ZDRUŽENA GUSTINA RASPODELE VEROVATNOĆE ANVELOPE I FAZE ZBIRA SIGNALA I USKOPOJASNOG ŠUMA

Goran D. Tomović1, Slađan Bogoslavov1, Dragana Pavlović1, Radoslav Bogdanović2

1 Elektronski fakultet, Beogradska 14, 18000 Niš, E-mail: goran_t@ptt.yu. 2 Radoslav Bogdanović, ŽTP, sekcija za ETP Niš.

I UVOD

Združena gustina raspodele uskopojasnog signala je značajna zbog toga što se iz nje izračunava autokorelaciona funkcija, a na osnovu nje Viner-Hinčinovom teoremom može se dobiti i spektralna gustina snage. Takođe, na osnovu združene gustine raspodele verovatnoće anvelope može se izračunati verovatnoća kodne reči od dva simbola kod signala koji su digitalno amplitudno i digitalno frekventno modulisani, a demodulacija je nekoherentna. Na osnovu združene gustine raspodele verovatnoće faze može se izračunati verovatnoća kodne reči od dva simbola kod signala koji su digitalno fazno modulisani. U ovom radu združena gustina raspodele verovatnoće anvelope i faze prikazana je za slučaj kada faza ima uniformnu raspodelu i kada je amplituda konstantna. II ZDRUŽENA GUSTINA RASPODELE VEROVATNOĆE ANVELOPE I FAZE ZBIRA USKOPOJASNOG GAUSOVOG ŠUMA, SIGNALA I SMETNJE Neka je ukupni signal u jednom vremenskom trenutku jednak:

),cos(cossincos 1111 θωωωω ++++= tBtAtytxz a u drugom:

).cos(cossincos 2222 θωωωω ++++= tBtAtytxz Odavde se dobija da su relacije transformacije:

θϕθϕ

θϕθϕ

sinsincoscos

sinsincoscos

222

2222

111

1111

ByRBAxR

ByRBAxR

−=++=

−=++=

dok je Jakubijan transformacije: 21RRJ = . Prema tome, združena gustina raspodele verovatnoće anvelope i faze se može izraziti u sledećem obliku:

[ ]

.

)1()2()2(

),,,(),,,(

)1(2)sinsin)(sinsin()coscos)(coscos(2

)1(2)sinsin()coscos()sinsin()coscos(

2221)1(2

)(2

221

21212121

22211222111

2

222

2222

211

2111

222121

22

22

21

21

RBRBRBARBARR

RBRBARBRBAR

RyyxxRyxyx

e

e

RRReRR

yyxxpJRRp

−+++−−−−

−

−++−−+++−−

−

−+−+++

−

⋅

⋅⋅

⋅−

=⋅=

==

σθϕθϕθϕθϕ

σθϕθϕθϕθϕ

σ

πσπσ

ϕϕ

Gustina raspodele verovatnoće anvelopa je: 21, RR

[ ]

.

)1)(2()(),(

)1(2)sinsin)(sinsin()coscos)(coscos(2

)1(2)sinsin()coscos()sinsin()coscos(

221

2121

22211222111

2

222

2222

211

2111

RBRBRBARBARR

RBRBARBRBAR

e

e

RRRdpddRRp

−+++−−−−

−

−++−−+++−−

−

− −−

⋅

⋅⋅

⋅−

= ∫ ∫∫

σθϕθϕθϕθϕ

σθϕθϕθϕθϕ

π

π

π

π

π

π πσθϕϕ

Gustina raspodele verovatnoće faza 21 ,ϕϕ je:

⋅⋅

⋅−

=

−++−−+++−−

−

−

∞∞

∫∫∫

)1(2)sinsin()coscos()sinsin()coscos(

221

02

0121

2

222

2222

211

2111

)1)(2()(),(

RBRBARBRBAR

e

RRRdpdRdRp

σθϕθϕθϕθϕ

π

π πσθθϕϕ

[ ])1(2

)sinsin)(sinsin()coscos)(coscos(22

2211222111

RBRBRBARBARR

e −

+++−−−−−

⋅ σθϕθϕθϕθϕ

. III ZDRUŽENA GUSTINA RASPODELE VEROVATNOĆE ANVELOPE I FAZE ZBIRA USKOPOJASNOG ŠUMA I SIGNALA

Neka je signal u jednom vremenskom trenutku oblika:

