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Econometria

1. Alguns tópicos importantes de Álgebra Linear

Operações básicas de vetores

� Adição� Suponha dois vetores x e y com n componentes

cada:

Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009


� Multiplicação escalar� x é um vetor com n componentes, α é um escalar.



� Multiplicação


Independência de vetores

� Considere os seguintes m vetores de dimensãon:

� Podemos escrevê-los da seguinte forma

{x1, x2, . . . , xm}


Independência de vetores

� O conjunto de m vetores é dito independentese nenhum deles pode ser escrito como umacombinação linear dos demais.

� Se {x1,x2,…,xm} são vetores independentes nãoexiste um conjunto de escalares diferentes de zero {a1, a2, . . . ,am} tais que:

a1x1 + a2x

2 + . . . + amxm = 0


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Ortogonalidade


� Dois vetores x e y são ortogonais se e somentese:

x'y = 0

� Isto implica que o ângulo formado entre estesdois vetores tem coseno igual a zero.

Base de um espaço vetorial


� Um conjunto de vetores {x1,…,xm} que sãoindependentes formam um espaço vetorial V de dimensão m.

� Por exemplo, se m = 3

Base de um espaço vetorial


� Os três vetores podem ser usados paraconstruir qualquer vetor no espaço R3.

� Qualquer vetor de dimensão M pode ser construído como uma combinação linear dos vetores x1,x2,…xm se estes vetores sãoindependentes.

� Um conjunto de m vetores que forma um espaço V de dimensão m constitui a base desteespaço.

Norma


� O tamanho da norma de um vetor x é definido como:

� Dois vetores são ditos ortonormais se e somente se:

( ) ( ) 212

12 ' xxxx i == ∑

0'

1

===

yx

yx

Norma


� Exemplo:

Matrizes: operações


� Adição: as matrizes devem ter a mesma dimensão.

3



� Propriedades da Adição

Se A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn, a, b escalares:

1. A = B sss aij = bij para todo i, j

2. C = A ± B sss cij = aij ± bij para todo i, j

3. aA = [a×aij]mxn

4. a(A + B) = aA + aB

5. aA + bA = (a + b)A

6. A ± B = B ± A (lei comutativa)

7. A ± (B ± C) = (A ± B) ± C (lei associativa)



� Multiplicação: � Se A é uma matriz mxn e B uma matriz nxm (o número de

colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B):



� Exemplo:



� Propriedades da Multiplicação

1. A(B + C) = AB + AC

2. (A + B)C = AC + BC

3. AB = 0 ≠ A = 0 ou B = 0

4. AB = AC ≠ B = C

5. AB ≠ BA na maioria dos casos

Matrizes: determinantes


� Matriz 2×2:

21122211 aaaaA −=



� Matriz 3×3:

4



� Matriz 3×3:

( )( ) ( )22132312311332331221

3223332211

bbbbbbbbbb

bbbbbB

−+−−−−=

Determinantes: interpretação

geométrica


� Exemplo:

�

Matrizes: transposta


� Se a matriz A é mxn, sua transposta, A', será nxm, i.e., se A = [aij] então A' = [aji].

� Exemplo:

Matrizes: transposta


� Propriedades:

1. (A + B)' = A' + B‘

2. (AB)' = B'A‘

3. Uma matriz A tal que A’A=A é dita matriz idempotente

Matrizes: posto


� Seja A uma matriz mxn. O posto de A é dado pelamaior ordem possível das submatrizes quadradas de A, com determinantes diferentes de zero.

� O posto da linha de A é o maior número de linhaslinearmente independentes.

� Se todas as linhas de A forem linearmenteindependentes, A tem posto cheio (full row rank).

� De forma similar, o posto da coluna de A é o maiornúmero de colunas linearmente independentes.

Matrizes: posto


� Exemplo:

� Para cada submatriz de ordem 4 (existem 5), o determinante é zero. Para cada submatriz de ordem 3 (há 40), o determinantetambém é zero. Mas, para a matriz abaixo, o determinante não é nulo, logo, o posto é 2.

−−−

−−

072537

21713

141915111

35231

08111

31det ≠=

5

Matrizes: posto


� Exemplo:

� A matriz A tem determinante igual a zero (3a. linha igual a 2a. linha multiplicada por -3).

� Posto de A = 2

−−−=

−=−−=++−=++

336

112

321

1336

02

132

A

zyx

zyx

zyx

Matrizes: posto


� Propriedades:

1. Posto da linha = posto da coluna

2. ρ(AB) ≤ ρ(A) e ρ(B)

3. ρ(A) + ρ(A') = ρ(AA') = ρ(A'A)

4. ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B)

5. se |Amxm| = 0 logo ρ(A) < m

Matrizes: inversa


� Considere uma matriz A quadrada, se a inversa de A existir, será única:

� Cofator: quando os elementos da i-ésima linha e da j-ésima colunada matriz A são removidos, o determinante da sub-matriz quadradaque permanece é chamado de “first minor” (primeiro menor) de A e denominado |Aij|. O determinante afetado pelo sinal (-1)i+j é chamado de cofator de aij:

∆ij =(-1)i+j |Aij|

Matrizes: inversa


� Exemplo:

Matrizes: inversa


� Se a Matriz A é não singular, sua inversa é dada por:

� Onde [Aij]' é a matriz dos cofatores transposta: matriz adjunta de A.

Matrizes: inversa


� Exemplo:

|A| = (-1)2(1)(0-6) + (-1)3(4)(10 + 2) + (-1)4(1)(6 - 0)

= (-6) - (48) + 6

= - 48

6

Matrizes: inversa


Matrizes: inversa


Matrizes: inversa


� Propriedades:

1. Se |A|≠0 As linhas de A são linearmente independentes

As colunas de A são linearmente independentes

2. (AB)-1 = B-1A-1

Matrizes: traço


� Traço de A =

� Propriedades:

1. Tr (kA) = k Tr(A), onde k é um escalar

2. Tr (AB) = Tr (BA)

3. Tr (In) = n

Transformações lineares


� Transformação de um vetor no subespaço Rn em um vetor no subespaço Rm

� Na notação matricial: Y = AX , onde X e Y são vetores de ordem n e m, respectivamente, e, A é uma matriz de dimensão mxn.

� Exemplo:

� A projeta o vetor X tridimensional,

em um plano bidimensional.

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