ΣυστήματαΣυστήματα ΣυμβολικήςΣυμβολικήςΆλγεβραςΆλγεβρας. . ((Computer Algebra System)Computer Algebra System)

Μέρος 1οΝίκος Ματζάκοςnikmatz@unipi.gr

2

ΤιΤι είναιείναι έναένα C.A.SystemC.A.System

Είναι ένα πρόγραμμα (software) με τοοποίο μπορούμε να κάνουμε συμβολικούς(και όχι μόνο) υπολογισμούς.Παραγοντοποιήσεις, Απλοποιήσεις, Υπολογισμό παραγώγων, ορίων, ολοκληρωμάτων, Επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων κ.α.Γραφικές Παραστάσεις στο επίπεδο και στονχώρο.

3

Computer Algebra SystemComputer Algebra Systemss

Το 1969 στο εργαστήριο υπολογιστών τουMIT δημιουργήθηκε το πρώτο C.A.S. σύστημα, γνωστό ως Macsyma και τοοποίο αναπτύχθηκε σε γλώσσαπρογραμματισμού Lisp.

4

C.A.SystemC.A.System ΑνοικτούΑνοικτού ΚώδικαΚώδικα

Axiom (http://wiki.axiom-developer.org/FrontPage/)Maxima (http://maxima.sourceforge.net/)Octave (http://www.gnu.org/software/octave/)Yacas (http://yacas.sourceforge.net/yacas.html)Eigenmath GiNaC JScience

5

C.A.SystemC.A.System CorporateCorporate

Derive (http://www.derive-europe.com)

Mathematica (http://www.wolfram.com/)

Mathcad(http://www.ptc.com/appserver/mkt/products/home.jsp?k=3901)Maple (http://www.maplesoft.com/)

6

ΙστορίαΙστορία (Maple)(Maple)

Πανεπιστήμιο του Καναδά Waterloo, ερευνητικό κέντρο ETH Zürich , ηανάπτυξη του έχει γίνει σε γλώσσαπρογραμματισμού C Από 1995 συνεχίζεται η ανάπτυξη και ηπροώθηση του σε συνεργασία με τηνεταιρία Waterloo Maple Software www.mapleapps.com.

7

ΤιΤι είναιείναι τοτο MapleMaple::

Μαθηματικό Πακέτο(για συμβολικούς και αριθμητικούς

υπολογισμούς)και

Προηγμένη Γλώσσα Προγραμματισμού

8

ΠεριβάλλονΠεριβάλλον ΕργασίαςΕργασίας

Restart

Γραμμή κατάστασης

Γραμμή εντολών

Γραμμήαποτελέσματος

9

ΦύλλοΦύλλο ΕργασίαςΕργασίας

Η κατάσταση εισαγωγής εντολών [>Η κατάσταση εισαγωγής κειμένου [Η κατάσταση εισαγωγής μαθηματικών εκφράσεωνστην «κλασική» μαθηματική τους μορφή μέσα σεκείμενο.

10

ΒασικοίΒασικοί ΚανόνεςΚανόνες

Σε κάθε εντολή πρέπει να δηλώνεται τοτέλος της χρησιμοποιώντας το ελληνικόερωτηματικό “ ; ”.Ο υπολογισμός γίνεται απλά πατώντας το[ENTER]. Γίνετε διαχωρισμός κεφαλαίων και πεζώνγραμμάτων.

11

Οι εντολές και οι δεσμευμένες λέξεις γράφονταιπάντα με μικρά γράμματα.

Αυτός ο κανόνας ωστόσο έχει αρκετές εξαιρέσειςοι σταθερές π και i είναι: Pi και I Eπίσης οι εντολές του πακέτου LinearAlgebra ξεκινάνε όλες με κεφαλαίο γράμμαΔεν επιτρέπετε να ορίσουμε μεταβλητή με το όνομαείδη δεσμευμένης λέξης (plot, if, for,…)

Οι παράμετροι των εντολών τοποθετούνται σεπαρενθέσεις και στην περίπτωση που είναιπερισσότερες από μία χωρίζονται με κόμμα.

