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ESERCIZI DA ESAMI (1996-2006) Stabilità delle opere di sostegno Esercizio 1 Verificare la stabilità, in assenza di falda, del muro di sostegno a gravità mostrato in Figura. dati: H = 5.00 m A = 1.60 m B = 2.50 m β = 15 ° terrapieno e terreno di fondazione: γ = 19.5 kN/m 3 c' = 0 kPa φ' = 38 ° muro: γ m = 24 kN/m 3 δ = 26 ° (ang. d'attrito terreno muro) Soluzione Peso del muro: A x H x γ m = 192 kN/m A/2 = 0.8 m (B-A) x (H/2) x γ m = 54 kN/m A + (B-A)/3 = 1.90 m P m = 246 kN/m peso del muro X m = 1.04 m ascissa di applicazione del peso del muro dallo spigolo esterno Coefficiente di spinta attiva (secondo Coulomb): α = π -arctan[H/(B-A)] = 1.749 rad = 100.2 ° β = 15 ° = 0.262 rad φ' = 38 ° = 0.663 rad δ = 26 ° = 0.454 rad λ = α - π/2 = 0.178 rad = 10.2 ° K A = 0.363 Spinta attiva: P A = (1/2) K A γ H 2 = 88.47 kN/m quota di applicazione di P A : H (P A ) = H/3 = 1.67 m ascissa di applicazione di P A : X (P A ) = A+(B-A) 2/3 = 2.20 m angolo di inclinazione di P A rispetto all'orizzontale: ε = λ + δ = 0.632 rad = 36.20397 ° componente verticale di P A : P AH = P A cosε = 71.39 kN/m componente orizzontale di P A : P AV = P A senε = 52.26 kN/m Verifica al ribaltamento: Momento stabilizzante rispetto allo spigolo esterno: M S = P m X m + P AV X(P A ) = 371.16 Momento ribaltante rispetto allo spigolo esterno: H A B β α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A cos cos ' sen ' sen 1 cos cos ' cos K + + + + = β λ δ λ β φ φ δ δ λ λ λ φ 1

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ESERCIZI DA ESAMI (1996-2006)

Stabilità delle opere di sostegnoEsercizio 1Verificare la stabilità, in assenza di falda, del muro di sostegno a gravità mostrato in Figura.

dati:H = 5.00 mA = 1.60 mB = 2.50 mβ = 15 °terrapieno e terreno di fondazione:γ = 19.5 kN/m3

c' = 0 kPaφ' = 38 °muro:γm = 24 kN/m3

δ = 26 ° (ang. d'attrito terreno muro)

SoluzionePeso del muro:A x H x γm = 192 kN/m A/2 = 0.8 m(B-A) x (H/2) x γm = 54 kN/m A + (B-A)/3 = 1.90 m

Pm = 246 kN/m peso del muroXm = 1.04 m ascissa di applicazione del peso del muro dallo spigolo esterno

Coefficiente di spinta attiva (secondo Coulomb):α = π -arctan[H/(B-A)] = 1.749 rad = 100.2 °β = 15 ° = 0.262 radφ' = 38 ° = 0.663 radδ = 26 ° = 0.454 radλ = α - π/2 = 0.178 rad = 10.2 °

KA = 0.363

Spinta attiva: PA = (1/2) KA γ H2 = 88.47 kN/mquota di applicazione di PA: H (PA) = H/3 = 1.67 mascissa di applicazione di PA: X (PA) = A+(B-A) 2/3 = 2.20 mangolo di inclinazione di PA rispetto all'orizzontale:ε = λ + δ = 0.632 rad = 36.20397 °componente verticale di PA: PAH = PA cosε = 71.39 kN/mcomponente orizzontale di PA: PAV = PA senε = 52.26 kN/m

Verifica al ribaltamento:Momento stabilizzante rispetto allo spigolo esterno:MS = Pm Xm + PAV X(PA) = 371.16Momento ribaltante rispetto allo spigolo esterno:

H

A

B

β

α

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

A

coscos'sen'sen1coscos

'cosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

−⋅+−⋅+

+⋅+⋅

−=

βλδλβφφδδλλ

λφ

1

MR = PAH H(PA) = 118.98 kNm/mFS (ribaltamento) = MS / MR = 3.12

Verifica allo slittamento:Forza orizzontale massima resistente:TF = (Pm + PAV) tanδ = 145.47 kN/mForza orizzontale spingente:T = PAH = 71.39 kN/mFS (slittamento) = TF / T = 2.04

Azioni risultanti trasmesse in fondazione:QV = Pm + PAV = 298.26 kN/mQH = PAH = 71.39 kN/me = B/2 - (MS - MR)/QV = 0.40 mLa risultante è interna al nocciolo centrale d'inerzia.

pmax = (QV / B) (1+ 6e/B) = 235.1 kPapmin = (QV / B) (1- 6e/B) = 3.5 kPa

Verifica di capacità portante:B' = B - 2e = 1.69 m

Nq = 48.9

Nγ = 74.9

iγ = (1 - QH/QV)3 = 0.440qlim = 0,5 γ B' Nγ iγ = 543.5 kPa si trascura l'effetto stabilizzante del peso del terrapienoFS (capacità portante) = qlim B' / QV = 3.08

e

B

QV

QH

pminpmax

)2

(45 tgeN 2tgq

ϕ+°= ϕ⋅π

( ) ϕ⋅−⋅=γ tg1N 2N q

2

Esercizio 2Viene costruito un rilevato di sabbia sostenuto da un muro a gravità. Il terreno di fondazione è argilla. I dati geometrici sono indicati in figura.

