test fasl 1 Pasokh/fasl...25 3 5 2 5 3 5 2 3 25 25 25 LLL: ' %& s 3 s $ + , ! "# (( )) ( )3 t ss ss...

معادلات ديفرانسيل 106

1- )1(

. با توجه به تعريف ابتداي فصل واضح است

2 - )1(

. ارائه شده در درس واضح استتبديل لاپلاس با توجه به جدول

3 - )2(

: داريمتبديل لاپلاس با توجه به جدول

( ) ( )( )

( ) ( )k

k

k

kt t

ss sss

Γ ΓΓ π π=− −

+− +

− ++

= ⎯⎯⎯⎯→ = = = =

1 1

2 2

1 11

2

1 11

1 2 2L L

4 - )3(

:با توجه به جدول داريم

( ) ( )as s

cos ax cos x

s a s

=

= ⎯⎯⎯→ =

+ +

9

2 2 29

81

L L

5- )2(

: اريمبا توجه به جدول د

( ) ( ) ( )sin xa

sin ax sin x

s a s s

= ⇒ = ⇒ × =

+ + +2 2 2 2

4 1 1 4 14

4 4 4 16 16

L L L

6 - )1(

: با توجه به خطي بودن تبديل لاپلاس و جدول مربوطه داريم

( ( )) ( ( ) ( ))cosh t cos t cosh t cos t− −

1 12 2 2 2

2 2L L L

( )( )

s s s s ss s

s s s s

+ − +− =

− + − −

3 3

2 2 4 4

4 4 41

2 4 4 2 16 16

7 - )4(

sinاز آنجايي كه در جدول x : كنيم را نداريم، ابتدا آن را ساده مي2

( ) ( )cos x cos x

sin x sin x− −

⇒ =2 21 2 1 2

2 2L L

( ( ) ( )) ( ) ( )( ) ( )

s s s

cos x

ss s s s s

+ −= − = − =

+ + +

2 2

2 2 2

1 1 1 1 4 21 2

2 2 24 4 4

L L

8- )3(

. با توجه به تكنيك دوم واضح است

مخرج مشترك

روابط مثلثاتي

مخرج مشترك

خاصيت خطي بودن

جدول

107

هاي فصل چهارم تستتشريحي پاسخ

9 - )1(

tبا استفاده از تكنيك دوم، ابتداe : كنيم را حذف و لاپلاس بقيه را محاسبه مي2−

( )s

cos t

s

=

+2

3

9

L

)، sجاي دست آمده به سپس در جواب به )s − :دهيم قرار مي2−

( )

( ) ( )( )

t

s s s s

s s s

e cos t cos t

s s s s

−

→ − − → +

+ += = = =

+ + + + +

2

2 2 22 2

2 23 3

9 2 9 4 13

L L

10 - )2(

)با توجه به تكنيك دوم، ابتدا لاپلاس )sin t π+2كنيم را محاسبه مي :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin t sin t cos sin cos t sin tπ π π+ = + = −2 2 2 2

(*)( ( )) ( ( ))sin t sin t

s

π⇒ + = − = −

+2

22 2

4

L L

)، sجاي سپس در جواب آن به )s − : دهيم قرار مي2−

( ( ) ) ( ( ))( )

t

s s s s

sin t e sin t

s s

π π−

→ + → +

+ + − = −

+ + +

2

2 22 2

2 22 2

4 2 4

L L

11 - )2(

cosبا توجه به تكنيك دوم، ابتدا لاپلاس t sin t−2 5 3 : كنيم را محاسبه مي5

(*)( ) ( ) ( )ss

cos t sin t cos t sin t

s s s

−

− = − = − =

+ + +2 2 2

2 1552 5 3 5 2 5 3 5 2 3

25 25 25

L L L

s ،sجاي دست آمده به سپس در جواب به − : دهيم قرار مي3

( ( )) ( )( )

t

s s s s

s s

e cos t sin t cos t sin t

s s→ − → −

− −

− = − =

+ − +

3

2 23 3

2 15 2 212 5 3 5 2 5 3 5

25 3 25

L L

12- )1(

: كنيم از تكنيك دوم استفاده مي

( )

(( ) ) ( ( ) ) ( ( )) ( )t t t

s s

t e e t e e e t e t− − −

→ − −

− = − = − −1

1

1 1 1 1L L L L

( )( )s s

e e

e

s ss s→ +

× − = −+

+2 2

1

1 1

11

13 - )2(


( )

( ) ( ) ( ) ( )t t t

s s

t e e e t e e t e t− + − −

→ − −

= × × = × ×2 3 1 3 2 3 2 2

3

L L L L

(*) تكنيك دوم

(*)

تكنيك دوم

تكنيك دوم

جدول


( )s s

e

e

s s→ +

= × =

+3 3

3

22

3

از تكنيك چهارم هم استفاده كنيم، ولـي همـواره در چنـين مـسائلي اسـتفاده از توانيم توجه كنيد كه اگرچه مي

. تر است تكنيك دوم راحت

14- )3(


!

( ) ( ) ( ) ( )( )

t t

s s s s

t e e t t

s s→ − → −

= = =

−

3 2 2 3 3

4 42 2

1 1 1 1 3 2

3 3 3 3 2

L L L

15 - )1(


( ) ( )( )

t

s s s s

te t

s s→ − → −

= =

−

4

2 24 4

1 1

4

L L

. كنيك چهارم هم استفاده كنيمتوانستيم از ت توجه كنيد كه مي

16- )2(

. با توجه به تكنيك چهارم واضح است

17 - )4(

: كنيم از تكنيك چهارم استفاده مي

( ) ( ( )) ( )( ) ( )

s st sin t sin t

s s s

−

′ ′− − = − =

+ + +2 2 2 2 2

2 4 42 2

4 4 4

L L

18 - )4(


( ) ( ( )) ( )( ) ( )

s a ss s a

x cos ax cos ax

s a s a s a

+ − −′ ′− = − = − =

+ + +

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2L L

19- )2(


( ) ( ( )) ( )( ) ( )

s s

t sinh t sinh t

s s s

−

′ ′− = − = − =

− − −2 2 2 2 2

2 21

1 1 1

L L

تكنيك دوم

تكنيك چهارم جدول

تكنيك چهارم


تكنيك دوم

109


20- )2(

tبا توجه به تكنيك دوم، ابتدا لاپلاس cos t2 جاي كنيم و سپس در جواب آن به را محاسبه ميs ،( )s − قرار 1−

: دهيم مي

( )

( ) ( ) ( )t

s s

te cos t t cos t I−

→ − −1

2 2L L

)براي محاسبة )t cos t2L كنيم استفاده مي از تكنيك چهارم :

( ) ( ( )) ( ) ( )( ) ( )

s ss st cos t cos t II

s s s

+ − −′ ′− = − = − =

+ + +

2 2 2

2 2 2 2 2

4 2 42 2

4 4 4

L L

)بنابراين با توجه به )Iو ( )IIداريم :

( ) ( )

( ) ( )( )

I IIt

s s s s

s

te cos t t cos t

s

−

→ + → +

−

+

2

2 21 1

42 2

4

L L

( )

(( ) ) ( )

s ss

s s s

+ −+ −= =

+ + + +

22

2 2 2 2

2 31 4

1 4 2 5

21- )3(

. با توجه به تكنيك ششم واضح است

22 - )1(

سـادگي نيست و از طرفي مشتق و انتگرال آن هم به در جدول شبيه توابع شناخته شده از آنجاكه تابع داده شده

: كنيم يند، از تعريف تبديل لاپلاس استفاده ميآ دست نمي به

( )

( ) ( ( )) ( ) ( )st st cos txF s f t e f t dt e dx dt

x

+∞ +∞ +∞− −

= = =

+∫ ∫ ∫ 20 0 0 1

L

st، پس ) دارد dx( است xدر ادامه چون انتگرال داخلي برحسب eتوان به داخل انتگـرال بـرد و ترتيـب را مي −

: ها را عوض كرد انتگرال

( )

( ) ( )st stcos txF s e dt dx e cos tx ds dx

x x

+∞ +∞ +∞ +∞− −

= × =

+ +∫ ∫ ∫ ∫2 20 0 0 0

1

1 1

( ) ( )( )( )

s s s

F s dx dx

x x s s x x s

+∞ +∞

⇒ = −

+ + − + +∫ ∫2 2 2 2 2 2 20 0

1

1 1 1

( )

