συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις άλγεβρας α

of 23 /23

Embed Size (px)

Transcript of συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις άλγεβρας α

Page 1: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α
Page 2: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

Μπορεί να αναπαραχθεί και να διανεμηθεί ελεύθερα αρκεί να διατηρηθεί η μορφή του.

Page 3: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α
Page 4: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Προλεγόμενα Η διδασκαλία αποδείξεων στην Άλγεβρα της Α΄ Τάξης μπορεί να υποβοηθηθεί αν ο

δάσκαλος επιμείνει στην απόδειξη απλών προτάσεων που σχετίζονται με την θεωρία

του σχολικού βιβλίου.

Στα επόμενα έχουμε περιλάβει ορισμένες τέτοιες προτάσεις, χωρισμένες ανά

κεφάλαιο, που η συζήτηση και η προσπάθεια τεκμηρίωσης τους μπορεί να βοηθήσει

την αποδεικτική ικανότητα των μαθητών.

Οι προτάσεις προέκυψαν από συζητήσεις των μελών της ομάδας μας που κατέγραψαν

η Ειρήνη Σπύρου και η Αναστασία Φανέλη η οποία είχε και την γενική επιμέλεια.

Ιούνιος 2014

Η Ομάδα για την Διδασκαλία της Απόδειξης

Νίκος Μαυρογιάννης ΠΠ Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Γιώργος Μήλιος Λεόντειο Λύκειο Νέας Σμύρνης Μιχάλης Μπουρούνης 1ο Λύκειο Καματερού Ειρήνη Σπύρου 1ο Λύκειο Αγίου Δημητρίου Αναστασία Φανέλη, 5ο Λύκειο Αιγάλεω Σωτήρης Χασάπης ΠΠΛ Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Page 5: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Κεφάλαιο 1ο

Αν Α = Β τότε ′ ′Α = Β

Απόδειξη

Αν x ′∈Α τότε x∉Α άρα x∉Β επομένως x ′∈Β , άρα ′ ′Α ⊆ Β Όμοια ′ ′Β ⊆ Α .Άρα ′ ′Α = Β .

Συνέπειες του ορισμού υποσυνόλου 1. Α⊆ Α 2. Αν Α⊆ Β και Β ⊆ Γ τότε Α⊆ Γ 3. ∅⊆ Α

Απόδειξη

1. Αν x∈Α τότε x∈Α οπότε Α⊆ Α 2. Αν x∈Α τότε x∈Β , οπότε x∈Γ 3. Αν ∅⊄ Α τότε υπάρχει ,x x∈∅ και x∉Α , άτοπο αφού το ∅ δεν περιέχει

στοιχεία.

1. Αν Α⊆ Β τότε Α∪Β = Β 2. Αν Α⊆ Β τότε Α∩Β = Α 3. Αν Α⊆ Β τότε ′ ′Β ⊆ Α

Απόδειξη

1. Αν x∈Α∪Β τότε x∈Α ή x∈Β . Όμως Α⊆ Β επομένως x∈Β . Οπότε Α∪Β⊆ Β Αν x∈Β τότε x∈Α∪Β . Οπότε Β ⊆ Α∪Β Άρα Α∪Β = Β .

2. Αν x∈Α∩Β τότε x∈Α και x∈Β ,άρα Α∩Β⊆ Α Αν x∈Α τότε x∈Β άρα x∈Α∩Β οπότε Α⊆ Α∩Β Επομένως Α∩Β = Α

3. Αν x x′∈Β ⇒ ∉Β τότε x∉Ακαθώς Α⊆ Β . Επομένως x ′∈Α ,άρα ′ ′Β ⊆ Α .

