![ISPITNI ZADACI - znrfak.ni.ac.rs GODINA... · PRIMER 3 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Homogeni štap AB, dužine l, težine G = 40 3 [kN], oslanja se krajem B na vertikalni zid i krajem](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5e05e1a10777d25e99531809/ispitni-zadaci-godina-primer-3-ispitni-zadaci-1-zadatak-homogeni-tap-ab.jpg)
γλώσσες
Σελίδες
Νομικός
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 3.1
Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekomnjihovog promatranja.
Tvrdnja: Adicijski teoremi
sin (x± y) = sinx · cos y ± cosx · sin y
cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y
tg (x± y) = tg x± tg y
1∓ tg x · tg y
ctg (x± y) = ctg x · ctg y ∓ 1
ctg y ± ctg x
Tvrdnja: Formule redukcije
sin(π2+ t)= cos t cos
(π2+ t)= − sin t
sin(π2− t)= cos t cos
(π2− t)= sin t
sin (π + t) = − sin t cos (π + t) = − cos t
sin (π − t) = sin t cos (π − t) = − cos t
sin
(3π
2+ t
)= − cos t cos
(3π
2+ t
)= sin t
sin
(3π
2− t)
= − cos t cos
(3π
2− t)
= − sin t
Prisjetim se jos vrijednosti trigonometrijskih funkcijca za istaknute kuteve:
Kutπ
6
π
4
π
3
π
2π
3π
22π
sinx1
2
√2
2
√3
21 0 -1 0
cosx
√3
2
√2
2
1
20 -1 0 1
tg x
√3
31
√3 nedef. 0 nedef. 0
ctg x√3 1
√3
30 nedef. 0 nedef.
1
Zadatak 9: (str. 66) Koliko je sin (α+ β) i cos (α+ β) ako je tgα =8
15,
ctg β = − 7
24, te 0 < α <
π
2iπ
2< β < π?
Rjesenje: Uocimo prvo u kojim kvadrantima se nalaze dani kutevi na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:
Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako sin (α+ β) i cos (α+ β).Raspisemo li te izraze po adicijskim teoremima:
sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ
cos (α+ β) = cosα · cosβ − sinα · sinβ
mogu uociti da je zadatak zapravo odrediti cemu su jednaki sinx, cosx, sin y i
cos y. Krenimo od onoga sto je zadano, a to za pocetak neka bude tgα =8
15.
Znamo da vrijedi tgα =sinα
cosα:
tgα =8
15
tgα =sinα
cosα
⇒ sinα
cosα=
8
15
Pomnozim izraz na desnoj strani s cosα:
sinα
cosα=
8
15/ · cosα
2
sinα =8
15· cosα
Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:
sin2 α+ cos2 α = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi sinα =8
15· cosα te dalje racunam:
sin2 α+ cos2 α = 1(8
15· cosα
)2
+ cos2 α = 1
64
225· cos2 α+ cos2 α = 1
64
225· cos2 α+
225
225· cos2 α = 1
289
225· cos2 α = 1 / · 225
289
cos2 α =225
289/√
cosα = ±15
17
Posto se kut α nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa poz-
itivne, slijedi da je cosα =15
17. Sada se lako iz izraza sinα =
8
15· cosα odredi
vrijednost od sinα, dakle racunam:
sinα =8
15· cosα
sinα =8
1��15·��151
17
sinα =8
17
Nadalje pogledajmo sto je jos zadano. To je ctg β = − 7
24. Znamo da vrijedi
ctg β =cosβ
sinβ:
ctg β = − 7
24
ctg β =cosβ
sinβ
⇒ cosβ
sinβ= − 7
24
3
Pomnozim izraz na desnoj strani s sinβ:
cosβ
sinβ= − 7
24/ · sinβ
cosβ = − 7
24· sinβ
Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:
sin2 β + cos2 β = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi cosβ = − 7
24· sinβ te dalje racunam:
sin2 β + cos2 β = 1
sin2 β +
(− 7
24· sinβ
)2
= 1
sin2 β +49
576· sin2 β = 1
576
576· sin2 β +
49
576· sin2 β = 1
625
576· sin2 β = 1 / · 576
625
sin2 β =576
625/√
sinβ = ±24
25
Posto se kut β nalazi u drugom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-
tivne, slijedi da je sinβ =24
