∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ιcourseware.mech.ntua.gr/ml23065/lecture_pdfs/Dynamics_I...•...

∆υναµική Μηχανών Ι – Ακαδηµαϊκό έτος: 2010 - 2011

©Ε.Μ.Π. – Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο ∆υναµικής και Κατασκευών

- 20.1 -

∆ΥΝΑΜΙΚΗ

ΜΗΧΑΝΩΝ

Ι



- 20.2 -

Copyright © ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο ∆υναµικής και Κατασκευών - 2010. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα.



- 20.3 -

Εκπαιδευτική Ενότητα 20η

Μοντελοποίηση ∆υναµικών Συστηµάτων – Εφαρµογές (Προσδιορισµός σταθερών ∆υναµικού Συστήµατος m c k− − 1 Β.Ε – Bio-Sensors/Bio-MEMS)

Γενικά

Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα, θα πραγµατοποιηθεί µία σύντοµη ανασκόπηση του

δυναµικού συστήµατος m c k− − µε ένα Βαθµό Ελευθερίας, θα αναφερθούν βασικές

συνδεσµολογίες µεταξύ των δυναµικών στοιχείων ελαστικότητας (ελατήριο) και απόσβεσης

(αποσβεστήρας), ενώ θα εξετασθούν και δύο τυπικές περιπτώσεις απλού ταλαντωτή. Στην

πρώτη περίπτωση περιγράφεται ο προσδιορισµός των σταθερών ενός µονοβάθµιου

δυναµικού συστήµατος m c k− − και στη δεύτερη περίπτωση περιγράφεται µία τεχνολογική

εφαρµογή στο πεδίο των Βιολογικών Συστηµάτων (Biology Systems), η οποία αφορά στη

χρήση µονοβάθµιου ταλαντωτή για την ανίχνευση βιοµορίων (περισσότερα θα αναφερθούν

στην αντίστοιχη ενότητα).

∆υναµική συµπεριφορά µονοβάθµιου συστήµατος m c k− −

Σε προηγούµενες Εκπαιδευτκές Ενότητες (π.χ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03), µελετήθηκαν τα

µονοβάθµια δυναµικά συστήµατας m c k− − , τα οποία απεικονίζονται στο Σχήµα 1.

(α) (β) (γ)

Σχήµα 1: ∆υναµικό σύστηµα m c k− − (α) χωρίς απόσβεση/χωρίς εξωτερική διέγερση, (β) µε

απόσβεση/χωρίς εξωτερική διέγερση και (γ) µε απόσβεση/µε εξωτερική διέγερση

Μελετήθηκαν δύο βασικές περιπτώσεις: χωρίς εξωτερική διέγερση και µε εξωτερική

(αρµονική) διέγερση. Πιο συγκεκριµένα:

Περίπτωση 1η: ∆υναµικό σύστηµα χωρίς εξωτερική διέγερση

Η απόκριση του συστήµατος, για διάφορες περιπτώσεις απόσβεσης, φαίνεται στο Σχήµα 2.

x(t)

t

x(t)

t

ζ=1

(α) (β) (γ) (δ)

Σχήµα 2: Τυπική απόκριση µονοβάθµιου συστήµατος m c k− − χωρίς εξωτερική διέγερση:

(α) χωρίς απόσβεση, (β) µε υπερκρίσιµη απόσβεση, (γ) µε κρίσιµη απόσβεση και (δ) µε

υποκρίσιµη απόσβεση.



- 20.4 -

• Υποπερίπτωση 1α: χωρίς απόσβεση ( 0ζ = ) (βλ. Σχήµα 1α & Σχήµα 2α)

Το σύστηµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε φυσική συχνότητα (ιδιοσυχνότητα)

k mω = . Η απόκριση του συστήµατος ισούται µε ( ) ( )sinx t A tω ϕ= + .

• Υποπερίπτωση 1β: υπερκρίσιµη απόσβεση ( 1ζ ) (βλ. Σχήµα 1β & Σχήµα 2β)

Για πολύ µεγάλες τιµές του λόγου απόσβεσης, Το σύστηµα δεν ταλαντώνεται και η

απόκριση ισούται µε ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

2 1

1 2

1 s t s t s t s t

h o ox t x t x s e s e v e es s

= = − + + − − .

• Υποπερίπτωση 1γ: κρίσιµη απόσβεση ( 1ζ = ) (βλ. Σχήµα 1β & Σχήµα 2γ)

Το σύστηµα επιστρέφει στην κατάσταση ηρεµίας χωρίς να ταλαντωθεί (εκτός και εάν

υπάρχει αρχική ταχύτητα ov ). Το σύστηµα ηρεµεί µετά από χρόνο ( )3t ω≈ και η

απόκριση του συστήµατος ισούται µε ( ) ( )( ) t

o o ox t x v x t e ωω −= + + .

• Υποπερίπτωση 1δ: υποκρίσιµη απόσβεση ( 0 1ζ< < ) (βλ. Σχήµα 1β & Σχήµα 2δ)

Το σύστηµα ταλαντώνεται µε ιδιοσυχνότητα 21nω ω ζ= − (ιδιοσυχνότητα

αποσβενόµενης ταλάντωσης). Η απόκριση του συστήµατος ισούται µε

( ) ( )sint

nx t Ae tζω ω ϕ−= + , όπου A είναι το πλάτος της ταλάντωσης και ϕ η διαφορά

φάσης. Ο ρυθµός µείωσης του πλάτους της ταλάντωσης ισούται µε teζω− . Για χρόνο

( )( )3t ζω= , το πλάτος της ταλάντωσης έχει µειωθεί κατά 95% . Για πρακτικές

εφαρµογές Μηχανικού, θεωρείται ότι, σε αυτήν την περίπτωση, το πλάτος ταλάντωσης

έχει µηδενισθεί.

Περίπτωση 2η: ∆υναµικό σύστηµα µε εξωτερική αρµονική διέγερση συχνότητας Ω

• Σύστηµα µε απόσβεση (βλ. Σχήµα 1γ).

Η απόκριση (ολική λύση) του συστήµατος ισούται µε ( ) ( ) ( )h px t x t x t= + , όπου

( ) ( )sint

h nx t Ae tζω ω ϕ−= + είναι η οµογενής λύση του συστήµατος (µεταβατική

κατάσταση, ταλάντωση µε συχνότητα nω ) και ( ) ( )cospx t X t ϑ= Ω − είναι η µερική

λύση του συστήµατος (µόνιµη κατάσταση, ταλάντωση µε συχνότητα Ω )).