Page 6: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

2 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Τύποι De Morgan

1. ( )′ ′ ′Α∩Β = Α ∪Β

2. ( )′ ′ ′Α∪Β = Α ∩Β

Απόδειξη

1. Αν ( )x x′∈ Α∩Β ⇒ ∉Α∩Β επομένως x∉Α ή x∉Β οπότε

x ′∈Α ή x ′∈Β άρα x ′ ′∈Α ∪Β . Άρα ( )′ ′ ′Α∩Β ⊆ Α ∪Β

Αν x ′ ′∈Α ∪Β ⇒ x ′∈Α ή x ′∈Β ⇒ x∉Αή x∉Β ⇒ x∉Α∩Β ⇒

( )x ′∈ Α∩Β . Άρα ( )′′ ′Α ∪Β ⊆ Α∩Β . Επομένως ( )′ ′ ′Α∩Β = Α ∪Β .

2. Αν ( )x x′∈ Α∪Β ⇒ ∉Α∪Β επομένως x∉Α και x∉Β οπότε x ′∈Α και

x ′∈Β άρα x ′ ′∈Α ∩Β . Άρα ( )′ ′ ′Α∪Β ⊆ Α ∩Β .

Αν x ′ ′∈Α ∩Β ⇒ x ′∈Α και x ′∈Β ⇒ x∉Ακαι x∉Β ⇒ x∉Α∪Β ⇒

( )x ′∈ Α∪Β .Άρα ( )′′ ′Α ∩Β ⊆ Α∪Β .Επομένως ( )′ ′ ′Α∪Β = Α ∩Β .

( ) ( ) ( )Α∩ Β∪Γ = Α∩Β ∪ Α∩Γ

Απόδειξη

Αν ( )x∈Α∩ Β∪Γ τότε x∈Α και x∈Β∪Γ .Επομένως: ( x∈Α και x∈Β )

ή ( x∈Α και x∈Γ ) οπότε x∈Α∩Β ή x∈Α∩Γάρα ( ) ( )x∈ Α∩Β ∪ Α∩Γ . Επομένως ( ) ( ) ( )Α∩ Β∪Γ ⊆ Α∩Β ∪ Α∩Γ

Αν ( ) ( )x∈ Α∩Β ∪ Α∩Γ τότε x∈Α∩Β ή x∈Α∩Γ , άρα ( x∈Α και

x∈Β ) ή ( x∈Α και x∈Γ ) οπότε x∈Α και x∈Β∪Γ . Άρα ( )x∈Α∩ Β∪Γ , άρα ( ) ( ) ( )Α∩Β ∪ Α∩Γ ⊆ Α∩ Β∪Γ

Επομένως ( ) ( ) ( )Α∩ Β∪Γ = Α∩Β ∪ Α∩Γ .

Page 7: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

3 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

( )0 1P≤ Α ≤

Απόδειξη

Για οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω είναι: ( ) ( )0 ≤ Ν Α ≤ Ν Ω

οπότε ( )

( )( )

( )( )

0 Ν Α Ν Ω≤ ≤

Ν Ω Ν Ω Ν Ω άρα ( )0 1P≤ Α ≤

( ) ( )1P P′Α = − Α καθώς ′Α∩Α =∅ (1)

Απόδειξη της (1)

Αν x∈Α τότε x ′∉Α οπότε x ′∉Α∩Α

Αν x ′∈Α τότε x∉Α οπότε x ′∉Α∩Α

Επομένως ′Α∩Α =∅

( ) ( ) ( ) ( )P P P PΑ∪Β = Α + Β − Α∩Β

Απόδειξη

Είναι ( ) x yΝ Α = + , ( ) y zΝ Β = +

( ) yΝ Α∩Β =

( ) x y zΝ Α∪Β = + +

Επομένως ( ) ( ) ( ) ( )Ν Α∪Β = Ν Α +Ν Β −Ν Α∩Β

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

Ν Α∪Β Ν Α Ν Β Ν Α∩Β= + −

Ν Ω Ν Ω Ν Ω Ν Ω

( ) ( ) ( ) ( )P P P PΑ∪Β = Α + Β − Α∩Β

Page 8: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

4 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

( ) ( )P PΑ⊆ Β⇒ Α ≤ Β . Το αντίστροφο δεν ισχύει (2)

Απόδειξη της (2)

Έστω 1,2,3,4,5,6Ω = και τα ενδεχόμενα 1,2Α = και 1,3,5Β = για τα οποία

είναι ( ) 13

P Α = και ( ) 12

P Β = , οπότε έχουμε ( ) ( )P PΑ ≤ Β αλλά Α⊄ Β .

