Γραμμική παρεμβολή

12

112121 xx

x-xxF-xFxFxF xx xΕάν

baxF(x) αύξουσαxF

Γενικώς η λογική της στηρίζεται στην απλή μέθοδο των τριών ως εξής:

Η αύξηση του x1 είναι κατά:

Για αλλαγή του x ίση με: x2-x1 είχαμε αύξηση κατά F(x2)-F(x1)

Για αλλαγή του x ίση με: x-x1 έχουμε αύξηση κατά: ?=

12

112 xx

x-xxF-xF

Διπλή γραμμική παρεμβολή

%20

%

2,02,02,02312

1

2

242

1

131

2

242

RHRHNn

Nn

AAANn

Nn

AAANn

Nn

AAAb AAAAUd

Αρδευτικό δίκτυο

Ατομικά δίκτυα Υποσύνολο του γενικότερου προβλήματος

Στην ουσία δηλαδή μελετάται ο σχεδιασμός ενός δικτύου από την υδροληψία που καταλήγει σε μία αγροτική μονάδα και μετά.

Εξίσωση ενέργειας - Bernoulli

2

2

p uz ct

g

Προϋποθέσεις:• ασυμπίεστο ρευστό, ρ σταθερό• μόνιμη ροή, u σταθερή στο ίδιο σημείο• ρευστό μη συνεκτικό, δηλαδή ροή μη-ιξώδης,δηλαδή ιξώδη φαινόμενα αμελητέα

Η σχέση αυτή αναφέρεται κατά μήκος γραμμής ροής.

Η παροχή και τα φορτία σε αγωγό

Aριθμός Reynolds / στωτή-τυρβώδης ροή

DV

μ

DV

DVV

Re2

αδράνεια

τριβή

Λόγος δυνάμεων αδράνειας προς τριβής

Αδράνεια ανάλογη μάζας και κινηματικής κατάστασης. Τριβή, ανάλογη ιξώδους

Τυρβώδης ροή σε σωλήνες με τραχύτητα

Η τραχύτητα υπάρχει και μετριέται σε mm (απόλυτη) ή σχετική ως προς τη διάμετρο. Είναι μέτρο παρέκλισης πραγματικού τοιχώματος από το ιδεατό.

Κύριος λόγος για την πτώση πίεσης:Δυνάμεις πίεσης όταν το ρευστό περιρέει τις προεξοχές και σχηματίζονται νεκροί χώροι στις εσοχές.

Στρωτή ροή = αμελητέα επίδραση

Εξισώσεις υπολογισμού του f

Σχέση Colebrook – White

Υλικά αγωγώνΚαι τραχύτητα

ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ ΡΕΥΣΤΟΥ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ

g

V

D

Lfh f 2

2

Ο συντελεστής τριβής f για ροή σε κυλινδρικό αγωγό δίνεται από την εξίσωση Darcy-Weisbach

Όπου,

L = μήκος κυλινδρικού αγωγού

D = Διάμετρος κυλινδρικού αγωγού

f = συντελεστής τριβής

Προσεγγιστικές σχέσεις υπολογισμού του f

Swamee and Jain (1976)

Γ. Τερζίδη - Χ. Μπαμπατζιμόπουλου (1992)

10 0,9

1 5,742 log

3,7 e

k

D Rf

1,009 0,2018 0,2

0,4036 0,2018 0,6 0,2

1 2,2871,879 log 0,602

K h v L

Q L Q hf

88,0Re

706,4

7,3log

Re

015,5

7,3log

Re

042,5

7,3log

Re

046,5

7,3log2

1

D

K

D

K

D

K

D

K

f

Προσεγγιστικές σχέσεις υπολογισμού του f

• Τζιμόπουλος (2005)

• Παπαευαγγέλου (2010)

90458,0Re

6

D7,3

Klog2

f

1

2

9142,0

4

Re366,7

615,3log

Relog70000947,02479,0

De

f

Τοπικές απώλειες - γενικά

Όπου U η μέση ταχύτητα στο σημείο

Κ συντελεστής με διαφορετική τιμή σε κάθε περίπτωση

• Υπενθυμίζεται ο τύπος των Darcy-Weisbach για τις γραμμικές απώλειες, για την ομοιότητα:

gKh

2

U2

gD

lfh

2

U2

Οι τοπικές απώλειες δίνονται από

Τιμές του Κγια διάφορες

συνθήκες(“The civil

engineering Handbook,

Fundamentals of Hydraulics”.