Σχήµα 3: Τυπική απόκριση µονοβάθµιου συστήµατος m c k− − µε εξωτερική αρµονική

διέγερση: (α) οµογενής λύση ( )hx t , (β) µερική λύση ( )px t , (γ) ολική λύση ( )x t .



- 20.5 -

Για αυτού του τύπου τα δυναµικά συστήµατα, πολύ χρήσιµη ποσότητα είναι ο

Συντελεστής ∆υναµικής Ενίσχυσης ( ),f qζ=H , ο οποίος εκφράζει ποσοτικά το λόγο

του πλάτους X της ταλάντωσης, ενός συστήµατος µε εξωτερική αρµονική διέγερση

πλάτους o

F , προς τη στατική µετατόπιση ST

X , που θα είχε το σύστηµα όταν σε αυτό

επιβάλλεται σταθερή εξωτερική δύναµηo

F . Στο Σχήµα 4 απεικονίζεται µία τυπική

γραφική παράσταση του συντελεστή H.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

H

ZONE IIIZONE I

ZONE II

Ζώνη Ι: Στατική περιοχή ( ωΩ )

κυριαρχούν οι δυνάµεις ελαστικότητας

Ζώνη ΙΙ: Περιοχή συντονισµού ( ωΩ ≈ )

Ζώνη ΙΙΙ: Περιοχή υψίσυχνων διεγέρσεων

( ωΩ ) κυριαρχούν οι δυνάµεις αδρανείας

Σχήµα 4: Γραφική παράσταση Συντελεστή ∆υναµικής Ενίσχυσης συναρτήσει του λόγου q

Συµπεριφορά βασικών δυναµικών στοιχείων χωρίς µάζα

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η συµπεριφορά µίας κατηγορίας βασικών δυναµικών

στοιχείων, στα οποία απουσιάζει το στοιχείο αδράνειας (µάζα). Σε αυτήν την κατηγορία,

ανήκουν τα ακόλουθα στοιχεία:

• Ελατήριο (στοιχείο ελαστικότητας)

Για γραµµικό ελατήριο, ισχύει ο νόµος του Hooke, δηλαδή ( ) ( )F t k x t= , όπου ( )F t

είναι η εξωτερική διέγερση, ( )x t είναι η απόκριση του ελατηρίου και k είναι η σταθερά

του ελατηρίου. Σύµφωνα µε τον εν λόγω νόµο, η µορφή της απόκρισης είναι όµοια µε

αυτήν της εξωτερικής διέγερσης, µε σταθερά αναλογίας ( )1 k . Συνεπώς, εάν η εξωτερική

διέγερση είναι µία βηµατική συνάρτηση (συνάρτηση Heaviside), τότε και η απόκριση θα

είναι οµοίως βηµατική συνάρτηση (βλ. Πίνακα 1, Α/Α:1).

• Αποσβεστήρας (στοιχείο απόσβεσης)

Θεωρώντας στοιχείο απόσβεσης µε ροή Quette (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/σελ.3.4),

ισχύει ( ) ( )F t c x t= , δηλαδή η εξωτερική διέγερση είναι ανάλογη της πρώτης χρονικής

παραγώγου της απόκρισης. Σύµφωνα µε αυτόν τον νόµο, εάν η εξωτερική διέγερση είναι

µία βηµατική συνάρτηση, τότε η απόκριση είναι γραµµική και για µηδενικές αρχικές

συνθήκες, η απόκριση θα είναι µηδενική τη στιγµή αρχής µέτρησης του χρόνου (βλ.

Πίνακα 1, Α/Α:2α). Επίσης, εάν η απόκριση είναι η βηµατική συνάρτηση τότε η διέγερση

είναι η συνάρτηση Dirac (βλ. Πίνακα 1, Α/Α:2β).



- 20.6 -

Πίνακας 1: Συµπεριφορά βασικών δυναµικών στοιχείων

Α/Α Στοιχείο ∆ιέγερση Απόκριση

1 Ελατήριο

2α

2β

Αποσβεστήρας

3 Kelvin-Voigt

4 Maxwell

5

Kelvin-Voigt σε

σειρά µε

ελατήριο

• Στοιχείο Kelvin-Voigt

Το εν λόγω στοιχείο αποτελείται από ένα ελατήριο συνδεδεµένο παράλληλα µε έναν

αποσβεστήρα. Λόγω της παράλληλης σύνδεσης, το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου

µετατοπίζεται όπως ακριβώς µετατοπίζεται και το ελεύθερο άκρο του αποσβεστήρα. Η

εξίσωση ισορροπίας του στοιχείου είναι ( ) ( ) ( )k cF t F t F t= + , όπου ( )F t είναι η

εξωτερική διέγερση, ( )kF t είναι η δύναµη στο ελατήριο και ( )cF t είναι η δύναµη στον

αποσβεστήρα. Από την επίλυση της εξίσωσης ισορροπίας προκύπτει η απόκριση του

στοιχείου. Για βηµατική διέγερση ( ) ( )*

oF t F H t= , η απόκριση παρουσιάζεται στον

Πίνακα 1, Α/Α:3. Η ποιοτική ερµηνεία της µορφής της απόκρισης είναι άµεση. Μετά από

την πάροδο ικανοποιητικού χρονικού διαστήµατος (µόνιµη κατάσταση), το ελεύθερο

άκρο του στοιχείου ακινητεί (µηδενική ταχύτητα), συνεπώς η δύναµη ( ) ( )cF t c x t= στον



- 20.7 -

αποσβεστήρα µηδενίζεται και παραµένει µόνον η δύναµη ( )kF t του ελατηρίου. Αυτό

σηµαίνει ότι η εξωτερική διέγερση ( )F t παραλαµβάνεται εξ ολοκλήρου από το ελατήριο

(ως εάν δεν υπάρχει αποσβεστήρας). Σε αυτήν την κατάσταση, η µετατόπιση του

ελεύθερου άκρου του στοιχείου ισούται µε ( )* /ox F H t k= , δηλαδή ισούται µε

/o o

x F k= (βλ. Πίνακα 1, Α/Α:1). Αντιθέτως, στην αρχή µέτρησης του χρόνου, το

ελεύθερο άκρο, από ακινησία, τίθεται σε κίνηση, άρα εµφανίζει σηµαντική µεταβολή στη

µετατόπισή του (εµφανίζει ταχύτητα). Ως εκ τούτου, η δύναµη απόσβεσης επικρατεί

σηµαντικά της δύναµης ελαστικότητας (ως εάν δεν υπάρχει ελατήριο). Αναλυτικός

υπολογισµός της απόκρισης του στοιχείου Kelvin-Voigt σε βηµατική διέγερση

παρατίθεται στο Παράρτηµα Α.