sabbia di riporto:γd = 16 kN/m3

φ' = 36 °

argilla satura:valori riferiti al centro dello strato

γ = 19 kN/m3

γs = 27 kN/m3

Cc = 0.38Cs = 0.04cv = 2.9E-07 m2/s

σ'c = 37.5 kPaqu = 120 kPa

s (m) = 3 a rottura in prova TxCIDc (m) = 6 σ'3 = 40 kPaa (m) = 1 σ'1 = 140 kPah (m) = 4 a rottura in prova TxCIUb (m) = 2 σ3 = 240 kPad (m) = 1 σ1 = 560 kPa

u = 80 kPa

muro:γ = 25 kN/m3

acqua:γw = 10 kN/m3

a) determinare per lo strato di argilla satura: - l'indice dei vuoti - i parametri di resistenza al taglio a breve e a lungo termineb) nell'ipotesi che il riporto di sabbia trasmetta allo strato di argilla una pressione verticale uniforme dovuta al peso proprio, determinare: - lo stato di consolidazione dell'argilla alla messa in opera del riporto - il cedimento finale dello strato di argilla - il cedimento dopo un anno dalla messa in opera del riportoc) verificare la stabilità del muro a breve e a lungo termine rispetto a - capacità portante della fondazione - slittamento - ribaltamento(calcolare le spinte con il metodo di Rankine trascurando la spinta passiva sulla parete ED) d) calcolare il cedimento finale del muro nell'ipotesi che le sovrapressioni verticali dovute al peso del muro nello strato di argilla siano costanti e pari a quelle trasmesse dalla base CD

dati:σ (µ) = 3.00 argilla satura: sabbia di riporto:c (m) = 6 valori riferiti al centro dello strato gd = 16 kN/m3α (µ) = 1.00 g = 19 kN/m3 f' = 36 °η (µ) = 4.00 gs = 27 kN/m3b (m) = 2.00 Cc = 0.38 muro:d (m) = 1.000 Cs = 0.04 g = 25 kN/m3

cv = 2.9E-07 m2/s acqua:

s

c

h

a

b

sabbia

sabbia

argilla

A

B

C D

Ed

3

s'c = 37.5 kPa gw = 10 kN/m3qu = 120 kPaa rottura in prova TxCIU a rottura in prova TxCIDs3 = 240 kPa s'3 = 40 kPas1 = 560 kPa s'1 = 140 kPau = 80 kPa

soluzione:a) e = 0.889 indice dei vuoticu = 60 kPa resistenza al taglio a breve terminea rottura in termini di tensioni efficaci (kPa):

σ'3 σ'1 u σ3 σ1

TxCID 40 140 0 40 140TxCIU 160 480 80 240 560da cui:Ka = 0.352941φ' (rad) = 0.498673 = φ' (°) = 28.57 resistenza al taglio a lungo terminec' (kPa) = 7.92b)tensione verticale efficace a metà dello strato di argilla prima della messa in opera del riporto:σ'o = 27 kPaOCR = 1.39 grado di sovraconsolidazione∆σ = 48 kPa incremento di tensione dovuta al peso del riporto∆c (fin.) = 0.381 m cedimento finale dello strato di argillaTv = 1.016 fattore tempo a 1 annoU (%) = 93 grado di consolidazione a 1 anno∆c (1 a) = 0.355 m cedimento dello strato di argilla a 1 annoc)tensioni orizzontali e spinte attive sul muro nella sabbia a breve e a lungo termine: Ka = 0.260σ'h (A) = 0 kPaσ'h (B) = 12.46 kPaF1 = 18.69 kN/m spinta attiva dovuta al riporto sabbiosod1 = 2.00 m altezza di applicazione di F1 rispetto alla base del muronell'argilla a breve termine:σh (B) = -72.00 kPa tensioni negative (di trazione), non se ne tiene conto nel calcoloσh (C) = -53.00 kPa delle spinte sul muronell'argilla a lungo termine:σ'h (B) = 7.53 kPa F2 = 7.53 kN/mσ'h (C) = 10.71 kPa d2 = 0.5 mF2 + F3 = 9.12 kN/m F3 = 1.59 kN/md (F2+F3) = 0.471 m d3 = 0.33 m

Spinta attiva sul muro a breve termine: F = 18.69 kN/mQuota di applicazione rispetto alla base: d (F) = 2.00 m

Spinta attiva sul muro a lungo termine: F = 27.81 kN/mQuota di applicazione rispetto alla base: d (F) = 1.50 m

Peso del muro e ascissa di applicazione verso sinistra rispetto al punto DW = 162.5 kN/m W1 = 100 kN/mx = 1.15 m x1 = 1.5 m

4

e = 0.15 m W2 = 25 kN/mx2 = 0.5 mW3 = 37.5 kN/mx3 = 0.67 m

Sottospinta idraulica (per il calcolo in termini di tensioni efficaci):U = -20 kN/mRisultanti delle azioni alla base del muro per le verifiche di stabilità:

V H M e δ δ(kN/m) (kN/m) (kNxm/m) (m) (rad) (°)

A breve termine 162.500 18.692 12.385 0.076 0.115 6.562A lungo termine 142.500 27.810 16.679 0.117 0.193 11.043

verifica della capacità portante a breve termineB = 1.848 m qlim = 370 kPacu = 60 kPa Qlim = 683 kN/mNc = 5.142 FS = 4.2 coefficiente di sicurezzasc

0 = 1dc

0 = 1.217ic

0 = 0.934bc

0 = 1gc

0 = 1q = 19 kPa

verifica della capacità portante a lungo termineB = 1.766 m qlim = 319 kPac' = 7.92 kPa Qlim = 563 kN/mφ' = 0.499 rad FS = 4.0 coefficiente di sicurezzatan φ' = 0.545Kp = 2.833γ' = 9 kN/m3

q' = 9 kPaNc = 26.954Nq = 15.679Nγ = 18.166sc,q,γ = 1ic = 0.553iq = 0.581iγ = 0.581bc,q,γ = 1gc,q,γ = 1dc = 1.179dq = 1.168

Verifica allo slittamento:H V tan φ c b Tmax FS

(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)a breve termine 18.692 162.500 0 120 120 6.42a lungo termine 27.810 142.500 0.545 15.84 93.45 3.36

5

Verifica al ribaltamento:Mresist Mribalt FS

(kNxm/m) (kNxm/m)a breve termine 187.5 37.38 5.02a lungo termine 167.5 41.68 4.02d) calcolo del cedimento del muro∆σ' = 62.25 kPaH = 5 mCc = 0.38Cs = 0.04σ'c = 37.5 kPae = 0.889σ'o = 31.5 kPa∆H = 0.408 m

Esercizio 3In figura è rappresentata la sezione di un muro di sostegno a gravità.Il peso specifico del materiale costituente il muro è: γcls = 23.5 kN/m3

Il peso di volume del terreno di fondazione e a tergo del muro è: γ = 19 kN/m3

I valori di progetto dei parametri di resistenza al taglio sono: c' = 0 kPaφ' = 36 °

L'angolo di attrito fra il muro e il terreno è: δ = 25 °Verificare la stabilità del muro.

