Teorema Fundamental da Trigonometria
1cossen 22
Demonstração ...
)θ1 cos
sen 1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
θ·
Continuação...
)θ1 cos
sen 1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
1
Continuação...
)θsen θ
cos θ
1
Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :
1cossen 22 C M P Q D
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
)θCateto Adjacente Cateto O
posto
Hipotenusa
Continuação ...
Cotangente de θ
Secante de θ
Cossecante de θ
Tangente de θ
Cosseno de θ
Seno de θ
Relação no Triângulo RetânguloEnte Trigonométrico
HICO
sen
HICA
cos
COHI
sen1
seccos
CACO
tg
CAHI
cos1
sec
COCA
tg1
gcot
Na Circunferência Trigonométrica
)θ cos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ
Continuação ...
)θ0
·
cotg cotg θ
secante θ
cossec θ
Arcos Notáveis
30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg90°
180°
270°
0°/360°
arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
rad 06
4
3
2
3
22
seno 02
1
2
2
2
31 0 - 1 0
cosseno 12
3
2
22
10 - 1 0 1
tangente
cos
sen 03
31 3 - - - 0 - - - 0
Tabela de Entes Trigonométricos ...
Vamos pensar . . .
Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o sen vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
b
hip
.o.csen
2) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o cos vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/bc
a
hip
.a.ccos
3) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a tg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
a
b
.a.c
.o.ctg
4) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a cotg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c b
a
.o.c
.a.cgcot
5) Em relação ao ângulo , podemos dizer que tg .cotg vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 1 1.o.c
.a.c.
.a.c
.o.c
gcot.tg
6) Se a = 3b, podemos dizer então, que
sen2 + cos2 vale:
a) b2 / a2
b) 9c2 / b2
c) 0
d) 1
e) (c2 + b2) / 9a2
Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:
sen2 + cos2 = 1
portanto,
7) Em relação ao ângulo , podemos dizer que sec2- 1 vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 1
22
22
cos
1sec
cos
1sec
olog,cos
1sec
222
2
2
2
22 tg1sec
cos
sen
cos
cos11
cos
11sec
2
22
22
cos
sentg
cos
sentg
olog,cos
sentg
22
22
cos1sen
1cossen
22 tg1sec
8) Em relação ao ângulo , podemos dizer que cossec2- 1 vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 1
22
22
sen
1seccos
sen
1seccos
olog,sen
1seccos
222
2
2
2
22 gcot1seccos
sen
cos
sen
sen11
sen
11seccos
2
22
22
sen
cosgcot
sen
cosgcot
olog,sen
cosgcot
22
22
sen1cos
1cossen
22 gcot1seccos
9) Se sen b/c, então, calculando o valor de
chegaremos a:
a) a/c
b) b/c
c) a/b
d) b/a
e) 1
cos
1cos.)cos1(.
sen
cosy
cos
11.)cos1(.gcoty
22
22
cos1sen
1cossen
cos
11.)cos1(.gcoty
)coscos1(cos.sen
1y
1cos.)cos1(.sen
1y
2
)cos1(.sen
1y 2
2sen.sen
1y
c
by
seny
Voltando
a parte teórica
Lei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos : Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) (^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
Lei dos Cossenos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :
Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) (^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
Continuação ...
Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos :
90coscb2cba 222
Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...
0cb2cba 222
Temos, portanto ... 222 cba Teorema de Pitágoras
Gráficos das funções trigonométricas
sen x
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90°
•
90°
1
-1
Continuação ...
cos x
y
x •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0°
540°
720°450° 630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
1
-1
Continuação ...
tg x
y
x •
•
•
•
•
•
•
•
•
0° 360°
-90° 90°180°
270° 450°
540°
630°
Continuação ...
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90°
•
90°
1
-1
cossec x
Continuação ...
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0°
540°
720°450° 630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
sec x
y
x
1
-1
Continuação ...
cotg x
y
x •
•
•
•
•
•
•
•
•
0° 360°
90°
180°
270° 450°
540°
630°
720°
TRIGONOMETRIA APLICADA
• Modelo matemático que indica ao número de horas do dia, com luz solar, de uma determinada cidade norte americana,“t” dias após 1º de janeiro.
)80t(
365
2sen8,212)t(L
Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34
Continuação ...
dt2
tsen)x(S
x
0
2
Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 394
•Função de Fresnel, assim chamada em homenagem ao físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por seus trabalhos em ótica. Esta função foi primeiramente apresentada num trabalho sobre difração de ondas de luz de Fresnel, porém recentemente foi aplicado no planejamento de auto-estradas.
Continuação ...
• Integração por Substituição trigonométrica Caso Radical Substit.
