1)Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo A e xo un punto di accumulazione di A.Quale ( o quali ) delle seguenti proprietà non esprime la continuità di f(x) in xo?

a) limx→ xo

−¿ f (x)= limx→ xo

+ ¿f (x) ¿¿ ¿

¿ (entrambi finiti)

b) lim∆ x→ 0

(f ( xo+∆ x )−f ( xo ))=0

c) Per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |f(x)-f(x0)|<ε per ogni x ∈ A con |x-x0|<δ

d) comunque si  prende un intervallo aperto I contenente f(x0) , esiste in corrispondenza un intervallo aperto J contente x0 e tale che tutte le immagini f(x) , con x appartenete a J intersecato con A , cadono in I .

Soluzione1

2) Dovendo calcolare il limitelimx→ ∞

sin xx

tre studenti ( A ,B e C) hanno fornito le seguenti risposte

A: Il limite richiesto è un noto limite fondamentale ed è uguale ad 1B: il limite richiesto vale 0 in quanto è il prodotto di una quantità che si mantiene limitata (sen x) per una quantità che diventa infinitesima (1/x)C: il limite richiesto non esiste . Infatti applicando la regola di de l'Hôpital si ottiene

limx→ ∞

sin xx

= limx →∞

cos x1

Poiché il secondo limite non esiste , allora non esiste neanche il primo

Quale dei tre ha fornito una risposta sostanzialmente corretta?

Soluzione2

3)Portare un esempio di funzione f(x) che goda delle seguenti proprietà:

A)1. è definita in [0;2] 2. è discontinua in un solo punto dell’intervallo stesso( precisando il tipo

di discontinuità)3. ammette massimo ma non minimo assoluto

B)1. è definita e continua in [0;2] 2. la sua derivata è discontinua in un solo punto dell’intervallo stesso

( precisando il tipo di discontinuità)

3. ammette all’interno dell’intervallo stesso un minimo relativo

C) 1. è invertibile 2. coincide con la sua inversa

D)

1. è invertibile 2. non è monotona (nell’intervallo)

Soluzione3

4) Completare la tabella seguente e inserire una funzione , nella terza e quarta riga ,in modo che risulti f(g(x))= g(f(x))

f(x) g(x) f(g(x)) g(f(x))ex x2

sin x 2xex

2x

Soluzione4

5)Quale tra i grafici seguenti, corrisponde alla funzione y= arcsen (sen x)?

a b c

Soluzione5

SOLUZIONI

1)la risposta a)

La condizione limx→ xo

−¿ f (x)= limx→ xo

+ ¿f (x) ¿¿ ¿

¿ (entrambi finiti)

esprime solo l’esistenza di un limite finito di f(x) quando x tende a xo.

Affinché la funzione sia continua deve risultare: limx→ xo

−¿ f (x)= limx→ xo

+ ¿f (x)=f ( xo) ¿¿ ¿

¿

La suddetta relazione è equivalente a quelle delle risposte b,c, d ( tendo conto anche della definizione di limite)

2)Risposta esatta :B

La prima è decisamente errata poiché il “noto” limite fondamentale è limx →0

sin xx

=1

La terza applica in maniera erronea il Teorema di de l'Hôpital: l’esistenza del limite limx→ ∞

f ' (x)g ' (x)

È condizione sufficiente ma non necessaria per l’esistenza del limite limx→ ∞

f (x )g (x)

3)A)Esempio N.1

f (x)={−x+1 0 ≤ x<1x 1≤ x≤ 2

La funzione :ha per dominio l’intervallo [0;2] ammette, per x=1 una discontinuità di prima specieha per codominio l’intervallo ]0:2]

Il teorema di Weierstrass non è applicabile, ma si può verificare direttamente l’esistenza di un massimo e la non esistenza di un minimo

Infatti il massimo è il valore 2, in corrispondenza del punto A(2;2), mentre il valore 0 è estremo inferiore ma non minimo in quanto non è un valore effettivamente assunto dalla funzione.

