CALCULODESIGUALDADES E INTERVALOS
CLASIFICACIÓN DE LOS
NÚMEROS
DESIGUALDADES
Una desigualdad es una expresión algebraica relacionada por signos. Nos sirve para establecer la relación entre dos
cantidades semejantes mediante la siguiente simbología.
Símbolo> Significado Ejemplo
= Igual a=3
≠ Diferente 3≠ 3.333
> Mayor que π > 3
< Menor que -1< 0
≥ Mayor o igual que a ≥ b
≤ Menor o igual que X
RELACION DE ORDEN ENTRE LOS
NUMEROS REALES
Si a, b Є R
i) a < b sí y solo sí, b - a es positivo. Ej. -10 < -6 → -6 -(-10) = 4
3 < 5 → 5 – 3 = 2
ii) a> b sí y solo sí, a – b es positivo Ej. 7 > 2 → 7 – 2 = 5
-2 > -7 → -2 – (-7) =5
Si a,b Є R
i) a ≤ b si y solo si a < b , o bien, a = b
ii) a ≥ b si y solo si a > b, o bien, a = b
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1. Si a < b y c < d → a + c < b + d.
Ej. 2 < 5
7 < 10
2 + 7 < 5 + 10
Si a > b y c > d → a + c > b + d
Ej -3 > -5
4 > 1
-3 + 4 > -5 + 1
Si dos desigualdades del mismo sentido se
suman miembro a miembro la desigualdad no
cambia de sentido.
2. Si a < b , c Є R → a c < b c
Ej. - 4 < 7
- 4 + 2,5 < 7 + 2,5
-1,5 < 9,5
Si a > b , c Є R → a c > b c
Ej. 3 > -1
3 – 5 > -1 – 5
-2 > -3
Si sumamos o restamos un mismo número real a
ambos miembros de la desigualdad, la desigualdad
resultante no cambia de sentido.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
3. Si a < b , c > 0 → a.c < b.c , y, a/c < b/c
Ej. 4 < 10 4 < 10
4 . 2 < 10. 2 4/2 < 10/2
8 < 20 2 < 5
Si a > b , c > 0 → a.c > b.c ,y, a/c > b/c
Ej. 15 > 9 15 > 9
15 . 3 > 9 . 3 15/3 > 9/3
45 > 27 5 > 3
Si se multiplica o divide a ambos miembros de una
desigualdad por un número real positivo la
desigualdad resultante no cambia de sentido.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
4. Si a < b , y, c < 0 → a . c > b . c ,y, a/c > b/c
Ej. 3 < 12 3 < 12
3 (-3) > 12 (-3) 3 / (-3) > 12/ (-3)
-9 > -36 -1 > -4
Si a > b , y, c < 0 → a . c < b . c , y, a/c < b/c
Ej. 3 > -4 3 > -4
3 (-2) < -4 (-2) 3 / (-2) < (-4) / (-2)
-6 < 8 -3/2 < 2
Si se multiplica o divide a ambos miembros de una
desigualdad por un número real negativo, la
desigualdad resultante cambia de sentido.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
5. a > o , y, b > 0
a . b > 0
a < 0 ,y, b < 0
Ej. 8 > 0 , y , 7 > 0 -5 < 0 ,y, -6 < 0
8 . 7 > 0 (-5)(-6) > 0
56 > 0 30 > 0
El producto de dos números reales es mayor
que cero si ambos son positivos o ambos son
negativos .
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
INTERVALO DE UNA VARIABLE
Es el conjunto de valores que puede
tomar la variable dependiente y que
están comprendidos entre dos de
ellos: a y b, que se denominan
extremos del intervalo.
La diferencia que existe entre ambos
extremos se conoce como Amplitud
de intervalo y es igual al valor
absoluto de su diferencia |a-b|
INTERVALO DE UNA VARIABLE
Notación de intervalo:
[a,b] “intervalo de a hacia b”
Notación para la variable:
a<x<b “la variable x es mayor que a y
menor que b”
CLASIFICACIÓN DE
INTERVALOSINTERVALO ¿QUE REPRESENTA?
CERRADO
[a,b]
{x|a≤x≤b}
ABIERTO
(a,b)
{x|a<x<b}
SEMIABIERTO POR LA
IZQUIERDA
(a,b]
{x|a<x≤b}
SEMIABIERTO POR LA
DERECHA
[a,b)
{x|a≤x<b}
INFINITO
(a,+ œ) , [a,+ œ)
(-œ,b) , (-œ,b]
Representación gráfica de los
intervalos En la recta real los valores a y b se
denominan extremos del intervalo
Resolver una desigualdad significa
encontrar todas sus soluciones, es
decir obtener el intervalo donde la
relación es verdadera.
DESIGUALDADES.
EJEMPLO 1:
Encuentra el conjunto de solución que satisfaga la siguiente desigualdad:
Ejemplo 2
Ejemplo 3 Doble desigualdad
Ejemplo 4: Desigualdad cuadrática
Ejemplo 5: Desigualdad de racionales
EJERCICIO 1Resuelve las siguientes inecuaciones o
desigualdades e indica su intervalo
1 3x < 15 12 7> 8x - 5
2 3x + 6 > 2x + 12 13 1 - 5x < -8
3 4x - 8 > 3x – 14 14 x – 3 < 3 - x
4 10x + 24 < 16x + 12 15 3x + 5 ≥ 4x-1
5 - 2x + 3 > - 3x – 1 16 2x+ 5>6x+4
6 5(x + 6) - 5 > - 10 17 3x + 7 ≥ 2x-3
7 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1) 18 - 4x + 9 < x - 1
8 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4 19 3x - 1 ≥ x - 3
9 2x+ 4 > 0 20 3x - 1 ≤ 2x+1
10 3x - 7< 5 21 x + 2 ≤ 3x - 5
4
11 2 - x >3