β = 20 °B = 4 mH = 7.5 ms = 1 ms1 = 0.5 ms2 = 0.5 ma = 0.8 mb = 0.7 mc = 0.5 md = 1.75 me = 0.25 m

Soluzioneα = arctan[H / (d + e)] = 1.3102 rad β = 0.3491 radδ = 0.4363 radφ' = 0.6283 rad

Ka (Coulomb) = 0.4986Pa = 0.5 γ H2 Ka= 266.47 kN/mPh = Pa cos(π/2 - α + δ) = 204.33 kN/mPv = Pa sen(π/2 - α + δ) = 171.04 kN/m

Si considerano i momenti rispetto allo spigolo anteriore della fondazione del muro, O:

β

B

H

ss1s2

a b c d e

α

PaPv

Ph1

2

3

4

5

O

6

Forza (kN/m) Braccio (m) Momento (kN m/m)1 0,5 γcls d (H - s) = 133.66 x 2.58 = 345.32 γcls c (H - s) = 76.38 x 1.75 = 133.73 0,5 γcls b (H - s) = 53.46 x 1.27 = 67.74 γcls B s = 94.00 x 2.00 = 188.05 -0,5 γcls a s = -9.40 x 0.27 = -2.5

Pv 171.0 x 3.33 = 570.1Rv = 519.13 Mv = 1302.27

Ph = Rh = 204.33 2.50 Mh = 510.8ΣM = 791.45

Distanza della risultante da O: ΣM / Rv = 1.52 mEccentricità della risultante: e = B/2 - ΣM / Rv = 0.48 m

Pressioni agli spigoli della base (metodo del trapezio):pmax = Rv/B (1 + 6e/B) = 222 kPapmin = Rv/B (1 - 6e/B) = 37 kPa

Verifica al ribaltamento: FS = Mv / Mh = 2.549Verifica alla traslazione: FS = Rv tanδ / Rh = 1.185Verifica di capacità portante della fondazione con carico eccentrico ed inclinato:Qult = B' (cNcic + γDNqiq + 0,5 γ B' Nγiγ) c = D = 0B' = B - 2e = 3.05 mNq = tan2(π/4 + φ'/2) exp(π tanφ') = 37.752Nγ = 2 (Nq + 1) tanφ' = 56.311inclinazione della risultante rispetto alla verticale: θ = arctan(Rh/Rv) = 0.375 radiγ = (1 - θ/φ')2 = 0.163Qult = 0.5 γ B'2 Nγ iγ = 808.57 kN/mFS = Qult/Rv = 1.558

Esercizio 4Determinare la profondità di infissione corrispondente ad un fattore di sicurezza FS=2 applicato alcoefficiente di spinta passiva, e la forza nei tiranti di ancoraggio del diaframma in c.a. rappresentatoin figura. Il livello dell'acqua libera a valle coincide con il livello di falda a monte.

dati geometrici:H = 8 ma = 1.5 mi = 2.5 mi = interasse fra i tirantiHw = 3 m

dati geotecnici:terreno naturale di fondazioneγsat = 21 kN/m3

c' = 10 kPaφ' = 27 °terreno di riportoγsat = 20 kN/m3

sopra falda γ = 17 kN/m3

c' = 0 kPaφ' = 35 °

H

d

a

Hw

tirante

acqua

terreno naturale di fondazione

terreno di riporto

7

FS = 2

Soluzioneper il terreno di riporto:φ' = 35 ° = 0.6109 radKA = 0.271γ' = 10.19 kN/m3

per il terreno naturale di fondazione:φ' = 27 ° = 0.4712 radKA = 0.376KP = 2.663γ' = 11.19 kN/m3

Lo schema della distribuzione delle pressioni esercitate dal terreno è mostrato in figura.Le spinte dell'acqua si bilanciano (condizione idrostatica).

Forze (F), bracci (b) e momenti (M) rispetto al punto di ancoraggio, a metro lineare di struttura:1

F1 = 0,5 x 0,271 x 17 x (8 - 3)2 = 57.585 kN/mb1 = (8 - 3) x 2/3 - 1,5 = 1.83 mM1 = F1 x b1 = 105.573 kN m/m

2F2 = 0,271 x 17 x (8 - 3) x 3 = 69.102 kN/mb2 = (8 - 3) x 3/2 - 1,5 = 5 mM2 = F2 x b2 = 345.512 kN m/m

3F3 = 0,5 x 0,271 x 10,19 x 32 = 12.430 kN/mb3 = 8 - 3/3 - 1,5 = 5.5 mM3 = F3 x b3 = 68.364 kN m/m

4F4 = 0,376 x [17 x (8 - 3) + 10,19 x 3] x d = 43.403 d kN/mb4 = 8 - 1,5 + 0,5 x d = 6.5 + 0,5d mM4 = F4 x b4 = 282.118 d + 21.701 d2 kN m/m

5F5 = 0,5 x 0,376 x 11,19 x d2 = 2.102 d2 kN/m b5 = 8 - 1,5 + 2/3 d = 6.5 + 0,667d mM5 = F5 x b5 = 13.661 d2 + 1.401 d3 kN m/m

6

T

1

23

4

5

67

8

a

H

Hw

d

8

F6 = - 2 x 10 x 0,3760,5 x d = -12.25602 d kN/mb6 = 8 - 1,5 + 0,5 d = 6.5 + 0,5d mM6 = F6 x b6 = -79.664 d -6.128 d2 kN m/m

7F7 = -0,5 x 11,19 x (2,663/2) x d2 = -7.452 d2 kN/m b7 = 8 - 1,5 + 2/3 d = 6.5 + 0,667d mM7 = F7 x b7 = -48.435 d2 - -4.968 d3 kN m/m

