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FISICA GENERALEprova scritta del 19 giugno 2012

Problema 1Una pallina di massa m = 300 g è sospesa ad un filo di lunghezza L = 50 cm, a sua volta ancorato al soffitto di una stanza di altezza h = 3 m. La pallina descrive una traiettoria circolare. Se lʼangolo tra la direzione del filo e la verticale vale θ = 30°, calcolare:a) la tensione del filo;b) il periodo del moto di rivoluzione della pallina.Se improvvisamente il filo si spezza:c) calcolare il tempo che impiega la pallina a raggiungere il pavimento.

Problema 2Unʼasta omogenea do lunghezza L=60 cm e massa M=1.5 kg incernierata ad un suo estremo è tenuta in posizione orizzontale da un fune verticale.a) Calcolare la tensione della fune.La fune viene recisa e lʼasta ruota in un piano verticale fino ad urtare, dopo una rotazione di 90°, un blocchetto di massa m= 0.5 kg.Se lʼurto è completamente anelastico, calcolare:b) la massima escursione angolare θ compiuta dal sistema asta-blocchetto dopo lʼurto;c) lʼenergia meccanica perduta.

# #

problema 1 problema 2

Problema 3Due sfere conduttrici isolate di raggi 2r ed r (r=10 cm), che posseggono una carica netta rispettivamente uguale a +20 μC e -5 μC sono tenute ferme alla distanza d = 2 m tra i loro centri.a) Quale forza bisogna esercitare per tenerle in questa posizione?b) Calcolare lʼenergia del sistema.Esse vengono brevemente poste a contatto e successivamente riportate nella posizione inizialec) Calcolare la nuova carica su ciascuna sfera.d) Calcolare il lavoro complessivo fatto nellʼoperazione.

Problema 4Due spire circolari di raggi rispettivamente a=10 cm e b =2 cm sono disposte coassialmente nello stesso piano. Nella spira esterna a circola in senso orario una corrente Ia=50A e la spira interna b, che ha una resistenza Rb=20 mΩ, è alimentata da un generatore di tensione ε.a) Calcolare il valore ε, specificando il verso della corrente Ib che deve circolare nella spira b affinchè il campo magnetico totale nel centro comune O delle due spire sia nullo. Successivamente la spira b viene disconnessa dal generatore e la corrente della spira a viene portata a zero in un tempo ∆t = 2 ms. b) Calcolare la corrente indotta nella spira b specificandone il verso. (Assumere che il

campo magnetico nella regione occupata dalla spira b sia uniforme e pari al valore che ha in O)

problema 3

problema 4

FISICA GENERALEprova parziale del 12 aprile 2013

soluzioni

Problema 1a)Per la conservazione dell’energia meccanica:12mv0

2 = 12mvB

2 + 2mgR

vB = v02 − 4gR = 3.5 m / s

b)il tempo di caduta vale:

t =2hg

= 4Rg

= 0.5 s

Pertanto lo spostamento orizzontale vale:s = vBt = 1.75 m

Problema 2a)Per la condizione di equilibrio:

Fi∑ = 0 → T + R −Mg = 0

τ i∑ = 0 → MgL −T 34L = 0

Da cui si ricava:

T = 43Mg = 19.6 N

R = − 33Mg = −4.9 N (il segno meno sta ad indicare che R è rivolta verso il basso)

b)momento di inerzia prima dell’urto: I1 = ML

2

Per la conservazione dell’energia meccanica:12I1ω1

2 = MgL " da cui, sostituendo, si ricava: ω1 = 2gL = 5.7 rad/s

Il momento di inerzia dopo l’urto vale: I2 = M +m( )L2Per la conservazione del momento angolare:

I1ω1 = I2ω 2

da cui si ricava:

ω 2 =I1I2ω1 =

MM +m

ω1 = 4.29 rad/s

Ancora per la conservazione dell’energia meccanica:12I2ω 2

2 = M +m( )gL 1− cosϑ( )Sviluppando i calcoli:

1− cosϑ = MM +m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

E quindi:

ϑ = arccos 1− MM +m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 64o

c)L’energia meccanica perduta è data da:

ΔE = 12I2ω 2

2 − 12I1ω1

2 = −2.2 J

FISICA GENERALEprova scritta del 20 febbraio 2013

Problema 1Una pallina di massa m = 300 g è sospesa ad un filo di lunghezza L = 50 cm, a sua volta ancorato al soffitto di una stanza di altezza h = 3 m (Fig. 1). La pallina descrive una traiettoria circolare. Se il periodo di rivoluzione vale T = 1.32 s, calcolare:a) la tensione del filo;b) l’angolo che il filo fa con la verticale;Se improvvisamente il filo si spezza:c) calcolare il tempo che impiega la pallina a raggiungere il pavimento.