Τα ενδεχόμενα ,Α−Β Α∩Β είναι ασυμβίβαστα

Απόδειξη

Αν x∈Α−Β τότε x∈Α και x∉Β άρα x∉Α∩Β

Αν x∈Α∩Β τότε x∈Α και x∈Β άρα x∉Α−Β

Επομένως ( ) ( )Α −Β ∩ Α∩Β =∅ .

Αν ( ) ( ) 1P PΑ + Β > τότε ,Α Β δεν είναι ασυμβίβαστα

Απόδειξη

Έστω ότι είναι ασυμβίβαστα. Τότε ισχύει ( ) ( ) ( )P P PΑ∪Β = Α + Β οπότε θα είναι

( ) 1P Α∪Β > , άτοπο αφού ( )0 1P≤ Α∪Β ≤ . Επομένως τα ,Α Β δεν είναι

ασυμβίβαστα.

Αν ,Α Β είναι ασυμβίβαστα τότε ( ) ( ) 1P PΑ + Β ≤

Απόδειξη

Αν ,Α Β είναι ασυμβίβαστα τότε ισχύει ( ) ( ) ( )P P PΑ∪Β = Α + Β .

Όμως: ( )0 1P≤ Α∪Β ≤ οπότε έχουμε: ( ) ( ) 1P PΑ + Β ≤

Page 9: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

5 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

1. ( ) ( )P PΑ ≤ Α∪Β

2. ( ) ( )P PΑ∩Β ≤ Α

Απόδειξη

1. Είναι Α⊆ Α∪Β επομένως ( ) ( )P PΑ ≤ Α∪Β

2. Είναι Α∩Β⊆ Α επομένως ( ) ( )P PΑ∩Β ≤ Α

Page 10: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

6 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Κεφάλαιο 2ο

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ,α β ισχύει α β= τότε:

α β− = − και 1 1α β= , , 0α β ≠

Απόδειξη

( ) ( )1 1α β α β α β= ⇔ − = − ⇔ − = −

, 0 1 1 1 1α β

α β α βαβ αβ β α

= ⇔ = ⇔ =

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς , , ,α β γ δ ισχύει α β= και γ δ= τότε:

α βγ δ= , , 0γ δ ≠

Απόδειξη

Είναιγ δ= οπότε 1 1γ δ= και α β= . Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε

1 1α βγ δ⋅ = ⋅ επομένως α β

γ δ=

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ,α β ισχύει 0α β⋅ = τότε:

0α = ή 0β =

Απόδειξη

Αν 0α ≠ και 0α β⋅ = έχουμε: ( )1 1 0α βα α⋅ ⋅ = ⋅

1 0α βα ⇒ ⋅ ⋅ =

1 0β⇒ ⋅ =

0β⇒ =

Page 11: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

7 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Για τους πραγματικούς αριθμούς , ,α β γ με 0γ ≠ ισχύει:

α β αγ βγ= ⇔ =

Απόδειξη

( )0 0αγ βγ αγ βγ γ α β= ⇔ − = ⇔ − =0γ ≠

⇔ 0α β− = α β⇔ = .

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ,α β ισχύει 0α β⋅ ≠ τότε:

0α ≠ και 0β ≠

Απόδειξη

Έστω 0α = τότε 0 0α β β⋅ = ⋅ = , άτοπο αφού 0α β⋅ ≠ . Όμοια αν 0β = . Επομένως 0α ≠ και 0β ≠

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ,α β ισχύει α β= τότε:

2 2α β= και ν να β= , *ν ∈

Απόδειξη

2 2α βα α β β α β

α β=

⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ==

Page 12: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

8 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

.

.

.