Purdue University)

Σε γενικές γραμμές, μικρές κατασκευαστικές λεπτομέρειες επιφέρουν σημαντικές αλλαγές στον συντελεστή απωλειών, όταν αλλάζουν σημαντικά την μορφή τβν γραμμών ροής:

Μεγάλες αλλαγές στις γραμμές ροής και στο Κ

μικρές αλλαγές στις γραμμές ροής και στο Κ

Εφαρμογή της εξ. Bernoulli

ctzg

Up

2

2

hzg

Upz

g

Up2

222

1

211

22

Bernoulli για τέλειο ρευστό:

Bernoulli για πραγματικό ρευστό:

Bernoulli πρακτική εφαρμογή:

Mhhzg

Upz

g

Up 2

222

1

211

22

Επιλογή υλικών σωλήνων

Υλικά σωλήνων ύδρευσης

• Πλαστικοί σωλήνες PVC

• Πλαστικοί σωλήνες πολυαιθυλενίου υψηλής πυκνότητας

• Χαλυβδοσωλήνες

• Αμιαντοτσιμεντοσωλήνες

Ατομικό δίκτυο άρδευσης

Σχεδιασμός του προβλήματος

Τρόπος υπολογισμού -1

• Εάν στην γραμμή άρδευσης υπάρχουν m επιμέρους παροχές q, υπολογίζουμε αρχικά μία παροχή Q λίγο μικρότερη από την συνολική:

• Οι παροχές που διατρέχουν τα ενδιάμεσα τμήματα είναι:

xlml

qmqQ

1

qqmmqQ

mqqmqQ

mqqmqQ

mqqmqQ

m

1

.......................................

33

22

1

1

3

2

1

Τρόπος υπολογισμού - 2

• Στον τύπο των Darcy-Weisbach:

• Όπου το l=lx σε κάθε τμήμα του αγωγού και το Q μεταβάλλεται σε κάθε τμήμα

• Επομένως οι ολικές γραμμικές απώλειες κατά μήκος της γραμμής άρδευσης

2

8

252

42522 8

2QlChQl

gD

fh

g

V

D

Lfh x

gD

fC

D

QV

1

13

22

1

1

2222222

21

23

22

211321

11

1...321

......

m

n

m

nxx

mxxxxm

m

nqmlC

nqlCmqlC

QlCQlCQlCQlChhhhh

Τρόπος υπολογισμού -3

• Επομένως καταλήξαμε στη σχέση:

• Θεωρούμε μία ιδεατή παροχή Q´ η οποία δίνει τις ίδιες απώλειες φορτίου με τις παραπάνω χωρίς να υπάρχουν εκτοξευτήρες στη γραμμή άρδευσης

1

13

22

1

m

n m

nQlCh

2´QlCh

QF

m

nQQ

QlChm

nQlCh m

n

m

n

1

13

2

2

1

13

22

1´

´1

Ο συντελεστής F

216

12

m

mmF

Παρατήρηση: Κατά τον Christiansen η διαφορά της πίεσης μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου εκτοξευτήρα δεν κάνει να ξεπερνά το 20%

Παράδειγμα

Έχουμε μία γραμμή άρδευσης με 10 εκτοξευτήρες. Η παροχή του κάθε εκτοξευτήρα είναι q=4l/s. Οι σωλήνες που χρησιμοποιούμε έχουν απόλυτη τραχύτητα Κ=0,3mm. To μήκος της γραμμής άρδευσης είναι l=108m και η απόσταση μεταξύ των εκτοξευτήρων είναι lx=12m. Να γίνουν οι υπολογισμοί για εσωτερική διάμετρο αγωγού D=0,15mTo v=1,31*10-6m2/s

Ζητούμε να γίνει σύγκριση των απωλειων φορτίου που προκύπτουν μεταξύ των τελικών τιμών και της προσεγγιστικής τιμής που έβγαλε η μέθοδος της ιδεατής παροχής

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ - 1

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ - 2

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ - 3