εντολήεντολή ( ( παράμετροςπαράμετρος1, 1, παράμετροςπαράμετρος2...);2...);

….Βασικοί Κανόνες

12

[> plot(sin(x), x=-2*Pi..2*Pi, title="Ημίτονο");

ENTERENTER

13

ΠροσεγγιστικέςΠροσεγγιστικές καικαι ΑκριβήςΑκριβής ΤιμέςΤιμές

το Maple χειρίζεται δύο ειδών αριθμητικές τιμές

Ακριβείς αριθμητικές τιμές:Ακέραιοι.Κλάσματα ακεραίων.Συμβολικές σταθερές π,e,φ...sqrt(x), cos(x), sin(x), exp(x) κ.α. όπου x ακριβή τιμή.

Αυτές τις ποσότητες το Maple τις χειρίζεται ωςμαθηματικά αντικείμενα και εκτελεί πράξεις

επιστρέφοντας ακριβή αποτελέσματα.

14

Προσεγγιστικές αριθμητικές τιμές

Είναι ποσότητες με δεκαδικό μέρος καθορισμένηςακρίβειας.

Αυτές οι ποσότητες δηλώνονται με μια τελεία . Π.χ. 3. είναι ο 3.0 με καθορισμένη ακρίβεια

ήέχουν προκύψει ως αποτέλεσμα πράξεων άλλωνπροσεγγιστικών τιμών.

15

16

17

ΜεταβλητέςΜεταβλητέςΜιαΜια μεταβλητήμεταβλητή στοστο Maple Maple μπορείμπορεί νανα έχειέχειγιαγια όνομαόνομα οποιοδήποτεοποιοδήποτε αλφαριθμητικήαλφαριθμητική σειράσειράχαρακτήρωνχαρακτήρων γιαγια παράδειγμαπαράδειγμα a, total, exp1, sum1,a, total, exp1, sum1,sum2 sum2 κκ..αα. . ΔενΔεν είναιείναι αποδεκτάαποδεκτά ονόματαονόματα πουπου αρχίζουναρχίζουν μεμε αριθμόαριθμόππ..χχ. 2nd, 3total, . 2nd, 3total, επίσηςεπίσης εκείναεκείνα πουπου περιέχουνπεριέχουν ειδικούςειδικούςχαρακτήρεςχαρακτήρες ππ..χχ. a&b, . a&b, ονόματαονόματα πουπου είναιείναι δεσμευμέναδεσμευμένααπόαπό τοτο Maple Maple σανσαν εντολέςεντολές ππ..χχ. plot, solve.. plot, solve.

ΑΠΟΔΟΣΗΑΠΟΔΟΣΗ ΤΙΜΗΣΤΙΜΗΣΌνομα μεταβλητής := τιμή ή έκφραση;

18

ΟρισμόςΟρισμός ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης

Όνομα συνάρτησης:=ανεξάρτητημεταβλητή->τύπος;

[> f := x -> x^3;[> f(2006);

8072216216

:= f → x x3

19

ΠαράγωγοςΠαράγωγος

diff(συνάρτηση, x$n);

[>diff(cos(x),x);-sin(x)

[>diff(cos(x),x$2);-cos(x)

[>Diff(cos(x),x)=diff(cos(x),x);

= ddx ( )cos x − ( )sin x

20

ΟλοκλήρωμαΟλοκλήρωμα

int(συνάρτηση, x=a...b);

[>int(cos(x),x);sin(x)

[>Int(cos(x),x=1..2)=int(cos(x),x=Pi..2*Pi);

= d⌠⌡⎮⎮1

2

( )cos x x 0

21

ΓραφικήΓραφική ΠαράστασηΠαράσταση 2d2d

plot(expr,h,v,opt);[> plot(x^2 * sin(x)^2, x = -5*Pi .. 5*Pi,title="Η συνάρτηση x^2*sin(x)");

22

ΟρισμόςΟρισμός ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης 2 2 μεταβλητώνμεταβλητώνΌνομα συνάρτησης:=

(μεταβλητή1, μεταβλητή2,...)->τύπος

> f:=(x,y)->sin(x)*cos(y);

:= f → ( ),x y ( )sin x ( )cos y

23

ΓραφικήΓραφική ΠαράστασηΠαράσταση 33dd

> plot3d(f(x,y),x=-1..4,y=-3..3, axes=norma> f:=(x,y)->x^3-3*x^2+y^2;

24

ΟρισμόςΟρισμός ΕνόςΕνός ΠίνακαΠίνακα((κατάκατά γραμμέςγραμμές))