25. Sada se lako iz izraza cosβ = − 7
24· sinβ odredi
vrijednost od cosβ, dakle racunam:
cosβ = − 7
24· sinβ
cosβ = − 7
1��24·��241
25
cosβ = − 7
25
Time smo odredili sve vrijedsnosti da bi mogli odrediti cemu je jednako sin (α+ β)i cos (α+ β), dakle prisjetim se da vrijedi:
sinα =8
17, cosα =
15
17, sinβ =
24
25, cosβ = − 7
25
4
Te vrijednosti uvrstim u na pocetku raspisane izraze za sin (α+ β) i cos (α+ β).Racunam:
sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ
sin (α+ β) =8
17·(− 7
25
)+
15
17· 2425
sin (α+ β) = − 56
425+
360
425
sin (α+ β) =304
425
cos (α+ β) = cosα · cosβ − sinα · sinβ
cos (α+ β) =15
17·(− 7
25
)− 8
17· 2425
cos (α+ β) = −105
425− 192
425
cos (α+ β) = −297
425
Dakle odredili smo da vrijedi sin (α+ β) =304
425i cos (α+ β) = −297
425i time je
zadatak rijesen.− ?−
Zadatak 10: (str. 66) Ako je cos(π2− α
)=
5
13i sin
(π2− β
)=
3
5, te
π
2< α < π
i 0 < β <π
2, koliko je sin (α+ β) i sin (α− β)?
Rjesenje: Uocimo prvo u kojim kvadrantima se nalaze dani kutevi na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:
5
Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako sin (α+ β) i sin (α− β).Raspisemo li te izraze po adicijskim teoremima:
sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ
sin (α+ β) = sinα · cosβ − cosα · sinβ
mogu uociti da je zadatak zapravo odrediti cemu su jednaki sinx, cosx, sin y icos y.Krenimo od onoga sto je zadano, a to za pocetak neka bude
cos(π2− α
)=
5
13. Iskoristimo li formulu redukcije cos
(π2− t)= sin t vidim
da cos(π2− α
)prelazi u sin t. Dakle u nasem slucaju mora vrijediti:
sinα =5
13
Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:
sin2 α+ cos2 α = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi sinα =5
13te dalje racunam:
sin2 α+ cos2 α = 1(5
13
)2
+ cos2 α = 1
25
169+ cos2 α = 1
cos2 α = 1− 25
169
cos2 α =169
169− 25
169
cos2 α =144
169/√
cosα = ±12
13
Posto se kut α nalazi u drugom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa
negativne, slijedi da je cosα = −12
13.
Nadalje pogledajmo sto je jos zadano. To je sin(π2− β
)=
3
5. Iskoristimo li
formulu redukcije sin(π2− t)
= cos t vidim da sin(π2− β
)prelazi u cosβ.
Dakle u nasem slucaju mora vrijediti:
cosβ =3
5
6
Prisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:
sin2 β + cos2 β = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi cosβ =3
5te dalje racunam:
sin2 β + cos2 β = 1
sin2 β +
(3
5
)2
= 1
sin2 β +9
25= 1
sin2 β = 1− 9
25
sin2 β =25
25− 9
25
sin2 β =16
25/√
sinβ = ±4
5
Posto se kut β nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-
tivne, slijedi da je sinβ =4
5.
Time smo odredili sve vrijednosti da bi mogli odrediti cemu je jednako sin (α+ β)i sin (α− β), dakle prisjetim se da vrijedi:
sinα =5
13, cosα = −12
13, sinβ =
4
5, cosβ =
3
5
Te vrijednosti uvrstim u na pocetku raspisane izraze za sin (α+ β) i sin (α− β).Racunam:
sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ
sin (α+ β) =5
13· 35+
(−12
13
)· 45
sin (α+ β) =15
65− 48
65
sin (α+ β) = −33
65
sin (α− β) = sinα · cosβ − cosα · sinβ
sin (α− β) = 5
13· 35−(−12
13
)· 45
sin (α− β) = 15
65+
48
65
7
sin (α− β) = 63
65
Dakle odredili smo da vrijedi sin (α+ β) = −33
65i sin (α− β) =
63
65i time je
zadatak rijesen.− ?−
Zadatak 12: (str. 66) Koliko je sin(π3+ α
)i cos
(π3− α
), ako je sinα = − 8
17, te
3π
2< α < 2π?
