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Desenvolvimento

Para que possamos resolver a equação da onda em coordenadas esféricas, antes é

necessária a dedução do operador Laplaciano nessas coordenadas, portanto temos:

Em coordenadas esféricas:

2

3

4

Somando:

Obtém-se:

Em coordenadas esféricas.

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Solução da Equação da Onda em Coordenadas Esféricas

Usando o método da separação de variáveis:

Dividindo toda a equação por temos:

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Como esperamos que a solução varie harmonicamente com o tempo, fazemos:

Multiplicando a equação por :

Multiplicando a equação por :

Multiplicando a equação por :

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Como é periódica de período

Multiplicando a equação por :

Dividindo a equação por :

Fazendo uma mudança de variável

Substituindo em

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Sob esta forma, esta equação lembra a equação de Legendre:

Para explorar esta semelhança, faremos uma segunda mudança de variável.

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Substituindo em :

Portanto, se fizermos esta equação será satisfeita pelas

→ -ésima

derivada de

→ voltando à equação em R.

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Fazendo x=mr e R(r) → Y(x)

Substituindo na equação

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Comparando com a equação de Bessel modificada:

Como → inteiro inteiro

A solução é do tipo:

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(*) Agora consideremos uma função já conhecida denominada Harmônica

esférica e seja:

O autovalor λ será determinado pela segunda equação *Y( ) deve ser finito para 0 ≤ ϕ ≤ π e para 0 ≤ θ ≤ 2π+, e teremos funções características Y λ(ϕ,θ) correspondentes a estes auto autovalores. Então, toda a função ψk poderá ser descrita por uma superposição do tipo

ψk (r) = C λRλ(r)Yλ(ϕ,θ).

Observação: A “soma” em relação a λ deve ser considerada simbólica, pois ainda não exploramos a natureza do espectro de λ: se é continuo ou discreto, se há ou não degenerescências.

Para determinarmos os valores permissíveis de λ, completamos a separeção de variáveis, fazendo Y( ϕ, θ) = Θ(ϕ)Φ(θ). Isso conduz às equações

,

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Que já resolvemos. Sabemos que o espectro de λ 1 é discreto, e consta de λ 1 = -m²(m = 0,1,2,...), e as funções características podem ser definidas como segue.

Para m=0,

Φ0(θ) = 1,

e para m ≠0

cos mθ

Φm(θ) = ou

sen mθ

Estas funções são ortogonais entre si e suas integrais de normalização são

É conveniente agora termos estas funções características normalizadas de modo a terem norma 1, multiplicando-as por constantes apropriadas de maneira que todas as integrais de normalização sejam iguais à unidade. Esta condição define as funções normalizadas

Φ0(θ) =

(m =0),

Φm(+)(θ) =

(m ≠0),

Φm(-)(θ) =

onde os símbolos (+) e (-) nos lembram que estas funções são pares ou ímpares com relação à mudança θ ↔ - θ. No que concerne às funções Θ, sabemos que o espectro de λ é também discreto, com:

λ = - l ( l + 1 ) ( l = 0,1,2,3,...)

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Mas para que um m dado, devemos ter l ≥m. As soluções da equação em Θ são as funções de Legrendre associadas Pl

m(cos ϕ). É conveniente normalizá-las para também terem norma um, definindo

Θlm(cos ϕ) =

Pl

m(cos ϕ),

de maneira que

ϕ

=

Deveria agora estar claro que a equação dos autovalores

Possui os autovalores

λ = - l (l + 1) (l = 0,1,2,...),

Que são, contudo, degenerados (exceto se l=0), pois para cada valor fixo de l temos

várias funções características, ou seja

E assim, sucessivamente, até

Assim, cada valor de l corresponde a (2l+1) funções características distintas, e assim

exibe uma degenerescência de ordem (2l+1).

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Definimos agora as soluções fundamentais da EDP( satisfeitas as condições de

contorno apropriadas)

Por meio das fórmulas

(m≠0)

Estas soluções podem ser chamadas de harmônicas esféricas (na definição clássica).

Segue-se que a série de Ψk(r) do tipo

]

Deveria, em realidade, ser da forma

Suponha que r seja fixo; então torna-se uma função somente de e

estamos lidando com uma expressão do tipo

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Este desenvolvimento em série é válido para uma função arbitrária sujeita a

condições usuais semelhantes ás exigidas para as séries de Fourier, séries de Fourier-

Legendre, séries de Fourier-Bessel e outras. Os coeficientes do desenvolvimento são

obtidos multiplicando pela harmônica esférica correspondente e pelo fator

, e integrando em relação aos ângulos:

Portanto verificamos a solução formal de (†):

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Conclusão

Podemos concluir que as soluções satisfazem a equação da onda e podemos resolver

inúmeros problemas com combinações de condição de contorno diferentes. Estes

resultados nos permitem presumir o comportamento de uma onda esférica no espaço-

tempo.

Referências:

Notas de aula, solução da equação da onda esférica – A. S. De Assis

Teoria do Eletromagnetismo – Vol 1, Kleber Daum Machado, editora UEPG, Ponta

Grossa, 2000.

Mathematical Physics – Eugene Butkov, Addison-Wesley, New York, 1968.