),cos(cossincos 111111 ϕωωωω −=++= tRtAtytxz a u drugom:

).cos(cossincos 222222 ϕωωωω −=++= tRtAtytxz

Relacije transformacije u ovom slučaju su:

.sincossincos

222

2222

111

1111

yRAxR

yRAxR

−=+=

−=+=

ϕϕϕϕ

Jakubijan transformacije je: .21RRJ = Na osnovu toga se dobija da je združena gustina raspodele verovatnoća anvelope i faze:

⋅−

==)1()2(

),,,(),,,( 2221

2212121 RRRyyxxpJRRp

πσϕϕ

[ ]⋅

−=⋅

+−+++−

−

)1)(2( 221

)(2)1(2

12121

22

21

22

212

RRRe

yyxxRyyxxR

πσσ

⋅⋅ −

−+−+−+−−

)1(2

)cos()cos()sin()cos(2

222

2222

211

2111

R

RARRAR

e σ

ϕϕϕϕ

[ ]

⋅−

=⋅ −

+−−−

)1()2( 2221)1(2

)sin)(sin()cos)(cos(22

2211222111

RRR

e RRRARARR

πσσ

ϕϕϕϕ

⋅⋅ −

−−+++−

)1(2cos2cos2

2222111

22

22

21

21

RARARARAR

e σϕϕ

[ ]

.

)1()2(

)1(2)cos(2)(cos2)(cos2

2221)1(2

coscos)cos(2

221212112222111

22

21

22

21

2212121212121

RRRAARAARRAARAARR

RAAARARRRR

e

RRR

e

−

−−−−−−−+++−

−

+−−−−

⋅

⋅−

=⋅

σϕϕϕϕ

σϕϕϕϕ

πσ

Gustina raspodele verovatnoće anvelopa je: 21, RR

.

)1()2(),(

21

)cos()1(

cos)1(

)(cos

)1()(

)1(222

2121

21221

22122

12211

221

22

21

22

21

ϕϕ

πσϕϕ

σπ

π

π

π

ϕσ

ϕσ

σ

ddeee

eR

RRRRp

RRR

RRAAR

RRAAR

RAAAARR

−−

− −

−

−

−

−

−

−+++−

∫ ∫ ⋅⋅⋅

⋅−

=

Gustina raspodele verovatnoće faza 21,ϕϕ je:

.

)1()2(),(

)1()cos(cos)(cos)(

)1(

022

21

0121

2212121221211

221

22

21

22

21

RRRRAARRAAR

RAAAARR

e

eR

RRdRp

−

−+−+−−

−

−+++−∞∞

⋅

⋅⋅−

= ∫∫

σϕϕϕϕ

σ

πσϕϕ

IV ZDRUŽENA GUSTINA RASPODELE VEROVATNOĆE ANVELOPE I FAZE ZBIRA USKOPOJASNOG ŠUMA I VIŠE SINUSNIH SMETNJI Neka je dati signal oblika:

∑=

+++=n

iii tAtytxz

1).cos(sincos θωωω

Anvelopa ovog signala se može izraziti kao:

,)sin()cos(1 1

22∑ ∑= =

−++=n

i

n

iiii AyAxR θθ

a faza:

.cos

sin

1

1

∑

∑

=

=

+

−= n

iii

n

iii

Ax

Ayarctg

θ

θϕ

Relacije između promenljivih su:

.sinsin

coscos

1

1

∑

∑

=

=

−=

+=

n

iii

n

ii

AyR

AxR

θϕ

θϕ

Uslovna združena gustina raspodele verovatnoće promenljivih R i ϕ je:

).,(),...,,( 1 yxpJRp n =θθϕ

Kako je: RJ = , dobijamo da je navedena uslovna verovatnoća:

σ

θϕθϕ

πσθθϕ 2

)sinsin()coscos(

1

1 1

22

2),...,,(

∑ ∑

⋅== =

++−

−

n

i

n

iiiii ARAR

n eRRp .