Rjesenje: Uocimo prvo u kojem kvadrantu se nalazi dani kut na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:
Nadalje uocimo da je nas zadatak odrediti cemu je jednako sin(π3+ α
)i cos
(π3− α
).
Raspisemo li te izraze po adicijskim teoremima:
sin (α+ β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ
cos (α− β) = cosα · cosβ + sinα · sinβvrijedi:
sin(π3+ α
)= sin
π
3· cosα+ cos
π
3· sinα
cos(π3− α
)= cos
π
3· cosα+ sin
π
3· cosα
Prisjetim se da iz tablice na pocetku dokumenta mogu iscitati da vrijedi
sinπ
3=
√3
2i cos
π
3=
1
2. Uvrstim li to u gornje izraze zajedno sa cinjenicom da
je u samom zadatku zadano sinπ
3=
√3
2dobijem:
sin(π3+ α
)=
√3
2· cosα+
1
2·(− 8
17
)
8
cos(π3− α
)=
1
2· cosα+
√3
2·(− 8
17
)Uocavam da jedina nepoznata stvar u gornjim izrazima jest cosα. No prisje-timo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:
sin2 α+ cos2 α = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi sinα = − 8
17te dalje racunam:
sin2 α+ cos2 α = 1(− 8
17
)2
+ cos2 α = 1
64
289+ cos2 α = 1
cos2 α = 1− 64
289
cos2 α =289
289− 64
289
cos2 α =225
289/√
cosα = ±15
17
Posto se kut α nalazi u cetvrtom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa
pozitivne, slijedi da je cosβ =15
17.
Time smo odredili sve vrijednosti da bi mogli odrediti cemu je jednako sin(π3+ α
)i cos
(π3− α
), dakle racunam:
sin(π3+ α
)=
√3
2· cosα+
1
2·(− 8
17
)
sin(π3+ α
)=
√3
2· 1517
+1
2·(− 8
17
)sin(π3+ α
)=
15√3
34− 8
34
sin(π3+ α
)=
15√3− 8
34
cos(π3− α
)=
1
2· cosα+
√3
2·(− 8
17
)
9
cos(π3− α
)=
1
2· 1517
+
√3
2·(− 8
17
)cos(π3− α
)=
15
34− 8√3
34
cos(π3− α
)=
15− 8√3
17
Dakle odredili smo da vrijedi sin(π3+ α
)=
15√3− 8
34i cos
(π3− α
)=
15− 8√3
17i time je zadatak rijesen.
− ?−
Zadatak 16: (str. 66) Ako je α + β =3π
4, cosβ =
3√7
8, te
π
2< β < π, koliko je
sinα?
Napomena: Dakle zadatak je malo krivo postavljen u knjizi, umjesto uvjet na αuvjet mora biti postavljen na β, no tada se to kosi s cinjenicom da mora vrijediti
cosβ =3√7
8, jer za takav β vrijednost kosinusa bi trebala biti negativna, no to
je zanemareno kod rijesavanja zadataka!
Rjesenje: Uocimo prvo u kojem kvadrantu se nalazi dani kut na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:
Dakle ideja vodilja, posto nam je zadano α + β =3π
4, jest probati raspisati
pomocu adicijskih teorema cemu je jednako sin (α+ β) i cos (α+ β). Dakleracunam:
sin (α− β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ
cos (α− β) = cosα · cosβ − sinα · sinβ
10
Pokusajmo uvrstiti podatke iz zadatka, α − β =2π
3i sinα = −4
√3
7u gore
raspisane izraze, slijedi:
sin3π
4= sinα · 3
√7
8− cosα · sinβ
cos3π
4= cosα · 3
√7
8+ sinα · sinβ
Promotrim li dobivene izraze mogu uociti da lako odredim cemu je jednako
sin3π
4i cos
3π
4, te takodjer mogu izracunati vrijednost kosinusa za kut α preko
temeljnog tirgonometrijskog identiteta. Probajmo dakle prvo odrediti vrijed-
nosti od sin3π
4i cos
3π
4.