Problema 2Un pendolo é formato da un’asta rigida (L=60 cm) di massa trascurabile alla cui estremità si trova una sfretta puntiforme di massa M=1.5 kg. Esso è incernierato ad un suo estremo ed è tenuto in posizione orizzontale da una fune verticale ancorata all’asta ad una distanza d = 3/4 L dal suo estremo (Fig. 2).a) Calcolare la tensione della fune T e la reazione del vincolo R. Come è diretta R?La fune viene recisa e l’asta ruota in un piano verticale fino ad urtare, dopo una rotazione di 90°, un blocchetto di massa m= 0.5 kg.Se l’urto è completamente anelastico, calcolare:b) la massima escursione angolare θ compiuta dal sistema asta-blocchetto dopo l’urto;c) l’energia meccanica perduta nell’urto.

" "


Problema 3Un pallone di raggio R1 = 30 cm ha una carica Q = 3·10-8 C uniformemente distribuita sulla sua superficie. a) calcolare il campo elettrico E ad una distanza d = 40 cm dal centro del pallone.Supponiamo che il raggio del pallone si riduca al valore R2 = 10 cm.b) calcolare il valore del campo elettrico alla stessa distanza d = 40 cm.c) calcolare il valore dell’energia immagazzinata in tutto lo spazio nei casi a) e b)Una particella di massa m = 10 μg a carica q = -2·10-8 C si trova inizialmente in quiete ad una distanza z = 60 cm dal centro del pallone.d) calcolare la velocità con cui impatta sulla superficie del pallone nel caso a)

Problema 4Due spire circolari di raggi rispettivamente a=10 cm e b=2 cm sono disposte coassialmente nello stesso piano. Nella spira esterna a circola in senso orario una corrente Ia=10A e la spira interna b, che ha una resistenza Rb=20 mΩ, è alimentata da un generatore di tensione ε.a) Calcolare il valore ε, specificando il verso della corrente Ib che deve circolare nella spira b affinchè il campo magnetico totale nel centro comune O delle due spire sia nullo. Successivamente la spira b viene disconnessa dal generatore e la corrente della spira a viene portata a zero in un tempo ∆t = 2 ms. b) Calcolare la corrente indotta nella spira b specificandone il verso. (Assumere che il campo magnetico nella regione occupata dalla spira b sia uniforme e pari al valore che ha al centro)

ab

Ia

problema 4

FISICA GENERALEsoluzioni prova scritta del 20 febbraio 2013

FISICA GENERALEappello del 18 giugno 2013

Problemi di MeccanicaProblema 1Un cilindro di massa M = 2 kg cade dentro una guida, anch’essa cilindrica, partendo da fermo ad una altezza H = 1 m al di sopra dell’estremo a riposo di una molla di costante elastica k = 5·102 N/m. Lungo il tratto al di sopra della molla a riposo la guida sviluppa una forza di attrito Fatt = 10 N; l’attrito è invece nullo mentre il cilindro è a contatto con la molla. Calcolare:a) la velocità v0 del cilindro prima che urti la molla;b) la massima compressione h della molla;c) la massima quota H1, sempre riferita alla sommità della molla a riposo, fino alla quale il

cilindro risale spinto dalla molla.

Problema 2Un’asta rigida omogenea, di lunghezza L = 4 m e massa M = 10 kg può ruotare su un piano orizzontale attorno ad un asse verticale passante per il suo centro di massa. Due blocchetti, ciascuno avente una massa m = 4 kg ed una velocità v = 5 m/s in direzione ortogonale all’asta ma in verso opposto, urtano contemporaneamente l’asta alle estremità e vi si conficcano. Calcolare:a) la velocità angolare del sistema dopo l’urto;b) l’energia meccanica perduta.