<<α11|α12|...|α1n>,<a21|a22|…|a2n>,…,<αm1|αm2|...|αmn>>

Παράδειγμα:[> A := <<a|b|c>,<d|e|f>,<g|h|i>>;

:= A

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

a b c

d e f

g h i

25

ΒασικέςΒασικές ΠράξειςΠράξεις ΜητρώνΜητρών

Υπολογίζει το εξωτερικόγινόμενο δυο διανυσμάτωνv &x w

Υπολογίζει δυνάμειςΜητρών.A^n

Πολλαπλασιάζει αριθμόμη Μήτρα ή Διάνυσμα.

x*AA*x

Πολλαπλασιάζει Μήτρες ήΔιανύσματα.A.B

Προσθέτει δυο Μήτρες ήδύο ΔιανύσματαA+B

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΠΡΑΞΗ

26

27

ΤοΤο ΠακέτοΠακέτο ΕντολώνΕντολώνLLinearalgebrainearalgebra..

Περιέχει εντολές που μας δίνουν τηνδυνατότητα να κάνουμε εύκολα

πολύπλοκες διαδικασίες με Μήτρες καιΔιανύσματα.

Για να ενεργοποιήσουμε «φορτώσουμε» τιςεντολές του πακέτου πληκτρολογούμε:

[> with(LinearAlgebra);

28

ΤοΤο ΠακέτοΠακέτο ΕντολώνΕντολώνLLinearalgebrainearalgebra..

29

30

ΑΣΚΗΣΗ 1η: Να βρεθεί ο βαθμός της μήτρα .1 3 22 4 49 7 18

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ΛΥΣΗ:

Εντολές:

Rank(Rank(ΜήτραΜήτρα);); Βρίσκει τον βαθμό μιας μήτρας

ColumnSpace(ColumnSpace(ΜήτραΜήτρα););Βρίσκει μια βάση για τον χώρο των στηλών.

RowSpace(RowSpace(ΜήτραΜήτρα););Βρίσκει μια βάση για τον χώρο των γραμμών.

31

32

ΑΣΚΗΣΗ 2η: Να βρεθεί η αντίστροφη Μήτρα της Α.

ΛΥΣΗ:ΕντολέςΕντολές::

IdentityMatrix( διάστασηδιάσταση );ΔημιουργείΔημιουργεί μιαμια ταυτοτικήταυτοτική μήτραμήτρα

ReducedRowEchelonForm(ΜήτραΜήτρα);ΥπολογίζειΥπολογίζει τηντην μορφήμορφή GaussGauss--Jordan Jordan μιαςμιας ΜήτραςΜήτρας

MatrixInverse( MatrixInverse( ΜήτραΜήτρα););ΒρίσκειΒρίσκει τηντην αντίστροφηαντίστροφη μήτραμήτρα..

1 1 12 1 23 2 4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

33

34

35

ΑΣΚΗΣΗ 3η: Δίνεται ο πίνακας .Να βρεθεί ο συμπληρωματικός του Α.Να βρεθεί ο αντίστροφος του Α

ΛΥΣΗ:ΕντολέςΕντολές::

Minor( Minor( ΜήτραΜήτρα, n,m, n,m);Υπολογίζει την ελάσσονα ορίζουσα ως προς την n γραμμή και m στήλη.AdjoitAdjoit( ( ΜήτραΜήτρα););Βρίσκει την συμπληρωματική μήτρα μιας μήτρας.

1 2 30 1 21 0 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1A adjAA

− =

36

1 1A adjAA

− =

11 21 31

12 22 32

13 23 33

A A AadjA A A A

A A A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

37

1 2 3

1 2

1 2 3

2 54 10 22 7 2 9

x x xx xx x x

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

+ + =+ = −

− + + =

ΑΣΚΗΣΗ 4η: Να λυθεί το σύστημα

ΛΥΣΗ: 1η Μέθοδος – με χρήση αντίστροφου πίνακα2η μέθοδος- με χρήση κλιμακωτής μορφής4η με την χρήση της «έτοιμης» εντολής

Solve( Solve( {{εξίσωσηεξίσωση1, 1, εξίσωσηεξίσωση2,...},{2,...},{x,y,zx,y,z,,……}}));;ΒρίσκειΒρίσκει τηντην λύσηλύση ενόςενός συστήματοςσυστήματος εξισώσεωνεξισώσεων..