Prvo nacrtajmo brojevnu kruznicu i ucrtajmo kuteveπ
4i3π
4, te oznacimo vri-
jednosti sinusa i kosinusa tih kuteva na koordinatnim osima:
Ono sto mozemo zakljuciti gledajuci sliku jest:
sin3π
4= sin
π
4
cos3π
4= − cos
π
4
No na prvoj stranici dokumenta iz tablice mogu iscitati da vrijedi sinπ
4=
√2
2
i cosπ
4=
√2
2. Imajuci to na umu tada vrijedi:
sin3π
4=
√2
2
11
cos3π
4= −√2
2
Nadalje probajmo odrediti cemu je jednako sinβ. Da bih to napravio prisjetimse da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:
sin2 β + cos2 β = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi cosβ =3√7
8te dalje racunam:
sin2 β + cos2 β = 1
sin2 β +
(3√7
8
)2
= 1
sin2 β +32 ·
(√7)2
82= 1
sin2 β +63
64= 1
sin2 β = 1− 9
25
sin2 β =25
25− 63
64
sin2 β =1
64/√
sinβ = ±1
8
Posto se kut β nalazi u drugom kvadrantu, a tamo su vrijednosti sinusa pozi-
tivne, slijedi da je sinβ =1
8.
Sva ta saznanja sada uvrstim u raspisane izraze:
sin3π
4= sinα · 3
√7
8− cosα · sinβ
cos3π
4= cosα · 3
√7
8+ sinα · sinβ
Dakle slijedi: √2
2= sinα · 3
√7
8− cosα · 1
8
−√2
2= cosα · 3
√7
8+ sinα · 1
8
12
Promotrim li malo dobivene izraze mogu uociti da sam zaprao dobio sustavjednadzbi po nepoznanicama sinα i cosα. Posto trebam odrediti cemu je jed-nako sinα probat cu se rijesiti nepoznanice cosα. Da bih to postogao pomnoz-imo prvu jednadzbu s 3
√7. Dakle racunam:
√2
2= sinα · 3
√7
8− cosα · 1
8/ · 3√7
−√2
2= cosα · 3
√7
8+ sinα · 1
8√2
2· 3√7 = sinα · 3
√7
8· 3√7− cosα · 1
8· 3√7
−√2
2= cosα · 3
√7
8+ sinα · 1
83√2√7
2= sinα ·
(3√7)2
8− cosα · 1 · 3
√7
8
−√2
2= cosα · 3
√7
8+ sinα · 1
8
Lijevu stranu sredim imajuci na umu√a ·√b =√a · b
3√14
2= sinα · 63
8− cosα · 3
√7
8
−√2
2= cosα · 3
√7
8+ sinα · 1
8
Zbrojim jednadzbe te dobijem:
3√14
2+
(−√2
2
)= sinα · 63
8+(���
����
− cosα · 3√7
8
)+��
����
cosα · 3√7
8+ sinα · 1
8
3√14−
√2
2= sinα ·�
�864
�81
3√14−
√2
2= 8 · sinα / : 8
3√14−
√2
28
1
=1�8 · sinα�81
3√14−
√2
16= sinα
Dakle odredili smo da vrijedi sinα =3√14−
√2
16i time je zadatak rijesen.
− ?−
13
Zadatak 19: (str. 67) Ako je sinx =1√5
, sin y =1√10
, te 0 < x <π
2, 0 < y <
π
2,
onda je x+ y =π
4. Dokazi!
Rjesenje: Uocimo prvo u kojim kvadrantima se nalaze dani kutevi na brojevnojkruznici kako bi kasnije znali odrediti predznake vrijednosti trigonometrijskihfunkcija:
Ideja je sljedeca, probajmo raspisati sin (x+ y) te uvrstiti stvari koje su zadaneu zadatku. Ako dobijemo da je lijeva strana jednaka desnoj pokazali smo stosmo trebali. Racunam:
sin (x+ y) = sinx · cos y + cosx · sin y
Uvrstim poznate stvari, dakle x+ y =π
4, sinx =
1√5
i sin y =1√10
pa slijedi:
sinπ
4=
1√5· cos y + cosx · 1√
10
Prisjetim se da na prvoj stranici dokumenta postoji tablica iz koje iscitam cemuje jednako sin
π
4, vrijedi:
√2
2=
1√5· cos y + cosx · 1√
10
Promotrim li dobiveni izraz mogu uociti da kako bih zavrsio zapoceti racuntreban dorediti cemu je jednako cosx i cos y. No to znam kako uciniti naimeprisjetimo se da vrijedi temeljni trigonometrijski identitet:
sin2 x+ cos2 x = 1
14
Primjenim cinjenicu da vrijedi sinx =1√5
te dalje racunam:
sin2 x+ cos2 x = 1(1√5
)2
+ cos2 x = 1
1
5+ cos2 x = 1
cos2 x = 1− 1
5
cos2 x =5
5− 1
5
cos2 x =4
5/√
cosx = ± 2√5
Posto se kut x nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa pozi-
tivne, slijedi da je cosx =2√5
.
