ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b

Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα.

Copyright © Ε.Μ.Π. - 2016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών – Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών – κτ. Μ – αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

Πληροφορίες ________________________________________________ Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr, 210-7722332

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή

2. Δοκός σε εφελκυσμό

3. Δοκός σε στρέψη

4. Δοκός σε κάμψη

Εισαγωγή

1

1. Εισαγωγή

ΔΙΑΚΡΙΤΑ

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

συνδεσμολογία πεπερασμένου

πλήθους δυναμικών στοιχείων (μάζα, ελατήριο και αποσβεστήρα)

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ανάρτηση οχήματος

η απόκριση καθορίζεται από χωρική

κατανομή & ιδιότητες υλικού

κατασκευής

αμάξωμα οχήματος

πτερύγιο αεροσκάφους

άξονας μηχανής

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΑΡΧΗ LAGRANGE

Δοκός σε εφελκυσμό

2

2. Δοκός σε εφαλκυσμό

μονόπακτη δοκός (πρόβολος) σε εφελκυσμό ... (θερμοκρασιακή συστολή / διαστολή)

→ κατανεμημένο εφαλκυστικό φορτίο

u(x, t) → κινηματική μεταβλητή

δοκός ≡ συνεχές μέσο → ...

... άπειρο πλήθος σημείων → άπειρο πλήθος κινηματικών μεταβλητών

? κατάστρωση εξίσωσης κίνησης συστήματος

με άπειρο πλήθος κινηματικών μεταβλητών ... ❶

2. Δοκός σε εφαλκυσμό

ισορροπία στοιχειώδους τμήματος μήκους dx ...

κατάστρωση εξίσωσης κίνησης συστήματος με άπειρο

πλήθος κινηματικών μεταβλητών

υπόθεση Α ...

υπόθεση Β ...

μεταβλητές ρ, Α, Ε σταθερές κατά τον x

υλικό δοκού → γραμμικά ελαστικό

μηχανική παραμορφωσίμου

σώματος

αξονική παραμόρφωση

❷

2. Δοκός σε εφαλκυσμό

αξονική παραμόρφωση

νόμος Hooke εμφάνιση αξονικής τάσης

μέτρο ελαστικότητας (Young)

❸ οπότε, από και ❷ ⇒ ❹

2. Δοκός σε εφαλκυσμό

στατική ισορροπία ... (ανάπτυγμα Taylor) επίσης, από ...

❺

❺ οπότε, από και ❹ ⇒ ...

❻

2. Δοκός σε εφαλκυσμό

εξίσωση στατικής ισορροπίας + αδρανειακός όρος συστήματος

επίσης, από Αρχή D’ Alambert ...

κατάστρωση εξίσωσης ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ⇔

φορά αντίθετη της συνισταμένης των εξωτερικών δυνάμεων

υπόθεση ... dx << → ταχύτητα = σταθερή

❼

❽

2. Δοκός σε εφαλκυσμό

⇒ ❽

δυνάμεις αδράνειας

δυνάμεις ελαστικότητας

εξωτερικές δυνάμεις

αφορά ΚΑΘΕ στοιχειώδες τμήμα

τυπικό δυναμικό σύστημα m-k ⇒ αφορά ΟΛΟ το

δυναμικό σύστημα

❾

❾

2. Δοκός σε εφαλκυσμό

• υπολογισμός όρων Lagrange για ❾

κινητική ενέργεια (συσσωρεύεται στη μάζα dm)

δυναμική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω ελαστικότητας Ε του υλικού)

δεν διαχέεται ενέργεια (υλικό γραμμικά ελαστικό →δε διαθέτει χαρακτηριστικά απόσβεσης)

εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια

2. Δοκός σε εφαλκυσμό

• υπολογισμός όρων Lagrange για ολόκληρο τον φορέα ...

κινητική ενέργεια (συσσωρεύεται στη μάζα dm)

δυναμική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω ελαστικότητας Ε του υλικού)

δεν διαχέεται ενέργεια (υλικό γραμμικά ελαστικό →δε διαθέτει χαρακτηριστικά απόσβεσης)

εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια

2. Δοκός σε εφαλκυσμό

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ...