38

Αν

A X B⋅ = ⇔ ( )1 1A A X A B− −⋅ ⋅ = ⋅

0A ≠

1X A B−⇔ = ⋅

τότε 1 A−∃

39

1 2 3

1 2

1 2 3

2 54 10 22 7 2 9

x x xx xx x x

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

+ + =+ =−

− + + =

1X A B−= ⋅

40

1 2 3

1 2

1 2 3

2 54 1 0 22 7 2 9

x x xx xx x x

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

+ + =+ = −

− + + =

41

1 2 3

1 2

1 2 3

2 54 10 22 7 2 9

x x xx xx x x

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

+ + =+ =−

− + + =

42

ΑΣΚΗΣΗ 5η: Να λυθεί το σύστημα για τιςδιάφορες τιμές τις παραμέτρου . 3

1x y zx y k zx k y z k

− + =⎧⎪ + + ⋅ =⎨⎪ + ⋅ + =⎩GaussianElimination( GaussianElimination( ΜήτραΜήτρα);

Υπολογίζει την μορφή Gauss μιας Μήτρας.BackwardSubstituteBackwardSubstitute( ( ΜήτραΜήτρα,free=x,free=x););Βρίσκει την συμπληρωματική μήτρα μιας μήτρας.

43

31

x y zx y k zx k y z k

− + =⎧⎪ + + ⋅ =⎨⎪ + ⋅ + =⎩

44

45

ΑνάγνωσηΑνάγνωση--ΕγγραφήΕγγραφή μιαςμιας ΜήτραςΜήτρας

fopenfopen( ( ““όνομαόνομα αρχείουαρχείου””, , read read ((writewrite),type),type);ΑνοίγειΑνοίγει έναένα αρχείοαρχείο γιαγια ανάγνωσηανάγνωση--εγγραφήεγγραφή

readdatareaddata((““όνομαόνομα αρχείουαρχείου””, , αριθμόςαριθμός στηλώνστηλών ););ΔιαβάζειΔιαβάζει απόαπό έναένα αρχείοαρχείοfclosefclose((““όνομαόνομα αρχείουαρχείου””);ΚλείνειΚλείνει έναένα αρχείοαρχείο

46

47

ΔημιουργείΔημιουργεί έναένα διάνυσμαδιάνυσμα μεμε τυχαίουςτυχαίους αριθμούςαριθμούς..RandomVector (αριθμός στοιχείων) ;

ΔημιουργείΔημιουργεί μιαμια μήτραμήτρα μεμε τυχαίουςτυχαίους αριθμούςαριθμούς..RandomMatrix(n,m);ΜοναδιαίοΜοναδιαίο ΔιάνυσμαΔιάνυσμαUnitVector

ΚατασκευάζειΚατασκευάζει τηντην μήτραμήτρα γιαγια δοσμένηδοσμένη περιστροφήπεριστροφή. . GivensRotation( διάνυσμα);ΔημιουργείΔημιουργεί τηντην μήτραμήτρα τουτου VandermondeVandermondeVandermondeMatrix

ΔημιουργείΔημιουργεί τηντην μήτραμήτρα τουτου ToeplitzToeplitzToeplitzMatrixΔημιουργείΔημιουργεί τηντην μήτραμήτρα τουτου SylvesterSylvesterSylvesterMatrix

ΔημιουργείΔημιουργεί τηντην μήτραμήτρα τουτου JordanJordanJordanBlockMatrixΔημιουργείΔημιουργεί τηντην μήτραμήτρα τουτου HouseholderHouseholderHouseholterMatrix

ΔημιουργείΔημιουργεί τηντην μήτραμήτρα τουτου BazoutBazoutBezoutMatrix( p(x), q(x), x);ΔημιουργείΔημιουργεί τηντην μήτραμήτρα τουτου HankelHankelHankelMatrix (L,n);

ΔημιουργείΔημιουργεί τηντην μήτραμήτρα τουτου HilbertHilbertHilbertMatrix( n,m,expr );ΔημιουργείΔημιουργεί μιαμια ταυτοτικήταυτοτική μήτραμήτραIdentityMatrix( διάσταση );

ΔημιουργείΔημιουργεί μιαμια μηδενικήμηδενική μήτραμήτρα..ZeroMatrix(n,m );

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΕΝΤΟΛΗ

Πίνακας 4 Ειδικές Μήτρες και Διανύσματα.