• Στοιχείο Maxwell

Το εν λόγω στοιχείο αποτελείται από ένα ελατήριο συνδεδεµένο σε σειρά µε έναν

αποσβεστήρα. Λόγω της σύνδεσης αυτής, η εξωτερική διέγερση ( )F t παραλαµβάνεται

ολόκληρη και από το ελατήριο και από τον αποσβεστήρα. Με άλλα λόγια ισχύει

( ) ( ) ( )c kF t F t F t= = , άρα η απόκριση του ελατηρίου (βλ. Πίνακα 1, Α/Α:1) και η

απόκριση του αποσβεστήρα (βλ. Πίνακα 1, Α/Α:2) είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους.

Συνεπώς, η συνολική απόκριση του στοιχείου Maxell προέρχεται από την υπέρθεση των

προαναφεροµένων αποκρίσεων (βλ. Πίνακα 1, Α/Α:4).

• Στοιχείο Kelvin-Voigt συνδεδεµένο σε σειρά µε ελατήριο

Με σκεπτικό παρόµοιο µε εκείνο, το οποίο αναπτύχθηκε στο στοιχείο Maxwell,

προκύπτει ότι ( ) ( ) ( )Maxwell kF t F t F t= = , συνεπώς η απόκριση του στοιχείου Kelvin-Voigt

(βλ. Πίνακα 1, Α/Α:3) και η απόκριση του ελατηρίου σταθεράς 2k (βλ. Πίνακα 1, Α/Α:1)

είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Ως εκ τούτου, η συνολική απόκριση του εξεταζοµένου

στοιχείου (στοιχείο Kelvin-Voigt συνδεδεµένο σε σειρά µε ελατήριο) προέρχεται από την

υπέρθεση των προαναφεροµένων αποκρίσεων (βλ. Πίνακα 1, Α/Α:5). Επίσης, µε βάση

όσα αναφέρθηκαν στο στοιχείο Kelvin-Voigt, µετά την παρέλευση ικανοποιητικού

χρονικού διαστήµατος (µόνιµη κατάσταση), η παρουσία του αποσβεστήρα αµελείται και

το εξεταζόµενο στοιχείο εκφυλίζεται σε δύο ελατήρια, σταθεράς 1k και σταθεράς 2k ,

συνδεδεµένων σε σειρά. Βάσει αυτών των διευκρινίσεων, προκύπτει ότι ισχύει

( )( )2Ax F t k= και ( )( )B tot

x F t k= , όπου ( ) ( ) ( )1 21 1 1totk k k= + .

Ισοδύναµα δυναµικά συστήµατα

Σε ένα δυναµικό σύστηµα, ένα δυναµικό στοιχείο είναι δυνατόν να αντικατασταθεί µε ένα

άλλο, αρκεί η δυναµική συµπεριφορά των δύο στοιχείων να είναι ακριβώς η ίδια. Κατ΄

αντιστοιχία, µία οµάδα από δύο ή περισσότερα δυναµικά στοιχεία είναι δυνατόν να

αντικατασταθεί µε ένα δυναµικό στοιχείο, αρκεί η δυναµική συµπεριφορά του στοιχείου



- 20.8 -

αντικατάστασης να είναι ακριβώς η ίδια µε εκείνην της οµάδος στοιχείων, την οποία

αντικαθιστά. Και στις δύο προαναφερθείσες περιπτώσεις, το δυναµικό στοιχείο

αντικατάστασης καλείται ‘ισοδύναµο στοιχείο’. Κατ’ επέκταση, ισοδύναµα καλούνται εκείνα

τα δυναµικά συστήµατα, τα οποία περιέχουν ισοδύναµα δυναµικά στοιχεία. Σε αυτήν την

κατηγορία, αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα αποτελούν οι περιπτώσεις, οι οποίες

παρουσιάζονται στον Πίνακα 2.

Πίνακας 2: Ισοδύναµα συστήµατα

Α/ΑΠεριγραφή

στοιχείου Συµβολισµός στοιχείου Ισοδύναµο στοιχείο

Ισοδύναµη

σταθερά

1 ∆ύο ελατήρια

συνδεδεµένα σε σειρά

1 2

1 1 1

k k kισ

= +

2

∆ύο ελατήρια

συνδεδεµένα

παράλληλα

1 2k k kισ = +

3 Ράβδος σε εφελκυσµό

AEk

Lισ =

4 Πρόβολος σε κάµψη

3

3EIk

Lδ =

5

Μάζα ανηρτηµένη µε

ελατήριο στο άκρο

προβόλου

,1 2

1 1 1

k k kδ δ

= +

6

Μάζα σε ελαστική

έδραση και

ανηρτηµένη µε

ελατήριο στο άκρο

προβόλου

,1 1

1 1 1

k k kδ δ

= +

,1,2 ,1 2k k kδ δ= +

• ∆ύο ελατήρια συνδεδεµένα σε σειρά (βλ. Πίνακα 2, Α/Α:1)

Η εξωτερική διέγερση F παραλαµβάνεται ολόκληρη και από το ελατήριο σταθεράς 1k

και από το ελατήριο σταθεράς 2k , συνεπώς οι αποκρίσεις των δύο ελατηρίων είναι

µεταξύ τους ανεξάρτητες. Η απόκριση του ισοδύναµου ελατηρίου προέρχεται από την



- 20.9 -

υπέρθεση των προαναφεροµένων αποκρίσεων 1 2x x xισ = + . Για γραµµικά ελατήρια, από

τον νόµο Hooke F kx= , προκύπτει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1 1F k F k F k k k kισ ισ= + ⇒ = + .

• ∆ύο ελατήρια συνδεδεµένα παράλληλα (βλ. Πίνακα 2, Α/Α:2)

Το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθεράς 1k µετατοπίζεται όπως ακριβώς µετατοπίζεται

και το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθεράς 2k , δηλαδή 1 2x x xισ = = . Από την

ισορροπία δυνάµεων, ισχύει 1 2k k

F F F= + . Για γραµµικά ελατήρια, από τον νόµο Hooke

F kx= , προκύπτει ότι 1 1 2 2 1 2k x k x k x k k kισ ισ ισ= + ⇒ = + .