( ( )) (( ) )

arctan

x

s arctan x arctan sss sπ

π π+∞

+∞ =

= − − −

− −

2 2

02

1 10

2 21 1

( )s

F sss

π π−

⇒ = × = ×+

−2

1 1

2 2 11

دومتكنيك

نيك چهارم تك

توان است، پس ميtبراساس

x +2

1

1

. را بيرون برد

( ( ))s

cos x t

s x

= =

+2 2

L

تجزيه سريع كسر

xجاي جايگذاري به


23 - )1(

( )f x ،صورت انتگرالي اسـت، اسـتفاده از تكنيـك شـشم بـه ولي از آنجا كه به مشابه توابع شناخته شده نيست

: رسد ذهن مي

: تكنيك ششم

( )

( ( ) ) , ( ) ( ( ))x F s

f t dt F s f ts

= =∫0

L L

uكنيم با تغييرمتغير بنابراين ابتدا تلاش مي t=، عبارت داده شده را شبيه بـه انتگـرال ارائـه شـده در تكنيـك 2

: ششم در آوريم

,

( )

duu t du t dt dt

x xut u

t u t x u x

f x e dt e dux uπ

= ⇒ = ⇒ =

− −

= ⇒ = = ⇒ =

= ×∫ ∫

2

2

2

2

0 00 0

2 2 1

2

( ( )) ( ) ( )x

uf x e du Iuπ

−

⇒ = ×∫0

2 1

2

L L

: كنيم در ادامه با توجه به تكنيك ششم، ابتدا لاپلاس تابع تحت انتگرال را محاسبه مي

( )

( ) ( ) ( )u

s s s s

e u

u

u

−

−

→ − − → +

× =

1

2

11 1

2

1 1 1

22

2

L L L

( )( )

( )s s

II

s

s

Γ πΓπ

=

→ +

×

+

1

2

11

2

1

1 2

2 2 1

)بنابراين با توجه به )Iو ( )IIداريم :

( )

( ) ( ( )) ( )

u

xu

e

u

I f x e dusuπ π

−

−

×

⇒ = × ×∫0

1

22 1 2

2

L

L L

( )II s

s s s

π

π

+× =

+

2 12 1

1

24 - )2(

tتوجه كنيد كه تابع داده شده كانولوشن توابعsin و3 tاست :

( ) ( ) *t

f t t x sin x dx t sin t= − =∫3 3

0

!

( ( )) ( ) ( ) ( )*f t t sin t t sin ts s s s

⇒ = × = × =

+ +

3 3

4 2 6 5

3 1 6

1

L L L L

تكنيك دوم

جدول

تكنيك ششم

تكنيك هشتم

علامت كانولوشن

111


25- )4(

)توجه كنيد كه انتگرال موجود در )f tهمان كانولوشن توابع te) و− )f tاست، پس داريم :

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))* *t t t tf t t e e f t f t t e e f t− − −

= − − ⎯⎯⎯⎯→ = − −2 2

3 3L L L L

!

( ) ( ) ( ) ( )F s F s F ss s s ss s

⎯⎯⎯⎯→ = × − − ⇒ + = −+ + + +3 3

2 1 1 1 6 13 1

1 1 1 1

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

s s

s F s F sss s s

+ +⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + = − ⇒ = −

++

3 3

6 1 6 1 11 1 1

22

26 - )1(

xابتدا

e انتگرال برحسب (بريم را به داخل انتگرال ميt بينيم كه تابع داده شـده، در و مي ) است و مشكلي ندارد

xواقع كانولوشن تابع

eو sin x : است2

*

xx t x

e sin t dt e sin x−

= =∫2 2

0

2 تابع داده شده2

( ) ( ) ( ) ( )*x

x t x xe e sin t dt e sin x e sin x

−

⇒ =∫2 2 2

0

2 2 2L L L L

( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( )x xcos x s

e e cos x

s ss

−

= − = −−

+2

1 2 1 12 1 2

2 1 4

L L L L L

( )( ) ( )( )s

s s s s s

=

−

+ − +2 2

1 4 4

1 4 1 4

27 - )1(

xابتدا

ex توابعبينيم كه عبارت داده شده كانولوشن بريم و مي را به داخل انتگرال مي−

ecos و− x2است :

( )( ) *x x

x t x t xf x e cos t dt e cos t dt e cos x− + − − −= = =∫ ∫

0 0

2 2 2

( ( )) ( ) ( ) ( )*x xf x e cos x e cos x− −

⇒ = ×2 2L L L L

( )( )

s s

ss s s

= × =+

+ + +2 2

1

1 4 1 4

28- )1(

)توجه كنيد كه )f tدر واقع كانولوشن tsin و4 t2كنيم است، پس از تكنيك هشتم استفاده مي:

( ) ( ) ( ( )) ( )* *t

f t t x sin x dx dx t sin t f t t sin t= − = ⇒ =∫4 4 4

0

2 2 2L L

گيري لاپلاس

تكنيك هشتم

s + 2

مخرج مشترك

تكنيك هشتم

( )s× + دو طرف 1

تكنيك هشتم

روابط مثلثاتي




t

!( ) ( )t sin t

s s s s

× = × =

+ +

4

5 2 7 5

4 2 482

4 4

L L

29 - )1(

: داريمC-1با توجه به نكتة بيان شده در قسمت

( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ) ( )s s

t st t f t e f t t sin t e sin e

π π

π π

δ δ− −

−

− = ⇒ − = =0 2 20 0

2 2L L

30- )4(

: مشابه تست قبل داريم

( ( ) ) ( )s

t cos t e cosδ−

− =1 1L

31 - )4(

)اي، تابع ابتدا با استفاده از توابع پله )f t از آن دهـيم و سـپس اي نمـايش مـي تك ضـابطه يك تابع صورت به را

): صورت افزايشي مرتب هستند هاي تابع به توجه كنيد ضابطه(گيريم لاپلاس مي

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))a b a bf t A u t A u t A u t u t= + − + − = −0 0 0

( ( )) ( ( ( ) ( )) ( ( ( )) ( ( )))a b a bf t A u t u t A u t u t⇒ = − = −L L L L

( ) ( )as bs

as bse e AA e e

s s s

− −

− −

= − = −

32 - )4(

)ابتدا تابع )f t لاپـلاس از آن اي نمـايش داده و سـپس تـك ضـابطه يك تـابع صورت اي به را به كمك توابع پله

):صورت افزايشي مرتب هستند هاي تابع به توجه كنيد كه ضابطه(گيريم مي

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t u t t u t t u t t u tπ π π π

π π π π= + − − + − + = − − −2 2

0 0 0

( ( )) ( ( )( )) ( ( )( ))f t u t t u t tπ π

π π⇒ = − − −2

L L L

( ) ( ) ( )s s s se t e t e e

ss s

π π π π π

π π π π− − − −

+ − − + − = × − +2 2

2 2

1 12L L

( ( )) ( )s s

e e

f t ss s

π π

π

− −

⇒ = − +

2

2 21L

33- )1(

)ابتدا تابع )f t توجه كنيد كه (گيريم لاپلاس مي از آن اي نمايش داده و سپس تك ضابطه يك تابع را به صورت

): صورت افزايشي مرتب هستند هاي تابع به بازه

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) )f t t t u t t u t t f t t u t t= + − = − ⇒ = −2 2 2 2 2 2

3 3 3

1 1 1 1 1 10

2 2 2 2 2 2L L L

!

( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ))s se t e t t

s s

− −

× − + = − + +3 2 3 2

3 3

1 2 1 1 13 6 9

2 2 2L L L L

تكنيك هشتم

تكنيك سوم

t π+

تكنيك سوم

t t+ +2

6 9

113


( )s ss

s e ee

e

s ss s s s s s

− −−

−

= − + + = − − −

3 33

3

3 3 2 3 3 2

3 91 1 2 6 9 1

2 2

34 - )3(

)ابتدا تابع )f tگيـريم لاپلاس مياز آن اي نوشته و سپس به كمك تكنيك سوم تك ضابطهيك تابع صورت را به

): صورت افزايشي مرتب هستند هاي تابع به توجه كنيد كه بازه(

( ) (( ) ) ( ) ( )( ) ( ( )) ( ( )( ) )f t t u t u t t f t u t t= + − − = − ⎯⎯⎯⎯→ = −2 2 2

1 1 10 1 0 1 1L L

(( ) ) ( )s

s s e

e t e t

s

−

− −

+ − = =2 2

3

21 1L L

35- )3(

: مشابه تست قبل داريم

( ) (( ) ) ( ) ( )f t sin t sin t cos t sin t u t sin t u t cos tπ π

= + + − = +2 2

( ( )) ( ) ( ( ) )f t sin t u t cos tπ

⎯⎯⎯⎯⎯→ = +2

L L L

( ( ) )s s

s se see cos t

s s s s

π π

ππ

− −

−

++ + = + =

+ + + +

2 2

2

2 2 2 2

1 1 12

1 1 1 1

L

36 - )3(

)توجه كنيد كه ضابطة دوم تابع در يك نقطه )t ) است و براي حفظ پيوستگي 0= )f t ري در يأث داده شـده و ت ـ

)لاپلاس )f t دانيم تغيير مقدار تابع در يك نقطه، تأثيري صورت يك انتگرال است و مي تعريف لاپلاس به ( ندارد

sin، بنابراين لاپلاس تابع)بر مقدار انتگرال ندارد t

t

αكنيم را محاسبه مي .

را حـذف كـرده، تبـديل tداريم، بنابراين با توجه به تكنيك پـنجم ابتـدا مخـرج tاز آنجاكه در مخرج تابع عامل

sinيعني (لاپلاس عبارت باقيمانده tα(گيريم را محاسبه و در نهايت انتگرال مي :

( ) ( )s s

sin tsin t du du

t u

α αα

α

+∞ +∞

=

+∫ ∫ 2 2

L L

( ) ( ) ( )u

s

u u s sarctan arctan arctan tanlim

π

α α α α→ +

+∞

−

∞

= = − = −

1

2

37- )3(

: دهيم اي نمايش مي صورت يك تابع چند ضابطه بهابتدا نمودار داده شده را

( )

t

f t t

t

≤⎧⎪

= < <⎨⎪ ≤⎩

0 3

1 3 4

0 4

اي در آورده و سـپس از آن لاپـلاس تـك ضـابطه يك تابع صورت دست آمده را به اي به در ادامه تابع چند ضابطه

: گيريم مي

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t u t u t u t u t= + − + − = −3 4 3 4

0 1 0 0 1


تكنيك سوم


تكنيك سوم

cos t=

تكنيك پنجم


( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )s s

s se e

f t u t u t e es s s

− −

− −

⎯⎯⎯⎯⎯→ = − = − = −

3 4

3 4

3 4

1L L L

38- )2(

. واضح استC-3 ه درسنامه قسمت با توجه ب

39 - )2(

: داريمC-3با توجه به رابطة ارائه شده در قسمت

( ) ( )

( ( )) ( ( ))

Tst st

T

sT s

e f t dt e f t dt

f t f te e

− −

=

− −

= ⎯⎯⎯→ =

− −

∫ ∫2

0 02

21 1

L L

( ) ( )( )

stst st

s s

s s s s s

ee dt e dt s

e e

e e s e s e e

−

− −

− −

− − − − −

−

× + ×− −

= = = =

− − − − +

∫ ∫1

1 2

0 1 0

2 2 2

1

1 0

1 1

1 1 1 1 1

( ( ))( )s

f ts e −

⇒ =

+

1

1

L

40- )2(

: با توجه به رابطة داده شده داريم

( )

( ( ))

st stst st

s s

e ee dt e dt s sf t

e e

− −

− −

− −

− +× + × −

= =

− −

∫ ∫42

2 4

0 2 20

4 4

1 1

1 1

1 1

L

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

s ss s s s s

s s s s s

e ee e e e e

s e s e s e e s e

− −− − − − −

− − − − −

− +− + − − −= = = =

− − − + +

4 22 4 2 2 2 2

4 4 2 2 2

2 11 1 1

1 1 1 1 1

41- )1(

:صورت زير است توجه كنيد كه تابع داده شده به

( ) , ( ) ( )t b

f t f t b f tb t b

≤ <⎧= + =⎨

− ≤ <⎩

1 0

2

1 2

: داريمC-3در قسمت براي تبديل توابع متناوب بنابراين با توجه به رابطة داده شده

( ) ( )

( ( ))

b b bst st st

b

b s bs

e f t dt e dt e dt

f te e

− − −

− −

× + × −

= =

− −

∫ ∫ ∫2 2

0 0

2 2

1 1

1 1

L

( )

( ) ( )( ) ( )

bbst st

sb bs sbbs bs

b

b s bs bs bs bs

e e

s s e e ee e

e s e s e e s e

− −

− − −

− −

− − − − −

− +

− + −− −

= = = =

− − − + +

2

22

0

2 2

1 1

11 1

1 1 1 1 1


sb bse e− −

= − +2

1 2

115


( ( ))

bs

bs

bs bs

e e

f ts e

e

−

−

−

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = × ×

+

2

2

1 1

1

L

( ( )) ( )

bs bs

bs bs

e e bsf t tanh

s se e

−

−

−

⇒ = ×

+

2 2

2 2

1 1

2L

42 - )1(

: كنيم از قضيه مقدار ابتدايي استفاده مي

( )

( ) ( )x s s

F s

ss

f x s F ss

lim lim lim→ → + → +

=

+

∞ ∞

=

+0

1

2 3

2 3

s s

s s

s

lim lim→ + → +∞ ∞

= = +∞22

43 - )3(

ــي ــت م ــي دق ــا كم ــك اول ب ــت از تكني ــر اس ــه بهت ــدس زد ك ــوان ح ــسمت ت ــيمB-1در ق ــتفاده كن ــا . اس ب

)فرض )t

e

f tt

−

−

=

1) و ) ( )F s ln

s= +

1 : داريم1

( ) ( ) ( ( ))t t t

e e e

f t f tt t t

− − −

− − −

= = × = ⎯⎯⎯⎯⎯→ =

3 3 31 3 1 3 1 3

3 32 2 3 2 2 2

L L عبارت داده شده

( ) ( )

( ) ( ) ( )

F s lns

a

s

F ln lns s

= +

=

× + = +

11

3

3 1 1 1 1 31 1

2 3 3 2 2

3

44 - )4(

: داريمD-1با توجه به جدول ارائه شده در قسمت

( ) ( )

( )

x x

s x

s

π πΓ

− −

− −

= = = =

1 11

2 21 1

1

2

1 1 1

1

2

L L

45- )1(

: كنيم استفاده ميD-1داده شده در قسمت و جدول ) قضيه اول انتقال(از عكس تكنيك دوم

( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )ax x x

F s a e F s e e

s ss

− − − − −

− = ⇒ = =

−

1 1 1 3 1 3 1

1

2

1 1 1

3

L L L L L

( )

x x

x e xx e

e

xπ πΓ

−−

× = =

111

3 3223

1

2

براي رسيدن به گزينة درست، صورت و

مخرج را در

bs

e .كنيم مي ضرب 2

tanhتعريف تابع x

ارزي هم


تكنيك اول

جدول

π=


46 - )3(

: كنيم فاكتور گرفته و سپس از عكس تكنيك دوم استفاده مي2ابتدا در مخرج از

( ) ( ) ( )t t

e e

sss

− −

= =

−

−

3 3

1 1 2 26 3 3

332 3

2

L L L

47 - )4(

: كنيم اده ميچون دلتاي مخرج كسر داده شده منفي است، پس از مربع كامل كردن استف

( ) ( )( )s s Δ− + ⇒ = − − = − = − <2 2

4 20 4 4 1 20 16 80 64 0

: بنابراين، داريم

( ) ( )( )

s s

s s s

− −

− −

− + − +

1 1

2 2

6 4 6 4

4 20 2 16

L L

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

s s

s s s

− − −

− + −= +

− + − + − +

1 1 1

2 2 2 2 2

6 2 8 2 46 2

2 16 2 4 2 4

L L L

( ) ( )t t t ts

e e e cos t e sin t

s s

− −

+ +

+ +

2 1 2 1 2 2

2 2 2 2

46 2 6 4 2 4

4 4

L L

48 - )2(

پذير و در نتيجه براي حـل مـسئله از تجزيـه كـسرها اسـتفاده چون دلتاي مخرج مثبت است، پس مخرج تجزيه