48

ΒρίσκειΒρίσκει τοτο ΊχνοςΊχνος μιαςμιας τετραγωνικήςτετραγωνικής ΜήτραςΜήτρας..Trace( Μήτρα);ΒρίσκειΒρίσκει τηντην τάξητάξη μιαςμιας μήτραςμήτραςRank( Μήτρα);

omputeompute the permanent of a square Matrixthe permanent of a square MatrixPermanent (Τετραγωνική Μήτρα);compute a basis for the compute a basis for the nullspacenullspace (kernel) of a Matrix(kernel) of a MatrixNullSpace( Μήτρα);

ΥπολογίζειΥπολογίζει τηντην ελλάσοναελλάσονα ορίζουσαορίζουσα ωςως προςπρος τηντην nnγραμμήγραμμή καικαι mm στήληστήλη..Minor(Μήτρα, n,m);

ΒρίσκειΒρίσκει τοτο ελάχιστοελάχιστο πολυώνυμοπολυώνυμο μιαςμιας μήτραςμήτρας..MinimalPolynomial(Μήτρα, Μεταβλητή);ΒρίσκειΒρίσκει τοντον αντίστροφοαντίστροφο..MatrixInverse( Μήτρα);

compute transposes of Matrices and Vectorcompute transposes of Matrices and VectorHermitianTranspose( Μήτρα ή Διάνυσμα);

ΥπολογίζειΥπολογίζει τιςτις ΙδιοτιμέςΙδιοτιμές καικαι τατα ΙδιοδιανύσματαΙδιοδιανύσματα μιαςμιαςμήτραςμήτρας..Eigenvectors ( Μήτρα);

ΒρισκειΒρισκει τιςτις διοτιμέςδιοτιμές μιαςμιας μήτραςμήτραςEigenvalues( Μήτρα);ΒρίσκειΒρίσκει τηντην ορίζουσαορίζουσα μιαςμιας ΜήτραςΜήτρας..Determint(Μήτρα);

ΒρίσκειΒρίσκει τοτο χαρακτηριστικόχαρακτηριστικό πολυώνυμοπολυώνυμο μιαςμιας ΜήτραςΜήτρας..CharacteristicPolynomial(Μήτρα, Μεταβλητή);ΒρίσκειΒρίσκει τηντην χαρακτηριστικήχαρακτηριστική ΜήτραΜήτρα μιαςμιας ΜήτραςΜήτραςCharacteristicMatrix ( Τετραγωνική Μήτρα,

Μεταβλητή);

ΒρίσκειΒρίσκει τοντον ανάστροφοανάστροφο μιαςμιας μήτραςμήτρας..Adjoit( Μήτρα);

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΕΝΤΟΛΗ

Πίνακας 5 Βασικές Συναρτήσεις του Πακέτου LinearAlgebra.

49

�

ΚατασκευάζειΚατασκευάζει έναένα υποδιάνυσμαυποδιάνυσμαSubVector(Μήτρα,i );

ΚατασκευάζειΚατασκευάζει ένανέναν υπουποππίνακαίνακαSubMatrix(Μήτρα,r,c);

ΠραγματοποιείΠραγματοποιεί μιαμια στοιχειώδηστοιχειώδη πράξηπράξη σεσε γραμμήγραμμήRowOperation(Μήτρα,Κ);

ΥπολογίζειΥπολογίζει τηντην διάστασηδιάσταση τουτου χώρουχώρου τωντων γραμμώνγραμμώνRowDimension(Μήτρα);

ΕπιστρέφειΕπιστρέφει γραμμήγραμμή μίαςμίας ΜήτραςΜήτρας..Row(Μήτρα, n);

ΥπολογίζειΥπολογίζει τηντην διάστασηδιάσταση μιαςμιας ΜήτραςΜήτρας..Dimension(Μήτρα);

ΣβήνειΣβήνει μιαμια γραμμήγραμμήDeleteRow(Μήτρα,L);

ΣβήνειΣβήνει μιαμια στήληστήληDeleteColumn((Μήτρα,L);

perform elementary column operations on a Matrixperform elementary column operations on a MatrixColumnOperation(Μήτρα,Κ);