Daljim sređivanjem izraza u eksponentu dobija se:

.2

),...,,( 2

)cos()cos(21 1 1 1

2

σ

θθϕθ

πσθθϕ

∑ ∑ ∑∑

⋅== =

≠= =

+++−+

−

n

i

n

i

n

jii

n

jjijiii AAARR

ni eRRp

Odavde se združena gustina raspodele verovatnoće promenljivih R iϕ dobija rešavanjem integrala:

∫ ∫⋅⋅⋅=1

2)(),( 11

θ θ πσθθϕ

n

RdpRp .

.)(2

)cos(2)cos(21 1 1 1

22

nn

AARRAR

dpe

n

i

n

i

n

jii

n

jijiiii

θθσ

ϕθϕθ∑ ∑ ∑∑

⋅

= =≠= =

+++−+

−

Prema tome združena gustina raspodele verovatnoće anvelope je:

.)(

2)()(

2

)cos(2)cos(2

211

1 1 1

1

22

1

θθ

πσθθϕ

σ

ϕθϕθ

σ

ϕ θ θ

dpe

eRdpdRp

n

i

n

jii

n

jijiii

n

ii

n

AAAR

AR

∑ ∑∑

⋅

⋅

∑

⋅⋅⋅⋅=

=≠= =

=

+++

−

+

−

∫ ∫ ∫

Analogno tome dobija se i združena gustina raspodele verovatnoće faze:

.)(

2)()(

2

)cos(2)cos(2

02

11

1 1 1

1

1

22

θθ

πσθθϕ

σ

ϕθϕθ

θ θ

σ

dpe

eRdpdRp

n

i

n

jii

n

jijiii

n

n

ii

AAAR

AR

∑ ∑∑

⋅

⋅

∑

⋅⋅⋅⋅

=≠= =

=

+++

−

∞

+

−

∫ ∫ ∫

V ZAKLJUČAK

Izračunavanje združene gustine raspodele uskopojasnih signala je značajno zato što se na osnovu nje mogu odrediti autokorelacijona funkcija, odnosno, spektralna gustina snage primenom Viner-Hinčinove teoreme. Pored toga na osnovu združene gustine raspodele verovatnoće anvelope može se izračunati verovatnoća kodne reči od dva simbola kod signala koji su digitalno amplitudno i digitalno frekventno modulisani, a na osnovu združene gustine raspodele verovatnoće faze verovatnoća kodne reči od dva simbola kod signala koji su digitalno fazno modulisani. U literaturi je izračunata združena gustina raspodele verovatnoće anvelope i faze zbira signala i uskopojasnog šuma pri čemu je signal predstavljen u obliku jednog sinusnog talasa. U ovom radu je izračunata združena gustina raspodele

verovatnoće anvelope i faze zbira signala, uskopojasnog šuma i više sinusnih smetnji. Faza signala je slučajna. Ona može da ima uniformnu raspodelu, kod optičkih sistema može da ima Gausovu raspodelu, kod satelitskih sistema ima Rajsovu raspodelu, a kod sistema kod kojih je ekstrakcija digitskog takta urađena pomoću fazne petlje faza ima Viterbijevu raspodelu. U ovom slučaju je združena gustina raspodele verovatnoće anvelope i faze prikazana za slučaj kada faza ima uniformnu raspodelu i kada je amplituda konstantna. Ako je amplituda promenljiva, odnosno ako postoji feding, združena gustina raspodele verovatnoće anvelope i faze u dvema tačkama dobija se usrednjavanjem. LITERATURA

[ ]1 Y. W. Lee, Statistical Theory of Communication. New York, 1960. [ ]2 S. O. Rice, Mathematical analysis of random noise. Bell. Syst. Tech. 1945. [ ]3 J. G. Proakis, Digital Communications. New York, 1995. [ ]4 A.Papoulis, Probability Random Variables and Stochastic Processes. Tokyo, 1965. Abstract: In this paper the joint probability density function of anvelope and phase for sum of signal and narow-band Gaussian noise is calculated for two points. Usefull signal is represented as one, two ore more sinusiodal waves, while the narrow-band noise has two components which are in quadrature and independent. JOINT PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF ANVELOPE AND PHASE FOR SUM OF SIGNALS AND NAROW-BAND NOISE, Goran D. Tomović, Slađan Bogoslavov, Dragana Pavlović, Radoslav Bogdanović