1
Misure d’impulsoMisure d’impulsoUn apparato che permette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici) posto in un campo magnetico (possibilmente uniforme) fornisce una misura dell’impulso delle particelle a partire dalla misura del raggio di curvatura.
ΒΒ
2
Magneti per esperimenti a bersaglio fissoMagneti per esperimenti a bersaglio fisso
I magneti comunemente usati in esperimenti a bersaglio fisso sono i magneti dipolari.
All’uscita del bersaglio i prodotti della reazione sono concentrati in un cono attorno alla direzione della particella incidente, a causa del boost di Lorentz lungo la direzione del fascio.
L’apertura del cono è approssimativamente data dal rapporto pT/pL (con pT impulso trasverso e pL impulso longitudinale rispetto alla direzione della particella incidente)
non serve un magnete con una grande apertura.
3
fascio
bersaglio
Camere per trovare le tracce
xy
z
Rappresentazione schematica di uno spettrometro magnetico
4
Consideriamo una configurazione con B diretto lungo l’asse y, il fascio incidente sul bersaglio diretto lungo z. Dato il pT limitato le particelle prodotte nella reazione sono dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle particelle secondarie entranti nello spettrometro sono misurate prima e dopo il magnete.
Poiché il campo magnetico è diretto lungo y la deflessione delle particelle è nel piano xz.
θ
θ/2
x
z
5
La forza di Lorentz è :
Con |p| costante. La forma di questa equazione cioè dp/dt ortogonale a p ed a B implica moto circolare.
×
=
→→→
Bpmq
dtpd
γ
6
Il raggio di curvatura della traiettoria è molto maggiore della lunghezza del magnete L l’angolo di deflessione θ può essere approssimato a :
yqBpLL ==
ρϑ
x
L
ρ
θ
B
sθ
7
A causa della deflessione dovuta al campo magnetico la particella acquista un impulso trasverso addizionale:
Se il campo magnetico non è uniforme, ma varia lungo L(z) allora:
∆pT=psinθ~pθ=LqBy
dlBqpL
yT ∫=∆0
8
Il campo magnetico sara' in generale non uniforme
Possiamo determinare p se B e' misurato in tutti i punti mediante la:
Il valore di B puo' essere misurato per es. mediante una sonda Hall
sin isin o=∫ B dl T⋅m
3.33 p GeV /c
Tracciamento in campo non uniforme
9
La precisione della misura dell’impulso è influenzata da :
Precisione dell’apparato tracciantePrecisione dell’apparato tracciante
Scattering multiploScattering multiplo
10
Precisione dell’apparato tracciante.Precisione dell’apparato tracciante.Le particelle prima di entrare nel magnete e dopo essere uscite sono rettilinee misura di θ.
Per determinare θ devo avere almeno 4 punti ( 2 prima e 2 dopo il magnete), perché mi servono 2 direzioni.
%
Misure di posizione
θx ( ) ( )
θθσσ
θθ
θθθ
θ
=⇒=⇒
==
⇒=
ppd
pdp
pLqBddp
LqBp
y
y
21
1 da
11
Se ogni punto ha lo stesso errore σ(x) la varianza dell’angolo di deflessione sarà:
Siccome θ=x/h essendo h il braccio di leva per la misura angolare prima e dopo il magnete
E ricordando che:
σ(p) e’ dunque proporzionale a p2.
( ) ( ) ( )
( ) ( )x
xxi
i
σθσ
σσθσ
2 cioe'
4 24
1
22
∝
=∝ ∑=
σ(θ)=2σ(x)/h
( ) ( )
( ) ( ) ( )xy p
ph
xpLqB
hxpp
pp
∆⋅=⋅=
⇒=
σσσθθσσ
2/2
12
A seconda della qualità dell’apparato si possono ottenere risoluzioni :
Se definiamo impulso massimo misurabile quello per cui:
Si ha che uno spettrometro magnetico con risoluzione data dalla (1) può misurare impulsi fino a :
( ) ( ) [ ]cGeVppp /1010 43 ⋅÷= −−σ
( ) 1max
max =ppσ
[ ]cTevp /101max ÷=
(1)
13
L’impulso di una o più particelle secondarie è, di norma, misurato in un magnete con gap in aria l’effetto dello scattering multiplo è di regola piccolo se paragonato all’errore dovuto alla misura di θ nel tracciatore.