8F8 = -2 x 10 x (2,663/2)0,5 d = -23.078 d kN/mb8 = 8 - 1,5 + 0,5d = 6.5 + 0,5 d mM8 = F8 x b8 = -150.0061 d -11.539 d2 kN m/mEquazione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di ancoraggio:ΣM = -3.567 d3 -30.740 d2 + 52.448 d + 519.450 = 0da cui:d = 4.02 mF1 = 57.59 kN/mF2 = 69.10 kN/mF3 = 12.43 kN/mF4 = 174.69 kN/mF5 = 34.05 kN/mF6 = -49.33 kN/mF7 = -120.72 kN/mF8 = -92.89 kN/mΣF = 88.95 kN/mEquazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: ΣF + T = 0da cui T = -88.95 kN/mLa forza nei tiranti di ancoraggio vale: t = - T i = 222.38 kN

Si prevede una profondità di infissione D = 1,2 d = 4.8 m

Esercizio 5Con riferimento al diaframma con un ordine di tiranti rappresentato in figura, utilizzando il metodo del supporto libero, determinare:a) la profondità minima di infissione Dmin,b) la forza F

dati:Sabbia densa e ghiaia omogeneaφ' = 37 °γ = 19.62 kN/m3

γ' = 9.68 kN/m3

a = 3 mb = 1 mHw = 6 m

FS = 1.5 da applicare a Kp

H

D

Hw

Fab

9

SoluzioneCoefficienti di spinta:Ka = 0.25Kp / FS = 2.68

Metodo del supporto liberoRisultanti del diagramma di pressione:A1 = γ Ka (a + b)2 / 2 = 39.01768A2 = γ Ka (a + b) (Hw + D) = 117.0531 + 19.50884 DA3 = γ' Ka (Hw + D)2 / 2 = 43.31321 + 14.43774 D + 1.203 D2

Ra = A1 + A2 + A3 = 199.3839 + 33.94658 D + 1.203 D2

Rp = A4 = -γ' Kp D2 / 2 = -12.98021 D2

Quote di applicazione rispetto al punto di ancoraggio:d1 = (2b - a) / 3 = -0.33d2 = b + (Hw + D) / 2 = 4 + 0.5 Dd3 = b + (Hw + D) 2 / 3 = 5 + 0.67 Dd4 = dp = b + Hw + 2D / 3 = 7 + 0.67 DMomenti rispetto al punto di ancoraggio:A1 d1 = -13.00589A2 d2 = 468.2122 + 136.5619 D + 9.754421 D2

A3 d3 = 216.566 + 101.0642 D + 15.64 D2 + 0.80 D3

A4 d4 = -90.86144 D2 -8.653471 D3

Σ(Ai di) = 671.7724 + 237.6261 D + -65.47 D2 + -7.85 D3

Σ(Ai di) = 0da cui: Dmin = 4.11 m

Ra = 359.07 kN / mRp = -218.87 kN / mF = 140.19 kN / m

Esercizio 6Eseguire le verifiche di stabilità al ribaltamento, allo slittamento e di capacità portante a brevetermine in condizioni statiche e sismiche (con il metodo pseudostatico di normativa) del mu-ro di sostegno a gravità indicato schematicamente in figura. Per la verifica allo slittamento si assuma che la resistenza al taglio tra fondazione e terreno sia dovuta solo ad aderenza e che ca = cu. Per il fattore di inclinazione del carico si assuma: ic = (1 - 2α/π)2 essendo α l'angolo di inclinazione del carico rispetto alla verticale (in radianti).Determinare la distribuzione delle tensioni normali alla base della fondazione nell'ipotesi di linearità (sezione non reagente a trazione).

H

D

Hw

Fab

Ra

Rp

dadp

A 1

A 2

A 3

A 4

10

muro:H = 3.5 mB = 1.2 mb = 1 mγχλσ = 24 kN/m3

sabbia di riporto:γ = 19.6 kN/m3 359.286φ∋ = 35 °δ = (2/3) φ∋ (αττριτο µυρο−τερρενο)

argilla satura:cu = 100 kPa

grado di sismicità:S = 9

Coefficiente di intensità sismica:C = (S - 2) / 100 = 0.07

peso del muro: W = γcls (B+b) H/2 = 92.4 kN/mforza sismica d'inerzia: Fi = C W = 6.468 kN/mposizione del baricentro:

A (m2) x (m) y (m) Ax (m3) Ay (m3)triangolo: 0.350 0.133 1.167 0.047 0.408rettangolo: 3.500 0.700 1.750 2.450 6.125totale 3.850 0.648 1.697 2.497 6.533

= xw = yw

φ' = 0.6109 radδ = (2/3) φ' 0.4072 rad

θ = arctanC 0.0699 radβ = 0 radi = 0 radA = 0.9976β' = β + θ = 0.0699 radi' = i + θ = 0.0699 rad

Coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche: KA 0.244409Coefficiente di spinta attiva in condizioni sismiche: KAE 0.286804γ H2 / 2 = 120.05 kN/mF' = 34.431 kN/m

Spinta (kN/m) Quota di applicazione (m)condizioni statiche: PA = F = 29.341 H/3 = 1.167condizioni sismiche: PAE = Fs = 34.347incremento sismico: ∆F = 5.005 2H/3 = 2.333

componente orizzontale di F: Fh = F cos δ 26.942 kN/mcomponente verticale di F: Fv = F sen δ 11.622 kN/mcomponente orizzontale di ∆F: ∆Fh = ∆F cos δ 4.596 kN/mcomponente verticale di ∆F: ∆Fv = ∆F sen δ 1.983 kN/m