ν ν

α βα β

α α α β β β α β

α β

= = ⇒ ⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅ ⇒ =

=

Ιδιότητες των δυνάμεων

1. ν µ ν µα α α +⋅ = 2. ν

ν µµ

α αα

−= 3. ( )ν ν να β α β⋅ = ⋅

4. ν ν

ν

α αβ α

=

5. ( )µν νµα α= 6.

ν να ββ α

− =

,ν µ θετικοί ακέραιοι

Απόδειξη

1. ν µ ν µ

ν µ ν µ

α α α α α α α α α α α α +

+

⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ =

2. ν

ν µνµ

ν µµ

α α αα α α α αα α α α

⋅ ⋅⋅ ⋅= = ⋅ ⋅⋅⋅ =

⋅ ⋅⋅ ⋅

3. ( ) ( )( ) ( ) ( )( )ν ν µ

ν ν ν

αβ αβ αβ αβ α α α β β β α β= ⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

4. ν ν

ν

ν

α α α α α α α αβ β β β β β β β

⋅ ⋅⋅ ⋅= ⋅⋅⋅ = = ⋅ ⋅⋅ ⋅

5. ( ) ( ) ( )( ) ( )µ µν ν µ

ν µν ν ν ν

µ

α α α α α α α α α α α α α α α α α ⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ =

6. Αν 0α ≠ , τότε ισχύει 1ννα

α− = , οπότε έχουμε:

1

1 1ν ν νν

ν ν ν

ν

α α β βαβ β α ααββ

−− = = = = =

Page 13: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

9 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

1. Αν 0 1α< < και µ ν< τότε: µ να α> , *,µ ν ∈

2. Αν 1α > και µ ν< τότε: µ να α< , *,µ ν ∈

Απόδειξη

1.

0 10 1...0 1

αα

ν µ

α

< < < <

< <

Πολλαπλασιάζοντας: 1 1ν

ν µ µ νµ

αα α αα

− < ⇒ < ⇒ >

2.

11

.

.

.1

αα

ν µ

α

> >

>

Πολλαπλασιάζοντας: 1 1ν

ν µ µ νµ

αα α αα

− > ⇒ > ⇒ <

Να τοποθετήσετε τον αντίστροφο ενός πραγματικού αριθμού α στον άξονα των πραγματικών αριθμών

Απόδειξη

Αν ο α είναι μηδέν δεν έχει αντίστροφο. Αν α=1 τότε ο αντίστροφος του είναι ο 1. Αν

α=-1 τότε ο αντίστροφος του είναι ο -1. Οπότε απομένει να εξετάσουμε τις

περιπτώσεις όπου ο α είναι διάφορος των -1,0,1. Διακρίνουμε τις παρακάτω 4

περιπτώσεις:

1α < −

Page 14: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

10 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Τότε ο α είναι αρνητικός και για τους ομόσημους αριθμούς α και -1 ισχύει α<-1

επομένως για τους αντίστροφους τους ισχύει 1 1

1α>− δηλαδή

1 1α> − και αφού ο

είναι αρνητικός τελικά ισχύει 11 0α

− < < .

1 0α− < <

Πάλι αφού για τους ομόσημους αριθμούς α και -1 ισχύει 1 α− < για τους

αντίστροφους τους ισχύει 1 1α< − .

0 1α< <

Αφού για τους θετικούς αριθμούς α, 1 ισχύει 1α < για τους αντίστροφους

τους θα ισχύει 1 1α> .

1α > Ο α θα είναι θετικός. Για τους θετικούς αριθμούς α, 1 ισχύει 1α > επομένως για

τους αντίστροφους τους ισχύει 1 1α< και επειδή ο 1

α είναι θετικός θα είναι

10 1α

< < .

Page 15: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

11 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

(*) Η τομή δύο κλειστών διαστημάτων (αν δεν είναι κενό σύνολο) είναι κλειστό διάστημα.

Η τομή δύο ανοικτών διαστημάτων (αν δεν είναι κενό σύνολο) είναι ανοικτό διάστημα.