Esempio N.2

f (x)=¿

La funzione :ha per dominio l’intervallo [0;2]

ammette, nel punto P(1,12¿ una discontinuità eliminabile (terza specie)

ha per codominio l’intervallo ]0:1]

Il teorema di Weierstrass non è applicabile, ma si può verificare direttamente l’esistenza di un massimo e la non esistenza di un minimoInfatti il massimo è il valore 1, in corrispondenza dei punti A(0;1) e B(2;1), mentre il valore 0 è estremo inferiore ma non minimo in quanto non è un valore effettivamente assunto dalla funzione.

Esempio N3

f (x)={ln ∨x−1∨0 ≤ x<1∪1< x≤ 20 x=1

La funzione :ha per dominio l’intervallo [0;2] ammette, per x=1una discontinuità di seconda specie ha per codominio l’intervallo ]-∞ , 0]

Il teorema di Weierstrass non è applicabile, ma si può verificare direttamente l’esistenza di un massimo e la non esistenza di un minimoInfatti il massimo è il valore 0, in corrispondenza dei punti O(0;0), P(1;0) , A(2;0), mentre il minimo non esiste in quanto l’ estremo inferiore è -∞

C)E’ richiesta una funzione che sia una corrispondenza biunivoca, tale che ,inoltre, la sua espressione analitica non cambi quando si scambino tra di loro le variabili x ed y.

Esempio

f (x)=1x

La simmetria della curva rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante , fa sì che i grafici di f(x) e di f-1(x) si sovrappongano

D) La funzione richiesta deve essere biiettiva ma non deve essere monotona.Questo può accadere a patto che la funzione

1. non sia continua2. non sia definita in un intervallo

Esempio N.1

Funzione definita in ]-∞;0] ∪ [3;4] ed ha un punto isolato nel punto P(1;4)

f (x)={ x x ≤04 x=1

x−1 3≤ x ≤ 4

Il codominio è ]-∞;0] ∪ [2;3] ∪ {1 }

La funzione non è monotona nell’intorno di P ma è biiettiva e invertibile

f−1(x)={ x x ≤ 01 x=4

x+1 2 ≤ x≤ 3

GRAFICO di f (x) e di f−1(x), simmetrici rispetto alla retta y=x., in parte sovrapposti. Il dominio di f(x) corrisponde al codominio di f-1(x) e viceversa.

Esempio N.2Funzione definita in ]-∞;-2] ed ha un punto di discontinuità di terza specie nel punto P(-1;3)

f (x)={x x←1∪−1<x ≤23 x=−1

Il codominio è ]-∞;2] ∪ {3 }

La funzione non è monotona nell’intorno di P ma è biiettiva e invertibile

f−1(x)={x x←1∪−1<x ≤2−1 x=3

GRAFICO di f (x) e di f−1(x), sovrapposti ad eccezione dei due punti P e P’,simmetrici rispetto alla retta y=x.

Il dominio di f(x) corrisponde al codominio di f-1(x) e viceversa.

Esempio N.3La funzione è costituita da una serie di punti isolati. (-4,-1) (-3,-3) (-2,-2) (0,0) (2,2) (3,3) (4,1)

Dominio {−4 ,−3 ,−2,0,2,3,4 } Codominio {−1 ,−3 ,−2,0,1,2,3 }

La funzione non è monotona ma è biiettiva e invertibile

GRAFICO di f (x) GRAFICO di f−1(x)

4)f(x) g(x) f(g(x)) g(f(x))ex x2 ex2

e2 x

sin x 2x sin 2 x 2 sin xex ln x x xkx 2x 2kx 2kx

5)Grafico a)

Infatti la funzione “arcsen” restituisce un valore sempre compreso fra −π2

e π2 , pertanto

Se −π

2≤ x ≤ π

2 arcsen(sen x) = x

Se π2

≤ x ≤ 32

π arcsen(sen x) = π−¿x

( Si alternano, ogni mezzo periodo, segmenti appartenenti alle rette y=x-2kπ e y = (2k+1)π-x

DERIVE fornisce la seguente espressione analitica equivalente ( Basta applicare lo strumento

SEMPLIFICA-BASE alla funzione

GRAFICO