δυνατή ολοκλήρωση ⇔ υπολογισμός μετατόπισης u(x, t)

Δοκός σε στρέψη

3

3. Δοκός σε στρέψη

... λόγω ομοιόμορφα κατανεμημένης ροπής σε όλο το μήκος της ράβδου

... λόγω συγκεντρωμένης ροπής στο ελεύθερο άκρο της ράβδου

μονόπακτη δοκός (πρόβολος) σε στρέψη ...

... κυκλικής διατομής ⇒ συμμετρικό σχήμα ⇒ σταθερό εμβαδόν Α & πολική ροπή αδράνειας Jθ

κατανομή υλικού σταθερή σε όλο το μκος της ράβδου πυκνότητα μέτρο διάτμησης

3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή

υπολογισμός εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας ...

διατομή

βασικές παραδοχές θεωρίας στρέψης ... o επίπεδη τομή κάθετη στον άξονα του κυλινδρικού σώματος παραμένει επίπεδη και μετά την επιβολή της ροπής

o η διατμητική παραμόρφωση γ σε μια διατομή μεταβάλλεται γραμμικά από τον άξονα του σώματος προς την περιφέρεια (γ = 0 στον άξονα & γ = γmax στην περιφέρεια)

ισορροπία ροπών στη διατομή ...

❶

στροφή διατομής ...

στοι

χειώ

δες

τμήμ

α μή

κους

dx

ορισμός διατμητικής τάσης

οπότε, από ❷ ⇒ ...

❸

❷

❸ ❶

❹

3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή

ισορροπία ροπών σε στοιχειώδες τμήμα dx ...

παράγωγος της ⇒ ... ❹ ⇒ ...

⇒ ... ❺

ΣΤΑΤΙΚΗ ισορροπία στοιχειώδους τμήματος μήκους dx

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ισορροπία στοιχειώδους τμήματος μήκους dx

⇒ ...

3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή

⇒ ...

εξίσωση στατικής ισορροπίας + αδρανειακός όρος συστήματος

αρχή D’ Alambert ...

κατάστρωση εξίσωσης ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ⇔

φορά αντίθετη της φοράς περιστροφής του dx

ροπή

❻ ❺ + ⇒ ...

❻

❼

3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή

❼ ⇒ ... ... στροφή δοκού κατά το μήκος της

❼ άρα ⇒ ...

όπου ... Jθ ... πολική ροπή αδράνειας

Ιθ ... μαζική ροπή αδράνειας

❽

3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή

• υπολογισμός όρων Lagrange ...

κινητική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω περιστροφικής κίνησης)

δυναμική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω της παραμόρφωσής της)

δεν διαχέεται ενέργεια

εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια

❾

3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή

... παραδοχή μικρές παραμορφώσεις ⇒ γραμμική μεταβολή της γωνίας στροφής θ κατά μήκος της δοκού

όπου ... θFE ... γωνία στροφής ελεύθερου άκρου

χρονική παράγωγος χωρική παράγωγος

❾

❿

από και ⇒ ... ❿

3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή

κινητική ενέργεια

δυναμική ενέργεια

3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή

δεν διαχέεται ενέργεια

εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια

3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή

3. Δοκός σε στρέψη: συγκεντρωμένη ροπή

κινητική ενέργεια

δυναμική ενέργεια

δεν διαχέεται ενέργεια

εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια

Δοκός σε κάμψη

4

4. Δοκός σε κάμψη

... λόγω ομοιόμορφα κατανεμημένης δύναμης σε όλο το μήκος της ράβδου

... λόγω συγκεντρωμένης δύναμης στο ελεύθερο άκρο της ράβδου

μονόπακτη ελαστική δοκός (πρόβολος) σε κάμψη ...

... ορθογωνικής διατομής ⇒ συμμετρικό σχήμα ⇒ σταθερό εμβαδόν Α & ροπή αδράνειας Ιyy

ουδέτερος άξονας

4. Δοκός σε κάμψη

... μηχανική παραμορφώσιμου σώματος

⇒

ροπή αδράνειας για y-y ...