: يمكن مي

(*)( )( )

s s A B

s s s ss s

+ += = +

− + − +− −

2

3 7 3 7

3 1 3 12 3

( ) ( )s ss B sA A A

s s

× − =+ −⎯⎯⎯⎯→ = + ⎯⎯⎯→ = ⇒ =

+ +

3 33 7 3 164

1 1 4 Aمحاسبة : (*)

( ) ( )s ss A sB B B

s s

× + =−+ +⎯⎯⎯⎯→ = + ⎯⎯⎯→ = ⇒ = −

− − −

1 13 7 1 41

3 3 4 Bمحاسبة : (*)

,A B s

s ss s

= =− + −⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = +

− +− −

4 1

2

3 7 4 1

3 12 3

(*)

( ) ( ) ( ) t ts

e e

s ss s

− − − −

+ −⇒ = + = −

− +− −

1 1 1 3

2

3 7 4 14

3 12 3

L L L

49 - )2(

: چون دلتاي مخرج كسر منفي است

( )( )s s Δ+ + ⇒ = − = − <2

4 8 16 4 1 8 16 0

: كنيم راين از مربع كامل كردن استفاده ميبناب

( )( ) ( ) ( )

s s s s

F s

s s s s ss s

+ + + + += = = = +

+ + + + + + + ++ + +

2 2 2 2 2 22

4 4 2 2 2 2

4 8 2 4 2 2 2 24 4 4

عكس تكنيك دوم

مربع كامل كردن مخرج

+4 16

كنيم در صورت نيز تلاش مي

sعامل . را ايجاد كنيم2−


جدول

+4 4

( )s −

32

2

( )s +2

2

117


( ( )) ( ) ( )( ) ( )

s

F s

s s

− − −

+⇒ = + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

+ + + +

1 1 1

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

L L L

( ( )) ( ) ( )t t t ts

F s e e e cos t e sin t

s s

− − − − − − −

= + +

+ +

1 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2

22 2

2 2

L L L

( ( )) ( )tF s e cos t sin t

− −

⇒ = +1 2

2 2L

50 - )4(

: كنيم از تجزيه كسر استفاده مي

(*)( )( )( )

s A B CF s

s s s s s s

+= = + +

+ + + +

22

1 2 1 2

( )( )

ss s Bs CsA A A

s s s s

=× +⎯⎯→ = + + ⎯⎯⎯→ = ⇒ =

+ + + +

202 2

11 2 1 2 2

Aمحاسبة : (*)

( ) ( ) ( )

( )

s sA ss C sB B B

s s s s

× + =−++ +⎯⎯⎯⎯→ = + + ⎯⎯⎯→ = ⇒ = −

+ + −

21 112 1 3

32 2 1

Bمحاسبة : (*)

( ) ( ) ( )

( )

s sA s B ssC C C

s s s s

× + =−+ ++⎯⎯⎯⎯→ = + + ⎯⎯⎯→ = ⇒ =

+ +

22 22 22 6

31 1 2

Cمحاسبة : (*)

, ,

( )( )( )

A B C s

F ss s s s s s

= =− = + −

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = = + ++ + + +

21 3 3 2 1 3 3

1 2 1 2(*)

( ( )) ( ) ( ) ( ) t tF s e e

s s s

− − − − − −

⇒ = − + − ++ +

1 1 1 1 21 1 13 3 1 3 3

1 2L L L L

)در مخرج تابع )F s عبارات ،s ،s s و 1+ + اي درست است كه شامل عددي ثابـت، داريم، پس تنها گزينه 2

tمضربي ازet و مضربي از−

e . تواند صحيح باشد مي) 4(درنتيجه تنها گزينة . باشد2−

51 - )1(

: كنيم از تجزيه سريع كسر استفاده مي

( ) ( ( )) ( ) ( )( )

F s F s t sin t

s s s s s s

− − −

= = − ⇒ = − −

+ + +

1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 1 1

L L L

52- )4(

: كنيم از نتيجة قضية مقدار ابتدايي استفاده مي

( ) ( )( )( )s s s

s s

f sF ss s s

lim lim lim→ + → + → +∞ ∞ ∞

= = =

+ +2 3

12 120 0

20 40


جدول

جدول

ارزي هم

لجدو


53- )4(

: توان از عكس تكنيك ششم استفاده كرد داريم ميsمخرج كسر، عامل در از آنجايي كه

: تكنيك ششم

( )

( ) ( ( ))tF s

F s dxs

− −

= ∫1 1

0

L L

( ) ( ) ( ) ( )( )

t ts

dx dxss s s s

ω

ω ω

ω

ωω

− − − −+⇒ = = =

+ + +∫ ∫

2 21 1 1 1

2 2 2 2 2 20 0

1

1 1 1L L L L

( ) ( )t

t

sin x dx cos x cos tω ω ω

ωω ω

= − = −∫ 2 20

0

1 1 11

54- )4(

توان فهميد كه اگر مخرج را مربع كامل و از عكس تكنيك دوم استفاده كنيم، زودتـر بـه ها، مي با توجه به گزينه

: رسيم جواب مي

( )s s s s s

= × = × ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

− − + − − −2 2 2 2

1

1 1 1 1 1

4 44 8 2 1 11

( ) ( ) ( )( )

x x

e e sinh x

s s s s

− − −

=

− − − −

1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

4 4 44 8 1 1 1

L L L

. ت بيشتري همراه استتوجه كنيد كه استفاده از تجزيه كسر، با زحم

55 - )2(

: كنيم استفاده مي) كانولوشن(از عكس تكنيك هشتم

( ) ( )s s s s

F s

s s s s

−

= × ⇒ ×

+ + + +

1

2 2 2 24 4 4 4

L

( ) ( )* *s s

cos t cos t

s s

− −

=

+ +

1 1

2 22 2

4 4

L L

( ) ( ( ) ( ))t t

cos t x cos x dx cos t cos t x dx− + −∫ ∫0 0

12 2 2 2 4

2

( ( ) ( ))t

x cos t sin t x− −

0

1 12 2 4

2 4

(( ) ( ( ))t cos t sin t sin t t cos t sin t+ − − = +1 1 1 1 1

2 2 0 2 2 22 4 4 2 4

: استفاده كرديمزير اتي در حين حل از رابطه مثلث:ادآوریي

( ( ) ( ))cos cos cos cosα β α β α β= + + −1

2

جدول

گيري لاپلاس معكوس


جدول

تكنيك هشتم

تعريف كانولوشن

بط مثلثاتيروا

xجاي جايگذاري به گيريم ميxانتگرال نسبت به

119


56- )4(

sكه از آنجايي

e) در2− )F sكنيم داريم، از عكس تكنيك سوم استفاده مي :

( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )s

cs

c

t t c t t

e

e F s u t F s u t

s s

−

− − − − −

→ − → −

= ⇒ =

− −

2

1 1 1 1

22 22

2 2

4 4

L L L L

( )( ) ( ) ( )t t

u t sinh t u t sinh t

→ −

= −2 2

2

2 2 4

57- )4(

: كنيم ده مياز عكس تكنيك سوم استفا

( ( )) ( ) ( ( ))cs

c

t t c

e F s u t F s− − −

→ −

=

1 1L L

( ( )) ( ) ( )s

t t

e

u ts s s s

−

− −

→ −

⇒ − = × −− + − +

2

1 1

2

2

1 1 1 1 1

3 1 2 3 1 2L L

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )c

u t u t ct t t t t t

t t

u t e e u t e e u t e e

= −− − − + − − +

→ −

= − = − − −

2 2 2 4 2 2 4

2 2

2

1 1 12

3 3 3

58 - )3(

)با توجه به عكس تكنيك سوم، ابتدا )( )s s

−

+

1

2

1

1

Lكنيم را محاسبه مي :