B

H sabbia di

argilla satura

x

y

B

b

H

x

yW PA =

Fi∆F

11

Verifiche di stabilità 1a. Verifica al ribaltamento in condizioni statiche: Momento stabilizzante della forza peso: Ms = W xw = 59.920 kN m/mMomento ribaltante della spinta attiva: Mr = Fh H/3 - Fv B = 17.486 kN m/mCoefficiente di sicurezza: FS = Ms / Mr = 3.4271b. Verifica al ribaltamento in condizioni sismiche:Momento stabilizzante della forza peso: Ms = W xw = 59.920 kN m/mMomento ribaltante

a) della forza d'inerzia del muro: Fi yw = 10.976 kN m/mb) della spinta attiva: Fh H/3 - Fv B = 17.486 kN m/mc) dell'incremento sismico della spint∆Fh 2H/3 - ∆Fv B = 8.345 kN m/m

complessivamente Mr 36.807 kN m/mCoefficiente di sicurezza: FS = Ms / Mr = 1.6282a. Verifica allo slittamento in condizioni statiche:Forza resistente alla base del muro: ca B = cu B = 120 kN/mForza instabilizzante (comp. orizz. spinta attivFh = 26.942 kN/mCoefficiente di sicurezza: FS = cu B / Fh = 4.4542b. Verifica allo slittamento in condizioni sismiche:Forza resistente alla base del muro: ca B = cu B = 120 kN/mForza instabilizzante

forza d'inerzia del muro: Fi = 6.468 kN/mcomp. orizz. della spinta attiva: Fh = 26.942 kN/mcomp. orizz. dell'incr. di spinta: ∆Fh = 4.596 kN/m

complessivamente 38.006 kN/mCoefficiente di sicurezza: FS = cu B / ΣFh = 3.157Azioni trasmesse in fondazione (carico inclinato ed eccentrico):

a) in condizioni statiche:Forza verticale: N = W + Fv = 104.022 kN/mForza orizzontale: T = Fh = 26.942 kN/mRisultante: R = (N2 + T2)0.5 = 107.454 kN/mAngolo di incl. di R rispetto alla verticale:α = arctan(T/N) = 0.253 radMomento rispetto al centro della fondazione:

M = W (xw - B/2) + Fv B/2 - Fh H/3 = -19.979 kNm/mEccentricità e = -M/N = 0.192 mb) in condizioni sismiche:Forza verticale: N = W + Fv + ∆Fv = 106.004 kN/mForza orizzontale: T = Fi + Fh + ∆Fh = 38.006 kN/mRisultante: R = (N2 + T2)0.5 = 112.611 kN/mAngolo di incl. di R rispetto alla verticale:α = arctan(T/N) = 0.344 radMomento rispetto al centro della fondazione:W (xw - B/2) - Fi yw + (Fv + ∆Fv) B/2 - Fh H/3 - ∆Fh 2H/3 = -40.48963 kNm/mEccentricità e = -M/N = 0.382 m

B

e

NT

R

12

3. Verifiche di capacità portante a breve termine (condizioni non drenate)

qlim = cu Nc (1 - 2α/π)2 cu = 100 kPaB' = B - 2e Nc = 5.142Qlim = qlim B' B = 1.2 mFS = Qlim / N B/6 = 0.2 m

3a) cond. statiche 3b) cond. sismicheα (rad) 0.253 0.344ic 0.703 0.610N (kN/m) 104.0 106.0e (m) 0.192 0.382B' (m) 0.816 0.436qlim (kPa) 361.6 313.5Qlim (kN/m) 295.0 136.7FS 2.836 1.2904. Tensioni normali alla base della fondazioneper e < B/6 sezione interamente compressa per e > B/6 sezione parzializzataσmax = N/B (1 + 6e/B) σmax = 4N/[3 (B - 2e)]σmin = N/B (1 - 6e/B) d = 3e - B/2

4a) cond. statiche 4b) cond. sismicheB (m) 1.2 1.2N (kN/m) 104.0 106.0e (m) 0.192 0.382

sez. parzializzata sez. parzializzataσmax (kPa) 170 324σmin (kPa) 3 0d (m) 0 0.546

Esercizio 7Determinare la spinta attiva in condizioni statiche e sismiche (con il metodo di Mononobe-Okabe) sul muro di sostegno a gravità indicato in figura, e calcolarne le quote di applicazione.

dati:H = 6 mβ = 20 °i = 15 °terreno sostenuto:γ = 18 kN/m3

φ' = 30δ = 2/3 φ' °coefficienti sismici:kH = 0.1kV = 0

N

B

σmσmin

eN

B

σmax

d

H

β

i

13

Soluzione:θ = arctan(kH / (1 - kV)) = 0.0997 radi = 0.2618 radφ' = 0.5236 radδ = 2/3 φ' = 0.3491 radβ = 0.3491 radKA = 0.6291EA = 0,5 γ H2 KA = 203.81 kN/m Spinta attiva in condizioni staticheHA = H / 3 = 2.00 m Quota di applicazione di EA

KAE = 0.8020EAE = 0,5 γ H2 (1-kV) KAE = 259.84 kN/m Spinta attiva in condizioni sismiche∆EE = EAE - EA = 56.02 kN/m Incremento sismico della spintaHE = 2H / 3 = 4.00 m Quota di applicazione di ∆EE

HAE = (EA HA + ∆EE HE) / EAE = 2.43 m Quota di applicazione di EAE

Esercizio 8Verificare la stabilità del muro di sostegno indicato in figura. La falda freatica è a grande profondità.Nelle verifiche al ribaltamento e di capacità portante non si tenga conto della spinta passiva anterioreNella verifica alla traslazione orizzontale si tenga conto della spinta passiva anteriore, e si assuma:aderenza base del muro - terreno: ca = (2/3) c2

angolo d'attrito base del muro - terreno: δ = (2/3) φ2

datia = 0.7 mb = 0.7 mc = 2.6 md = 1.5 me = 0.5 mH1 = 0.458 m = c tanβ

H2 = 6H3 = 0.7 mβ = 10 ° β = 0.175 radγ1 = 18 kN/m3

φ1 = 30 °φ1 = 0.524 radc1 = 0 kPaγ2 = 19 kN/m3

φ2 = 20 °φ2 = 0.349 radc2 = 40 kPaγcls = 24 kN/m3

SoluzioneH' = H1 + H2 + H3 = 7.158 mPa = 0,5 γ1 H'2 Ka

soluzione di Rankineϕββ

ϕβββ

22

22

coscoscos

coscoscoscos

−+

−−⋅=aK

14

cos β = 0.985 cos φ1 = 0.866Ka = 0.350Pa = 161.2 kN/mPv = Pa sin β = 28.0 kN/mPh = Pa cos β = 158.7 kN/mVerifica al ribaltamento (rispetto al punto C)

zona area peso braccio momento n. (m2) (kN/m) (m) (kN m/m)1 3 72.00 1.15 82.802 0.6 14.40 0.83 12.003 2.8 67.20 2.00 134.404 15.6 280.80 2.70 758.165 0.596 10.73 3.13 33.61

