Τριγωνομετρία

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

•Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών

γωνιών

•Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με

0o≤ 0 ω ≤ 360o

•Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών

μεγαλύτερων των 360o και αρνητικών

γωνιών

• Ο τριγωνομετρικός κύκλος

•Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών

•Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

•Ασκήσεις-Ερωτήσεις

Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0o≤ 0 ω ≤ 360o

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 360o και αρνητικών γωνιών

ηµ( k∙360o + ω) =

ηµω

εφ( k∙360o + ω) =

εφω

συν( k∙360o + ω)

= συνω

σφ( k∙360o + ω) =

σφω

Ο Τριγωνομετρικός κύκλος

συνω = x = τετμημένη του σημείου Μ

ημω = y = τεταγμένη του σημείου Μ

Ο άξονας των εφαπτομένων

Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών

ΟΡΙΣΜΟΣ

Ακτίνιο (ή 1 rad ) είναι η γωνία η

οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν

κύκλο, βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου

(ή 1 rad)

α/π = μ/180

Ασκηση 1

Να εκφραστεί σε ακτίνια η γωνία 1200

Στον τύπο α/π=μ/180 Θέτουμε μ=120 και έχουμε:α/π=μ/180α/π=2/3α=2π/3.Αρα η γωνία 1200 είναι α=2π/3rad

Λύση

Ασκηση 2

Να εκφραστεί σε μοίρες η γωνία 4π/3.

Λύση

Στον τύπο α/π=μ/180 θέτουμε α=4π/3 και

έχουμε

4π/3π=μ/1804/3=μ/180μ=(4/3).180

μ=2400

Σχόλιο Επειδή η γωνία πrad είναι 1800 η γωνία 4π/3rad θα

είναι 4.180/3=2400

Ασκηση 3

Από τις παρακάτω τιμές δεν μπορεί να είναι

ημίτονο γωνίας:

Α.1/2 Β. -3/2 Γ-1/2

Λύση

Το Β

f(x)=ημχ

Η συνάρτηση με την οποία κάθε

πραγματικός αριθμός χ αντιστοιχίζεται

στο ημ(χ rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο

και συμβολίζεται με ημ

f(x)=ημχ

Πεδίο Ορισμού :Α=R

Σύνολο Τιμών: f(A)=[-1,1]

Περιττή: f(-x)=ημ(-x)=-ημχ=-f(x)

Περιοδική με Τ=2π

Ημ(χ+2π)=ημ(χ-2π)=ημχ

Μονοτονία: Διάστημα μελέτης [0,2π]

Γραφική παράσταση ημχ

Ακρότατα: Για χ=π/2 μέγιστο το

f(π/2)=ημπ/2=1

Για χ=3π/2 ελάχιστο το f(3π/2)=ημ3π/2=-1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Οι συναρτήσεις της μορφής:

f(x)=ρ.ημωχ και f(x)=ρ.συνωχ, ω>0

Είναι περιοδικές με περίοδο Τ=2π/ω

Οι συναρτήσεις f(x)=ρ.εφωχ και f(x)=ρ.σφωχ,

ω>0

Είναι περιοδικές με περίοδο Τ=π/ω.

Ερώτηση 1

Μια περίοδος της συνάρτησης f(x)=συν2χ

είναι η Τ=π;

Ερώτηση 2

Η συνάρτηση f(x)=ημχ είναι περιττή

Ποιά είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησηςf(x)=ημχ;

Ασκηση 1

Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση

f(x)=3ημχ και f(x)=ημ3χ

Ασκηση 2

Να βρεθεί η μέγιστη, η ελάχιστη τιμή και η

περίοδος των παραστάσεων

α) Α= 3+3ημχ

β) Β=1-2συν3χ

διάλειμμα