( ) ( ) ( )( )

ts

dxss s s

− − −+=

+ +∫

21 1 1

2 20

1

1 11

1 1

L L L

( )t

t

sin x dx cos x cos t I= = − = −∫0

0

1

: مبنابراين داري

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

s

I

t t

e

u t

s s s s

π

π

π

−

− −

→ −+ +

1 1

2 2

1

1 1

L L

( )( ) ( )( ( ) ) ( )( )t t

u t cos t u t cos t u t cos tπ π π

π

π

→ −

− = − − = +1 1 1

59- )1(

همـين بـه . دهـيم نمـايش صورت يك سري توان حدس زد كه بايد عبارت داده شده را به ها، مي با توجه به گزينه

منظور از سري مك لورن تابعx−

1

1 : كنيم استفاده مي

| |

( )s

s

x en s n ns

ss e

n n n

x e e

xe

−

−

∞ ∞ ∞

= − −

−> ⇒ <

= = =

= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = =−

−

∑ ∑ ∑0 1

0 0 0

1 1

1 1

جدول

عكس تكنيك ششم

عكس تكنيك سوم

cos t−


( )

ns

s

n

e

ss e

∞ −

−

=

⇒ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

−

∑0

1

1

( ) ( ) ( )( )

ns

ns

n n

e

u tss e

∞ ∞−

− −

−

= =

= =

−

∑ ∑1 1

0 0

1

1

L L

60- )2(

: كنيم از عكس تكنيك سوم استفاده مي

( ) ( ) ( )s

t t

e

u ts s

−

− −

→ −− −

2

1 1

2

2

1

4 4L L

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

cu t u t c

t t t

t t

u t e u t e u t e= −

− −

→ −

= = −

4 4 2 4 2

2 2

2

2

61- )3(

)چون )F s چـون . كنـيم ا محاسـبه مـي شبيه توابع شناخته شده نيست، پس مـشتق و يـا انتگـرال آن ر( )F s

: رسد، پس داريم نظر مي تر به مشتق آن راحتلگاريتمي است، محاسبة

( ) ( ) ( ) ( )s

F s ln ln ln s ln ss s

+= + = = + −

1 11 1

).مشابه توابع شناخته شده است )F ss s

′⇒ = − ⇒+

1 1

1

)بنابراين لاپلاس معكوس )F s′ كنيم و از عكس تكنيك چهارم استفاده مي را محاسبه :

( ( )) ( ( )) ( ) ( )t

t e

F s F s et t s s t t

−

− − − −

−

′= − = − − = − − =+

1 1 11 1 1 1 1 11

1L L L

62 - )4(

)مشابه تست قبل، ابتدا )F s′را محاسبه و داريم :

( ) ( ) ( )s

F s ln ln s ln s F ss s s

′= = − − ⇒ = −− −

1 11

1 1

: كنيم در ادامه از عكس تكنيك چهارم استفاده مي

( ( )) ( ( )) ( ) ( )t

t e

F s F s et t s s t t

− −

−

′= − = − − = − − =−

1 11 1 1 1 1 11

1L L L

63 - )4(

ه به عامل با توج s

1) و عكس تكنيك ششم، ابتدا لاپلاس معكوس ) ( )G s ln

s

= +2

1 را به كمك عكس تكنيك 1

: كنيم چهارم محاسبه مي

( ) ( ) ( ) ( )s

G s ln ln ln s ln s

s s

+= + = = + −

2

2 2

2 2

1 11 1

گيريم لاپلاس معكوس مي


121


( ) ( ( ))s

G s G sss

−

′⇒ = − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

+

1

2

2 2

1

L

(*)( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )cos ts

G s cos t G st t s t ts

− − −

−

′− = − − = − − ⇒ =

+

1 1 1

2

11 1 2 2 12 2 2

1

L L L

: نيك ششم داريمحال با توجه به عكس تك

( ) ( ) ( ( )) ( ( ))t t cos x

F s G s F s G s dx dxs x

− −

−

= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = ∫ ∫1 1

0 0

112L L

64 - )1(

)با توجه به عكس تكنيك چهارم، ابتدا )F s′آوريم دست مي را به را محاسبه و لاپلاس معكوس آن :

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )( ) ( )

F s arccot s F s F s

s s

− −

−

′ ′= + ⇒ = ⇒ = −

+ + + +

1 1

2 2

1 14

1 4 4 1

L L

(*)( )t te e sin t

s

− − −

− = −

+

4 1 4

2

1

1

L

: بنابراين داريم

( ( )) ( ( ))t

e sin tF s F s

t t

−

− −

′−

4

1 11L L

65- )1(

)مشابه تست قبل، ابتدا لاپلاس معكوس )F s′كنيم را محاسبه مي :

(*)( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )s

F s cot F s F s sin t

s s

ωωω

ωω

ω

− − −

′ ′= ⇒ = − ⇒ = − = −

++

1 1 1

2 2 2

2

1

1

L L

: در ادامه با توجه به عكس تكنيك چهارم داريم

( ( )) ( ( )) ( )sin t

F s F s sin tt t t

ω

ω− −

′= − − − =1 11 1

L L

66 - )4(

)ابتدا )F s′كنيم را محاسبه مي :

( ) ( ) ( )ss

F s s tan F s tan s tan Is s s s

s

− − −

−

′= ⇒ = + × = −

++

21 1 1

2

2

1

1 1 1

1 11

)توان به راحتي لاپـلاس معكـوس قـسمت اول بينيد، همچنان نمي همانطوركه مي )F s′ را محاسـبه كـرد، پـس

)را آن )G sگيريم بار ديگر از آن مشتق مي ناميده و يك :

( ) ( ) ( ( )) ( )sG s tan G s G s sin t

s s s

s

− − −

−

−

′ ′= ⇒ = = ⇒ = − = −

+ ++

21 1 1

2 2

2

1

1 1 1

1 1 11

L L

.شناخته شده استتوابع شبيه عكس تكنيك چهارم

(*) عكس تكنيك ششم


چهارمعكس تكنيك

(*)

(*)


( ( )) ( ( ))sin t

G s G st t

− −

′⇒ − =1 11

L L

( ) ( )sin t

tan IIs t

− −

⇒ =1 1 1

L

)در ادامه با توجه به )Iو ( )IIداريم :

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )s s

I F s tan F s tans ss s

− − − − −

′ ′⇒ = − ⇒ = −

+ +

1 1 1 1 1

2 2

1 1

1 1

L L L

( )

( )II sin t sin t t cos t

cos t IIIt t

−

− =

: درنهايت با توجه به عكس تكنيك چهارم داريم

( )

( ( )) ( ( ))III sin t t cos t t cos t sin t

F s F st t t t

− −

− −′= − − × =

1 1

2

1 1L L

67 - )4(

)ابتدا )ln F sكنيم را محاسبه مي :

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

s s

G s ln F s ln ln s ln s ln s

s

+= = = + + − +

+

2 2

2 2 2 2

2 2

11 1

1

( ) ( )ln s ln s ln s= + + − +2

2 2 1 2 1

)از آنجاكه )G sلگاريتمي است، پس ( )G s′ كنيم استفاده مي را محاسبه و از عكس تكنيك چهارم :

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )s s

G s G ss s s ss s

− − − −

′ ′= + − ⇒ = + −+ +

+ +

1 1 1 1

2 2

42 2 1 12 2 4

1 11 1

L L L L

( ( )) tG s e cos t

− −

′⇒ = + − ⎯⎯⎯⎯⎯→1

2 2 4L

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )t tln F s G s G s e cos t cos t e

t t t

− − − − −

′= = − = − + − = − −1 1 11 1 2

2 2 4 2 1L L L

68- )4(

)كنيم تـا با توجه به روند ارائه شده در كتاب، ابتدا از طرفين معادله تبديل لاپلاس گرفته و سپس تلاش مي )Y s

: دست آوريم را به

( ) ( ) ( )y y y y y y′′ ′ ′′ ′+ + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + + =4 4 0 4 4 0L L L

( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( )s Y s s y y sY s y Y s′⎯⎯⎯⎯→ − − + − + =2

