1

Misure d’impulsoMisure d’impulsoUn apparato che permette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici) posto in un campo magnetico (possibilmente uniforme) fornisce una misura dell’impulso delle particelle a partire dalla misura del raggio di curvatura.

ΒΒ

2

Magneti per esperimenti a bersaglio fissoMagneti per esperimenti a bersaglio fisso

I magneti comunemente usati in esperimenti a bersaglio fisso sono i magneti  dipolari.

All’uscita del bersaglio i prodotti della reazione sono concentrati in un cono attorno alla direzione della particella incidente, a causa del boost di Lorentz lungo la direzione del fascio.

L’apertura del cono è approssimativamente data dal rapporto pT/pL (con pT impulso trasverso e pL impulso longitudinale rispetto alla direzione della particella incidente) 

 non serve un magnete con una grande apertura.

3

 

fascio

bersaglio

Camere  per trovare le tracce

xy

z

Rappresentazione schematica di uno spettrometro magnetico 

4

Consideriamo una configurazione con B diretto lungo l’asse y, il fascio incidente sul bersaglio diretto lungo z.  Dato il pT limitato le particelle prodotte nella reazione sono dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle particelle secondarie entranti nello spettrometro sono misurate prima e dopo il magnete.

Poiché il campo magnetico è diretto lungo y la deflessione delle particelle è nel piano xz. 

θ

θ/2

x

z

5

La forza di Lorentz è :

Con |p| costante.   La forma di questa equazione cioè dp/dt ortogonale a p ed a B implica moto circolare.

×

=

→→→

Bpmq

dtpd

γ

6

Il raggio di curvatura della traiettoria è molto maggiore della lunghezza del magnete L l’angolo di deflessione θ può essere approssimato a :

yqBpLL ==

ρϑ

x

L

ρ

θ

B

sθ

7

A causa della deflessione dovuta al campo magnetico la particella acquista  un impulso trasverso addizionale:

Se il campo magnetico non è uniforme, ma varia lungo L(z) allora:

∆pT=psinθ~pθ=LqBy

dlBqpL

yT ∫=∆0

8

Il campo magnetico sara' in generale non uniforme

Possiamo determinare p se B e' misurato in tutti i punti mediante la: 

Il valore di B puo' essere misurato per es. mediante una sonda Hall

sin isin o=∫ B dl T⋅m

3.33 p GeV /c

Tracciamento in campo non uniforme

9

La precisione della misura dell’impulso è influenzata da :

Precisione dell’apparato tracciantePrecisione dell’apparato tracciante

Scattering multiploScattering multiplo

10

Precisione dell’apparato tracciante.Precisione dell’apparato tracciante.Le particelle prima di entrare nel magnete e dopo essere uscite sono rettilinee   misura di θ.

Per determinare θ devo avere almeno 4 punti ( 2 prima e 2 dopo il magnete), perché mi servono 2 direzioni.

%

Misure di posizione

θx ( ) ( )

θθσσ

θθ

θθθ

θ

=⇒=⇒

==

⇒=

ppd

pdp

pLqBddp

LqBp

y

y

21

   1    da

11

Se ogni punto ha lo stesso errore σ(x) la varianza dell’angolo di deflessione sarà:

Siccome θ=x/h essendo h il braccio di leva per la misura angolare prima e dopo il magnete 

E ricordando che:

σ(p) e’ dunque proporzionale a p2.

( ) ( ) ( )

( ) ( )x

xxi

i

σθσ

σσθσ

2          cioe'

4 24

1

22

∝

=∝ ∑=

σ(θ)=2σ(x)/h

( ) ( )

( ) ( ) ( )xy p

ph

xpLqB

hxpp

pp

∆⋅=⋅=

⇒=

σσσθθσσ

2/2

12

A seconda della qualità dell’apparato si possono ottenere risoluzioni :

Se definiamo impulso massimo misurabile quello per cui:

Si ha che uno spettrometro magnetico con risoluzione data dalla (1) può misurare impulsi fino a :

( ) ( ) [ ]cGeVppp /1010 43 ⋅÷= −−σ

( ) 1max

max =ppσ

[ ]cTevp /101max ÷=

(1)

13

L’impulso di una o più particelle secondarie è, di norma, misurato in un magnete con  gap in aria   l’effetto dello scattering multiplo è di regola piccolo se paragonato all’errore dovuto alla misura di θ nel tracciatore.