Pv = 28.0 4 111.97ΣV = 473.12 ΣM = 1132.94 = MS (momento stabilizzante)

momento ribaltante: MR = Ph H' / 3 = 378.79 kN m/mFattore di sicurezza al ribaltamento: FSrib = 2.99Verifica allo scorrimentoca = 26.7 kPa B = a + b + c = 4 mδ = 13.3 °tan δ = 0.237Kp = 2.040Pp = 0,5 Kp γ2 d

2 + 2 c2 Kp0,5 d = 215.0 kN/m

Fattore di sicurezza allo scorrimento: FSsc = (ΣV tan δ + ca B + Pp) / Ph = 2.73Verifica di capacità portanteeccentricità della risultante: E = B/2 - (MS - MR) / ΣV = 0.406 mla risultante cade entro il terzo medio, essendo 0.406 < B / 6 = 0.667Le pressioni alle estremità della fondazione in campo elastico alla Winkler risultano:σmax = (ΣV / B) (1 + 6E / B) = 190.3 kPaσmin = (ΣV / B) (1 - 6E / B) = 46.2 kPaFondazione superficiale con carico eccentrico ed inclinato:qLIM = 0,5 γ B' Nγ iγ + c Nc dc ic + q Nq dq iq

γ = γ2 = 19 kN/m3 φ = φ2 = 0.349 rad c = c2 = 40 kPa

B' = B - 2E = 3.19 m q = γ2 d = 28.5 kPatan α = Ph / ΣV = 0.336 α = 0.324 radNγ = 5.386 soluzione di Vesic iγ = 0.005Nc = 14.835 ic = 0.630 dc = 1.188Nq = 6.399 iq = 0.630 dq = 1.148qLIM = 577.3 kPaQLIM = qLIM B' = 1840 kN / mFattore di sicurezza per capacità portante: FS = QLIM / ΣV = 3.89

Esercizio 9In figura è rappresentato un tirante di ancoraggio di un opera di sostegno. Il terreno di fondazione è una ghiaia sabbiosa, avente φ'crit (°) = 35Si assuma che: - la rottura possa avvenire per scorrimento fra il bulbo di ancoraggio e il terreno circostante, - l'angolo di attrito fra bulbo e terreno sia pari all'angolo di resistenza al taglio critico del terreno, - la tensione efficace in ogni punto del terreno sia la stessa in tutte le direzioni.

15

Stimare la forza di trazione che produce la rottura per sfilamento dell'ancoraggio nelle ipotesi: a) di terreno secco avente γd = 18 kN/m3

b) di terreno saturo avente γsat = 20 kN/m3

e falda freatica a profondità zw = 2 m

a = 2 mb = 3.5 mL = 8 md = 0.15 m

Soluzione:Superficie laterale del bulbo di ancoraggio: A = π d L = 3.77 m2

Profondità media del bulbo di ancoraggio: z = a + b + b/2 = 7.25 mCoefficiente d'attrito bulbo-terreno f = tan φ'crit. = 0.700a)Pressione efficace alla profondità media z σ' = γd z = 130.5 kPaTensione d'attrito alla profondità media z τ = f σ' = 91.4 kPaForza di trazione che produce la rottura T = τ A = 344.5 kNb)Pressione efficace alla profondità media z σ' = γsat zw + γ' (z-zw) = 93.5 kPaTensione d'attrito alla profondità media z τ = f σ' = 65.5 kPaForza di trazione che produce la rottura T = τ A = 246.8 kN

Esercizio 10Con riferimento allo schema di figura determinare la profondità di infissione della paratia D0.

(Utilizzare il metodo semplificato all'equilibrio limite dividendo per F il coefficiente di spintapassiva e calcolare la profondità di infissione aumentando del 20% il valore minimo teorico).

dati:h = 3 mzw = 4.5 mF = 2 coeff. di sicurezzaterreno omogeneosabbia, con: γ = 17 kN/m3 sopra faldaγsat = 20 kN/m3

sotto faldaφ' = 36 °

Soluzioneφ' = 36 ° = 0.628 radKA = 0.260KP / F = 1.926γ' = γsat - γw = 10.193 kN/m3

d = h + D0 - zw incognita

triangolo 1base = b1 = γ zw KA = 19.861

a

b

b

zw L

L

d

h z

D0

6 54

32

1

Rd

zw

zw - h

16

altezza = h1 = zw = 4.5area = A1 = b1 h1 / 2 = 44.686braccio = br1 = d + h1 / 3 = d + 1.5 1.500rettangolo 2base = b2 = b1 = 19.861altezza = h2 = d / 2 = 1 d = 0.000area = A2 = b2 h2 19.861 d = 0.000braccio = br2 = d / 2 = 0.5 d = 0.000triangolo 3base = b3 = γ' d KA = 2.646 d = 0.000altezza = h3 = 1 d = 0.000area = A3 = b3 h3 / 2 = 1.323 d2 = 0.000braccio = br3 = d / 3 = 0.333 d = 0.000triangolo 4base = b4 = - γ (zw - h) KP / F = -49.11096altezza = h4 = zw - h = 1.5area = A4 = b4 h4 / 2 = -36.833braccio = br4 = d + (zw - h) / 3 = d + 0.5 0.500rettangolo 5base = b5 = b4 = -49.11096altezza = h5 = d = 1 d = 0.000area = A5 = b5 h5 -49.11096 d = 0.000braccio = br5 = d / 2 = 0.5 d = 0.000triangolo 6base = b6 = - γ' d KP / F = -19.631 d = 0.000altezza = h6 = 1 d = 0.000area = A6 = b6 h6 / 2 = -9.815 d2 = 0.000braccio = br6 = d / 3 = 0.333 d = 0.000

Equazione di equilibrio alla rotazione intorno al punto di estremità inferiore: ΣMi = ΣAi bri = 0-2.831 d3 -14.625 d2 + 7.853 d + 48.613 = 0

da cui risolvendo si ottiene: ΣMi = 0.000 per d = 1.784 mEquazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: ΣAi + R = 0da cui si ottiene: R = 71.360 kN/mProfondità di infissione: D0 = 1,2 (zw - h + d) = 3.941 m