ροπή αδράνειας για z-z ...

υπολογισμός εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας ... (ομοιόμορφη κατανομή δυνάμεων)

βασικές παραδοχές θεωρίας κάμψης ... o επίπεδη τομή κάθετη στον άξονα του καμπτόμενου σώματος παραμένει επίπεδη και μετά την επιβολή της καμπτικής ροπής

o τα υλικά σημεία του καμπτόμενου σώματος δεν εμφανίζουν οριζόντια μετατόπιση (λόγω μικρής παραμόργωσης)

4. Δοκός σε κάμψη

... στοιχειώδες τμήμα μήκους dx

αξονική παραμόρφωση →

μεταβλητή οριζόντιας μετατόπισης

αξονική τάση (νόμος Hooke) →

ορθή τάση λόγω κάμψης

⇒

θεωρία κάμψης

επιβαλόμενη καμπτική ροπή

ροπή αδράνειας

απόσταση ακρότατης ίνας του σώματος από τον

ουδέτερο άξονα

+ → στο εφελκυόμενο καμπτόμενο τμήμα

- → στο θλιβόμενο καμπτόμενο τμήμα

⇒

4. Δοκός σε κάμψη

... ⇒

... παραμορφωμένο στοιχειώδες τμήμα μήκους dx

⇒

& παραδοχές ... επιπεδότητα διατομών & μικρή παραμόρφωση

⇒ ...

❶

4. Δοκός σε κάμψη

... ⇒

οριζόντια μετατόπιση ⇒

κατακόρυφη μετατόπιση υλικού σημείου

κατακόρυφη απόσταση από τον ουδέτερο άξονα

1η χωρική παράγωγος ≡ εφαπτομένη γωνίας κάμψης

❷

❶ ❷ από και ⇒ ❸

ισορροπία ροπών ως προς το δεξί άκρο του στοιχεώδους τμήματος ...

4. Δοκός σε κάμψη

+

και ... dx → 0

... ⇒ ❹

4. Δοκός σε κάμψη

ισορροπία δυνάμεων του στοιχεώδους τμήματος ...

❸ 1η χωρική παράγωγος

⇒ ❺

❹ από και ⇒ ❸

1η χωρική παράγωγος

⇒

ΣΤΑΤΙΚΗ ισορροπία στοιχειώδους τμήματος μήκους dx

❻

4. Δοκός σε κάμψη

⇒ ...

εξίσωση στατικής ισορροπίας + αδρανειακός όρος συστήματος

αρχή D’ Alambert ...

κατάστρωση εξίσωσης ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ⇔

φορά αντίθετη της φοράς κίνησης του dx

πυκνότητα υλικού

εμβαδό διατομής

❼

❼ από + ⇒ ❻

4. Δοκός σε κάμψη

• υπολογισμός όρων Lagrange ...

κινητική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω καμπτικής μετακίνησης)

δυναμική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω της παραμόρφωσής της)

δεν διαχέεται ενέργεια

εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια

❽

4. Δοκός σε κάμψη

υπολογισμός ολοκληρωμάτων ...

παραδοχή για την μεταβολή του κατακόρυφου βέλους κάμψης

❽ ⇒ εμφάνιση 2ης χωρικής παραγώγου ⇒

... δεν είναι γραμμική

⇒

ΕΠΙΛΟΓΗ ... τριγωνομετρικής συνάρτησης παρεμβολής

(1η ιδιομορφή μονόπακτης ελαστικής δοκού)

βέλος κάμψης

μήκος δοκού

4. Δοκός σε κάμψη

πρώτες τέσσερεις ιδιομορφές μονόπακτης ελαστικής ράβδου

Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών

Δρ. Αντωνιάδης Ι. . . . . antogian@central.ntua.gr Δρ. Γιακόπουλος Χ. . . . chryiako@central.ntua.gr

Ευχαριστώ για την προσοχή σας!