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LA DANZA M ÁG IC A D E Φ Y EL C R E C IM IEN TO H O M O TÉTIC O
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LA DANZA MÁGICA DE Φ
Y EL CRECIMIENTO HOMOTÉTICO
El triángulo es el único polígono que viene determinado por sus lados. Es decir, dados tres segmentos -tales que la suma de dos cualesquiera sea superior al otro- existe un único triángulo que los tiene por lados.
Nos preguntamos, ahora, cuántas formas triángulares existen que tengan sus lados en progresión geométrica. Como no nos importa el tamaño, reducimos en una las variables y tomamos un lado de longitud unidad.Además, basta considerar el caso en que la progresión sea creciente,
pues estos dos triángulos son semejantes, por tener sus lados proporcionales:
1 r
r2 1
r-1r-2
En ProgresiEn Progresióón Geomn Geoméétricatrica……
Evidentemente, la condición de que la suma de dos cualesquiera de los lados sea superior al otro pone límites a los valores que puede tomar la
razón r (r ≥ 1) de la progresión geométrica en cuestión.
Como hemos dicho, dada una razón r ≥1, que cumple esa condición,
r-1 ≤ 1, conduce a la misma solución, sólo que en este caso los lados
están en progresión geométrica decreciente. En este caso el límite
inferior sería:
1151
22
51
…… con unos Lcon unos LÍÍMITES.MITES.
2
511 rr2 ≤ r +1 r2 – r – 1 ≤ 0
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Es decir, EXISTEN INFINITAS FORMAS TRIANGULARES QUE TIENEN SUS LADOS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
Cada uno de ellas caracterizada por la razón de la progresión geométrica creciente en que tiene sus lados.
Pero los valores que puede tomar esta razón tiene unos límites, los límites que marca el siguiente intervalo semicerrado:
O bien,
TriTriáángulos ngulos ‘‘geomgeoméétricostricos’…’…
)2
51,1[ r
Donde φ=0,618033… y Φ= 1,618033..
]1,2
51(1 r
EMBED PowerPoint.Slide.8
Veamos dos FORMAS particulares.
EQUILÁTERA RECTÁNGULAR
11 Φ1
1
r = 1 r =
…… y muy y muy ‘‘especialesespeciales’’..
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EMBED PowerPoint.Slide.8
La SecciLa Seccióón n ÁÁureaurea……
1
En el límite, los lados ‘colapsan’ formando un segmento de línea recta, y en vez de un triángulo tenemos LA SECCIÓN DE UN
SEGMENTO en PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. Así:
r
r2
O bien, r2 = r +1 r = .5 +.5 * 5^.5 = ΦSe trata de una SECCIÓN en ‘media y extrema razón’:
El total es a la parte mayor, como la mayor a la pequeEl total es a la parte mayor, como la mayor a la pequeññaa
…… y su Danza My su Danza Máágica.gica.
Φ 1
Y, hora, un poquito de presión
… produce una ROTACIÓN MÁGICA
del segmento mayor alrededor del menor.
Se trata de una DANZA muy especial
de la que estudiaremos cuatro pasos.
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Primer paso: 90Primer paso: 90ºº (la rectitud)(la rectitud)
Φ
1Φ
90º
El RectEl Rectáángulo ngulo ÁÁureoureo
1
Φlarguraanchura
Mod = = ΦΦ
El NEl Núúmero de su Formamero de su Forma
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El Crecimiento HomotEl Crecimiento Homotééticotico……Si tenemos una figura geométrica (el germen), llamaremos GNOMON de esa forma a toda otra que por yustaposición con la primera produzca otra figura semejante a la inicial. Por ejemplo, el la figura adjunta se muestra el gnomon del cuadrado (lo que justifica su nombre)
El GNOMON (que tiene raiz de conocimiento) era el instrumento astronómino, compuesto de un estilo vertical y un círculo horizontal, con el cual se determinaban el acimut y altura del Sol (antiguo reloj de sol babilonio). Con el tiempo, pasó a llamarse gnomon sólo a la varilla o estilo que produce la sombra en los relojes de sol y a la escuadra de los carpinteros (que eran piezas similares)
1
Φ
…… del Rectdel Rectáángulo ngulo ÁÁureoureo
ba
aba
Nos preguntamos ahora qué forma produce el crecimiento
homotético del rectángulo áureo.