Esercizio 11Utilizzando il metodo del supporto libero, verificare la stabilità della palancola con un ordine di tiranti, schematicamente indicata in figura. Il livello della falda a valle è alla profondità dello scavo.

datisabbia satura (anche sopra falda)γ = γsat = 20 kN/m3

φ' = 38 °Zw = 3 mq = 20 kPaH = 5 mt = 2 mD = 3.5 mγw = 9.81 kN/m3

q

TH

D

t Zw Z

q

TH

D

t Zw Z

17

Soluzioneφ' (rad) = 0.663coefficiente di spinta passiva: KA = 0.238coefficiente di spinta attiva: KP = 4.204gradiente idraulico: i = ∆h/∆l = (H - Zw) / (2D + H - Zw) = 0.222pressione neutra a contatto con la palancola:a monte (filtrazione discendente) a valle (filtrazione ascendente)

prof. Z (m) u (kPa) prof. Z (m) u (kPa)0 0 0 H 5 0

Zw 3 0 H + D 8.5 41.97H + D 8.5 41.97

pressione verticale totale ed efficacea monte a valle

prof. Z (m) σv0 (kPa) σ'v0 (kPa) prof. Z (m) σv0 (kPa) σ'v0 (kPa)0 0 20 20 H 5 0 0

Zw 3 80 80 H + D 8.5 70 28.04H + D 8.5 190 148.04

pressione orizzontale efficace limitea monte (attiva) a valle (passiva)

prof. Z (m) σ'hA (kPa) prof. Z (m) σ'hP (kPa)0 0 4.76 H 5 0

Zw 3 19.03 H + D 8.5 117.85H + D 8.5 35.22

Spinte e profondità di applicazioneSpinta dell'acqua a monte: Spinta dell'acqua a valle:Sw,m = 115.40 kN/m Sw,v = 73.44 kN/mZ (Sw,m) = 6.67 m Z (Sw,v) = 7.33 mSpinta attiva a monte: Spinta passiva a monte:1. dovuta al sovraccarico q Sp = 206.24Sa,1 = 40.44 kN/m Z(Sp) = 7.33Z(Sa,1) = 4.25 m2. dovuta al terreno sopra faldaSa,2 = 21.41 kN/mZ(Sa,2) = 2 m3. dovuta al terreno sotto falda (rettangolo)Sa,3 = 78.50 kN/mZ(Sa,3) = 5.75 m4. dovuta al terreno sotto falda (triangolo)Sa,4 = 44.51 kN/mZ(Sa,4) = 6.67 mMomento, rispetto al punto di applicazione del tirante:- della spinta dovuta all'acqua a monte: Mw,m = 538.55 kNm/m- della spinta dovuta all'acqua a valle: Mw,v = -391.67 kNm/m- della spinta attiva a monte: 1. M1 = 90.99 kNm/m

2. M2 = 0.00 kNm/m3. M3 = 294.38 kNm/m4. M4 = 207.70 kNm/mSomma ΣM = 739.95 kNm/m

- della spinta passiva a valle, interamente mobilitata: Mp = -1099.95 kNm/m

18

La stabilità è verificata con un coefficiente di sicurezza, applicato alla spinta passiva:FS = -Mp / ΣM = 1.49 Mp / FS = -739.95 kNm/m

La forza T nel tirante vale: 88.08 kN/m

Esercizio 12Utilizzando lo schema di calcolo con estremo libero valutare la profondità di infissione, d, e il tiro nel-l'ancoraggio, T, per una palancola che sostiene H (m) = 7 di terreno incoerente asciutto avenφ (°) = 30 γ (kN/m3) = 18 L'ancoraggio è posto a 1 m da p.c. Si calcolino le spinte con il metodo di Rankine e si applichi un coefficiente di sicurezza = 2 alla spintapassiva.

dati:H (m) = 7t (m) = 1φ (°) = 30 = rad. 0.523599 Ka = 0.333333γ (kN/m3) =18 Kp/F = 1.5F = 2si risolvono le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione nelle incognite d e T

d (m) T (kN/m) Sa (kN/m) Sp/F f(d)4.81 106.091 418.4283 312.3374 0.411313

Esercizio 13E' eseguito uno scavo sostenuto da un diaframma in c.a. secondo lo schema stratigrafico e geotecnico di figura. Il terreno è saturo per capillarità fino a piano campagna. Si assuma γw = 10 kN/m3. a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2, D.Utilizzando lo schema semplificato di calcolo all'equilibrio limite con spinta passiva a monte rappresentada una forza concentrata al piede, e calcolando i coefficienti di spinta con l'equazione di Coulomb, deteb) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva, c) le pressioni orizzontali sul diaframma e disegnarne il grafico,d) i valori massimi delle sollecitazioni di taglio e momento flettente nel diaframma.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-150 -100 -50 0 50 100

ph (kPa)

Z (m

)

19

dati:H (m) = 5D (m) = 7s (m) = 0.8q (kPa) = 10zw (m) = 2a (m) = 4δ = φ∋ / 2 angolo d'attrito terra-mstrato 1) sabbia fine:γ1 (κΝ/µ3) = 19φ∋1 (°) = 38k1 (m/s) = 0.004

strato 2) limo sabbioso:γ2 (κΝ/µ3) = 20φ∋2 (°) = 34

coefficiente di permeabilità in direzione verticale k2v (m/s) = 5.00E-06coefficiente di permeabilità in direzione orizzontale k2h (m/s) = 1.50E-05

Soluzione

a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2, D.coefficiente di permeabilità medio efficace per filtrazione in serie: km = Σidi / Σi(di/ki)

i tratto di (m) ki (m/s) di/ki (s) ∆hi (m)1 A-B 2 4.0E-03 500 0.0002 B-C1 8 5.0E-06 1600000 1.5723 C1-C2 0.8 1.5E-05 53333.33 0.0524 C2-D 7 5.0E-06 1400000 1.375