• Ράβδος σε εφελκυσµό (βλ. Πίνακα 2, Α/Α:3)

Για την περιοχή της γραµµικής ελαστικότητας, σύµφωνα µε το νόµο Hooke, η

εφελκυστική τάση σ σε µία ράβδο είναι ανάλογη της παραµόρφωσης ε της ράβδου, µε

σταθερά αναλογίας το µέτρο ελαστικότητας του υλικού ( Eσ ε= ). Από τον ορισµό της

τάσης, ισχύει ( )F Aσ = , όπου F είναι η εφελκυστική δύναµη και A είναι το εµβαδόν

της επιφανείας, επί της οποίας ασκείται η δύναµη F . Επίσης, από τον ορισµό της

παραµόρφωσης ισχύει ( )L Lε = ∆ , όπου L είναι το αρχικό µήκος της ράβδου και L∆

είναι η µεταβολή του µήκους της ράβδου. Από το συνδυασµό των ανωτέρω ορισµών

προκύπτει ( ) ( ) ( )E F A E L L F AE L Lσ ε= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ . ∆εδοµένου ότι η ποσότητα

L∆ εκφράζει και τη µετατόπιση x του ελευθέρου άκρου της ράβδου, έπεται ότι ισχύει

( )F AE L x= . Από την τελευταία σχέση, προκύπτει ότι µία ράβδος σε εφελκυσµό είναι

δυνατόν να θεωρηθεί ως ένα ελατήριο σταθεράς ( )k AE Lισ = , το οποίο εφελκύεται µε

δύναµη F και το ελεύθερο άκρο του µετατοπίζεται κατά x .

• Πρόβολος σε κάµψη (βλ. Πίνακα 2, Α/Α:4)

Από τη Μηχανική του Παραµορφωσίµου Σώµατος προκύπτει, για παράδειγµα

χρησιµοποιώντας την τεχνική της ελαστικής γραµµής, ότι το βέλος κάµψης δ προβόλου

(µονόπακτη δοκός σε κάµψη) µήκους L υπό καµπτικό φορτίο P , ασκούµενο στο

ελεύθερο άκρο του, ισούται µε ( )( )3 3PL EIδ = , όπου E είναι το µέτρο ελαστικότητας

του υλικού και I είναι η ροπή αδρανείας της διατοµής της δοκού. Αναδιατάσσοντας τους

όρους, προκύπτει ( )33P EI L δ= . Εποµένως, η περίπτωση προβόλου σε κάµψη είναι

δυνατόν να θεωρηθεί ως ένα ελατήριο σταθεράς ( )33k EI Lισ = , το οποίο εφελκύεται µε

δύναµη F και το ελεύθερο άκρο του µετατοπίζεται κατά δ .

• Μάζα ανηρτηµένη µέσω ελατηρίου στο άκρο προβόλου (βλ. Πίνακα 2, Α/Α:5)

Σε αυτήν την περίπτωση, ο πρόβολος αντικαθίσταται από το ισοδύναµο στοιχείο του (βλ.

Πίνακα 2, Α/Α:4), δηλαδή από ένα ελατήριο σταθεράς kδ . Συνεπώς, προκύπτει ένα νέο



- 20.10 -

(ισοδύναµο) σύστηµα, το οποίο αποτελείται από δύο ελατήρια, σταθεράς kδ και 1k

αντίστοιχα, συνδεδεµένα σε σειρά, µία µάζα m και ένα ελατήριο σταθεράς 2k . Το εν

λόγω σύστηµα απλοποιείται περαιτέρω, αντικαθιστώντας τα ελατήρια σταθεράς kδ και

1k µε ένα ισοδύναµό τους ,1kδ , όπου ( ) ( ) ( ),1 11 1 1k k kδ δ= + (βλ. Πίνακα 2, Α/Α:1). Με

βάση τα ανωτέρω, τελικά προκύπτει ένα µονοβάθµιο σύστηµα ,1,2m kδ− .

• Μάζα επί ελαστικής έδρασης και ταυτόχρονα ανηρτηµένης µέσω ελατηρίου στο άκρο

προβόλου (βλ. Πίνακα 2, Α/Α:5)

Σε αυτήν την περίπτωση, ο πρόβολος αντικαθίσταται από το ισοδύναµο στοιχείο του (βλ.

Πίνακα 2, Α/Α:4), δηλαδή από ένα ελατήριο σταθεράς kδ . Συνεπώς, προκύπτει ένα νέο

(ισοδύναµο) σύστηµα, το οποίο αποτελείται από δύο ελατήρια συνδεδεµένα σε σειρά,

σταθεράς kδ και 1k αντίστοιχα, από µία µάζα m και από ένα ελατήριο σταθεράς 2k . Το

εν λόγω σύστηµα είναι δυνατόν να απλοποιηθεί, αντικαθιστώντας τα δύο ελατήρια

σταθεράς kδ και 1k µε ένα ισοδύναµό τους ,1kδ , όπου ( ) ( ) ( ),1 11 1 1k k kδ δ= + (βλ.

Πίνακα 2, Α/Α:1). Προκύπτει, λοιπόν, το σύστηµα του Σχήµατος 1α. Στο σύστηµα αυτό

παρατηρούµε ότι τα σηµεία Α και Γ (ελεύθερα άκρα των ελατηρίων σταθεράς ,1kδ και 2k ,

αντίστοιχα), θεωρώντας το στοιχείο µάζας m ως απαραµόρφωτο, εµφανίζουν κοινή

µετατόπιση. Επίσης, παρατηρούµε ότι και το ελατήριο σταθεράς ,1kδ και το ελατήριο

σταθεράς 2k αντιτίθενται στην κατακόρυφη µετακίνηση της µάζας m (βλ. Σχήµα 1β, 1γ).

∆ιαπιστώνουµε, λοιπόν, ότι το δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος 1α εµφανίζει την ίδια

συµπεριφορά µε εκείνην του συστήµατος του Σχήµατος 1δ. Συνεπώς, τα δύο εν λόγω

συστήµατα είναι ισοδύναµα.

(α) (β) (γ) (δ)

Σχήµα 1: Μονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα m c k− − υπό αρµονική διέγερση

Με βάση την ανωτέρω παρατήρηση, το σύστηµα του Σχήµατος 1α απλοποιείται

περαιτέρω στο σύστηµα του Σχήµατος 1δ., στο οποίο αναγνωρίζουµε ότι τα ελατήρια

σταθεράς ,1kδ και 2k είναι συνδεδεµένα παράλληλα µεταξύ τους, άρα είναι δυνατόν να

αντικατασταθούν από ένα ισοδύναµο ελατήριο σταθεράς ,1,2 ,1 2k k kδ δ= + .



