ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

έκδοση DΥΝI-MDOFS_2016b

Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα.

Copyright © Ε.Μ.Π. - 2016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών – Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών – κτ. Μ – αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

Πληροφορίες ________________________________________________ Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr, 210-7722332

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange

3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων ισορροπίας

4. Ιδιοπρόβλημα

5. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός

Εισαγωγή

1

1. Εισαγωγή

μηχανικά συστήματα

συνεχή σώματα με άπειρο πλήθος Β. Ε.

ΔΥΣΚΟΛΗ η ανάλυση ταλαντώσεων με μερικές Δ.Ε.

μηχανικά συστήματα ...

... συστήματα πολλών Β. Ε.

νόμος Νεύτωνα ενεργειακή αρχή Lagrange

1. Εισαγωγή

εντοπισμός n ιδιοσυχνοτήτων και ιδιοναυσμάτων

αύξηση ιδιοσυχνοτήτων

σύνθετες εξισώσεις &

δύσκολη επίλυση

ορθο

γωνι

κές

ιδιό

τητε

ς ιδ

ιοαν

υσμά

των

απλοποίηση επίλυσης

1. Εισαγωγή

εντοπισμός ιδιοσυχνοτήτων & ιδιοναυσμάτων

Μέθοδος Dunkerley Μέθοδος Rayleigh Μέθοδος Holzer Μέθοδος Jacobi Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός Μέθοδος συνάρτησης μεταφοράς Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Fourier

Ενεργειακή αρχή Lagrange

2

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά

Νόμος Νεύτωνα –εξισώσεις ισορροπίας

και

όπου η κινητική ενέργεια και η δυναμική ενέργεια

επομένως όπου

ενεργειακή μεταβλητή Lagrange

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά

m

c k

F(t) x(t)

απλό μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα

ενεργειακή αρχή Lagrange

κινητική ενέργεια

δυναμική ενέργεια

ενέργεια που διαχέεται στον αποσβεστήρα

ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα από την εξωτερική δύναμη

212

T m x=

212

U k x=

212CP c x=

tP F x=

L T U= − ενεργειακή μεταβλητή Lagrange

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά

μαθηματική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange

Παρατηρήσεις ...

q είναι ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή (βαθμός ελευθερίας) του συστή-ματος

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά

ΙΔΙΕΣ εξισώσεις ισορροπίας

το δυναμικό σύστημα εμπλέκει πολλούς Β. Ε.

εφαρμογή των εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων δύσκολη ή αδύνατη

απλούστερος τρόπος εφαρμογής

αρχή Lagrange

νόμο

ς N

ewto

n

Παρατηρήσεις ...

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά

ενεργειακές ποσότητες δυνάμεις

Παρατηρήσεις ...

μόνο ενεργειακές ποσότητες (βαθμωτά μεγέθη)

η συνολική ενέργεια του συστήματος είναι απλή πρόσθεση αυτών

οι δυνάμεις → διανυσματικά μεγέθη

σύνθετες (?) διανυσματικές μεταξύ τους πράξεις (π.χ. εύκαμπτος ρομποτικός

βραχίονας)

αρχή Lagrange νόμος Newton

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά

Παρατηρήσεις ...

σχετίζονται με μαθηματικές εκφράσεις τετραγωνικής μορφής

το τελικό ενεργειακό αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται από τη σειρά με την οποία αναγράφονται οι μετατοπίσεις σε μία

μεταβολή

η διαχείριση δυνάμεων απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στην προσή-μανσή τους

ενεργειακές ποσότητες

δυνάμεις

εμπλέκονται όλες οι μορφές ενέργειας και ισχύος που εμφανίζονται στα δυναμικά συστήματα

εφαρμόζεται σε γραμμική και μη-γραμμικά μηχανικά συστήματα, σε υδραυλικά συστήματα, σε ηλεκτρικά συστήματα και συζευγμένα συστήματα

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά αν

τιστ

οιχί

α φυ

σικώ

ν συ

στημ

άτω

ν ...

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης

τετράεδρα κατάστασης ...

κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης ενός σύνθετου/συζευγμένου συστήματος

σύζευξη μεταξύ δύο, διαφορετικής φύσεως, υποσυστημάτων

τα υποσυστήματα διαθέτουν συγκεκριμένα τεχνολογικά στοιχεία μέσω των οποίων επιτρέπεται η ανταλλαγή ενέργειας

Ενισχυτές Αναστροφείς

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης

Ενισχυτές

1 1 2 2F F Pυ υ= =

2 1F F= Τ

1 1 2 2 1F F Fυ υ= ⇒ 1 1Fυ = Τ 2 2 11T

υ υ υ ⇒ =

σθένος

ροή

→

→

η ισχύς διατηρείται →

επίσης, ισχύει → ⇒ ...

⇒ ...

άρα ...

σταθερά ενίσχυσης

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης

Ενισχυτές

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης

Ενισχυτές

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης

νόμος επαγωγής Faraday

λόγος περιελίξεων Ν1/Ν2

μεταφορά ηλ. ενέργειας

Ν1 Ν2

Αναστροφείς σθένος

ροή

→

→

η ισχύς διατηρείται →

επίσης, ισχύει → ⇒ ...

⇒ ...

άρα ...

σταθερά αναστροφέα

1 1 2 2F F Pυ υ= =

2 1F Gυ=

1 1 2 2 1 1F F Fυ υ υ= ⇒ 1Gυ= 2 2 11 FG

υ υ ⇒ =

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης

Αναστροφείς

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης

Κ

ΚΤ

2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά

κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης ενός σύνθετου/συζευγμένου συστήματος (π.χ. μηχανικό, ηλεκτρικό & υδραυλικό)

γενικευμένη κινητική & δυναμική ενέργεια

Β. Ε. → θέσεις/γωνίες ηλεκτρικά φορτία όγκοι (μηχανικό) (ηλεκτρικό) (υδραυλικό)

Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων ισορροπίας

3

3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά

Νόμος Νεύτωνα –εξισώσεις ισορροπίας

σύστημα μεταφορικής κίνησης σύστημα περιστροφικής κίνησης

σημείο 2 σημείο i σημείο j σημείο n σημείο 1

πολυβάθμιο μηχανικό σύστημα μεταφορικής κίνησης ...

3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά

σχετική θέση ακροδεκτών ...

mi mi mi-1 mi+1

... επηρρεάζει τη φορά των αντίστοιχων δυνάμεων

+

3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος i

εφαρμογή νόμου Νεύτωνα ...

για ...

⇒ ...

+

3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά

⇒ ...

για ...

οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να γραφούν για:

i=1 & αρχική μετατόπιση xo=0 και i=n & αρχική μετατόπιση xn+1=0 υποθέσεις ...

3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά

όλες οι προηγούμενες εξισώσεις κίνησης μπορούν να γραφούν σε μητρωϊκή μορφή:

μητρώο μάζας μητρώο απόσβεσης μητρώο δυσκαμψίας

μητρώο μάζας ... ... συμμετρικό

3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά

μητρώο απόσβεσης ...

μητρώο δυσκαμψίας ...

... συμμετρικό

... συμμετρικό

3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά

και ...

διάνυσμα μετατόπισης ...

διάνυσμα επιτάχυνσης ...

διάνυσμα ταχύτητας ...

διάνυσμα δύναμης ...

3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά

γενική μορφή ...

και ...

Ιδιοπρόβλημα

3

μηχανικό σύστημα πολλών Β. Ε. χωρίς απόσβεση ...

σημείο 1 σημείο 2 σημείο i σημείο j σημείο n

όπου ... xi η μετατόπιση της μάζας mi και Fi η δύναμη που ασκείται στη μάζα mi κατά την κατεύθυνση του xi

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

εξισώσεις κίνησης με ενεργειακή αρχή Lagrange ...

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

και ...

και ... q ≡ xi

⇒ ...

υπολογισμός κινητικής & δυναμικής ενέργειας ...

⇒ ... ❶

εξισώσεις κίνησης με ενεργειακή αρχή Lagrange ...

⇒ 0

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

η δυναμική ενέργεια του i ελατηρίου:

η συνολική δυναμική ενέργεια:

⇒ ... και

η συνολική δυναμική ενέργεια σε μητρωϊκή μορφή ...

όπου ...

διάνυσμα μετατόπισης ...

μητρώο δυσκαμψίας...

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

η συνολική κινητική ενέργεια σε μητρωϊκή μορφή ...

όπου ...

διάνυσμα ταχύτητας ... μητρώο μάζας...