Σi = 17.8 3053833 3km = Σidi / Σi(di/ki) = 5.83E-06

carico idraulico in A: hA (m) = 10 ∆hi = v di/ki

carico idraulico in D: hD (m) = 7perdita di carico tra A e D: ∆h = (hA - hD) = 3 mlunghezza di filtrazione tra A e D: L = Σdi = 17.8 mgradiente idraulico tra A e D: i = ∆h/L = 0.168539velocità di filtrazione tra A e D: v = km i = 9.82E-07 m/s

h = z + u/γw punto z (m) h (m) u/γw (m) u (kPa)h = carico idraulico A 10 10.000 0.000 0.00z = altezza geometrica B 8 10.000 2.000 20.00u/γw = altezza di pressione C1 0 8.428 8.428 84.28

C2 0 8.375 8.375 83.75D 7 7.000 0.000 0.00

b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva coefficienti di spinta: attiva passiva σ = σ' + u

φ' (rad) δ (rad) KA KP σ'h = K σ'v

strato 1 0.663 0.332 0.217 9.639 a monte K = KA

strato 2 0.593 0.297 0.256 6.767 a valle K = KP / F

q

azw

B

A

C1C2

D

sabbia fine

limo sabbioso

s

D

H

20

punto z (m) σv (kPa) u (kPa) σ'v (kPa) σ'h (kPa) σ'hP (kPa)O 12 10 0.00 10.00 2.17A 10 48 0.00 48.00 10.42

B (str. 1) 8 86 20.00 66.00 14.33B (str. 2) 8 86 20.00 66.00 16.93

C1 0 246 84.28 161.72 41.47C2 0 140 83.75 56.25 380.65D 7 0 0.00 0.00 0.00

pressioni neutre pressioni orizzontali efficaci

Area forma base altezza superficie quota bar. momento(kPa) (m) (kN/m) (m) (kN m/m)

1 triang. 20.00 2 20.00 8.67 173.292 rettang. 20.00 8 159.96 4.00 639.843 triang. 64.28 8 257.13 2.67 685.684 triang. -83.75 7 -293.14 2.33 -683.985 rettang. 2.17 12 26.06 6.00 156.366 triang. 8.25 2 8.25 10.67 88.037 rettang. 8.25 2 16.51 9.00 148.558 triang. 3.91 2 3.91 8.67 33.899 rettang. 14.75 8 118.04 4.00 472.1410 triang. 24.55 8 98.18 2.67 261.8211 triang. -380.65/F 7 -1332.26/F 2.33 -3108.61/F -380.65 -1332.26

Forza R R 0 -3108.607Equilibrio alla rotazione intorno al piede del diaframma: 1975.61 -3108.61/F =0

da cui: F = 1.5711 triang. -241.91 7 -846.69 2.33 -1975.612 ΣM =

Equilibrio alla traslazione orizzontale: -431.7967 + R = 0 0da cui: R = 431.80 kN/m ΣH =

0c) le pressioni orizzontali sul diaframma

punto z (m) u (valle) u (monte) σ'h (valle) σ'h (monte) ph (kPa) t (kN/m) m (kNm/m)O 12 0.00 0.00 0.00 2.17 2.17 0.00A 10 0.00 0.00 0.00 10.42 10.42 12.60

B (str. 1) 8 0.00 20.00 0.00 14.33 34.33 57.35B (str. 2) 8 0.00 20.00 0.00 16.93 36.92 57.35

D 7 0.00 28.03 0.00 19.99 48.02 99.82C 0 -83.75 84.28 -241.91 41.47 -199.92 -431.80

O

AB

C1C2

D

zwa

H

D

1

2

34

5 678

910

11

z

R

21

d) i valori massimi di taglio e momento flettente.il taglio massimo è alle sezioni di pressione zero:1) in prossimità del piede del diaframma:

z (m) = 0 t = R (kN/m) = -431.802) nel tratto infisso C-D alla quota:

z (m) = 5.64 t (kN/m) = 132.38il momento massimo è alla sezione di taglio zero:z si determina risolvendo l'equazione: a z2 + b z + c = 0

a = 199.92 b = -2256.708 c = da cui: 4874.242z (m) = 2.91 t (kN/m) = 0ph (kPa) = -96.84m = 555.55 kNm/m

Esercizio 14Determinare con metodo all'equilibrio limite semplificato la profondità di infissione della palancola a sbalzo in terreno limo - sabbioso sopra falda indicata in figura.

dati

q = 10 kPah = 5 mγ = 20 kN/m3

φ' = 35 °F = 2F = fattore di sicurezza da applicare al coefficiente di spinta passiva

Soluzioneφ' = 35 ° = 0.6109 radcon la teoria di Rankine:Ka = 0.271Kp = 3.690Kp,r = Kp / F = 1.845pressione attiva a monte:pa,m = (q + γ Z) Ka = q Ka + γ Ka Z = 2.710 + 5.420 Z kPapressione passiva ridotta a valle:ppr,v = γ (Z - h) Kp,r = - γ h Kp,r + γ Kp,r Z = -184.509 + 36.902 Z kPa

0

2

4

6

8

10

12

-300 -200 -100 0 100

ph (kPa)

z (m

)

h

D0

q

γ, φ' Z

22

Schema di calcolo

area 1forma: rettang.base: 2.710altezza: 5 + d = 11.12area: 13.550 + 2.710 d = 30.13278momento: 33.874 + 13.550 d + 1.355 d2

= 167.5309area 2forma: triang.base: 27.099 + 5.420 d = 60.26556altezza: 5 + d = 11.12area: 67.748 + 27.099 d + 2.710 d2

= 335.0619momento: 112.913 + 67.748 d + 13.550 d2 +

+ 0.903 d3 = 1241.908area 3forma: triang.base: -36.90172 d = -225.8206altezza: d = 6.12area: -18.45086 d2 = -690.9563momento: -6.150287 d3 = -1409.439

Equilibrio alla rotazione alla profondità di RΣM = 146.786 + 81.297 d + 14.904 d2

+ -5.247 d3 = 0ΣM = 0.00per d = 6.12 mEquilibrio alla traslazioneΣH = -325.8 + R = 0R = 325.8 kN/mProfondità di infissione: D0 = 1.2 d = 7.3 m

1

3

2

R

Zh

d

23