Isti postupak ponovim i kod odredjivanja cosy. Prisjetimo se da vrijedi temeljnitrigonometrijski identitet:
sin2 y + cos2 y = 1
Primjenim cinjenicu da vrijedi sin y =1√10
te dalje racunam:
sin2 y + cos2 y = 1(1√10
)2
+ cos2 y = 1
1
10+ cos2 y = 1
cos2 y = 1− 1
10
cos2 y =10
10− 1
10
cos2 y =9
10/√
cosx = ± 3√10
Posto se kut y nalazi u prvom kvadrantu, a tamo su vrijednosti kosinusa pozi-
tivne, slijedi da je cosx =3√10
.
15
Dakle sada kada sam odredio cemu je jednako cosx i cos y dovrsim zapocetiracun uvrstavajuci dobivene vrijesdnosti u izraz:
√2
2=
1√5· cos y + cosx · 1√
10
Racunam: √2
2=
1√5· 3√
10+
2√5· 1√
10√2
2=
1 · 3√5 ·√10
+2 · 1√5 ·√10
Imajuci na umu da vrijedi√a ·√b =√a · b dalje slijedi:
√2
2=
3√50
+2√50
√2
2=
5√50
=5√2 · 25
=5√
2 ·√25
=1�5√
2 · �51√2
2=
1√2
Izmonozim unakrsno ove razlomke te dobijem:√2 ·√2 = 2 · 1
2 = 2
Kako je lijeva strana jednaka desnoj jednakost je dokazana, cime je zadatakrijesen.
− ?−
Zadatak 27: (str. 67) Ako je x+ y =π
2, x 6= 0, koliko je
tg (x− y)tg x− tg y
?
Rjesenje: Za pocetak probajmo srediti trazeni izraztg (x− y)tg x− tg y
kako bi znali
sto zapravo trebamo odrediti kako bi izracunali cemu je on jednak. Pri tomekoristim adicijski teorem za tangens:
tg (x± y) = tg x± tg y
1∓ tg x · tg y
Racunam:
tg (x− y)tg x− tg y
=
tg x− tg y
1 + tg x · tg ytg x− tg y
=
1(((
((tg x− tg y
1 + tg x · tg y((((
(tg x− tg y11
=
1
1 + tg x · tg y1
1
16
tg (x− y)tg x− tg y
=1
1 + tg x · tg yDakle trebali bi odrediti cemu je jednako tg x i tg y. Probajmo se sada malopozbaviti s jednakoscu danoj u zadatku, x+ y =
π
2. Izrazimo y pomocu x iz te
jednakosti:x+ y =
π
2
y =π
2− x
Kako trebamo odrediti cemu je jednako tg y izmjedju ostaloga, imajuci na umuy =
π
2− x zapravo trebam odrediti cemu je jednako tg
(π2− x)
. No to mepodsjeca na formule redukcije. Promotrimo sljedecu sliku:
Napomena: Dakle posto su slike konstruirane pomocu Geogebre, a u njima nemogu definirati fukcije tg i ctg koristim oznaku tan za tangens i oznaku tan−1
za kotangens!
Dakle iz slike mogu zakljuciti da mora vrijediti:
tg(π2− x)= ctg x
Prisjetim se da vrijedi ctg x =1
tg x. Imajuci to na umu slijedi:
tg y = tg(π2− x)=
1
tg x
17
Dakle s tim se saznanjem vratim u izraz koji trebam odrediti, dakle slijedi:
tg (x− y)tg x− tg y
=1
1 + tg x · tg y
tg (x− y)tg x− tg y
=1
1 +1��tg x ·
1
��tg x 1
=1
1 +1
1
− 1
1 + 1=
1
2
Dakle dobili smo da vrijeditg (x− y)tg x− tg y
=1
2, cime je zadatak rijesen.