ομοίως, η κινητική ενέργεια της i μάζας:

η συνολική κινητική ενέργεια:

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

υπολογισμός

χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δ (Kronecker) ... και λαμβάνωντας υπόψη θεωρία πινάκων & τη συμμετρία του [m]

εάν και εάν

διάνυσμα στήλη

διάνυσμα γραμμή ≡ i γραμμή του πίνακα [m]

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

έπειτα η παράγωγος ...

[m] ανεξάρτητο του χρόνου ...

υπολογισμός

Η κινητική ενέργεια είναι συνάρτηση της ταχύτητας ...

❷

❸

υπολογισμός

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δ (Kronecker) ... και λαμβάνωντας υπόψη τη συμμετρία του [k]

διάνυσμα γραμμή ≡ i γραμμή του πίνακα [k]

❹

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

❷ ❹ οπότε η για , και ⇒ ❶ ❸

❺

η ΛΥΣΗ της θεωρούμε πως είναι της μορφής: ❺

όπου ... σταθερά και συνάρτηση του χρόνου t

❻

δυσχερέστερη κατάσταση (μη αποσβενόμενο σύστημα) ⇒

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

ο λόγος ... είναι ανεξάρτητος του χρόνου

σύγχρονη κίνηση όλων των συντεταγμένων η ταλάντωση του συστήματος δεν αλλάζει μορφή κατά την κίνηση η ταλάντωση του συστήματος αλλάζει πλάτος

η διαμόρφωση του πλάτους ταλάντωσης του συστήματος καθορίζεται από το διάνυσμα

διάνυσμα ιδιομορφών (mode shapes) …

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

❺ ❻ από και ⇒

εναλλακτικός τρόπος γραφής

⇒ ανεξάρτητος

του δείκτη i ανεξάρτητος του χρόνου t

⇒ ...

⇒ ... και οι 2 όροι ΠΡΕΠΕΙ να είναι ίσοι με μια σταθερά (έστω ω2 για αρμονική λύση, διαφορετικά εκθετική λύση)

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

ή σε μητρωϊκή μορφή ...

❼

έτσι, η ΛΥΣΗ της είναι της μορφής: ❼

όπου ... και σταθερές ❾ πλάτος φάση

❽

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

ΕΡΜΗΝΕΙΑ ...

όλες οι συντεταγμένες (σημεία) μπορούν να εκτελέσουν αρμονική ταλάντωση με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γωνία φάσης φ

η ω φέρει περιορισμούς γιατί πρέπει να ικανοποιεί την

: ένα σύνολο από n γραμμικές ομογενείς εξισώσεις με αγνώστους ...

τετριμένη λύση ... μη τετριμένη λύση ...

❽

❽

❽

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

❽

ΟΡΙΣΜΟΙ ...

ιδιοπρόβλημα (eigenvalue problem)

ιδιοτιμή (eigenvalue)

φυσική συχνότητα (natural frequency)

χαρακτηριστικό πολυώνυμο (characteristic equation)

ΛΥΣΗ

n τιμές της ω2

πραγματικές & θετικές εάν τα μητρώα [m] & [k] είναι συμμετρικά & θετικά ορισμένα

3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά

ΒΑΣΙΚΗ ΛΥΣΗ ...

❽

ορίζεται ... ⇒ ⇒ ...

⇒

*

⇒ ... βασικό ιδιοπρόβλημα

δυναμικό μητρώο (dynamical matrix)

και ... ο μοναδιαίος πίνακας

για μη τετριμένη λύση ΠΡΕΠΕΙ ...

όπου ...

Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός

4

τα διανύσματα και είναι ορθογωνικά εάν ισχύει:

τα διάνυσμα είναι κανονικό εάν ισχύει: ⇒

τα διανύσματα και είναι ορθο-κανονικά εάν ισχύουν ... ⇒

ορισμοί ...

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων

Ιδιοπρόβλημα ...

κάθε φυσική συχνότητα ωi ή ωj και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα ικανοποιούν ...

&

⇒

⇒ συμμετρία [m] & [k]

⇒ ( - )

⇒...

* *

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων

με ανάλογη διαδικασία ...

⇒... ⇒

&

ορθογωνικά

για

όμως, όταν i = j ...

... γενικευμένη μάζα & γενικευμένη στιβαρότητα για κάθε i B.E (mode)

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων

εναλλακτική μορφή ...