Se però vogliamo misurare l’impulso di µ, i quali non interagiscono forte ed, ad energie inferiori alle centinaia di GeV, non fanno Bremsstrahlung, spesso si usa un magnete di ferro magnetizzato pieno     alto scattering multiplo.

14

Un µ che attraversa un magnete di ferro pieno di spessore L acquisterà un impulso trasverso ∆pT

ms, dovuto allo scattering multiplo ∆pT

ms = psinθrms~ pθrms  ovvero ∆pTms ~ 19.2(L/X0)½ [MeV/c]  (β = 1)

∆pTms

ferro

p

L

x

z

Siccome la deflessione dovuta al campo magnetico è nella direzione x (particella lungo z e Blungo y, solo la componente x è quella che ci interessa ∆px

ms = 13.6(L/X0)½. La risoluzione in impulso, a causa dello scattering multiplo, diventa, nel caso di campo magnetico non uniforme:

( )( )∫

⋅=

∆∆= L

y

magnx

msx

ms

dllBq

XL

pp

pp

0

06.13σ

Sia l’angolo θ dovuto al campo magnetico, che l’angolo di scattering multiplo sono inversamente proporzionali a p  ­> la risoluzione (relativa) in impulso non dipende dall’ impulso della particella incidente.

15

Sommando l’ errore dovuto all’incertezza della misura di posizione

Per un magnete in aria (X0=304m) l’errore dovuto allo scattering multiplo è molto piu’ piccolo. per un magnete sempre di 1.8 T e lungo 3 metri σ(p)/p|ms = 0.08 % 

errore totaleσ(p)/ptraccia

σ(p)/pms

σ(p)/p %

p   [Gev/c]

10

20

30

100 200 300

Per spettrometri di ferro pieno (X0= 1.76 cm) con B = 1.8 T, L=3 m,    (p)/p~11% 

16

Un altro metodo utilizzato per determinare l’impulso per un magnete in aria è la misura della sagitta (s).

L

ρ

s

θ

B

y

xLa sagitta s è connessa al raggio di curvatura r ed all’angolo di deflessione θ tramite :

4sin22

cos1 2ϑρϑρ =

−=s

pqBL

pqBLs

888

222

=

⋅== ρρϑ

pBLs

83.0 2

=

Poiché per particelle relativistiche θ << 1

Se B è in [T]  L in [m] e p in [GeV/c]  

17

Per determinare la sagitta servono almeno 3 misure di posizione. Questo si può ottenere con una camera all’ingresso (x1), una al centro (x2) ed una all’uscita (x3) del magnete. Poiché:

Assumendo risoluzioni σ(x) uguali per le 3 camere Per cui la risoluzione in impulso diventa:

Se la traccia è misurata in N punti equispaziati lungo la lunghezza del magnete L, si può dimostrare che la risoluzione in impulso dovuta all’errore della misura della traccia è:

( )2

312

xxxs +−=

( ) ( )xs σσ ⋅=23

( ) ( ) ( )23.0

82/3BL

pxss

pp ⋅⋅== σσσ

( ) ( ) pNBL

xpp tr

⋅+

=4

7203.0 2

σσ ( ) [ ]cGeVppp tr

/ 10 3 ⋅≅ −σ

( ) pBLpp ⋅⋅∝ −− 12

5σ

Per B=1.8 T, L=3 m, N=4 e σ(x)=0.5 mm

Se le N>>4 misure sono distribuite su L  a k intervalli (L=kN) 

18

Magneti per esperimenti ad un Collider.Magneti per esperimenti ad un Collider.

A seconda del tipo di anello di accumulazione possono essere usati diversi tipi di magneti.