Se però vogliamo misurare l’impulso di µ, i quali non interagiscono forte ed, ad energie inferiori alle centinaia di GeV, non fanno Bremsstrahlung, spesso si usa un magnete di ferro magnetizzato pieno alto scattering multiplo.
14
Un µ che attraversa un magnete di ferro pieno di spessore L acquisterà un impulso trasverso ∆pT
ms, dovuto allo scattering multiplo ∆pT
ms = psinθrms~ pθrms ovvero ∆pTms ~ 19.2(L/X0)½ [MeV/c] (β = 1)
∆pTms
ferro
p
L
x
z
Siccome la deflessione dovuta al campo magnetico è nella direzione x (particella lungo z e Blungo y, solo la componente x è quella che ci interessa ∆px
ms = 13.6(L/X0)½. La risoluzione in impulso, a causa dello scattering multiplo, diventa, nel caso di campo magnetico non uniforme:
( )( )∫
⋅=
∆∆= L
y
magnx
msx
ms
dllBq
XL
pp
pp
0
06.13σ
Sia l’angolo θ dovuto al campo magnetico, che l’angolo di scattering multiplo sono inversamente proporzionali a p > la risoluzione (relativa) in impulso non dipende dall’ impulso della particella incidente.
15
Sommando l’ errore dovuto all’incertezza della misura di posizione
Per un magnete in aria (X0=304m) l’errore dovuto allo scattering multiplo è molto piu’ piccolo. per un magnete sempre di 1.8 T e lungo 3 metri σ(p)/p|ms = 0.08 %
errore totaleσ(p)/ptraccia
σ(p)/pms
σ(p)/p %
p [Gev/c]
10
20
30
100 200 300
Per spettrometri di ferro pieno (X0= 1.76 cm) con B = 1.8 T, L=3 m, (p)/p~11%
16
Un altro metodo utilizzato per determinare l’impulso per un magnete in aria è la misura della sagitta (s).
L
ρ
s
θ
B
y
xLa sagitta s è connessa al raggio di curvatura r ed all’angolo di deflessione θ tramite :
4sin22
cos1 2ϑρϑρ =
−=s
pqBL
pqBLs
888
222
=
⋅== ρρϑ
pBLs
83.0 2
=
Poiché per particelle relativistiche θ << 1
Se B è in [T] L in [m] e p in [GeV/c]
17
Per determinare la sagitta servono almeno 3 misure di posizione. Questo si può ottenere con una camera all’ingresso (x1), una al centro (x2) ed una all’uscita (x3) del magnete. Poiché:
Assumendo risoluzioni σ(x) uguali per le 3 camere Per cui la risoluzione in impulso diventa:
Se la traccia è misurata in N punti equispaziati lungo la lunghezza del magnete L, si può dimostrare che la risoluzione in impulso dovuta all’errore della misura della traccia è:
( )2
312
xxxs +−=
( ) ( )xs σσ ⋅=23
( ) ( ) ( )23.0
82/3BL
pxss
pp ⋅⋅== σσσ
( ) ( ) pNBL
xpp tr
⋅+
=4
7203.0 2
σσ ( ) [ ]cGeVppp tr
/ 10 3 ⋅≅ −σ
( ) pBLpp ⋅⋅∝ −− 12
5σ
Per B=1.8 T, L=3 m, N=4 e σ(x)=0.5 mm
Se le N>>4 misure sono distribuite su L a k intervalli (L=kN)
18
Magneti per esperimenti ad un Collider.Magneti per esperimenti ad un Collider.
A seconda del tipo di anello di accumulazione possono essere usati diversi tipi di magneti.