πίνακας ιδιοανυσμάτων (modal matrix)

i=1 ιδιοάνυσμα i=n ιδιοάνυσμα

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων

κανονικοποίηση (normalization) πίνακα ιδιοανυσμάτων ...

ώστε να ισχύει ... οπότε ...

και ...

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ...

❶

εάν το ιδιοάνυσμα ικανοποιεί την ⇒ ορθοκανονικό συναρτήσει του [m] ❶

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Θεώρημα διεύρυνσης (expansion theorem)

αποτελούν βάση n-διάστατου χώρου * * κάθε διάνυσμα του n-διάστατου χώρου εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός της ‘βάσης’

τα ιδιoανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (λόγω ορθογωνικότητας)

σταθερά

⇒ *

... όπου γενικευμένη μάζα για κάθε i ιδιοκατάσταση (mode)

κανονικοποιημένο

⇒ ⇒

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά

εξισώσεις κίνησης πολυβάθμιου συστήματος δίχως απόσβεση υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων

❷

επίλυση ιδιοπροβλήματος

υπολογισμός φυσικών συχνοτήτων ...

υπολογισμός ιδιοανυσμάτων ...

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά

διανυσματική λύση της βάσει θεωρήματος διεύρυνσης... ❷

ο ιδιοανυσματικός πίνακας [Χ] συμβολίζεται και ... [Φ]

οι γενικευμένοι βαθμοί ελευθερίας (principal coordinates ή modal participation coefficients )

... ως γραμμικός συνδυασμός ιδοανυσμάτων (normal modes)

και ...

ο ιδιοανυσματικός πίνακας αποτελούμενος από διανύσματα ιδιομορφών (modal matrix)

❸

... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

όπου ...

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά

[Χ] ανεξάρτητος του χρόνου, οπότε ...

❸

❹

και ... ⇒ ❷ ⇒

... ⇒ ... ⇒ *

⇒ ⇒ ...

κανονικοποίηση βάσει ...

⇒

ορίζεται ...

... το διάνυσμα γενικευμένων δυνάμεων διέγερσης

⇒

❺

❺ ⇒ ...

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά

... ⇒

... δηλ. ένα σύνολο n Δ.Ε. 2ης τάξης

... εξίσωση κίνησης συστήματος 1 Β.Ε. δίχως απόσβεση

γενική λύση ...

... αρχικές γενικευμένες μεταβλητές

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά

... όπου οι αρχικές γενικευμένες μετατοπίσεις & ταχύτητες υπολογίζονται από:

όπου ... και ...

εφόσον, υπολογισθούν οι γενικευμένες μετατοπίσεις ...

... οι φυσικές μετατοπίσεις ... ... υπολογίζονται από ❸

... φυσικά μεγέθη

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά

... φυσική ερμηνεία

k↓

m↓ 1

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός qi

... έστω σύστημα 2 Β.Ε. δίχως απόσβεση

... ο ιδιοανυσματικός πίνακας [Χ] συμβολίζεται και ... [Φ]

απόκριση βάσει ιδιοανυσματικού μετασχηματισμού ...

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 2

21 111 12

1 1 2 21 2 221 22

i ii

x q

x t q tx t q t q t q t

x t q t=

Φ Φ

Φ

Φ Φ

= Φ = Φ +Φ ⇒ = Φ Φ

∑

λύση του γραμμικού συστήματος...

( )( ) ( ) ( )

[ ] ( )( )

( )

1 12 122 12

2 22 21 22 2 121 1

11 12 11 22 12 21

21 22

det

x t x tx t x tx t x t

q q

ΦΦ −Φ Φ Φ − Φ = = ⇒ =

Φ Φ Φ Φ −Φ Φ ΦΦ Φ

... και

και ...

( )( ) ( ) ( )

[ ] ( )( )

( )

11 1 121 11

21 2 22 11 1 212 2

11 12 11 22 12 21

21 22

det

x t x tx t x tx t x t

q q

Φ−Φ Φ Φ Φ − Φ = = ⇒ =

Φ Φ Φ Φ −Φ Φ ΦΦ Φ

( )( ) ( )

( )( )

22 12

1 121 11

2 2detq t x tq t x t

Φ −Φ −Φ Φ = Φ

άρα οι γενικευμένες μετατοπίσεις είναι...