− ?−
Zadatak 28: (str. 67) Ako je α+ β =π
4, koliko je (1 + tgα) (1 + tg β)?
Rjesenje: Dakle ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odredit. Racunam:
(1 + tgα) (1 + tg β) = 1 + tg β + tgα+ tgα · tg β
Ono sto mogu uociti ako promotrim dobiveni izraz te adicijski teorem za tan-
gens, tg (α+ β) =tgα+ tg β
1− tgα · tg β, vidim da se neki izrazi podudaraju. Pobajmo
dakle odrediti cemu je jednako tg (α+ β) =tgα+ tg β
1− tgα · tg β. Racunam:
tg (α+ β) =tgα+ tg β
1− tgα · tg β
tgπ
4=
tgα+ tg β
1− tgα · tg β
Procitam vrijednost fukcije tangens za kutπ
4s prve stranice dokumenta, dakle
vrijedi tgπ
4= 1. Imajuci to na umu racunam dalje:
1 =tgα+ tg β
1− tgα · tg β/ · 1− tgα · tg β
1− tgα · tg β = tgα+ tg β
S tim saznanjem vratim se u izraz koji trebam izracunati:
(1 + tgα) (1 + tg β) = 1 + tgα+ tg β︸ ︷︷ ︸1−tgα·tg β
+tgα · tg β
(1 + tgα) (1 + tg β) = 1 + 1((((((− tgα · tg β +���
��tgα · tg β
(1 + tgα) (1 + tg β) = 1 + 1 = 2
18
Dakle izracunali smo da vrijedi (1 + tgα) (1 + tg β) = 2, cime je zadatak rije-sen.
− ?−
Zadatak 29: (str. 67) Ako je x+ y =3π
4, koliko je (1 + ctgα) (1 + ctg β)?
Rjesenje: Dakle ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odredit. Racunam:
(1 + ctgα) (1 + ctg β) = 1 + ctg β + ctgα+ ctgα · ctg β
Ono sto mogu uociti ako promotrim dobiveni izraz te adicijski teorem za tan-
gens, ctg (α+ β) =ctgα · ctg β − 1
ctgα+ ctg β, vidim da se neki izrazi podudaraju. Poba-
jmo dakle odrediti cemu je jednako ctg (α+ β) =ctgα · ctg β − 1
ctgα+ ctg β. Racunam:
ctg (α+ β) =ctgα · ctg β − 1
ctgα+ ctg β
ctg3π
4=
ctgα · ctg β − 1
ctgα+ ctg β
Probajmo dakle odrediti vrijednost od ctg3π
4. Prvo nacrtajmo brojevnu kruznicu
i ucrtajmo kuteveπ
4i3π
4, te oznacimo vrijednosti sinusa i kosinusa tih kuteva
na koordinatnim osima:
Napomena: Dakle posto su slike konstruirane pomocu Geogebre, a u njima nemogu definirati fukciju ctg koristim oznaku tan−1 za tangens.
19
Ono sto mozemo zakljuciti gledajuci sliku jest:
ctg3π
4= − ctg
π
4
No na prvoj stranici dokumenta iz tablice mogu iscitati da vrijedi ctgπ
4= 1.
Imajuci to na umu tada vrijedi:
ctg3π
4= −1
Imajuci to na umu racunam dalje:
−1 =ctgα · ctg β − 1
ctgα+ ctg β/ · ctgα+ ctg β
− (ctgα+ ctg β) = ctgα · ctg β − 1 / · (−1)
ctgα+ ctg β = − ctgα · ctg β + 1
S tim saznanjem vratim se u izraz koji trebam izracunati:
(1 + ctgα) (1 + ctg β) = 1 + ctgα+ ctg β︸ ︷︷ ︸− ctgα·ctg β+1
+ctgα · ctg β
(1 + ctgα) (1 + ctg β) = 1 +(((((((− ctgα · ctg β + 1 +((((
((ctgα · ctg β
(1 + ctgα) (1 + ctg β) = 1 + 1 = 2
Dakle izracunali smo da vrijedi (1 + ctgα) (1 + ctg β) = 2, cime je zadatak rije-sen.
− ?−
Zadatak 30: (str. 67) Ako je tg x + tg y = 25, ctg x + ctg y = 30 koliko jetg (x+ y)?