0 0 4 0 4 0

( ) ( ) ( ) ( )s s Y s s s Y s s+ + − + − = ⇒ + = +2 2

4 4 2 2 8 0 2 2 6

( )( )

s s

Y s

s s s

+ +⇒ = =

+ + +2 2

2 6 2 6

2 4 4

عكس تكنيك چهارم

عكس تكنيك چهارم


تكنيك هفتم

2 −2 2

123


1

1

1 0

0 10

69 - )4(

)ابتدا از دو طرف معادله لاپلاس گرفته و سپس )Y sكنيم را محاسبه مي :

( ) ( ) ( )xy y xy xy y xy′′ ′ ′′ ′+ + = ⎯⎯⎯⎯→ + + =0 0L L L

( ( )) ( ( ) ( ) ) ( ( ))y sY s y Y s′′ ′ ′⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + − − =0 0L

( ( ) ( ) ( )) ( ) ( )s Y s s y y sY s Y s′ ′⇒ − − − + − − =2

0 0 1 0′

( ) ( ) ( ) ( )sY s s Y s sY s Y s⇒ − − + + + − − =2

2 1 0 1 0′ ′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s Y s s s Y s s Y s sY s⇒ − − + − + = ⇒ + = −2 2

1 2 0 1′ ′

( )

( ) ( )( )

Y s sln Y s ln s lnc

Y s s

⇒ = − ⎯⎯⎯⎯→ = − + +

+

2

2

11

21

′

( ) ( )expc c

ln Y s ln Y s

s s

⇒ = ⎯⎯⎯→ =

+ +2 2

1 1

70- )4(

: گيريم ابتدا از دو طرف معادله تبديل لاپلاس مي

( ) ( )y ty y ty′′ ′′+ = ⎯⎯⎯⎯→ + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→0 0L L

( )

( ( ) ( ) )s Y s y y Y s Y s Y Y s Y s× −

′− − − = ⇒ − − = ⎯⎯⎯→ − = −

12 2 20 0 0 0

′ ′ ′

71 - )4(

: گيريم تبديل لاپلاس مية داده شدههاي چهارم و هفتم از معادل هاي قبل، با استفاده از تكنيك مشابه تست

( ) ( ) ( )tz z tz tz z tz′′ ′ ′′ ′⇒ − + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ − + =0 0L L Lمعادلة داده شده

( ( )) ( ) ( ( ))z z z′′ ′ ′ ′⎯⎯⎯⎯⎯→ − − − =0L L L

( ( ) ( ) ) ( )s z s z z sz z z′ ′⎯⎯⎯⎯⎯→ − − − − + − =2

0 0 0 0′

( )

( )sz s z sz z s z sz× −

⇒ − − − − = ⎯⎯⎯→ + = −12 2

2 0 1 3′ ′ ′

( )z s

ln z ln s ln cz s

= − ⎯⎯⎯⎯→ = − + +

+

2

2

33 1

21

′

گيري پلاسلا

تكنيك چهارم و هفتم

s−

گيري انتگرال

. براي راحتي به اين صورت نوشتيم

تكنيك هفتم و چهارم گيري لاپلاس



تكنيك هفتم


. براي راحتي به اين صورت نوشتيم


0 1 0 1 0

( ) ( )

expc c

ln z ln z

s s

⇒ = ⎯⎯⎯→ =

+ +

3 3

2 22 21 1

k را به صورت cبراي اينكه به گزينه درست برسيم ثابت −

3

بايد مثبت باشد و kگيريم كه به وضوح در نظر مي 2

: در نتيجه داريم

,

( ) ( ( ))

kz k

s k s

−

= = >

+ +

3

2

3 3

2 22 2

10

1 1

72 - )4(

: گيريم هاي چهارم و هفتم از معادلة داده شده لاپلاس مي با استفاده از تكنيك

y t y ty y′′ ′′ ′⎯⎯⎯→ − − + = ⎯⎯⎯⎯→2

2 2 معادلة داده شده0

( ) ( ) ( ) ( )y t y ty y′′ ′′ ′− − + = ⎯⎯⎯⎯→

22 2 0L L L L

( ) ( ) ( ( )) ( )( ( )) ( )y y y y′′ ′′ ′′ ′ ′− − − − + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

21 2 1 2L L L L

( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) )s Y s y y s Y sy y sY y Y′ ′ ′′ ′− − − − − + − + =2 2

0 0 0 0 2 0 2 0

( ) ( )s Y sY s Y Y sY Y′⇒ − − + + + + =2 2

1 2 2 2 0′ ′

( )s Y Y sY sY s Y Y sY Y⇒ − − + + + + + + =2 2

1 2 2 2 2 2 2 0′ ′ ″ ′

( )( ) ( )s Y sY s Y s Y sY s Y

× −

⇒ − − + − + + − = ⎯⎯⎯→ + − + = −12 2 2 2

2 2 2 2 1 0 2 2 1″ ′ ″ ′

73- )4(

: گيريم از معادلة داده شده تبديل لاپلاس مي

ty y ty ny′′ ′ ′⎯⎯⎯⎯→ + − + = داده شده معادلة0→⎯⎯⎯⎯⎯

( ) ( ) ( ) ( )ty y ty n y′′ ′ ′+ − + = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→0L L L L

( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))s Y sy y sY y sY y nY′ ′ ′− − − + − + − + =

20 0 0 0 0

( ) ( ) ( )sY s Y y sY y Y sY nY⇒ − − + + − + + + =2

2 0 0 0′ ′

( ) ( ) ( ) ( )s s Y s s n Y s s Y s n Y⇒ − − − − − − = ⇒ − − = − −2 2

2 1 0 1′ ′

( )

( )( )( ) ( )

Y n s nn

Y s s s s s s s s

+ − +⇒ = = − + − −

− − − − −

1 1 1 1 1 11

1 1 1 1 1

′

( ) ( )Y n n

lnY n ln s n ln s lncY s s

+⇒ = − ⎯⎯⎯⎯→ = − − + +

−

11 1

1

′

( )( ) ( )

nn n

cexp

n n n

c sc s slnY ln Y Y

s s s

=

+ + +

−− −

⇒ = ⎯⎯⎯→ = ⎯⎯⎯→ =1

1 1 1

11 1



)ك هفتم وتكني )y Y=L


تكنيك چهارم و هفتم

تجزيه كسر


گيري ثابت انتگرال

سازي ساده

ساده كردن

125


00 0

( )s a+2

( )f t

74 - )4(

yبا توجه به اينكه y و ′′ تبـديل لاپـلاس هـستند، بنـابراين بـا توجـه بـه تكنيـك چهـارم در t داراي ضـريب ′

)معادله، )Y s)ديفرانسيل مرتبة اول براي شود كه منجر به يك معادلة ظاهر مي ′ )Y s شود و در نتيجـه تبـديل مي

)هاي لاپلاس كلية جواب )y t اي و داراي دو جـواب پايـه آيد، چرا كه معادلة اوليه از مرتبة دو اسـت دست نمي به

محاسـبه و حـل شـده )73تـست (قبـل توجه كنيد كه تبديل لاپلاس اين معادله در تست . مستقل خطي است

. است

75- )2(

)گيريم و سپس با استفاده از تكنيك هفتم از دو طرف معادله لاپلاس مي )Y sآوريم دست مي را به :

( ) ( ) ( ) ( )y y y t y y y t′′ ′ ′′ ′⇒ − + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ − + =L L L Lمعادلة داده شده

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )s Y s s y y sY s y Y ss

′⎯⎯⎯⎯⎯→ − − − − + =2

2

10 0 0

( ) ( ) ( )( )

s s Y s Y s

s s s s

⇒ − + = ⇒ =

− +

2

2 2 2

1 11

1

76 - )3(

: گيريم ابتدا از دو طرف معادله تبديل لاپلاس مي

( )y ay a y f t′′ ′⇒ + + =2

معادلة داده شده 2

( ) ( ) ( ) ( ( ))y a y a y f t′′ ′⎯⎯⎯⎯→ + + =2

2L L L L

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )s Y s sy y a sY s y a Y s F s′⎯⎯⎯⎯→ − − + − + =2 2

0 0 2 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s as a Y s F s s a y y ′⇒ + + = + + +2 2