Problema 1 Problema2

Problemi di ElettroMagnetismoProblema 1Una carica puntiforme Q1 = 1 nC è collocata nell’origine di un sistema di coordinate all’interno di un guscio sferico isolato conduttore con raggio interno a = 10 cm, raggio esterno b = 30 cm e centro nell’origine. La carica totale sul guscio è Q2 = - 3 nC. Calcolare:a) il campo elettrico E in funzione del raggio nelle tre regioni: r < a, a < r < b, r > b;b) la densità di carica superficiale sulla superficie interna del guscio conduttore;c) la densità di carica superficiale sulla superficie esterna del guscio conduttore. Problema 2Una spira metallica circolare di raggio a = 15 cm e resistenza R = 100 Ω è collegata ai morsetti di una batteria di f.e.m. ε = 100 V e resistenza interna r = 20 Ω. La spira giace nel piano XY con il centro nell’origine O, e le polarità della batteria sono tali che la corrente fluisca nella spira in verso antiorario rispetto all’asse Z. Calcolare in modulo, direzione e verso:a) il vettore momento magnetico μs della spira;b) il vettore campo magnetico Bs prodotto dalla spira nel suo centro Oc) il vettore campo magnetico Bs prodotto dalla spira in un punto P sull’asse della spira a

distanza z = 1 m da O;d) supponendo che la spira sia immersa in un campo magnetico esterno Be uniforme di

modulo Be = 2T diretto lungo l’asse X, calcolare in modulo, direzione e verso il momento meccanico τ agente sulla spira.

FISICA GENERALEsoluzioni appello del 18 giugno 2013

Problemi di MeccanicaProblema 1 (punti: 6 + 6 + 6)

a) Per la conservazione dell’energia meccanica, tenuto conto del lavoro della forza d’attrito e posto lo 0 dell’energia potenziale gravitazionale nella posizione di riposo della molla, si può scrivere:

#

Ugrav,in − Latt = K0 ⇒ Mg − Fatt( )H = 12Mv0

2

⇒ v0 = 2 g − FattM

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ H = 3.10 m

s

ove v0 è la velocità del cilindro prima che urti la molla.

b) Nuovamente dalla conservazione dell’energia meccanica:

#

K0 =Ugrav,1 +Uel,1 ⇒ 12Mv0

2 = −Mgh + 12kh2 ⇒ kh2 − 2Mgh −Mv0

2 = 0

⇒ h =Mg ± M 2g2 +Mv0

2kk

=Mg + M 2g2 +Mv0

2kk

= 2.39 ⋅10−1 m

ove h indica la massima compressione della molla e si è tenuto conto solo della soluzione di segno positivo.

c) Ancora dalla conservazione dell’energia meccanica, di nuovo tenendo conto del lavoro della forza d’attrito:

#

Ugrav,1 +Uel,1 − Latt =Ugrav,2 ⇒−Mgh + 12kh 2−FattH1 = MgH1

⇒ H1 =kh 2−2Mgh2 Mg + Fatt( ) = 3.25 ⋅10

−1 m

ove H1 indica la quota alla quale il cilindro risale spinto dalla molla (posizione riferita sempre alla posizione di riposo della molla stessa).

Problema 2 (punti: 8 + 7)

a) In primo luogo determino il momento d’inerzia totale del sistema dopo l’urto come:

# I tot =ML2

12+ 2mL

2

4=

M + 6m( )L212

Per la conservazione del momento angolare, posso scrivere:

# 2mv L

2= I totω ⇒ω = mvL

I tot= 12mvL

M + 6m( )L2 = 1.76 rads

b) L’energia meccanica perduta è semplicemente data dalla differenza tra l’energia cinetica rotazionale finale del sistema e l’energia cinetica traslazionale dei due proiettili prima dell’urto:

# ΔE = Efin − Ein = Kfin − K in =

12I totω

2 − 2 12mv2 = 1

24M + 6m( )L2ω 2 −mv2 = −29.41J

dove il segno negativo rende conto del fatto che il sistema ha perso energia.

Problemi di ElettroMagnetismoProblema 1 (punti: 6 + 5 + 5)

a) Il campo elettrico E in funzione del raggio nelle tre regioni: r < a, a < r < b, r > b è dato da:

# E =

14πε0

Q1

r2 per r < a

0 per a < r < b1

4πε0

Q1 +Q2

r2 per r > b

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

b) Siccome all’interno del conduttore il campo elettrico E deve essere nullo, la densità di carica superficiale sulla superficie interna del guscio conduttore (a partire dal teorema di Gauss) deve essere data da:

#

0 =Qint =Q1 +Qsup-int ⇒Qsup-int = −Q1

⇒σ sup-int =Qsup-int

4πa2= −Q14πa2

= −7.96 ⋅10−9 Cm2

c) Nota la carica totale sul guscio sferico, deduciamo la porzione di carica sulla sua superficie esterna e quindi la densità di carica superficiale sulla superficie esterna del guscio conduttore stesso:

#

Q2 =Qsup-int +Qsup-ext ⇒Qsup-ext =Q2 −Qsup-int =Q2 +Q1

⇒σ sup-ext =Qsup-ext

4πb2= Q2 +Q14πb2

= −1.76 ⋅10−9 Cm2

Problema 2 (punti: 5 + 4 + 4 + 4)

a) Corrente che fluisce nella spira ed area della spira:

# is =

εr+ R

= 0.83 A

# As = πa2 = 7.07 ⋅10−2 m2

Pertanto il momento magnetico μs è:# µs = isAs = 5.89 ⋅10−2 Am2

diretto in verso concorde alla direzione positiva dell’asse z.

b) Il vettore campo magnetico Bs prodotto dalla spira nel suo centro O ha modulo pari a

#

Bs z= 0 m( )=µ0isa

2

2 z2 +a2( )3 2=

µ0is2a

= 3.49 ⋅10−6 T

ed è diretto in verso concorde alla direzione positiva dell’asse z.

c) Il vettore campo magnetico Bs prodotto dalla spira in un punto P sull’asse della spira a distanza z = 1 m da O ha modulo pari a

#

Bs z=1m( )=µ0isa

2

2 z2 +a2( )3 2=1.14 ⋅10−8 T

ed è diretto in verso concorde alla direzione positiva dell’asse z.

d) Supponendo che la spira sia immersa in un campo magnetico esterno Be uniforme di modulo Be = 2T diretto lungo l’asse x, il momento meccanico τ agente sulla spira ha modulo:# τ = µs×Be = µsBe =1.18 ⋅10−1 Nmed è diretto in verso concorde alla direzione positiva dell’asse y.

FISICA GENERALEappello del 16 luglio 2013

Problemi di MeccanicaProblema 1Un corpo puntiforme di massa m = 50 g scivola su una guida priva di attrito partendo da fermo da un’altezza h = 1 m. Nel punto di raccordo tra guida e piano è inizialmente fermo un corpo puntiforme di massa M = 500 g. L’urto tra m ed M è elastico. Se il piano orizzontale è scabro (μd = 0.1), si calcoli:a) la quota h1 a cui risale il corpo di massa m;b) lo spazio percorso da M sul piano prima di arrestarsi.

Problema 2Un disco di massa M = 10 kg e raggio R = 1 m può ruotare, in presenza di attrito, attorno ad un asse verticale perpendicolare al piano del disco. Al disco, inizialmente fermo, è applicato un momento costante τ = 3 Nm per un tempo t1 = 5 s. Terminata l’azione di τ, si osserva che il disco si ferma in un tempo t2 = 10 s. Calcolare:a) la velocità angolare massima raggiunta dal disco;b) il momento frenante τa (costante) che agisce sul disco a causa dell’attrito.

Problema 1

Problemi di ElettroMagnetismoProblema 1Una sfera metallica di raggio R = 30 cm è collegata tramite un filo conduttore e un tasto ad una armatura di un condensatore di capacità C = 60 pF. L’altra armatura del condensatore è collegata a terra. Inizialmente il tasto è aperto e la sfera si trova ad un potenziale V0 = 250 V, mentre il condensatore è scarico. Chiudendo il tasto, la sfera e il condensatore raggiungono l’equilibrio elettrostatico. Calcolare:a) la capacità della sfera (supposta isolata) e la carica da essa posseduta prima della

chiusura del tasto;b) il potenziale Vf a cui la sfera si porta a seguito del collegamento;c) l’energia dissipata durante il transitorio. Problema 2Un sistema di due conduttori elettrici coassiali, denominati 1 e 2, è realizzato come in figura. Il conduttore 1 più interno ha raggio r1 = 1 mm ed è percorso da una corrente i1 = 0.25 A rivolta nel verso entrante rispetto al piano della figura, mentre il conduttore esterno ha raggio interno r2 = 3 mm e raggio esterno r3 = 4 mm.a) quanto vale e come è orientato il campo magnetico ad una distanza radiale rint = 2 mm

dall’asse dei due cilindri?b) Quanto deve valere la corrente che scorre in 2 e come deve essere diretta affinché il

campo magnetico ad una distanza rext = 5 mm dall’asse valga 3 μT?