Απόδειξη

Κάνουμε την απόδειξη για κλειστά διαστήματα. Με τον ίδιο τρόπο γίνεται για

ανοικτά. Έστω τα διαστήματα [ ],α β και [ ],γ δ . Αφού η τομή τους είναι μη κενό

σύνολο θα έχει στοιχεία. Έστω x ένα από αυτά. Το x θα πρέπει να ανήκει και στα δύο

διαστήματα. Επομένως θα ισχύει xα β≤ ≤ και xγ δ≤ ≤ .

Ο x θα είναι μεγαλύτερος ή ίσος και από τον α και από τον γ επομένως και από τον

πιο μεγάλο από τους αριθμούς α, γ ας τον ονομάσουμε m (αν είναι α=γ τότε ο m είναι

ένας οποιοσδήποτε από τους α, γ). Δηλαδή m x≤ .

Επίσης ο x θα είναι μικρότερος ή ίσος και από τον β και από τον δ επομένως και από

τον πιο μικρό από τους αριθμούς β, δ ας τον ονομάσουμε Μ (αν είναι β=δ τότε ο m

είναι ένας οποιοσδήποτε από τους β, δ). Δηλαδή x M≤ .

Άρα m x M≤ ≤ . Ο m είναι κάποιος από τους α,γ άρα είναι μικρότερος του β ή του δ

και επομένως είναι μικρότερος από τον πιο μεγάλο από τους β,δ που είναι ο Μ.

Δηλαδή m<M και ορίζεται το διάστημα [ ],m M Τότε η σχέση m x M≤ ≤ μας

πληροφορεί ότι [ ],x m M∈ . Μέχρι στιγμής ξέρουμε ότι κάθε στοιχείο της τομής των

δύο διαστημάτων ανήκει στο διάστημα [ ],m M .

Αλλά και αντιστρόφως κάθε στοιχείο y του διαστήματος [ ],m M έχει την ιδιότητα

m y M≤ ≤ άρα

yy

yy

αγ

βδ

≤≤≤≤

Page 16: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

12 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Η πρώτη και η τρίτη σχέση μας εξασφαλίζουν ότι [ ],y α β∈ ενώ η δεύτερη και η

τέταρτη ότι [ ],y γ δ∈ . Άρα το y ανήκει και στα δύο διαστήματα επομένως και στην

τομή τους.

Επομένως η τομή των [ ],α β και [ ],γ δ και το διάστημα [ ],m M συμπίπτουν. Άρα η

τομή είναι διάστημα.

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ,α β ισχύει ( ), 1,1α β ∈ − τότε ( )1,1αβ ∈ −

Απόδειξη

1 1 11 1

1 1 1

α αα β αβ

β β

− < < ⇒ < ⇒ < ⇒ <− < < ⇒ <

1 1αβ⇒ − < <

Για τους πραγματικούς αριθμούς ,α β ισχύει:

1. Αν ,α β ομόσημοι αριθμοί, τότε 1 1α βα β

< ⇔ >

2. 2 2 2α β αβ+ ≥ , για κάθε ,α β ∈

3.Αν 0α > , τότε 1 2αα

+ ≥ και αν 0α < , τότε 1 2αα

+ ≤ −

Απόδειξη

1. Αφού ,α β είναι ομόσημοι αριθμοί έχουμε 0αβ > . Επομένως ισχύει:1 1 1 1α βα β

αβ αβ β α α β< ⇔ < ⇔ < ⇔ > .

2. Έχουμε:

( )22 2 2 22 2 0 0,α β αβ α β αβ α β+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ που ισχύει

3. Έχουμε:

Page 17: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

13 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

( )22 21 2 1 2 1 2 0 1 0,α α α α α αα

+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ που ισχύει.

Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α α α− ≤ ≤

Απόδειξη

Αν 0α ≥ τότε α α= και α α− <

Αν 0α < τότε α α= − ή α α− = και α α< .

Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει α α α− ≤ ≤

Για τους πραγματικούς αριθμούς ,α β ισχύει:

1. 0α β α β αβ+ = + ⇔ ≥

2. α β α β± ≤ + , για κάθε ,α β ∈

3. α β α β− ≤ ± για κάθε ,α β ∈

Απόδειξη

1. ( )22α β α β α β α β+ = + ⇔ + = + ( )2 2 22α β α α β β⇔ + = + +2 2 2 22 2α αβ β α αβ β⇔ + + = + + 2 2αβ αβ⇔ = αβ αβ⇔ = 0αβ⇔ ≥

2. ( )22α β α β α β α β− ≤ + ⇔ − ≤ + ⇔ ( )2 2 22α β α α β β− ≤ + +2 2 2 22 2α αβ β α αβ β⇔ − + ≤ + + 2 2αβ αβ⇔ − ≤ αβ αβ⇔ − ≤ που ισχύει για

κάθε ,α β ∈ .

Το α β+ προκύπτει αν θέσουμε όπου β το β− .

Page 18: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

14 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

3. 2 2α β α β α β α β− ≤ + ⇔ − ≤ + ⇔ ( ) ( )2 2α β α β− ≤ +

2 2 2 22 2α α β β α αβ β⇔ − + ≤ + + 2 2α β αβ⇔ − ≤ αβ αβ⇔ − ≤ που ισχύει

για κάθε ,α β ∈ .

Το α β+ προκύπτει αν θέσουμε όπου β το β− .

Για τους πραγματικούς αριθμούς , ,α β γ ισχύει:

( ) ( ) ( ), , ,d d dα β α γ β γ≤ +

Απόδειξη

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,d d dα β α β α γ γ β α γ β γ α γ β γ α γ β γ= − = − + − = − − − ≤ − + − ≤ +

Για τους μη αρνητικούς αριθμούς ,α β ισχύει: 33 3α β α β+ = + 0αβ⇔ =

Απόδειξη

Θέτω 3 xα = και 3 yβ = οπότε είναι 0x ≥ και 0y ≥ (1)

Έχουμε: 33 3α β α β+ = + 3 33 x y x y⇔ + = + ( )33 3x y x y⇔ + = +3 3 3 2 2 33 3x y x x y xy y⇔ + = + + + ( )3 0xy x y⇔ + = 0x⇔ = ή 0y = ή 0x y+ = από

το οποίο προκύπτει 0x y= = εξ αιτίας της (1). Επομένως 0xy = οπότε 0αβ = .

Έστω , , ,α β γ δ ∈ Πότε ισχύει: 2 2α β γ δ+ = + ;

Απόδειξη

2 2α β γ δ+ = + 2 2β δ γ α⇔ − = − ( ) 2β δ γ α⇔ − = −

Αν β δ≠ έχουμε: 2 γ αβ δ−

=−

από το οποίο προκύπτει ότι ο 2 είναι ρητός, άτοπο

Page 19: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

15 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Αν β δ= έχουμε: 0 γ α γ α= − ⇔ = . Άρα ισχύει όταν α γ= και β δ= .

Για τους θετικούς αριθμούς ,α β ισχύει: νν να β α β+ < +

Απόδειξη

νν να β α β+ < + ( ) ( )ν ννν να β α β⇔ + < +

( )( )( ) ( )...ν ν ν νν ν ν ν

ν

α β α β α β α β α β⇔ + < + + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 1...

ν ν ν νν ν νν ν να β α α β α β β

− −⇔ + < + + + +

( ) ( )1 10 ...

ν νν νν να β α β

− −⇔ < + + που ισχύει για κάθε 0, 0α β> > .