Rjesenje: Dakle ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odrediti. Racunam:
tg (x+ y) =tg x+ tg y
1− tg x · tg y
Dakle odmah prepoznajem da je vrijednost izraza u brojniku vec dana u za-dataku. Potrebno je samo odrediti cemu je jednako tg x · tg y. U tu svrhuprobajmo raspisati drugi podatak dan u zadatku, a to je ctg x + ctg y = 30.
Imajuci na umu da vrijedi ctg x =1
tg xracunam:
ctg x+ ctg y = 30
1
tg x+
1
tg y= 30
20
Svedemo na zajednicki nazivnik jednak tg x · tg y, dakle slijedi:
1 · tg y + 1 · tg xtg x · tg y
= 30
tg x+ tg y
tg x · tg y= 30
Prepoznajem da je vrijednost izraza u brojniku vec dana u zadataku, donosnoda vrijedi tg x+ tg y = 25. Imajuci to na umu dalje racunam:
25
tg x · tg y= 30 / : 25
1��25
tg x · tg y��2511
=6��30
��255
1
tg x · tg y=
6
5/−1
(1
tg x · tg y
)−1
=
(6
5
)−1
tg x · tg y =5
6
Sada kada sam to izracunao vratim se na izraz ciju vrijednost trebam odrediti:
tg (x+ y) =tg x+ tg y
1− tg x · tg y
Uvrstim stvari koje su zadane i koje sam odredio:
tg (x+ y) =tg x+ tg y
1− tg x · tg y=
25
1− 5
6
Svedem na zajdenicki nazivnik razlomke u nazivniku:
tg (x+ y) =25
6
6− 5
6
=
25
11
6
=25 · 61
=150
1= 150
Dakle odredili smo da je tg (x+ y) = 150, cime smo rijesili zadatak.
− ?−
Zadatak 32: (str. 67) Ako je cos (x+ y) =1
3, cos (x− y) = 1
5, koliko je tg x · tg y?
21
Rjesenje: Dakle ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odrediti. Imajuci na
umu da vrijedi tg x =sinx
cosxracunam:
tg x · tg y =sinx
cosx· sin ycos y
=sinx · sin ycosx · cos y
Uocavam da nam je cilj odrediti cemu su jednaki izrazi sinx·sin y i cosx·cos y. U
tu svrhu raspisimo izraze dane u zadatku i to cos (x+ y) =1
3i cos (x− y) = 1
5.
Raspisujem prema adicijsom teoremu za kosinus:
cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y
Dakle slijedi:
cos (x+ y) =1
3
cosx · cos y − sinx · sin y =1
3
cos (x− y) = 1
5
cosx · cos y + sinx · sin y =1
5
Na taj nacin dobio sam sljedeci sustav jednadzbi:cosx · cos y − sinx · sin y =
1
3
cosx · cos y + sinx · sin y =1
5
Pokusajmo prvo zbrojiti te dvije jednadzbe, racunam:
cosx · cos y((((((− sinx · sin y + cosx · cos y +(((((sinx · sin y =
1
3+
1
5
Svedem razlomke na desnoj strani na zajednicki nazivnik:
cosx · cos y + cosx · cos y =1 · 5 + 1 · 3
15
2 · cosx · cos y =5 + 3
15=
8
15
2 · cosx · cos y =8
15/ : 2
1�2 · cosx · cos y
�21=
4�8
15
�211
/ : 2
22
cosx · cos y =4
15
Uocavam da smo odredili iznos jednog od izraza koji se pojavljuje u zadatku.Vratimo se natrag na sustav jednadzbi:
cosx · cos y − sinx · sin y =1
3
cosx · cos y + sinx · sin y =1
5
Pokusajmo sada oduzeti te dvije jednadzbe, racunam:
cosx · cos y − sinx · sin y − (cosx · cos y + sinx · sin y) = 1
3− 1
5
Svedem razlomke na desnoj strani na zajednicki nazivnik:
((((((cosx · cos y − sinx · sin y(((((
(− cosx · cos y − sinx · sin y =1 · 5− 1 · 3
15
−2 · sinx · sin y =5− 3
15=
2
15
−2 · sinx · sin y =2
15/ : (−2)
1��−2 · sinx · sin y��−21
=
1�2
15−�211
/ : 2
sinx · sin y = − 1
15
Uocavam da smo time odredili i drugi iznos izraza koji se pojavljuje u zadatku.Vratimo se na pocetni izraz imajuci na umu dobivene vrijednosti:
tg x · tg y =sinx · sin ycosx · cos y
=
41��15
− 1
��151
=4
−1= −4
Dakle vidimo da vrijedi tg x · tg y = −4, cime smo rijesili zadatak.