2 2 0 0

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

s a y yF sY s

s a s a

′+ +⇒ = +

+ +2 2

2 0 0

تـوان در واقـع مـي (ن تنها قسمت اول را در نظر گرفـت توا از آنجا كه به دنبال يك انتگرال خصوصي هستيم، مي

) اوليةطشراي ) ( )y y ′= =0 0 ): را در نظر گرفت0

( )

( ) ( ( ) ) ( ( )) ( )*( ) ( ) ( )

p

F sy F s F s

s a s a s a

− − − −

= = ×

+ + +

1 1 1 1

2 2 2

1 1L L L L

(*)( ) ( ( )) ( ) ( )* *t

at at axf t e f t te xe f t x dxs

− − − −

= −∫1

2 0

1L

: توان متغير آن را با هر نمادي نمايش داد و در نتيجه داريم چون انتگرال فوق معين است، پس مي

( )tx a

py e f t dλ λ

λ λ λ→ −

⎯⎯⎯⎯→ = −∫0

(*)


تكنيك هفتم


تكنيك هفتم

كانولوشن




77- )4(

) تبديل لاپلاس گرفته وة داده شدهابتدا از معادل )Y sآوريم دست مي را به :

( ) ( ) ( ) ( ( ))y y u x y y u xπ π

′′ ′′+ = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + =2 2

L L L

( ) ( ) ( ) ( )s

e

s Y s s y y Y ss

π−

′⇒ − − + =

2

20 0

( ) ( ) ( )( )

s s

e e

s Y s Y ss s s

π π− −

⇒ + = ⇒ =

+

2 2

2

21

1

)در ادامه با محاسبة لاپلاس معكوس )Y sجواب ،( )y xآوريم دست مي را به:

(*) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )( ) ( )

s

x x

e

y x Y s u xs s s s

π

π

π

−

− − −

→ −

= =

+ +

2

1 1 1

22 22

1

1 1

L L L

س معكوساز طرفي براي محاسبة لاپلا( )s s +

2

1

1

: كنيم ، از عكس تكنيك ششم استفاده مي

( ) ( ) ( )( )

x xs

dt sin t dtss s s

− − −+= =

+ +∫ ∫

21 1 1

2 20 0

1

1 11

1 1

L L L

( ) ( )( )x

x x

cos t cos x y x u x cos xπ

π→ −

= − = − + ⎯⎯→ = −2

20

1 1

( ) ( )( ( ) ) ( )( )y x u x cos x u x cos xπ π

π⇒ = − − = −2 2

1 2 1

78- )4(

)ابتدا از دو طرف لاپلاس گرفته و )Y sآوريم دست مي را به :

( ) ( ) ( ) ( ( ))y y tu t′⎯⎯⎯⎯→ + = −1

1L L L Lمعادلة داده شده

( ) ( ) ( ) ( )s s s

e se es Y s y Y s

s s s s

− − −

− −

′⇒ − + = + = +2

1 10

(*)( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

s s ss s e s s e e

s Y s Y s Y ss ss s s s

− − −

− + − +⇒ + = ⇒ = ⇒ = −

++

2 2 2

1 1 11

11

)در ادامه براي محاسبة )y tگيريم از رابطة فوق لاپلاس معكوس مي :

( ) ( ( )) ( ) ( )( )

se

y t Y ss s s

−

− − −

= − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→+

1 1 1

2

1

1L L L

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )t

t t t t

y t u t e u t ts s s

− − −

→ − → −

= − − = − −+

1 1

1 121 1

1 1 11

1L L

( ) ( )( )ty t e u t t

−

⇒ = − − −1

1 1


0 0


عكس تكنيك ششم

cos x

تجزيه كسر و عكس تكنيك سوم

(*)


0

(*)

127


79 - )2(

)با فرض )x X=Lگيريم از دو طرف لاپلاس مي:

( ) ( ) ( )t t

x x x dt x x x dt′ ′⇒ + = ⎯⎯⎯⎯→ + =∫ ∫0 0

2 2L L Lمعادلة داده شده

( ) ( )X

sX x X s Xs s

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + = ⇒ + − =2

0 2 1 3

(*)( )( )( )

s ss s

X X Xs s s s ss s

+ −

⇒ = ⇒ = = ⎯⎯⎯⎯→ = ++ − + −

+ −

2

2

3 32 2 13

2 1 2 12

)در ادامه براي محاسبة )x tگيريم ة فوق لاپلاس معكوس مي از رابط :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t tx t X x t e e

s s

− − − −

= + ⇒ = ++ −

1 1 1 21 12 2

2 1L L L

80 - )1(

: كنيم با توجه به انتگرالي بودن معادله از تبديل لاپلاس استفاده مي

( ) ( ) *t

y t t u y u du y t t y= + + − ⎯⎯⎯⎯⎯→ = + + ⎯⎯⎯⎯⎯→∫0

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y

y t t y Ys s s

= + + × ⇒ = + +2 2

1 11L L L L L

( ) ( )( )( )

ss s

Y s Y s Ys s ss s

×+ +⇒ − = ⎯⎯⎯→ − = + ⇒ = =

− + −

22

2 2

1 1 1 11 1 1

1 1 1

)دست آوردن در ادامه براي به )y tگيريم ، از رابطة فوق لاپلاس معكوس مي :

( ) ( ) ( ) ( )t ty t Y e y t e

s− −

= = = ⇒ =−

1 1 1

1L L

81 - )2(

: گيريم مشابه تست قبل از دو طرف تبديل لاپلاس مي

( ) ( ) ( ) *t

t u ty t e y u du y t e y−

⇒ = + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = +∫0

2 معادلة داده شده2

( ) ( ) ( ) ( )*t Y

y e y Y Ys s s s

⎯⎯⎯⎯⎯→ = + ⇒ = + ⇒ − =− −

2 1 22 1

1 1L L L

( ) ( )( )

ss A BY Y I

s s s s s s

−− −

⇒ = ⇒ = +− − −

2 21 1 2

1 2 2

( )I s

sA A

×

=

−

⎯⎯⎯⎯→ = ⇒ =−0

21

2 Aمحاسبة :

( ) ( )I s

sB B

× −

=

⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⇒ =2

2

21

2 Bمحاسبة :

تكنيك ششم و هفتم


3 تجزيه كسر



تكنيك هشتم



تكنيك هشتم

تجزيه كسر

(*)





( )A B

I Ys s

= =

⎯⎯⎯⎯→ = +−

1 1 1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ty t Y y e

s s− − −

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = = + ⇒ = +−

1 1 1 21 11

2L L L

82- )1(

: گيريم مشابه تست قبل از دو طرف معادله لاپلاس مي

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*t

f t t sin t x f x dx f t t sin t f t= + − ⎯⎯⎯⎯⎯→ = +∫0

( )

( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )F s

f t t sin t f t F ss s

⎯⎯⎯⎯⎯→ = + ⇒ = +

+2 2

1

1

L L L L

( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s

F s F s F s

s s s s s s s

+⇒ − = ⇒ = ⇒ = = +

+ +

2 2

2 2 2 2 4 2 4

1 1 1 1 1 11

1 1

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )!

tf t F s t f t t t

s s

− − −

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = = + + ⇒ = +

3

1 1 1 3

2 4

1 1 1

3 6L L L

83- )4(

و ) Y يعنـي (yگيري از معادلات داده شده، يك دستگاه دو معادلـه دو مجهـول براسـاس لاپـلاس ابتدا با لاپلاس

: آوريم دست مي به) Zيعني (zلاپلاس

( )

t

y y z dt u t

y z z

⎧ ′ + + = −⎪⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎨

⎪ ′ ′+ + =⎩

∫ 0

0

2 6 2

0

ده معادلات داده ش

( ) ( )

( ) ( ) ( )

ZZsY y Y s Y

s s s s

sY y sZ z Z sY s Z

⎧⎧− + + = − + + = − −⎪ ⎪

⇒⎨ ⎨⎪ ⎪− + − + = + + =⎩ ⎩

62 20 2 6 2 5

0 0 0 1 1

( )

( )

s s Y Z s

sY s Z

+ + = − −⎧⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎨

+ + =⎩

2 6 2 5

1 1

بـراي . را در دستگاه فوق حذف كنـيم Zكنيم كه را خواسته، تلاش مي ) Yيعني (yدر ادامه چون تبديل لاپلاس