Trigonométrica Transformada Trigonometria no
Triângulo Retângulo
I 222 .uba sen.b
au cos.sen1. 2 aa
CA
COtg
II 222 .uba tgb
au . sec.1. 2 atga
HI
CAcos
III 222. aub sec.b
au tgaa .1sec. 2
HI
COsen
Demonstrando o Caso I ...
)sen1.(sensen.sen. 222222
2
222
222222 aaa
b
aba
b
abauba
22 cossen1. aa cos.a C M P Q D
Trigonometria
Algumas Aplicações
Parte PráticaO exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.
São eles: uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .
hd.tgd
htg
.a.c
.o.ctg
temos que:
portanto: tg.dh
Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo que vale 30°, podemos dizer então que:
metros8675,28h
95773502691,0.50h
30tg.50h
tg.dh
Exemplo 1
A inclinação de uma rampa
Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?
Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.
Observemos:
6 metros16,4 metros
2 metros
Comprimento total da rampa
solo
6 metros
16,4 metros2 metros
Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Temos em relação ao ângulo
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
121219512195,04,16
2
hip
.o.csen
Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que = 30°.
Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo , com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!
2,49121219512195,0
6
7sen
6
sen
o.chip
sen
o.chip.o.chip.sen
hip
.o.csen
6 metros
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que é válido para ambos
Como:
Chegamos a conclusão que o
comprimento total da rampa é 49,2 metros
Exemplo 2
Mecânica Geral
ou Trigonometria?
Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros
assuntos.Observemos os exemplos a seguir:
Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo
que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?
Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F
nos eixos das abscissas e das
ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F
e )y(2F
.
Analogamente, encontraremos as projeções de 3F
, encontrando os componentes )x(3F
e )y(3F
.
A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s
)x(Ré o b t i d a
d a s e g u i n t e m a n e i r a :
)x(31)x(2)x( FFFR
60cos.FFFF.60cosF
F60cos.
hip
a.ccos
45cos.FFFF.45cosF
F45cos.
hip
a.ccos
Como
3)x(3)x(333
)x(3
2)x(2)x(222
)x(2
N20F5,0.4060cos.FF
N70F70,0.10045cos.FFtotanPor
)x(33)x(3
)x(22)x(2
)x(31)x(2)x( FFFR
N70R
202070R
)x(
)x(
A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s
)y(Ré o b t i d a
d a s e g u i n t e m a n e i r a :
)y(34)y(2)y( FFFR
60sen.FFFF.60senF
F60sen.
hip
o.csen
45sen.FFFF.45senF
F45sen.
hip
o.csen
Como
3)y(3)y(333
)y(3
2)y(2)y(222
)y(2
N4,34F86,0.4060sen.FF
N70F70,0.10045sen.FFtotanPor
)y(23)y(3
)y(22)y(2
)y(34)y(2)y( FFFR
N6,25R
4,341070R
)y(
)y(
Colocando )x(R
e )y(R
, nos eixos das abscissas e dasordenadas, respectivamente,
Percebemos que a figura formada pelas forças é umtriângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força
Resultante
R, )x(R
é o cateto adjacente a e )y(R
ocateto oposto a , então, vale o teorema de Pitágoras para
calcularmos o valor de
R.
N53,74R
36,5555R
36,5555R
36,6554900R
6,2570R
RRR
cch
2
2
222
2
)y(
2
)x(
2
222
P a r a o c á l c u l o d o â n g u l o , t e m o s :
3657,070
6,25
R
R
.a.c
.o.ctg
)x(
)y(
3657,0tg
E s s e é o v a l o r d a t a n g e n t e d o â n g u l o P a r a c a l c u l a r m o s o v a l o r d o â n g u l o ,t e m o s q u e e n c o n t r a r o a r c t g , e n t ã o :
20
3657,0arctgarctg
C o n c l u í m o s e n t ã o q u e a R e s u l t a n t e N53,74R
e f o r m au m â n g u l o 20 c o m o e i x o x .
Desafio !
Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13
Solução:
Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.
)II(y.3h
y.60tghhy.60tgy
h
.a.c
.o.c60tg
)I()y20(.3
3h
)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(
h
.a.c
.o.c30tg
metros10y
y220yy320y.3)y20(
y.3.3)y20(.3y.3)y20(.3
3
y.3h)II()y20(.3
3h)I(
Igualando o h das equações ( I ) e (II)
Como
metros17h
10.7,1h
y.3h
30 metros
17 metros para subir a árvore
17 metros para descer da árvore
Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
segundos20eutosmin5touutosmin333,5t
60
segundos320tsegundos320
2,0
64t
V
stst.V
t
sV
v = 0,2 m/s
Obrigado pela participação de todos!!!
Infelizmente, terminou . . .Prof. Edson Arnaldo Mendes
Prof. Paulo Alves Rodrigues
Top Related