Aula 17
Sinais e Sistemas – Capítulo 4
Simon Haykin
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Representação por Transformada de Fourier para Sinais de Tempo Discreto
Considere as senóides complexas a seguir:
tjetx njeng e
Suponha que g[n] é igual às amostras de x(t), tomadas em intervalos β, isto é,
nxng
o que implica quenjnj ee
de modo que podemos definir Logo, a frequência de tempo discreto Ω corresponde à frequência de tempo contínuo ω, multiplica pelo intervalo de amostragem β.
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Relacionando a FT com a DTFTConsidere a DTFT de um sinal de tempo discreto arbitrário x[n], isto é
n
njj enxeX
Procuramos por um par FT
jXtxFT
que corresponda ao par
jDTFT
eXnx
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Relacionando a FT com a DTFT
Começamos por substituir Ω=βω em
n
njj enxeX
n
nj
j
enx
eXjX
obtendo
Tome a FT inversa de usando a linearidade e o par FT nj
FT
ent
jX
para obter
n
ntnxtx
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Relacionando a FT com a DTFT
Consequentemente
n
njFT
n
enxjXntnxtx
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Relacionando a FT com a DTFSSeja x[n] um sinal periódico. Logo sua representação por DTFT é dada por
k
j kkXeX 02
em que X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n]
Substituindo Ω=βω, obtemos a representação por FT, isto é
k
k
j
kkX
kkX
eXjX
0
0
2
2
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Relacionando a FT com a DTFS Aplicando a propriedade de mudança de escala da função impulso, isto é
vaav 1
temos então que
k
kkXjX
02
Como X[k] é uma função com período N, então é periódica com período
jX
20
N
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Relacionando a FT com a DTFS O sinal correspondente à última FT é facilmente obtido usando
n
ntnxtx
tx
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Amostragem Vamos agora utilizar a representação por FT de sinais de tempo discreto para analisar os efeitos de amostrar uniformemente um sinal. A amostragem gera um sinal de tempo discreto a partir de um sinal de tempo contínuo. São muito úteis para transformar sinais de tempo contínuo em sinais manipuláveis por sistemas de comunicação, controle e processamento digital. A amostragem também é aplicável em sinais discretos para realizar mudanças na taxa efetiva de dados (subamostragem).
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AmostragemSeja x[n] um sinal de tempo discreto que é igual às amostras de x(t) em múltiplos inteiros do intervalo de amostragem β, isto é, x[n]=x(βn).O efeito da amostragem é avaliado relacionando-se a DTFT de x[n] com a FT de x(t). A ferramenta que utilizamos para isto é a FT de sinais de tempo discreto. Seja a representação em tempo contínuo de um sinal de tempo discreto, isto é
n
ntnxtx
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Amostragem Substituindo x(βn) em x[n], temos
n
ntnxtx
Desde que ntnxnttx
então, podemos representar como um produto de funções do tempo, isto é,
tx
tptxtx
em que
n
nttp
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Amostragem Amostragem por impulsos tptxtx
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Amostragem O efeito da amostragem por impulsos é avaliado relacionando-se a FT de com a FT de x(t)
jPjXjXtptxtxFT
*2
1
tx
k
FT
n
kkPjPnttp 02
onde
112
2
0
dtetkP tjk
De modo que
k
kjP 0
2
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Amostragem Logo
ks
ks
kjX
kjXjX
1
2*
2
1
em que é a frequência de amostragem. 2
0 s
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Amostragem
k
skjXjX
1
Observe que a FT do sinal amostrado é uma soma infinita de versões deslocadas da FT do sinal original, as quais são espaçadas de múltiplos inteiros de ωs.
Ws 3
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Amostragem
k
skjXjX
1
Observe ainda que as versões deslocadas de X(jω) podem se sobrepor umas às outras se ωs não
for suficientemente grande em comparação com a extensão de frequência de X(jω).
Ws 2
Ws 2
3
Alising
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Amostragem
k
skjXjX
1
O fenômeno de Alising provoca distorção do espectro do sinal de tempo contínuo, de modo que não se pode recuperar o sinal de tempo contínuo original.
Ws 2
Ws 2
3
Alising
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Amostragem A DTFT do sinal amostrado é obtida de usando-se a relação Ω=βω, isto é,
jXeXnx j
DTFT
jX
Portanto, ω=ωs corresponde a Ω=2π.
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Amostragem
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Amostragem Exemplo: Considere o efeito de extrair amostras de
ttx cos
Determine a FT do sinal amostrado para os seguintes intervalos de amostragem: a)β=1/4; b) β=1; c) β=3/2.
Solução: jXtxFT
kss
ks
kk
kjXjX
1
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Amostragem 8s
2s
3
4 s
Subamostragem Admitamos que y[n]=x[qn] seja uma versão subamostrada de x[n], onde q é um número inteiro positivo. Nossa meta é relacionar a DTFT de y[n] com a DTFT de x[n]. Podemos conseguir tal relação utilizando a FT para representar x[n] como uma versão amostrada de x(t).
n
ntnxtx
k
skjXjX
1
Subamostragem Logo, expressamos y[n] como uma versão amostrada de x(t), porém usando um intervalo de amostragem q vezes o do associado com x[n].
nqxqnxny
Consequentemente, a taxa de amostragem para y[n] é q' Logo,
n k
s
FT
kjXjYnttxty '
'
1'
qss '
Subamostragem
Daí,
ksq
kjX
qjY
1
Observe que expressamos e como funções de X(jω). Mas X(jω) é desconhecido, pois conhecemos x[n] e não x(t). Vamos então tentar expressar como uma função de .
jY jX
jY jX
Seja , onde l é a parte inteira e m é o resto
da fração.q
ml
q
k
Subamostragem
Como -∞≤k≤∞, então -∞≤l≤∞. Além disso, 0≤m≤q-1. Assim, podemos reescrever
1
0
11 q
m lss q
mljX
qjY
1
0
1 q
msq
mjX
qjY
Subamostragem Agora, convertemos a representação FT em uma representação DTFT, expressando como uma função de . O intervalo de amostragem associado com é β’. Daí, , de modo que
jeY
jY jeX
'
1
0
1
0
1
0
'
21
1
'
1
q
m
q
ms
q
ms
j
q
m
q
jX
q
q
m
qjX
q
q
mjX
q
jYeY
Subamostragem O intervalo de amostragem associado com é β. Daí,
jX
jXeX j
Portanto, podemos substituir em
Assim
qmqjeX 2
qmqqjX 2
1
0
21 q
m
qmqjj eXq
eY
1
0
21 q
m
qmqjj eXq
eY
0m
1m
1qm
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