)اين منظور معادلة اول را در )s :كنيم ضرب كرده و سپس با هم جمع مي6− و معادلة دوم را در1+

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

s s s Y s Z s s

sY s Z

+ + + + = − + +⎧⇒ ⎨

− − + = −⎩

1 2 6 1 1 5 2

6 6 1 6

( ) ( )s s

s s s Y s s Y

s s s

− − −

⎯⎯⎯⎯⎯→ + + − = − + + + ⇒ =

+ −

2

2 2

3 2

5 7 83 2 6 5 7 2 6

3 4

گيري لاپلاس معكوس



تكنيك هشتم

گيري لاپلاس معكوس جدول


تكنيك ششم و هفتم

−5

−5

6

كنيم ضرب ميsمعادلة اول را در

تجمع معادلا

s s+ +2

3 2


129


84 - )1(

: داريمE-3قسمت با توجه به نكتة ارائه شده در

( )

( ( )) ( )x

xe sin xf xdx f x ds dx e sin x ds

x x

α

α

−

+∞ +∞ +∞ +∞−

= ⇒ =∫ ∫ ∫ ∫0 0 0 0

L L

,

( )( ) s t s t

ds dt

s t

α α

α α

+∞ +∞

= ⇒ = =+∞ ⇒ =+∞+ + +∫ ∫2 2 2 20 10 11

( )t

arctan arctan arctan tanπ

α α

α α

+∞

−= = − = =

1

1

1

2

xبه ازاي هرتوجه كنيد كه : همواره داريم0≠

arctan x arctanx

π

+ =

1

2

85 - )2(

: كنيم استفاده ميE-3مشابه تست قبل از ايدة ارائه شده در قسمت

( )

( ( )) ( )t

te sin tf xdx f x ds dt e sin t ds

x t

−

+∞ +∞ +∞ +∞−

= ⇒ =∫ ∫ ∫ ∫2

2

0 0 0 0

33L L

,( ) s x s x

ds

s

+∞

= ⇒ = =+∞ ⇒ =+∞+ +∫ 20 0 2

3

2 9

( ) ( )x

dx arctan arctan arctan arctan

x

π+∞

+∞

= = − = =

+∫ 22

2

3 2 1 3

23 2 3 29

3

86- )4(

: كنيم عمل ميمشابه تست قبل

( )t

te sin tdt e sin t ds

t

−

+∞ +∞−

∫ ∫2

2

0 0

L

( ) ( ( ))t tcos te ds e cos t ds

t

+∞ +∞− −−

× = −∫ ∫0 0

1 2 11 2

2L L

,

( )( ) s x s x

s

dss s

+∞

= ⇒ = =+∞ ⇒ =+∞

+−

++ +

∫ 20 0 1

1 1 1

2 1 1 4

( ) ( ( )) ( )x x

dx ln x ln x lnx x x

+∞ +∞+∞

− = − + =

+ +

∫2

21 21 1

1 1 1 1 14

2 2 2 24 4

( )x

x

ln ln ln ln ln

x

lim→ +∞

= − = − = =

+2

1 1 1 1 1 15 5

2 2 2 45 54

t تكنيك دوم s dt ds= + ⇒ تغييرمتغير 1=

x تكنيك دوم s dx ds= + ⇒ تغييرمتغير 2=

روابط مثلثاتي E -3نكته ارائه شده در قسمت

x s dx ds= + ⇒ تغييرمتغير1=

تكنيك دوم

ln= =1 0


87- )3(

: كنيم مشابه تست قبل عمل مي

( )x x

x xe e

dx e e dsx

− −

+∞ +∞− −−

−∫ ∫2 6

2 6

0 0

L

( ) ( ( ) ( ))s

s s

ds ln s ln s ln ln lns s s s

lim→ +

+∞ +∞+∞

∞

+ += − = + − + = = −

+ + + +∫0

0 0

1 1 2 2 22 6

2 6 6 6 6

ln ln ln ln= − = − =

1 11 3

3 3

88- )1(

جـزء حـل كـرد، ولـي ايـن روش، روشـي طـولاني و بـه توان انتگرال داده شده را به روش جزء واضح است كه مي

توان فهميد كه انتگرال داده شده، شبيه انتگرال تعريف تبديل لاپلاس در حاليكه با كمي دقت مي ،گير است وقت

: است، پس داريم

( ) sx

x e x dx+∞

−

∫1385 1385

0

L

! !

( )x

s s

e x dx x

s

+∞−

= =

⇒ = =∫2 1385 1385

1386 138602 2

1385 1385

2

L

89- )2(

: جزء حل كرد به توان اين تست را به روش جزء مي: روش اول

,

,

x

x

d u x v ex x x

u x dv e

x e dx x e x e dx

−

−

−

+∞= =−−+∞ +∞

− − −

= =

− +∫ ∫

1

2

1

2

11 1 1

22 2 2

0 00

1

2

π π

+ =0

2 2

لاپـلاس حـل انتگرال داده شده را بدون استفاده از فرض داده شده به كمك تبديل توان همچنين مي : روش دوم

: كرد

( ) ( )

( )

sxx x e dx

x

s s

x e dx x

s

Γ+∞

−=

+∞−

+= =

+∫∫

1 1

2 2

0

1 1

2 2

1011 1

2

11

2

L

L

( ) ( )

( ) ( )Γ α α Γ α π

Γ Γ π+ =

= + = =

11 1 1 11

2 2 2 2 2

E -3نكته ارائه شده در قسمت

0

تعريف

جدول

u

dv

جدول

فرض سؤال

131


90- )4(

: دانيم كه با توجه به رابطة ارائه شده در درس مي

aax xsin x sin x

d e d e

a

ω ω ω ωπ πω ω

ω ω

+∞ +∞=− −

= ⎯⎯⎯→ =

+ +∫ ∫

1

2 2 20 02 21

91- )2(

: نويسيم صورت زير مي ابتدا انتگرال داده شده را به

( ) ( )( )

cos x cos xdxdx dx I

x x x

+∞ +∞ +∞−

= −

+ + +∫ ∫ ∫2 2 20 0 0

1 2 21

22 1 1 1

: كنيم هاي فوق را جداگانه حل مي گرالدر ادامه انت

: حل انتگرال اول

( )dx

arctan x II

x

π π+∞

+∞

= = − =

+∫ 20

0

0

2 21

: كنيم براي حل اين انتگرال از رابطة زير استفاده مي: حل انتگرال دوم

( )a

a

cos x cos xdx e dx e III

ax a x

ωωω π π+∞ +∞=− −

== ⎯⎯⎯→ =

+ +∫ ∫

2 2

12 2 20 0

2

2 21


( ),( ),( ) ( ) ( )( )

cos xI II III dx e e

x

π π π+∞− −−

⇒ = − = −

+∫

2 2

20

1 2 11

2 2 2 42 1

92 - )2(

: كه انتگرال داخلي شبيه تعريف كانولوشن دو تابع است، پس داريمتوان فهميد با كمي دقت مي

( )x xt x x t x

e cos t dt e cos t dt− − − −

= =∫ ∫6 6 7

0 0

انتگرال داخلي

( ) ( ) ( )*x

x x t x xe e cos t dt e e cos x I− − −

= ∫7 6 7 6

0

: بنابراين انتگرال داده شده برابر است با

( )

( )*x It x x xe cos t dt dx e e cos x dx

+∞ +∞− − −

∫ ∫ ∫6 7 6

0 0 0

( )*x

s

e cos x

=

6

7

L

( ) ( ) ( )x

s s

s

e cos x

ss= =

× = × = × =−

+

6

27 7

1 1 7 7

6 1 50 501

L L

انتگرال دوم

اولانتگرال


E -3با توجه به تعريف لاپلاس و نكتة بيان شده در قسمت

تكنيك هشتم


test fasl 1 Pasokh/fasl...25 3 5 2 5 3 5 2 3 25 25 25 LLL: ' %& s 3 s $ + , ! "# (( )) ( )3 t ss ss...

Documents

Transcript of test fasl 1 Pasokh/fasl...25 3 5 2 5 3 5 2 3 25 25 25 LLL: ' %& s 3 s $ + , ! "# (( )) ( )3 t ss ss...