SISTEM KOORDINAT PERSEGI
(Rectangular Coordinates)
/
Sistem Koordinat Kartesian
Representasi Koordinat Rectangular
Bentuk Umum vektor
dalam koordinat
Rectangular :
A = Ax ax + Ay ay + Az az
(x,y,z)
x
y
z
SISTEM KOORDINAT SILINDER
(Cylindrical Coordinates)
Representasi Koordinat Silinder
Representasi polar pada bidang :
φρ
φρ
Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada
koordinat polar (ρ,φ).
Representasi Koordinat Silinder
Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada
koordinat polar (ρ,φ).
Representasi Koordinat Silinder
φρ
Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada
koordinat polar (ρ,φ).
Representasi Koordinat Silinder
φρ
Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada
koordinat polar (ρ,φ).
Representasi Koordinat Silinder
φρ
Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada
koordinat polar (ρ,φ).
Representasi Koordinat Silinder
φρ
Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada
koordinat polar (ρ,φ).
Representasi Koordinat Silinder
φρ
(ρ,φ,z)
Representasi Koordinat Silinder
φρ
φρ
Bentuk Umum vektor
dalam koordinat
silinder :
A = Aρ aρ + Aφ aφ + Az az
Contoh penerapan :
persoalan pada kabel
(ρ,φ,z)Rectangular → Silinder :
Silinder → Rectangular :
Konversi Rectangular↔Silinder (Skalar)
φρ
φρ
( )
zzxy
yx
=
=
+=
φ
ρ
tan
222
( )( )
zzyx
===
φρφρ
sincos
Contoh (1) :
Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50o, 2). Hitung
jarak dari A ke B.
Jawab :
Untuk menentukan jarak dari A ke B, titik B harus terlebih
dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian.
Konversi Rectangular↔Silinder (Skalar)
Jawab :
Titik B dalam koordinat Rectangular :
Konversi Rectangular↔Silinder (Skalar)
x = ρ cos φ = 4 cos (–50o) = 2,571
y = ρ sin φ = 4 sin (–50o) = - 3,064
z = z = 2
79,63)064,6()571,0(R
a3a064,6a571,0
a)12(a)3064,3(a)2571,2(R
222AB
zyx
zyxAB
=+−+=
+−=
++−−+−=
Transformasi vektor :
Konversi Rectangular↔Silinder (Vektor)
aρ aφ az
ax cos φ - sin φ 0ay sin φ cos φ 0az 0 0 1
yx
x
aaaVertikalaaaHorisontal
φφ
φφ
ρ
φρ
sincos:sincos:
+=
−=
Contoh (2) :
Nyatakan vektor dalam sistem koordinat
silinder di titik A(2, 3, 5).
Jawab :
Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk
menghitung sudut φ di titik A, yaitu :
Konversi Rectangular↔Silinder (Vektor)
zyx aaaR 424 −−=
o11 3,5623tg
xytg ===φ −−
Jawab :
Konversi Rectangular↔Silinder (Vektor)
aρ aφ azax cos φ = 0,555 - sin φ = - 0,832 0ay sin φ = 0,832 cos φ = 0,555 0az 0 0 1
z
z
aaaaaaaaR
4438,4556,04)555,0832,0(2)832,0555,0(4
−−=
−−−−=
φρ
φρφρ
Komponen luas pada koordinat silinder :
Dimulai dengan gambarawal koordinat silinder.
Perluas radius silindersebesar ∆ ρ
ρ
ρ +∆ ρ
ρ
Koordinat Silinder : Eleman Luas
r+∆r
r
Diperoleh radius silinder dalam sebesar ρ dan
radius silinder luar sebesar ρ +∆ ρ.
ρ
Koordinat Silinder : Eleman Luas
ρ +∆ ρ
Selanjutnya perhatikan komponen sudut φ.
Kita tambahkan bagian kecil sebesar ∆ φ.
φ
φ∆ φ
Koordinat Silinder : Eleman Luas
φ
Koordinat Silinder : Eleman Luas
Selanjutnya diperoleh potongan ∆ z .
Koordinat Silinder : Eleman Luas
Elemen luas diperoleh dari :
Koordinat Silinder : Eleman Luas
φρρ dddA ≈
Elemen volume diperoleh dari :
Koordinat Silinder : Eleman Volume
dzdddV φρρ≈
So . . .
dzddzfS
φρρφρ∫∫∫ ),,(
Integration in Cylindrical Coordinates.
dV r dr d dz≈ θ
We need to find the volume of this little solid.Since the volume is just the base times the height. . .
So . . .( , , )
S
f r z r dr d dzθ θ∫∫∫
SISTEM KOORDINAT BOLA(Spherical Coordinates)
(x,y,z)
Diketahui sebuah titik dalam
koordinat rectangular. Titik ini
dapat dinyatakan dalam
koordinat bola dgn komponen
sbb :
1. Jarak dari pusat koordinat
rectangular ke sembarang
titik → r
⥤ Permukaan r
merupakan sebuah
selubung bola
r
Representasi Koordinat Bola
Komponen-komponen pada
sistem koordinat bola :
2. Sudut θ → merupakan
sudut antara sumbu z
dengan garis yang ditarik
dari pusat koordinat ke
titik yang dibicarakan.
Nilai θ :
θ
πθ ≤≤0
Representasi Koordinat Bola
Angle is called φ.
Komponen-komponen pada
sistem koordinat bola :
3. Sudut φ → merupakan
sudut antara sumbu x
dengan proyeksi garis
dari pusat ke titik yang
dibicarakan pada bidang
z = 0
Nilai θ : πφ 20 ≤≤
Representasi Koordinat Bola
Rectangular → Bola : Bola → Rectangular :
Konversi Rectangular↔Bola (Skalar)
xy
zyxz
rzyxr
1
222
1
222
tan
)1800(cos
)0(
−
−
=
≤≤++
=
≥++=
φ
θθ
θφθφθ
cossinsincossin
rzryrx
===
TERIMA KASIH !!!!!
Top Related