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός qi

ισχύει (γραμμική άλγεβρα) για τον αντίστροφο ... ( ) ( )( )

1

detn n

n nn n

adj AA

A− ×

××

=

όπου για n=2 ισχύει ... ( )a b d bA adj A

c d c a−

= → = −

αλγεβρικό συμπλήρωμα

ορίζουσα

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός qi

... ⇒ ( )( )

( )

( )( )( ) ( )

1

22 12

21 11

1 1 1

2 2detadjq t x t

q t xq t x t

−

Φ −

Φ

Φ −Φ −Φ Φ

= ⇒ = Φ Φ

M

❻

ιδιοανυσματικός πίνακας απόκριση

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός qi

από τις ιδιότητες ορθογωνιότητας των ιδιοανυσμάτων ως προς το μητρώο μάζας για κάθε i Β.Ε.

⇒ T Tii i im M= Φ Φ

σύστημα 2 Β.Ε.

[ ]111 2 1 2

22

00

T

gen

T T Tgen

M

mM M M

mΦΦ

= Φ Φ Φ Φ ⇒ =Φ Φ

1−Φ* 1 1T

genM M− −Φ = Φ ΦΦ

όμως ...

( ) ( )( )

( )1

.5 .611 12 11 12 11 121

21 22 21 22 21 22 detA Aadj−

− Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ΦΦ = → → Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ

( ) ( )11 12 22 12 11 22 12 21 11 12 12 111

21 22 21 11 21 22 22 21 21 12 22 11

1 1det det

− Φ Φ Φ −Φ Φ Φ −Φ Φ −Φ Φ +Φ Φ ⇒ΦΦ = = ⇒ Φ Φ −Φ Φ Φ Φ −Φ Φ −Φ Φ +Φ ΦΦ Φ

( )( )

( )( )( )

2

1 12

det 0 1 0det10 det 0 1det det

I

I− − Φ Φ ⇒ΦΦ = = ⇒ΦΦ = ΦΦ Φ

0

0

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός qi

2

1 1 1T Tgen gen

I

M M M M− − −Φ = Φ ΦΦ ⇒ Φ = Φ... ⇒ ( )x t⇒

*

( ) ( )1 TgenM x t M x t−Φ = Φ

⇒ ⇒ ...

❻

( ) ( ) ( ) ( )1 T Tgen gen

q

M x t M x t M q t M x t−Φ = Φ ⇒ =Φ

... ⇒

( ) ( ) ( )( )

( )

1 2

111 11 12

222 21 22

00

T

Tgen

q tmM q t M x t M x t

q tmΦ Φ

Φ Φ

= Φ ⇒ = ⇒ Φ Φ

⇒

( )( )

[ ]

[ ] ( ) ( )( ) ( )1

2

11 21

1 111 11 1

2 222 2212 22 2

0 00 0

T

T

T

T

q t q tm mM x t M x t

q t q tm mΦ

Φ

Φ Φ Φ ⇒ = ⇒ = ⇒ Φ Φ Φ

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός qi

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 11 1 1

22 2 2 22 2 2

T TT

ii i iT T

m q t M x t m q t M x tm q t M x t

m q t M x t m q t M x t Φ = Φ

⇒ = ⇒ ⇒ =Φ ⇒ Φ = Φ

( ) ( )1 , 1,2Ti i

ii

q t M x t im

⇒ = Φ =

... ισχύει για ένα οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα n Β.Ε.

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά

εξισώσεις κίνησης πολυβάθμιου συστήματος με απόσβεση υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων

και έστω ... (Rayleigh)

⇒ ...

... ⇒

σταθερές

και ...

⇒ ...

⇒ *

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά

... ⇒

κανονικοποίηση ...

... δηλ. ένα σύνολο n Δ.Ε. 2ης τάξης

όπου ...

και ...

⇒

4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά

... ⇒ ... εξίσωση κίνησης συστήματος 1 Β.Ε. με απόσβεση

γενική λύση ...

όπου ...

ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ

MULTIPLE DEGREE-OF-FREEDOM EXAMPLE http://www.efunda.com/formulae/vibrations/mdof_eom.cfm

Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών

Δρ. Αντωνιάδης Ι. . . . . antogian@central.ntua.gr Δρ. Γιακόπουλος Χ. . . . chryiako@central.ntua.gr

Ευχαριστώ για την προσοχή σας!