- 20.11 -

Εφαρµογή #1: Προσδιορισµός σταθερών µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος m c k− −

Έστω το µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα m c k− − του Σχήµατος 2, στο οποίο η εξωτερική

αρµονική (ηµιτονοειδής) διέγερση έχει πλάτος 2500o

F N= . Αρχικά, το σύστηµα διεγέρθηκε,

από κατάσταση ηρεµίας, µε συχνότητα 1 16 rad sΩ = και, στη µόνιµη κατάσταση, µετρήθηκε

πλάτος ταλάντωσης 3

1 18 10X cm−= × και διαφορά φάσης 1 15oϑ = − . Στη συνέχεια, το

σύστηµα, πάλι από κατάστασης ηρεµίας, διεγέρθηκε µε συχνότητα 2 25rad sΩ = και, στη

µόνιµη κατάσταση, µετρήθηκε πλάτος ταλάντωσης 3

2 36 10X cm−= × και διαφορά φάσης

1 55oϑ = − .

Σχήµα 2: Μονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα m c k− − υπό αρµονική διέγερση

Ζητούνται:

Α) οι σταθερές , , , ,m c k ω ζ του συστήµατος

Β) οι µεταβολές των ελαστικών δυνάµεων, όταν ο λόγος απόσβεσης ζ τεθεί ίσος προς 0.1

Λύση

Για το ερώτηµα (Α):

Από την εκφώνηση προκύπτει ότι το σύστηµα, στη ‘µόνιµη κατάσταση’, ταλαντώνεται µε

σταθερό πλάτος ταλάντωσης (µόνιµη ταλάντωση). Αυτή η συµπεριφορά εµφανίζεται όταν το

σύστηµα χαρακτηρίζεται είτε από λόγο απόσβεσης 0 1ζ< < , είτε από λόγο απόσβεσης 0ζ =

(για άλλες τιµές του λόγου απόσβεσης, δεν εµφανίζεται µόνιµη ταλάντωση, βλ. Εκπαιδευτική

Ενότητα 12/Σχήµα 1). Επίσης, αναφέρεται ότι στη ‘µόνιµη κατάσταση’, µετρήθηκε διαφορά

φάσης 0ϑ ≠ . Αυτό σηµαίνει ότι η συχνότητα του διεγέρτη δεν ταυτίζεται µε την συχνότητα

της απόκρισης του συστήµατος (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Πίνακα 3). Ο συνδυασµός των

ανωτέρω δύο πληροφοριών οδηγεί στο συµπέρασµα ότι το σύστηµα χαρακτηρίζεται από λόγο

απόσβεσης 0 1ζ< < (για 0ζ = , η διαφορά φάσης ϑ µεταξύ συχνότητας διεγέρτη και

απόκρισης συστήµατος είναι µηδενική). Συνεπώς, για το εξεταζόµενο µονοβάθµιο δυναµικό

σύστηµα m c k− − είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί η έννοια του Συντελεστού ∆υναµικής

Ενίσχυσης H . Ειδικότερα, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.(21)):

( ) ( )2 22

1

1 2q qζ=

− +H (1)

Επίσης, για τη διαφορά φάσης ϑ ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.(30)):

2

2tan

1

q

q

ζϑ = −

(2)



- 20.12 -

Από την τριγωνοµετρία, εξ ορισµού ισχύει:

2 2sin cos 1ϑ ϑ+ = (3)

Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(3), προκύπτει:

2

2 2 2

2 2 2

sin 1 1 1sin cos 1 1 tan 1 cos

cos cos cos tan 1

ϑϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = +

(4)

Ο συνδυασµός των Εξ.(2,4) δίδει:

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

2 2 2 22 222 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2

1 1 1 1cos

2 2 1 1 2 1211 1 1

1 1 1

q q q q q qq

q q qq q q

ϑζ ζ ζζ

= = = = ⇒ − − + −

+ + + − − − − − −

( )( ) ( )

( )( ) ( )

22

2

22 22 2 2

1 1cos cos 1

2 1 2 1

qq

q q q q

ϑ ϑζ ζ

−

⇒ = ⇒ = − + − + −

H

(5)


( ) ( )2

2

coscos 1

1q

q

ϑϑ = − ⇒ =

−H H (6)

Επίσης, εξ ορισµού, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.(20)):

ST

ST

XX X

X= ⇒ =H H (7)

Ως ST

X ορίζεται το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.(10)):

oST

FX

k

=

(8)

Ο συνδυασµός των Εξ.(6,7,8) δίδει:

( ) ( )2 2

2

cos coscos1

1

o o oF F FX k q k kq

k X Xq

ϑ ϑϑ = ⇒ − = ⇒ − = −

(9)

Ο λόγος q ορίζεται ως εξής (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03/Εξ.(18)):

qωΩ =

(10)

Υπενθυµίζεται ότι ως Ω συµβολίζεται η συχνότητα του διεγέρτη. Ο συνδυασµός των

Εξ.(9,10) δίδει:



- 20.13 -

( )22

2 2

2

cos cos cosk

mo o oF F Fk k

k k k kkX X X

m

ωϑ ϑ ϑω ω

=

Ω − = ⇒ −Ω = → −Ω = ⇒

2 coso

Fk m

X

ϑ⇒ − Ω = (11)

Εφαρµόζοντας την Εξ.(11), για την πρώτη περίπτωση διέγερσης, προκύπτει:

( )2 2 5

3 2 5

2500 cos 15 2500 0.96616 16 256 134.156 10

18 10 10 18 10

o

cm

m

k m k m k m− − −

× − ×− × = ⇒ − × = ⇒ − = ×

× × ×

(12)

Εφαρµόζοντας την Εξ.(11), για τη δεύτερη περίπτωση διέγερσης, προκύπτει:

( )2 2 5

3 2 5

2500 cos 55 2500 0.57425 25 625 39.832 10

36 10 10 36 10

o

cm

m

k m k m k m− − −

× − ×− × = ⇒ − × = ⇒ − = ×

× × ×

(13)

Αφαιρώντας κατά µέλη τις Εξ.(12,13),προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( )5 5 5256 625 134.156 10 39.832 10 369 94.325 10k m k m m− − − = × − × ⇒ = × ⇒

25562m kg⇒ = (14)

Ο συνδυασµός των Εξ.(13,14) δίδει: 255625 539.832 10 625 39.832 10 625 25557m

k m k== × + → = × + × ⇒

71.996 10 Nkm

⇒ = × (15)

Συνεπώς, η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος ισούται µε:

71.996 1027.943

25562

k radsm

ω ω×

= = ⇒ = (16)

Επίσης, πάλι από την Εξ.(3) και εκτελώντας πράξεις, προκύπτει:

2 2 2 2sin cos 1 sin 1 cosϑ ϑ ϑ ϑ+ = ⇒ = − (17)