De la figura
Se desprende
que se trata de un CUADRADO.
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Φ
El Germen o la SemillaEl Germen o la Semilla……
1Φ
Y ya que:
Φ2 = Φ + 1
tenemos que:
Φ2 Φ + 1 ΦΦ Φ 1
= =
…… y el GNOMONy el GNOMON
1Φ
Φ
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1Φ
Φ
El J uego de la HomoteciaEl J uego de la Homotecia……
1Φ
Φ
……recreando Germen y Gnomonrecreando Germen y Gnomon
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
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1Φ
Φ
En un EspectEn un Espectááculo Mculo Máágicogico……
1Φ
Φ
……que no tiene principio ni final.que no tiene principio ni final.
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1Φ
Φ
Es el J uego de la HomoteciaEs el J uego de la Homotecia……
……aspirando a ser CONTINUA.aspirando a ser CONTINUA.
En la ESPIRAL DE ALBERTO DURERO
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¿Existe alguna Progresión Geométrica que sea Aritmética?
Sea 1, r, r2, r3, r4, r5, r6, r7…. (razón r)Exijamos que también sea Progresión Aritmética.
Es decir, r-1 = r2-r (razón d) r = 1 (d=0) CONSTANTE
¿Existe alguna Progresión Geométrica que participe de la ‘Esencia Aritmética’?
Exijamos, por lo menos, que sea ‘Sumativa de Dos Tiempos’.
Es decir, 1+r = r2, que hará ‘hereditario’
que cada término sea suma de los dos anteriores.
Un poco de álgebra nos conduce a 2
51r
¿¿GEOMGEOMÉÉTRICA y TRICA y ‘‘aritmaritmééticatica’…’…??
= Φ
Todas la Progresiones Sumativas de dos tiempos ‘convergen’ hacia una geométrica de razón Φ
Sea 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89….una progresión sumativa de dos tiempos (Tipo Fibonacci)
Puen bien, ‘termina’ convirtiéndose siempre en una aproximación muy buena de una sucesión geometrica de razón Φ.
En efecto, an/an-1 Φ
SSÓÓLO UNA, que se realizaLO UNA, que se realiza……
…… de forma NATURAL bajo de forma NATURAL bajo condiciones muy generales.condiciones muy generales.
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Dicho de OTRA FORMADicho de OTRA FORMA……
Este ‘Rectángulo Fibonacci’
CONVERGE RÁPIDAMENTE
A éste otro:
EL RECTEL RECTÁÁGULO GULO ÁÁUREOUREO
…… o de OTRA Mo de OTRA MÁÁS.S.
Esta ‘Espiral Fibonacci’
CONVERGE RÁPIDAMENTE
A ésta otra:
LA ESPIRAL DE DUREROLA ESPIRAL DE DURERO.
Que difiere muy poco de la ESPIRAL ÁUREA (en verde),
quien sí realiza el ideal de LA HOMOTECIA CONTINUA
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Φ
1
……con un segundo paso: 108con un segundo paso: 108ºº
108º
mediatriz
Φ
1
El baile prosigue armoniosoEl baile prosigue armonioso……
Hasta el TriHasta el Triáángulo Isngulo Isóósceles Sublimesceles Sublime
Φ
1
α
2α 2α
Mod = = ΦΦ
El NEl Núúmero de su Formamero de su Forma
lado iguallado desig
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Nos preguntamos ahora qué forma produce el crecimiento homotético
de este Triangulo Isósceles Sublime.
De la figura
Se desprende
Que se trata de otro
TRIÁNGULO ISÓSCELES.
