΓ

ΕΙΑ

Σ Μ

ΕΤΑ

ΦΟ

ΡΑ

ΕΝ

ΕΡΓ

ΕΙΑ

Σ

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Μάζα άκαμπτο σώμα

αποθήκευση κινητικής ενέργειας T

F

x

2ος νόμος Newton:

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Αποσβεστήρας ιδανικός: αβαρής

F -F x u Συντελεστής απόσβεσης

(damping coefficient)

μετατροπή ενέργειας σε θερμότητα

H μετακίνηση του εμβόλου προκαλεί την κίνηση του αποθηκευμένου υγρού (ροή Quette) μέσα από βαλβίδες (οπές).

Ανάλογα με το μέγεθος των βαλβίδων και τα χαρακτηριστικά του λαδιού, η μετακίνηση του εμβόλου είναι λιγότερο ή περισσότερο εύκολη, καθορίζοντας την συμπεριφορά (απόκριση) του αποσβεστήρα.

τυπική μορφή αποσβεστήρα

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Ελατήριο ιδανικό: αβαρή

δύναμη επαναφοράς

F -F x u

k

Συντελεστής δυσκαμψίας (spring constant/stiffness)

αποθήκευση δυναμικής ενέργειας 𝑈(𝑥)

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Δυσκαμψία

πολύ σημαντική στην μετάδοση ροπής σε μακρούς άξονες

Απόσβεση

σημαντική πηγή τριβής στα έδρανα περιστρεφόμενων άξονων

Περιστροφική κίνηση (rotational motion)

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Σύστημα ράβδου

• σταθερής διατομής Α • πυκνότητας p • μέτρου ελαστικότητας E

ακλόνητο στήριγμα

σώμα μάζας m

μεταβλητό φορτίο F(t)

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Μάζα του σώματος απαραμόρφωτη & συγκεντρωμένη στο κέντρο βάρους του σώματος (υλικό σημείο μάζας m).

Μάζα της ράβδου πολύ μικρή σε σχέση με τη μάζα του σώματος (pAL<<m)

Υπόθεση Α

Υπόθεση Β • Μοντελοποίηση ράβδου ως μονοδιάστατο στοιχείο ράβδου

• Οι τάσεις στην διατομή της ράβδου είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες έτσι ώστε η συνολική εσωτερική δύναμη στην διατομή δίνεται από τη σχέση

F = σ Α ❶

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Υπόθεση Γ συμπεριφορά του υλικού της ράβδου

καταστατικός νόμος τάσεων-παραμορφώσεων (Hooke)

σ = Ε ε

Υπόθεση Δ αξονικές μετακινήσεις της ράβδου

για μικρές παραμορφώσεις

ισχύει

❷

❸

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

διάγ

ραμμ

α ελ

εύθε

ρου

σώ

ματο

ς ρά

βδου

Υπόθεση Α Η μάζα της ράβδου αμελείται

εξισώσεις κίνησης ≡ εξισώσεις ισορροπίας

❹

διάγ

ραμμ

α ελ

εύθε

ρου

σώ

ματο

ς μά

ζας

m

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

❷ ❶ ❹ ʃ

k

≡

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Βαθμός ελευθερίας • Απόσταση χορδής x από θέση ισορροπίας

Αδράνεια • Μάζα χορδής

Δυσκαμψία • Ελαστικότητα χορδής • Προένταση χορδής

Απόσβεση • Τριβή στις εδράσεις χορδής • Αεροδυναμική αντίσταση

Εξωτερικές δυνάμεις • Διέγερση χορδής από μουσικό

Δόνηση Χορδής Κιθάρας

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Κίνηση Γερανού: Κάμψη στον κατακόρυφο άξονα

Βαθμός ελευθερίας • Κατακόρυφη μετακίνηση x γερανού στο σημείο βάσης φορτίου

Αδράνεια • Μάζα (γερανού+αντίβαρου)

Δυσκαμψία • Ελαστικότητα συρματόσχοινου στήριξης • Ελαστικότητα σκελετού γερανού

Απόσβεση • Τριβή σκελετού γερανού

Εξωτερικές δυνάμεις • Βάρος φορτίου f(t)