Εισάγοντας την Εξ.(5) στην Εξ.(17), προκύπτει:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

22 2 222 2 2 2

2

2 22 22 2 22 2

1 1 2 1 1sin 1 1

2 1 2 12 1

q q q q q

q q q qq q

ζϑ

ζ ζζ

− − + − − − = − = − = ⇒ + − + − + −



- 20.14 -

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2

2

2

2 22 2 2

22 2 22 2

2 1sin 2 sin 2

2 1 2 1

qq q

q q q q

ζϑ ζ ϑ ζ

ζ ζ

⇒ = = ⇒ = ⇒ + − + −

H

H

H

( )( )

( )( )2 2 2 2. 10 :. 10 :

2 2 2

2 2 22 2 2

sin 1 sin sin

4 42

ST

Xq

X

ST

q XX

ξξωϑ ϑ ω ϑ

ζ ζ ζ

ω

Ω Ε = Ε =

⇒ = → = → = ⇒ Ω Ω

H

H H

2 2

2 2

2 22 2 22 2

2 2 2 2 2 2

sin sinsin

4 4 4

oST

o oF

XkST

F F

X k k

X X X

ϑ ϑϑω ω ω

ζ ζ ζ =

⇒ = → = ⇒ = ⇒ Ω Ω Ω

1sin

2

oF

k X

ωζ ϑ ⇒ = Ω

(18)

∆ιευκρινίζεται ότι στην Εξ.(18), απόλυτη τιµή έχει επιβληθεί µόνον στην τριγωνοµετρική

ποσότητα sinϑ , διότι όλες οι άλλες ποσότητες λαµβάνουν πάντοτε θετική τιµή. Με

αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(18), προκύπτει η τιµή του λόγου απόσβεσης ζ . Προς

τούτο, είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθούν τα δεδοµένα είτε από την πρώτη περίπτωση

διέγερσης είτε από τη δεύτερη περίπτωση διέγερσης. Έστω ότι επιλέγεται η πρώτη περίπτωση

διέγερσης, οπότε προκύπτει:

( )1 7 3 2

1 1

1 27.946 2500 1sin sin 15

2 2 1.996 10 16 18 10 10

oo

cm

m

F

k X

ωζ ϑ − −

= = − ⇒ Ω × × × ×

( )7 5 2

27.943 2500 69857.5sin 15 0.2588

2 1.996 16 18 10 10 1149.7 10

oζ −

× ⇒ = − = − ⇒ × × × × × ×

0.1572ζ⇒ = (19)

Από τον ορισµό του λόγου απόσβεσης ζ , ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 02/Εξ.(12)):

22

cc m

mζ ζω

ω= ⇒ = (20)

Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(20), προκύπτει:

52 0.1572 27.943 25562 2.247 10radc kg c kg ss

= × × × ⇒ = × (21)



- 20.15 -

Για το ερώτηµα (Β):

Για την πρώτη περίπτωση διέγερσης, η ελαστική δύναµη ,1elF , εξ ορισµού, ισούται µε:

7 3 2

,1 1 ,11.996 10 18 10 10 3592.8el el

cm

m

NF k X F Nm

− −= = × × × × ⇒ =

(22)

Για τη δεύτερη περίπτωση διέγερσης, η ελαστική δύναµη ,2elF , εξ ορισµού, ισούται µε:

7 3 2

,2 2 ,21.996 10 36 10 10 7185.6el el

cm

m

NF k X F Nm

− −= = × × × × ⇒ =

(23)

Από τον ορισµό του Συντελεστού ∆υναµικής Ενίσχυσης (βλ. Εξ.(7)), προκύπτει ότι η

ελαστική δύναµη el

F του συστήµατος ισούται µε:

elel o

ST ST o

FX X kF F

X X k F= = = ⇒ =H H (24)

Εποµένως, η ελαστική δύναµη el

F , για διαφορετική τιµή του λόγου απόσβεσης ζ , είναι

δυνατόν να υπολογισθεί από την Εξ.(24), αφού πρώτα υπολογισθεί η νέα τιµή του

Συντελεστού Ενίσχυσης H. Συνεπώς, ισχύει:

• Για την πρώτη περίπτωση διέγερσης και για 0.1ζ = :

Από την Εξ.(10), προκύπτει:

11 1

160.5725

27.946q q

ωΩ = = ⇒ =

(25)

Με βάση την Εξ.(1), ισχύει:

( ) ( )1,

2 22

1 1, 1

1

1 2new

newq qζ=

− +H (26)

Ο συνδυασµός των Εξ.(25,26), δίδει:

( ) ( )1, 1,

2 22

1 11.466

0.45191 0.013111 0.5725 2 0.1 0.5725new new= = ⇒ =

+− + × ×H H (27)


,1, ,1,1.466 2500 3665el new el newF F N= × ⇒ = (28)

• Για τη δεύτερη περίπτωση διέγερσης και για 0.1ζ = (όπως και για την πρώτη περίπτωση

διέγερσης):

Από την Εξ.(10), προκύπτει:



- 20.16 -

22 2

250.8946

27.946q q

ωΩ = = ⇒ =

(29)

Με βάση την Εξ.(1), ισχύει:

( ) ( )2,

2 22

2 2, 2

1

1 2new

newq qζ=

− +H (30)

Ο συνδυασµός των Εξ.(29,30), δίδει:

( ) ( )2, 2,

2 22

1 13.729

0.03987 0.032011 0.8946 2 0.1 0.8946new new= = ⇒ =

+− + × ×H H (31)


,2, ,2,3.729 2500 9322.5el new el newF F N= × ⇒ = (32)

Εφαρµογή #2: Προσδιορισµός πρωτεϊνών µέσω υπολογισµού σταθερών µονοβάθµιου

δυναµικού συστήµατος m c k− −

Πληροφοριακό σηµείωµα

Ένα θέµα, πολύ ενδιαφέρον από θεωρητικής απόψεως και εξαιρετικής αξίας από πρακτικής

απόψεως, είναι η δυνατότητα ανίχνευσης βιοµορίων. Για παράδειγµα, η δυνατότητα

ανίχνευσης πρωτεϊνών στον ανθρώπινο οργανισµό αποτελεί ένα εξαίρετο µέσο έγκαιρης και

έγκυρης διάγνωσης διαφόρων παθολογικών καταστάσεων, όπως είναι ο καρκίνος. Επίσης, η

δυνατότητα ανίχνευσης είτε µικροβίων είτε των αποκαλουµένων ‘biomarkers’1 σε φαγητά,

αποτελεί ένα εξαίρετο µέσο αξιολόγησης επικινδυνότητας τροφών. Η δυνατότητα

αναγνώρισης µικροβίων, όπως αυτό του άνθρακα, αποτελεί ένα εξαίρετο µέσο πρόληψης.