ΥπολογίζειΥπολογίζει τηντην διάστασηδιάσταση τουτου χώρουχώρου τωντων στηλώνστηλώνColumnDimension(Μήτρα);

ΕπιστρέφειΕπιστρέφει nn στήληστήλη μίαςμίας ΜήτραςΜήτρας..Column(Μήτρα, n);ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΠΕΡΙΓΡΑΦΗΕΝΤΟΛΗ

Πίνακας 6 Τελεστές

50

compute the pcompute the p--norm of a Vectornorm of a VectorVectorNorm

ΥπολογίζειΥπολογίζει τηντην γωνίαγωνία άναμεσαάναμεσα σεσε δύοδύο διανύσματαδιανύσματα vv,,uuτηςτης ίδιαςίδιας διάστασηςδιάστασης..

VectorAngle(v,u);

return a basis for the direct sum of vector return a basis for the direct sum of vector space(sspace(s))SumBasis(Μήτρα);

return a basis for the row space of a Matrixreturn a basis for the row space of a MatrixRowSpace(Μήτρα);

compute a basis for the compute a basis for the nullspacenullspace (kernel) of a Matrix(kernel) of a MatrixNullSpace(Μήτρα);

normalize a Vectornormalize a VectorNormalize(Διάνυσμα);

compute the pcompute the p--norm of a Matrix or Vectornorm of a Matrix or VectorNorm

compute the pcompute the p--norm of a Matrixnorm of a MatrixMatrixNorm

return a basis for the intersection of vector return a basis for the intersection of vector space(sspace(s))IntersectonBasis(Μήτρα);

compute an orthogonal set of Vectorscompute an orthogonal set of VectorsGramSchmidt(V- list or set of Vector(s));

compute the dot product (standard inner product) of compute the dot product (standard inner product) of two Vectorstwo Vectors

DotProduct(v,u);

compute the cross product of two Vectors compute the cross product of two Vectors v,uv,uCrossProduct(v,u);

return a basis for the column space of a Matrixreturn a basis for the column space of a MatrixColumnSpace(Μήτρα);

return a basis for a vector spacereturn a basis for a vector spaceBasis(Μήτρα);ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΕΝΤΟΛΗ

Πίνακας 7 Τελεστές Διανυσμάτων.

51

reduce a square Matrix to reduce a square Matrix to tridiagonaltridiagonal formformTridiagonalForm(Τετραγωνική Μήτρα);

reduce a Matrix to Smith normal formreduce a Matrix to Smith normal formSmithForm(Μήτρα);

reduce a square Matrix to reduce a square Matrix to SchurSchur formformSchurForm(Τετραγωνική Μήτρα);

perform Gaussperform Gauss--Jordan elimination on a MatrixJordan elimination on a MatrixReducedRowEchelonForm(Μήτρα);

compute QR factorization of a Matrixcompute QR factorization of a MatrixQRDecomposition(Μήτρα);

compute the compute the PopovPopov normal form of a Matrixnormal form of a MatrixPopovForm(Μήτρα, Μεταβλητή);

compute the compute the CholeskyCholesky, PLU or PLU1R decomposition of a , PLU or PLU1R decomposition of a MatrixMatrix

LUDecomposition(Μήτρα);

reduce a Matrix to Jordan formreduce a Matrix to Jordan formJordanForm(Μήτρα);

reduce a square Matrix to upper reduce a square Matrix to upper HessenbergHessenberg formformHessenbergForm(Μήτρα);

compute the compute the HermiteHermite normal form of a Matrixnormal form of a MatrixHermiteForm(Μήτρα);

perform Gaussian elimination on a Matrixperform Gaussian elimination on a MatrixGaussianElimination (Μήτρα);

reduce a Matrix to reduce a Matrix to FrobeniusFrobenius form (rational canonical form (rational canonical form)form)

FrobeniusForm(Μήτρα);

reduce a Matrix to reduce a Matrix to bidiagonalbidiagonal formformBidiagonalForm(Μήτρα);

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΕΝΤΟΛΗ

Πίνακας 8 Ειδικές Μορφές Μητρών του πακέτου LinearAlgebra.

52

ΒιβλιογραφίαΒιβλιογραφία

Maple 9, Learning Guide B. W. CharHeck, André, Introduction to Maple, 3rd edition, Springer-Verlag, New York, 2003.F.j. Wright. Computing with Maple, CRC Press, 2001.