AREA ELLISSE

L’ Area dell' Ellisse o di un Settore di Ellisse è facilmente calcolabile tramite l’integrale delle funzioni parametriche dell’ ellisse: con le formule indicate sotto. 

Qualunque libro si consulti in proposito, indica l'area dell'Ellisse ma non quella del Settore con:

AREA ELLISSE =mqπ

 Il fatto è che l’angolo indicato con π è l’angolo della circonferenza di riferimento, da cui le formule parametriche (P1 = x,y) x=qcosE e y=sinE (q>m semiassi) e non l’angolo della ellisse, il cui valore β (vedi Fig.1) è semplicemente legato all’angolo della circonferenza di riferimento dalla formula:

 tanβ=mq

tanE

 E’ ovvio che nei valori 0°;90°;180°;270°;360° il valore di β e di E coincidono.

 La dimostrazione di quanto detto è in Geometria Parametrica - Equazione Parametrica di Vag - Capitoli sul Piano - Cap.VII° AREA E PERIMETRO DELL’ELLISSE punto II° INTEGRALE DI VAG.

 

Qui ne diamo una sintetica illustrazione:

 In una ellisse infatti (vedi Fig.1) abbiamo che l’area del Settore P0OP1P0=S1   come risultato di un integrale dato in forma parametrica, è

 con q>m semiassi ed E parametro (valore dell’ angolo (in radianti) della circonferenza di

riferimento), dove  tanβ=mq

tanE  e  per E= si avrà l'area totale mq come indicato

all'inizio; mentre l’area P0SP1P0 vale:           

A1=qm2

E−O Sm sinE2

=qm2

(E−OSq

sinE )

Pertanto abbiamo che                       

S1

E=

A1

(E−OSq

sinE)=qm

2

dove l'area dell' ellisse, totale o parziale, rimane sempre proporzionale al valore dell' angolo E. 

Posto OSq

=ε   poichè OS<q avremo ε<1 e la formula generale per l’area di un settore di ellisse (a

partire dalla sua ascissa) è: 

dove:  

per ε=0 avremo                  

per ε<1 avremo

 per ε=1 avremo l'unghia

 

Qualora il punto S coincidesse con il fuoco dell’ ellisse si avrebbe che ε=e=eccentricità: ed è in questo caso che rientra la Seconda Legge di Keplero, dove il valore ( E−e sinE )=M    è chiamato Anomalia Media ed E Anomalia Eccentrica.

Ricordiamo l’importante relazione che intercorre tra i vari angoli:

                

Poiché per un valore di ε la formula della proprietà dell’ ellisse dipende da E, angolo di una circonferenza, è facile dedurre la costanza delle aree.

Si noti che nella formula che lega gli angoli, il valore dell’angolo β è sempre riferito ad un angolo adiacente all’asse delle x(come in figura) ma tale condizione non vale per il valore E della circonferenza di riferimento, essendo questi proporzionale alla relativa area, ovunque essa si trovi.

Un valore di β intermedio (cioè non adiacente all’asse delle x) può essere, quindi, calcolato solo per differenza.

Analogamente, noto S1 area di un settore di ellisse di semiassi dati, essendo tale area proporzionale all’angolo E, da questi posso risalire al valore dell’ angolo β (ma tale angolo si intende dalla ascissa).

Per un’area intermedia posso arrivare a conoscere il valore β soltanto conoscendo almeno un punto dell’estremo del settore, che mi permetta il calcolo di β per differenza.  

Si vedano gli esempi in Geometria Parametrica - Equazione Parametrica di Vag - Capitoli sul Piano - Cap.VII° AREA E PERIMETRO DELL’ELLISSE.