Προς την κατεύθυνση της δυνατότητα ανίχνευσης βιοµορίων, έχουν αναπτυχθεί διατάξεις

αποκαλούµενες ως ‘lab-on-a-chip’. Η ονοµασία τους οφείλεται στο γεγονός ότι πρόκειται για

διατάξεις µικροσκοπικού µεγέθους, οι οποίες, ωστόσο, επιτελούν έργο, παραδοσιακά

υλοποιούµενο σε διαγνωστικά εργαστήρια. Το µικροσκοπικό τους µέγεθος επιτυγχάνεται µε

την εφαρµογή κατάλληλης τεχνολογίας (τεχνολογία chip). Στις εν λόγω διατάξεις, είναι

τοποθετηµένα διάφορα ηλεκτροκινούµενα µηχανικά συστήµατα, το µέγεθος των οποίων

ποικίλει µεταξύ 20 mµ και 1mm (συστήµατα MEMS, αρκτικόλεξο του όρου

MicroElectroMechanicalSystems). Συνήθως, αποτελούνται από µία κεντρική µονάδα

επεξεργασίας δεδοµένων, έναν µικροεπεξεργαστή και ένα σύνολο τεµαχίων µεγέθους µεταξύ

1 mµ και 100 mµ . Αξιοποιώντας, λοιπόν, τα MEMS στο πεδίο των Βιολογικών Συστηµάτων

(Biology Systems), είναι δυνατή η κατασκευή και χρήση Βιο-αισθητήρων (Bio-Sensors/Bio-

1 Biomarker (βιολογικός επισηµαντήρας): Συγκεκριµένες πρωτεΐνες, οι οποίες χρησιµοποιούνται στην

αντικειµενική αξιολόγηση της βιολογικής κατάστασης (π.χ. φυσιολογική, παθολογική) ενός οργανισµού.



- 20.17 -

MEMS), µε τους οποίους επιδιώκεται και επιτυγχάνεται η ανίχνευση βιοµορίων, π.χ.

ανίχνευση πρωτεϊνών στον ανθρώπινο οργανισµό, όπως αναφέρθηκε προηγουµένως.

∆ιαδικασία ανίχνευσης

Έστω µονοβάθµιος ταλαντωτής µάζας Tm και ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης 40f kHz= , στην

επιφάνεια του οποίου έχουν προσαρµοσθεί αντισώµατα2. Η προσκόλληση µικροβίων στα

προαναφερθέντα αντισώµατα έχει ως αποτέλεσµα τη µεταβολή της µάζας του ταλαντωτή και

ως εκ τούτου και τη µεταβολή της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσή του. Συνεπώς, η µέτρηση της

µεταβολής της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης είναι δυνατόν να πληροφορήσει για την παρουσία

µικροβίων και γενικά βιοµορίων. Προς τούτο, ζητείται να υπολογισθεί η µεταβολή της

συχνότητας ταλάντωσης του ταλαντωτή του Σχήµατος 3, εάν η µάζα του Tm προσαυξηθεί

κατά 0.1%pr Tm m= , λόγω προσκόλλησης µικροβίων, όπου prm είναι η µάζα των µικροβίων.

Σχήµα 3: Μονοβάθµιος ταλαντωτής ανίχνευσης βιοµορίων

Η συχνότητα ελεύθερης ταλάντωσης ενός µονοβάθµιου ταλαντωτή ισούται µε (βλ.

Εκπαιδευτική Ενότητα 02/Εξ.(10)):

2

T

k

mω

=

(33)

Όταν προσκολληθούν βιοµόρια µάζας prm στην επιφάνεια του ταλαντωτή, τότε η συνολική

µάζα του συστήµατος ταλαντωτής-βιοµόρια ισούται ( )T prm m+ και η ιδιοσυχνότητα ,T prω

του εν λόγω συστήµατος ισούται µε:

( )22 T pr

T pr

T pr T pr

k k

m m m m

ω ω ωω ω ω+ = +∆+

= → +∆ = + +

(34)

Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(34), προκύπτει:

2 Τα αντισώµατα είναι συγκεκριµένες πρωτεΐνες του αίµατος ή άλλων σωµατικών υγρών των σπονδυλωτών και

χρησιµοποιούνται από το ανοσοποιητικό σύστηµα για την ανίχνευση και εξουδετέρωση ξένων µικρο-οργανισµών,

όπως είναι τα βακτήρια και οι ιοί. Στον ανθρώπινο οργανισµό υπάρχουν περίπου 20000 αντισώµατα.



- 20.18 -

( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2

1 1

T

k

mT

pr pr

T

T T

k

mk

m mm

m m

ω

ω ω ω ω ω ω ω ω =

+ ∆ + ∆ = ⇒ + ∆ + ∆ = →

+ +

( ) ( )2 2

22

1

2

1 1 1

pr

T

pr pr pr

T T T

m

m

m m m

m m m

ω ωω ω ω ω

− ⇒ + ∆ + ∆ = = ⇒

+ + −

( ) ( ) ( ) ( )2

2

22

2 2

1 1

2 1 2

1 1

pr pr

T T

pr pr

T T

m m

m m

m m

m m

ωω ω

ω ω ω ωω ω

− − ∆ ∆ ⇒ + ∆ + ∆ = ⇒ + + =

− −

(35)

Θεωρώντας ότι η µάζα των προσκεκολλήµένων βιοµορίων prm είναι σηµαντικά µικρότερη

της µάζας του ταλαντωτή, έπεται ότι και η µεταβολή ω∆ θα είναι αρκετά µικρότερη της

ιδιοσυχνότητας ω του ταλαντωτή, εποµένως όροι ανωτέρας τάξεως της µορφής ( )nω ω∆

είναι δυνατόν να αµεληθούν. Συνεπώς, θα ισχύει:

2

2

0

0

pr

T

pr T

m

mm m

ωω

→ ⇒ ∆ →

(36)

Εισάγοντας την Εξ.(36) στην Εξ.(35), προκύπτει:

( ) ( ) 11 2 1

2

pr pr

T T

m m

m m

ω ωω ω

∆ ∆ + = − ⇒ = −

(37)

Η φυσική σηµασία του αρνητικού προσήµου στο δεξί µέλος της Εξ.(37) είναι ότι λόγω της