Per protoneprotone o antiprotoneprotone possiamo usare un magnete dipolare, ma vengono deflessi anche i fasci incidenti servono dei magneti di compensazione, ma con gradiente di campo opposto:
Fascio 1
Fascio 2Punto d’interazione
Magneti di compensazione
Magnete bipolare
B
19
Un magnete dipolare può autocompensarsi se si usa la configurazione splitfield. In questo caso nella zona di giunzione dei dipoli il campo è tutt’altro che omogeneo > impossibile misure d’impulso per particelle prodotte ad angolo polare ~ 90o.
B
B
Punto d’interazione
Fascio 1
Fascio 2
20
Il magnete toroidale non disturba i fasci del collider, in quanto il campo è nullo nella zona dei fasci. Fra i 2 cilindri B è circolare e di intensità ~ 1/r.Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering multiplo nel cilindro interno del toro e nei suoi avvolgimenti. risoluzione della misura d’impulso dominata dallo scattering multiplo.
B
I
Punto di interazioneCilindro interno del toroide
Cilindro esterno del toroide
21
I magneti più comunemente usati in un collider sono quelli solenoidali. In questo caso I fasci viaggiano paralleli al campo magnetico quindi non sono disturbati dal magnete ( a parte effetti di bordo ).
Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione di sincrotroneVanno bene sia per anelli di collisione di protoni che di elettroni.
Punto d’interazione
Giogo cilindrico
BI
22
In un solenoide i tracciatori sono installati all’interno del solenoide stesso e sono cilindrici.
Il campo magnetico (solenoidale quindi // ai fasci) agisce solo sulla componente trasversa dell’ impulso delle particelle
Dove σ(x) è la risoluzione per la coordinata nel piano ortogonale all’asse dei fasci.
( ) ( )( ) T
trac
T
T pNBL
xpp ⋅
+⋅=
4720
3.0 2
σσ
23
Utile usare coordinate cilindriche
punto d’interazioneµ+
µ
φ
θ
r
zµ+
µ
proiezione rφ proiezione rz
24
Se misuriamo N punti lungo una traccia di lunghezza totale L (m) con un’accuratezza σrφ (m) in un campo magnetico B (T), la risoluzione nell’impulso trasverso e’:
Oltre all’errore sulla traccia dobbiamo considerare anche lo scattering multiplo:
( )( ) [ ]cGeVpNBLp
pT
r
T
T /4
7203.0 2
⋅+
= ϕσσ
( ) ( )mXLXBp
pms
T
T in 045.00
0
=σ
25
L’impulso totale della particella è ottenuto da pT e dall’angolo polare θ:
Come nel caso del piano rφ (trasverso) anche la misura dell’angolo polare ha un errore, sia dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo scattering multiplo.
A questa σ dobbiamo sommare in quadratura l’errore dovuto allo scattering multiplo
ϑsinTpp =
( ) ( ))1()1(12
+−⋅=
NNN
zztr σϑσ
( )0
13
0136.0Xl
pms ⋅⋅=ϑσ
θ
z
pT
r
Nel caso di una misura di 2 sole z
Se la traccia è misurata in N punti equidistanti si avrà:
( ) ( ) 2zzσϑσ =
dove p è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in unità X0 e β=1.
26
L’angolo di scattering multiplo <θ> che ci interessa per la misura dell’angolo polare deve essere inteso come il rapporto dello spostamento della traccia ∆r( a causa dello scattering multiplo ) diviso per la lunghezza di traccia l.
Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa massa come tracciatori possiamo ignorare lo scattering multiplo.
l
∆rθ
θpiano
27
Concludendo:Concludendo:dalla dalla
notiamo che la precisione migliora aumentandonotiamo che la precisione migliora aumentando BL BL22. Migliora solo . Migliora solo come come (N)(N)1/21/2 aumentando aumentando N N, dove N , dove N è il numero di misure il numero di misure
( )( ) [ ]cGeVpNBLp
pT
r
T
T /4
7203.0 2
⋅+
= ϕσσ
Top Related