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Κίνηση Γερανού: Κάμψη στον οριζόντιο άξονα

Βαθμός ελευθερίας • Οριζόντια μετακίνηση x γερανού στο σημείο βάσης φορτίου

Αδράνεια • Αδράνεια (γερανού+ αντίβαρου)

Δυσκαμψία • Ελαστικότητα σκελετού γερανού

Απόσβεση • Τριβή σκελετού γερανού

Εξωτερικές δυνάμεις • Ροπή περιστροφής γερανού M(t)

Εισαγωγή: Εφαρμογές - παραδείγματα

Αρμονική διέγερση (αζυγοσταθμία)

και απόκριση

Περιοδική διέγερση και απόκριση

Εισαγωγή: Εφαρμογές - παραδείγματα

Παροδική διέγερση (σεισμός) και απόκριση

είσοδος: κίνηση εδάφους

απόκριση: ταλάντωση κτηρίου

Εισαγωγή: Εφαρμογές - παραδείγματα

Τυχαία διέγερση (άνεμος) και απόκριση

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

Θεμελειώδη (γραμμικά) στοιχεία συστήματος/μαθηματικού διακριτού μοντέλου

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

3 & 4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΥΤΩΝ

Μαθηματικό μοντέλο

Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων

• Μέθοδος Lagrange • Εξισώσεις Νεύτωνα

Συνεχή Δυναμικά Συστήματα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Διακριτά Δυναμικά Συστήματα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

3 & 4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΥΤΩΝ

m

k c

x(t)

f(t) Μαθηματικό μοντέλο

Fk(t) Fc(t)

Fm(t)

Εξισώσεις Νεύτωνα -Δυναμική ισορροπία

Γραμμική διαφορική εξίσωση 2ης τάξης

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

3 & 4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΥΤΩΝ

m

k c

x(t)

f(t) Μαθηματικό μοντέλο

Fk(t) Fc(t)

Fm(t)

Σύνθετο Μοντέλο

Πολλοί Β.Ε. Αδύνατη η εφαρμογή εξισώσεων ισορροπίας

Ενεργειακή αρχή Lagrange

Ενεργειακή αρχή Lagrange

Ενεργειακή μεταβλητή Lagrange

Ενέργεια που διαχέεται από τον αποσβεστήρα

Ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα από τη δύναμη

Κινητική ενέργεια που συσσωρεύ-εται στη μάζα

Δυναμική ενέργεια που συσσωρεύ-εται στο ελατήριο

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ

Διακριτό μοντέλο Συνεχές μοντέλο

Ηλεκτρικό σύστημα

Μηχανικό σύστημα

Ρευστ/χανικό σύστημα

Lagrange Νόμοι Kirchoff

Μέθοδος Galerkin

Πεπερασμένα στοιχεία

3 & 4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΥΤΩΝ

Εισαγωγή: Μοντέλα προσομοίωσης συστημάτων

3 & 4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΥΤΩΝ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ

Σύστημα 1 Β.Ε. Σύστημα Ν Β.Ε.

Ομογενής λύση xh

Μερική λύση xp

Αρμονική διέγερση

Σύνθετη/βηματική διέγερση

Ιδιοανυσματικός ΜΤ

Ομογενής & μερική λύση

Απόκριση ιδοανυσμάτων

ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ

HARRIS’ SHOCK AND VIBRATION HANDBOOK http://nguyen.hong.hai.free.fr/EBOOKS/SCIENCE%20AND%20ENGINEERING/MECANIQUE/DYNAMIQUE-VIBRATION/Shock%20&%20Vibration%20Handbook.pdf

APPLIED MACHANICS DYNAMICS http://authors.library.caltech.edu/25023/1/Housner-HudsonDyn80.pdf

MECHANICAL ENGINEER'S HANDBOOK http://people.na.infn.it/~vanzanel/scambio/prog_mec/manuali/Manuale%20ingegnere%20meccanico.pdf

Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών

Δρ. Αντωνιάδης Ι. . . . . antogian@central.ntua.gr Δρ. Γιακόπουλος Χ. . . . chryiako@central.ntua.gr

Ευχαριστώ για την προσοχή σας!