Για κάθε α μη αρνητικό πραγματικό και ,ν µ φυσικούς αριθμούς ισχύει:

1. 1 1ν α α< ⇔ <

1 1ν α α> ⇔ >

1 1ν α α= ⇔ =

2. Για 1α > : µν α α ν µ< ⇔ >

Για 1α < : µν α α ν µ< ⇔ <

Απόδειξη

1. ( )1 1 1ν

νν να α α< ⇔ < ⇔ <

( )1 1 1ν

νν να α α> ⇔ > ⇔ >

( )1 1 1ν

νν να α α= ⇔ = ⇔ =

2. Για 1α > : ( ) ( )νµ νµµ µν να α α α< ⇔ < µ να α µ ν⇔ < ⇔ <

Page 20: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

16 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Για 1α < : ( ) ( )νµ νµµ µν να α α α< ⇔ < µ να α µ ν⇔ < ⇔ >

Για κάθε α θετικό πραγματικό και ν φυσικό αριθμό ισχύει:

1. 1ν α α α< ⇔ >

2. 1ν α α α> ⇔ <

Απόδειξη

1. ( )ν νν να α α α< ⇔ < να α⇔ < 11 να −⇔ < 1α⇔ >

2. ( )ν νν να α α α> ⇔ > να α⇔ > 11 να −⇔ > 1α⇔ <

Page 21: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

17 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Κεφάλαιο 3ο

Αν μια εξίσωση πρώτου βαθμού έχει δύο άνισες ρίζες, τότε αληθεύει για κάθε

x∈

Απόδειξη

Έστω 1 2,x x ρίζες της εξίσωσης 0xα β+ = με 1 2x x≠ .

Τότε: 1

2

00

xx

α βα β

+ = + =

αφαιρώντας έχουμε: ( )1 2 1 20 0 0x x x xα α α α− = ⇒ − = ⇒ = ,

αφού 1 2 0x x− ≠ . Επομένως 10 0 0x β β+ = ⇒ = , οπότε η εξίσωση έχει την μορφή 0 0x⋅ = και αληθεύει για κάθε x∈ .

Σε κάθε εξίσωση 2 0x xα β γ+ + = , 0α ≠ με ρίζες 1 2,x x , ισχύουν:

1. 1 2x xα∆

− =

2. 2 21 2 4x x S P− = −

Απόδειξη

1. 1 22

2 2 2 2x x β β β β

α α α α α− + ∆ − − ∆ − + ∆ + + ∆ ∆ ∆

− = − = = =

2. 2 22 2

2 21 2 2 2 2 2

4 4 4 4x x S Pβ αγ β αγ β γα α α α α α α

∆ ∆ − − = = = = − = − = −

Page 22: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

18 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Αν στην εξίσωση 2 0x xα β γ+ + = , 0α ≠ είναι 0α > , 0γ < τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες.

Απόδειξη

2 2 200 4 0 4 4 0

αγ αγ β αγ β β αγγ>

⇒ < ⇒ − > ⇒ − > ⇒ − >< δηλαδή

0∆ > άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες

Άθροισμα και γινόμενο ριζών

όταν 0∆ ≥

Πρόσημο ριζών

1 2S x x βα

= + = −

2 ετερόσημες ρίζες 0P⇔ <

2 άνισες θετικές

000

PS

∆ >⇔ > >

1 2P x x γα

= ⋅ =

2 ίσες θετικές

000

PS

∆ =⇔ > >

2 άνισες αρνητικές

000

PS

∆ >⇔ > <

( )

2

2

21 2 1 2

00

0

x xx Sx Px x x x x x

α β γ+ + = ⇔

− + = ⇔

− + + ⋅ =

2 ίσες αρνητικές

000

PS

∆ =⇔ > <

Ρίζες αντίθετες

000

PS

∆ >⇔ < =

Ρίζες αντίστροφες01P

∆ ≥⇔ =

Page 23: συμπληρωματικές προτάσεις αποδείξεις  άλγεβρας α

Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου

19 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Εργαστήριο Άλγεβρας 2013-2014

Κεφάλαιο 4ο

Πρόσημο ( )f x xα β= + , 0α ≠

( ), 0

0 0, 0

xf x x x

x

β ααα β α ββ αα

> − >> ⇔ + > ⇔ > − ⇔ < − <

Όμοια για ( ) 0f x < . Επομένως:

Πρόσημο τριωνύμου ( ) 2 ,f x x xα β γ= + + 0α ≠

0∆ >

0∆ =

0∆ <