προσαύξησης της µάζας του συστήµατος ταλαντωτής-βιοµόρια, η µεταβολή ω∆ της

ιδιοσυχνότητας του συστήµατος αυτού είναι αρνητική. Με άλλα λόγια, η ιδιοσυχνότητα του

ταλαντωτή, λόγω της παρουσίας των βιοµορίων, θα µειωθεί. Συνεπώς, για µία µάζα

βιοµορίων 0.1%pr Tm m= , από την Εξ.(37), προκύπτει:

( ) ( )10.1% 0.05%

2

ωω ω

ω

∆ = − ⇒ ∆ = −

(38)

Επίσης, εξ ορισµού ισχύει:



- 20.19 -

( )2 2 2 2new new newf f f f fω ω ω π π ω π ω π∆ = − = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = ∆ (39)


( ) 0.05% 2 0.05% 2 0.05% 0.05% 40f f f f f kHzω ω π π∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = − × ⇒

2 2 30.05% 40 5 10 10 4 10 10 20f kHz f Hz− −⇒∆ = − × = − × × × × × ⇒ ∆ = (40)

Συνεπώς, για µία µεταβολή της µάζας Tm του ταλαντωτή της τάξεως 0.1% , προκαλείται

µεταβολή (µείωση) στην ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή κατά 20Hz . ∆ιευκρινίζεται ότι για τη

µέτρηση της ταλάντωσης, άρα και της µεταβολής της, ο ταλαντωτής προσβάλλεται µε µια

φωτεινή δέσµη, την ανάκλαση της οποίας καταγράφουν ειδικοί αισθητήρες. Επειδή, δε, οι

µεταβολές στην ταλάντωση είναι πολύ µικρές, χρησιµοποιούνται οι αποκαλούµενες διατάξεις

PMT (αρκτικόλεξο του όρου PhotoMultiplierTube), οι οποίες έχουν την ικανότητα να

διακρίνουν µεταβολή ταλάντωσης της τάξεως 1Hz .

Συµπληρωµατικό πληροφοριακό σηµείωµα

Η ανιχνευτική διάταξη που αναφέρθηκε προηγουµένως λειτουργεί θεωρώντας ότι ο

ταλαντωτής βρίσκεται µέσα σε αέρα ή σε αέρια, άρα η όποια ανίχνευση βιοµορίων αφορά σε

τέτοιο περιβάλλον. Ωστόσο, για τη διάγνωση βιοµορίων σε υγρό περιβάλλον, όπως για

παράδειγµα σε αίµα, δεν είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί η συγκεκριµένη µορφή του

ταλαντωτή, διότι, εξ αιτίας του υγρού περιβάλλοντος, οι αναπτυσσόµενες υδροδυναµικές

αντιστάσεις είναι πολύ µεγάλες, επηρεάζοντας σηµαντικά τη µεταβολή της συχνότητας

ταλάντωσης. Ειδικότερα, η ενεργός µάζα (effective mass) του ταλαντωτή ,T effm , ακριβώς

λόγω των αναπτυσσοµένων υδροδυναµικών αντιστάσεων, γίνεται έως και 100 φορές

µεγαλύτερη της µάζας Tm του ταλαντωτή:

, 100T eff Tm m≈ (41)

Συνεπώς, για µάζα ,T effm , η Εξ.(37) δίδει:

( ) ( )

( )

,

1 1 1 1

2 2 100 2 100

old

pr pr pr

T eff T Tnew new

m m m

m m m

ωω

ω ωω ω

∆

∆ ∆ = − ⇒ = − = − ⇒

( ) ( ) 1

100new old

ω ωω ω

∆ ∆ =

(42)

Από την Εξ.(42) προκύπτει ότι ο ταλαντωτής του Σχήµατος 3, όταν λειτουργεί σε υγρό

περιβάλλον, καθίσταται έως και 100 φορές λιγότερο ευαίσθητος, άρα απολύει το

πλεονέκτηµα της ανιχνευτικής του ικανότητας (οι µεταβολές στην ταλάντωσή του λόγω

προσκόλλησης βιοµορίων καθίστανται µη-ανιχνεύσιµες).



- 20.20 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Αναλυτικός υπολογισµός της απόκρισης του στοιχείου Kelvin-Voigt σε

βηµατική διέγερση

Εφαρµόζοντας τον Μετασχηµατισµό Lapalce στην εξίσωση ισορροπίας δυνάµεων προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( ) * * *

c k o o oF F F t cx kx F H t cx kx F H t c x k x F H t+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ L L L L L

( ) ( )1 1 1o o o o o oc sX x kX F csX cx kX F cs k X F cx

s s s

⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ + = +

(Α.1)

Θεωρώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλαδή ότι ισχύει 0ox = , η Εξ.(Α.1) δίδει:

( )( )

1 1 1 1 1 1o o ocs k X F X F F

ks s cs k s c sc

+ = ⇒ = = + +

(Α.2)

Θέτοντας k

ac

=

, η Εξ.(Α.2) δίδει:

1 1oFX

c s s a

= + (Α.3)

Εφαρµόζοντας την τεχνική των µερικών κλασµάτων στην Εξ.(Α.3), προκύπτει:

( )( ) ( )

( )( )

1 1 o o o o oo o o o oA s a B s A B s A aA B A s A a B s

s s a s s a s s a s s a s s a

+ + + ++ + = + = = = + + + + + (Α.4)

Από την Εξ.(Α.4), έπεται ότι:

( )( )( )

( )( )

10

11 1

kao oo o

o o c

o oo o

cB BB AA B a k

A a A cA Aa a k

=

= − = −= − + = ⇒ ⇒ →

= = = =

(Α.5)

Ο συνδυασµός των Εξ.(Α.3,Α.5) δίδει:

( ) ( ) ( ) 1 1o o o o o

c cF A B F Fk k cX

kc s s a c s s a c s s a

− = + = + = − ⇒ + + +

1 1oF

Xk s s a

⇒ = − + (Α.6)

Εφαρµόζοντας τον Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(Α.6), προκύπτει:

( ) 11 1 1 1o oF F

X x tk s s a k s s a

− = − ⇒ = − ⇒ + + L L L L

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )* * *1at ato oF Fx t H t e H t x t e H t

k k

− − ⇒ = − ⇒ = −

(Α.7)

Η Εξ.(7) εκφράζει την απόκριση του στοιχείου Kelvin-Voigt σε βηµατική διέγερση.

∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ιcourseware.mech.ntua.gr/ml23065/lecture_pdfs/Dynamics_I...•...

Documents

Transcript of ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ιcourseware.mech.ntua.gr/ml23065/lecture_pdfs/Dynamics_I...•...