Con su crecimiento homotCon su crecimiento homotééticotico
Φ
1
α
2α 2α
2α2α
α
3α
α
α
α
Germen y GnomonGermen y Gnomon……
1
α
2α 2α
2α2α
α
3α
α
α
Φ
3α
α
α
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
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…… vuelven a recrear la Spira Miriabilisvuelven a recrear la Spira Miriabilis
¡…¡…o casi!, tarareandoo casi!, tarareando……
…“…“Eadem Mutata ResurgoEadem Mutata Resurgo””
‘‘MUTANTE Y PERMANENTE VUELVO A RESURGIR SIENDO LA MISMAMUTANTE Y PERMANENTE VUELVO A RESURGIR SIENDO LA MISMA’’_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
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x 1/Φ2
x 1/Φ
1/Φ
1/Φ
1/Φ2
1/Φ
1
1
Serie geométrica de triángulos semejantes (todos sublimes)
La AUTOSEMEJ ANZALa AUTOSEMEJ ANZA……
1/Φ3
1
1/Φ
1
1/Φ2
1/Φ
1/Φ2
……y la IRRACIONALIDAD.y la IRRACIONALIDAD.
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Φ
1
……con el Tercer Paso: con el Tercer Paso: ¿…¿…??
¿…?
Φ
1
Yendo otro poquito mYendo otro poquito máás alls allá…á…
Hasta el TriHasta el Triáángulo Rectngulo Rectáángulo ngulo ÁÁureoureo
1
Φ
El Único Triángulo Rectángulo que tiene sus lados en Progresión Geométrica
El TriEl Triáángulo de Keplerngulo de Kepler
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Φ 1
Con Regla y CompCon Regla y Compááss……
… y el TEOREMA DE LA ALTURA, construimos , y…
Φ
…… descubrimos su GNOMONdescubrimos su GNOMON
1
Otro Triángulo Rectángulo SEMEJANTE
Φ
Φ
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Un crecimiento homotUn crecimiento homotéético mtico máágicogico
1 1/Ф2
Φ
…… que desvela la IRRACIONALIDADque desvela la IRRACIONALIDAD
1/Ф3
1/Φ
1/ 1
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aao
Herodoto relata que los sacerdotes egipcios le habían enseñado que las proporciones establecidas en la Gran Pirámide eran tales que:
El cuadrado de la altura de la pirámide es igual al área de cada
una de las caras triangulares.
12
Es decir: ( 1 )aAH2
P
MPor el teorema de Pitágoras en el triángulo POM: 222 aHA
Sustituyendo por su valor en ( 1 ) y dividiendo por se tiene:
2H 2a
ΦaA haciendo ;1
aA
aA
2
2
Tenemos la ecuación del numero Áureo:
La Gran PirLa Gran Piráámide de Guizamide de Guiza……
…… y su Trazado Directory su Trazado Director
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Φ
1
…… y la Cuarta Posiciy la Cuarta Posicióón: 144n: 144ºº
1144º
Φ
1
Otro pasito Otro pasito ‘‘palantepalante’…’…
1Φ
1
Hasta el TriHasta el Triáángulo Sublime Mayorngulo Sublime Mayor
α
α
3α
Mod = = ΦΦ--1 = 1 = φφ
El NEl Núúmero de su Formamero de su Forma
lado iguallado desig
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Φ Φ
1
Su GNOMON: un viejo conocido.Su GNOMON: un viejo conocido.
α
α
3α
Φ
α2α
2α
El Triángulo Sublime Menor
¡¡La Clave estLa Clave estáá en el 5!en el 5!
11
.5 +.5 .5 +.5 ** 5^.5 = 5^.5 = ΦΦ
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1
Uno, Dos TriUno, Dos Triáángulos Mayoresngulos Mayores
α
α
3α
Φ
3α
α α
º365
º180
1
…… y otro Triy otro Triáángulo Sublime Menorngulo Sublime Menor
α
α
3α
α α
3α
α2α
2α
º365
º180
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La Pentalfa, PentLa Pentalfa, Pentááculo o Pentagramaculo o Pentagrama
1/Φ
1
1/Φ2
Φ
Las Copas SagradasLas Copas Sagradas
xΦα α
3α
3α
α
2α2α
α
3α
α α
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1/Φ2
1
Φ Φ2
Φ3Φ4
1/Φ
LA DANZA DE MLA DANZA DE MÁÁGICA DE GICA DE ΦΦ……
GIRO de 108GIRO de 108ºº y EXPANSIy EXPANSIÓÓNN ΦΦ
Quede esto así, escenificado para ti.
……nos desvela su SECRETOnos desvela su SECRETO
GIRO de 180GIRO de 180ºº y CONTRACCIy CONTRACCIÓÓN N ΦΦ
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