− ?−
Zadatak 33: (str. 67) Koliko je cos (a− b) ako je sin a+ sin b = 1 icos a+ cos b =
√2?
Rjesenje: Ideja je prvo raspisati izraz koji trebamo odrediti, dakle cos (a− b).Imajuci na umu adicijski teorem za kosinus:
cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y
23
Slijedi:cos (a− b) = cos a · cos b− sin a · sin b
Uocavam da trebam odrediti cemu su jednaki izrazi cos a · cos b i sin a · sin b. Dabih to ucinio prisjetim se identiteta (a+ b)
2= a2 + 2ab + b2. To mi daje ideju
da pokusam kvadrirati izraze:
sin a+ sin b = 1
cos a+ cos b =√2
Racunam:sin a+ sin b = 1 /2
(sin a+ sin b)2= 12
sin2 a+ 2 · sin a · sin b+ sin2 b = 1
Nadalje kvadriram i drugi izraz:
cos a+ cos b =√2 /2
(cos a+ cos b)2=(√
2)2
cos2 a+ 2 · cos a · cos b+ cos2 b = 2
Time sam dobio sljedeci sustav jednadzbi:{sin2 a+ 2 · sin a · sin b+ sin2 b = 1cos2 a+ 2 · cos a · cos b+ cos2 b = 2
Pokusajmo zbrojiti te dvije jednadzbe:
sin2 a+ 2 · sin a · sin b+ sin2 b+ cos2 a+ 2 · cos a · cos b+ cos2 b = 1 + 2
Sredim malo dobiveni izraz imajuci na umu temeljni trigonometrijski identitetsin2 x+ cos2 x = 1:
sin2 a+ cos2 a︸ ︷︷ ︸1
+2 · sin a · sin b+ sin2 b+ cos2 b︸ ︷︷ ︸1
+2 · cos a · cos b = 3
1 + 2 · sin a · sin b+ 1 + 2 · cos a · cos b = 3
2 · sin a · sin b+ 2 · cos a · cos b = 3− 1− 1
2 · sin a · sin b+ 2 · cos a · cos b = 1
Izlucim 2 na lijevoj strani:
2 (sin a · sin b+ · cos a · cos b) = 1 / : 2
cos a · cos b+ sin a · sin b = 1
2
24
No ako malo promotrim lijevu stranu izraza mogu uociti da se radi i adicijskomteoremu za kosinus:
cos (x± y) = cosx · cos y ∓ sinx · sin y
Drugim rijecima vrijedi:
cos (a− b) = 1
2
Dakle izracunali smo da mora vrijediti cos (a− b) = 1
2, cime je zadatak rijesen.
− ?−
Zadatak 35: 5) (str. 67) Dokazi sljedeci identitet:
sin (x− y)tg x+ tg y
= cosx · cos y
Rjesenje: Raspisat cemo lijevu stranu imajuci na umu identitet tg x =sinx
cosxi
adicijski teorem za sinus:
sin (x± y) = sinx · cos y ± cosx · sin y
Dakle racunam:
sin (x− y)tg x+ tg y
=sinx · cos y + cosx · sin y
sinx
cosx+
sin y
cos y
Svedem razlomke u nazivniku na yajednicki nazivnik i to cosx · cos y. Slijedi:
sin (x− y)tg x+ tg y
=sinx · cos y + cosx · sin ysinx · cos y + cosx · sin y
cosx · cos y
=
sinx · cos y + cosx · sin y1
sinx · cos y + cosx · sin ycosx · cos y
Uocavam da se brojnici dobivenog dvojnog razlomka mogu pokratiti pa ucinimto:
sin (x− y)tg x+ tg y
=
1
(((((((
((((sinx · cos y + cosx · sin y1
(((((((
((((sinx · cos y + cosx · sin y1cosx · cos y
=
1
11
cosx · cos y
sin (x− y)tg x+ tg y
= cosx · cos y
Usporedim li dobiveno s desnom stranom pocetnog izraza vidim da se onepodudaraju pa je time zadatak rijesen.
− ?−
25
Top Related