Per protone­protone o antiprotone­protone possiamo usare un magnete dipolare, ma vengono deflessi anche i fasci incidenti servono dei magneti di compensazione, ma con gradiente di campo opposto:

Fascio 1

Fascio 2Punto d’interazione

Magneti di compensazione

Magnete bipolare

B

19

Un magnete dipolare può autocompensarsi se si usa la configurazione split­field. In questo caso nella zona di giunzione dei dipoli il campo è tutt’altro che omogeneo ­> impossibile misure d’impulso per particelle prodotte ad angolo polare ~ 90o.

B

B

Punto d’interazione

Fascio 1

Fascio 2

20

Il magnete toroidale non disturba i fasci del collider, in quanto il campo è nullo nella zona dei fasci. Fra i 2 cilindri B è circolare e di intensità ~ 1/r.Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering multiplo nel cilindro interno del toro e nei suoi avvolgimenti. risoluzione della misura d’impulso dominata dallo scattering multiplo.

B

I

Punto di interazioneCilindro interno del toroide

Cilindro esterno del toroide

21

I magneti più comunemente usati in un collider sono quelli solenoidali. In questo caso I fasci viaggiano paralleli al campo magnetico quindi non sono disturbati dal magnete ( a parte effetti di bordo ).

Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione di sincrotroneVanno bene sia per anelli di collisione di protoni che di elettroni.

Punto d’interazione

Giogo cilindrico

BI

22

In un solenoide i tracciatori sono installati all’interno del solenoide stesso e sono cilindrici.

Il campo magnetico (solenoidale quindi // ai fasci) agisce solo sulla componente trasversa dell’ impulso delle particelle 

Dove σ(x) è la risoluzione per la coordinata nel piano ortogonale all’asse dei fasci.

( ) ( )( ) T

trac

T

T pNBL

xpp ⋅

+⋅=

4720

3.0 2

σσ

23

Utile usare coordinate cilindriche  

punto d’interazioneµ+

µ­

φ

θ

r

zµ+

µ­

proiezione rφ proiezione rz

24

 Se misuriamo N punti lungo una traccia di lunghezza totale L (m) con un’accuratezza σrφ (m) in un campo magnetico B (T), la risoluzione nell’impulso trasverso e’:

Oltre all’errore sulla traccia dobbiamo considerare anche lo scattering multiplo:

( )( ) [ ]cGeVpNBLp

pT

r

T

T /4

7203.0 2

⋅+

= ϕσσ

( ) ( )mXLXBp

pms

T

T in        045.00

0

=σ

25

L’impulso totale della particella è ottenuto da pT e dall’angolo polare θ: 

Come nel caso del piano rφ (trasverso) anche la misura dell’angolo polare ha un errore, sia dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo scattering multiplo.

A questa σ dobbiamo sommare in quadratura l’errore dovuto allo scattering multiplo

ϑsinTpp =

( ) ( ))1()1(12

+−⋅=

NNN

zztr σϑσ

( )0

13

0136.0Xl

pms ⋅⋅=ϑσ

θ

z

pT

r

Nel caso di una misura di 2 sole z

Se la traccia è misurata in N punti equidistanti si avrà:

( ) ( ) 2zzσϑσ =

dove p è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in unità X0  e β=1. 

26

L’angolo di scattering multiplo <θ> che ci interessa per la misura dell’angolo polare deve essere inteso come il rapporto dello spostamento della traccia ∆r( a causa dello scattering multiplo ) diviso per la lunghezza di traccia l.

Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa massa come tracciatori possiamo ignorare lo scattering multiplo.

l

∆rθ

θpiano

27

Concludendo:Concludendo:dalla dalla 

notiamo che la precisione migliora aumentandonotiamo che la precisione migliora aumentando BL BL22. Migliora solo . Migliora solo come come (N)(N)1/21/2   aumentando aumentando N N, dove N , dove N è il numero di misure il numero di misure

( )( ) [ ]cGeVpNBLp

pT

r

T

T /4

7203.0 2

⋅+

= ϕσσ