!! ! Problema 1 Problema 2

FISICA GENERALEsoluzioni appello del 16 luglio 2013

Problemi di MeccanicaProblema 1 (punti: 10 + 6 = 16)

a) A partire dal principio di conservazione dell’energia meccanica durante la discesa sulla guida circolare priva di attrito, si determina la velocità v con la quale il corpo puntiforme “leggero” va a colpire l’altro corpo:

!

U1grav,in = K1 ⇒ mgh=12mv2

⇒ v= 2ghL’urto considerato è di tipo elastico, pertanto si conservano sia la quantità di moto sia l’energia totale del sistema (senza apice le quantità pre-urto, con apice le quantità post-urto):

!

p1 = ′p1 + ′p2K1 = ′K1 + ′K2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪⇒

mv= m ′v +M ′V12mv2 =

12m ′v 2 +

12M ′V 2

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⇒′v =

m−Mm+M

v < 0( )

′V =2m

m+Mv > 0( )

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪Pertanto, dato che il primo blocchetto torna indietro e risale lungo la guida circolare, applicando ancora il principio di conservazione dell’energia meccanica:

!

′K1 =U1grav,fin ⇒12m ′v 2 = mgh1

⇒ h1 =′v 2

2g= 0.67 m

b) Per la conservazione dell’energia meccanica, avendo cura di tenere conto del lavoro della forza d’attrito e ricordando che il corpo “pesante” si ferma, si può scrivere:

!

′K2−Latt = 0 ⇒ 12M ′V 2−µd Mgx= 0

⇒ x=′V 2

2µdg= 0.33 m

Problema 2 (punti: 10 + 7 = 17)

a) Siccome entrambi i moti sono uniformemente accelerati, valgono le relazioni:

!

ωmax = 0+α1t1 ⇒α1 = ωmax t10= ωmax +α2t2 ⇒α2 =−ωmax t2

Dal secondo principio della dinamica applicato ad un moto rotazionale (ricordando che I = 1

2MR2 per un disco con massa distribuita uniformemente), si può scrivere:

!

τ+ τa = Iα1 = I ωmaxt1

τa = Iα2 =−I ωmaxt2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪ed infine, sottraendo membro a membro:

! τ = Iωmax

1t1

+1t2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⇒ωmax =

t1t2t1 + t2

τI

= 2 rads

b) Dal sistema precedente, tenuto conto della soluzione ottenuta al punto soprastante, si può ricavare il modulo del momento frenante come:!

τa =−I ωmax

t2=−

t1t1 + t2

τ =−1Nm

Supposto che il disco (visto dall’alto) ruotasse in senso antiorario, quindi con momento τ e vettore velocità angolare ω uscenti lungo z, il momento frenante è orientato ancora lungo z (quindi ortogonalmente al piano del disco) ed entrante (fatto che è chiaramente evidenziato dal segno negativo).

Problemi di ElettroMagnetismo

Problema 1 (punti: 5 + 8 + 4 = 17)

a) La capacità della sfera conduttrice è semplicemente data da:! Cs = 4πε0R= 3.34 ⋅10−11 FPertanto la carica da essa posseduta prima della chiusura del tasto vale:! Qs =CsV0 = 8.34 ⋅10−9 C

b) A seguito del collegamento, deve valere il principio di conservazione della carica (dove sono state indicate con apice le quantità dopo la chiusura del tasto):! Qs = ′Qs + ′Qed, inoltre, la sfera metallica e l’armatura del condensatore non collegata a terra si portano allo stesso potenziale Vf:

! Vf =

′Qs

Cs

=′QC⇒ ′Q =

CCs

′Qs

Sostituendo quest’ultima nella legge di conservazione della carica, si ottiene:

! Qs = 1+

CCs

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟′Qs ⇒ ′Qs =

Cs

Cs +CQs

da cui, infine:

! Vf =

1Cs +C

Qs =Cs

Cs +CV0 = 89.34 V

c) L’energia dissipata è semplicemente il valore assoluto della differenza tra l’energia finale e quella iniziale (che deve venire negativa, in quanto persa dal sistema:

! ΔU = ′U −U =

12Cs +C( )Vf

2−12CsV0

2 =−6.70 ⋅10−7 J

Problema 2 (punti: 7 + 9 = 16)

a) Il campo magnetico a distanza radiale rint = 2 mm dall’asse dei due cilindri è azimutale (tangente alla circonferenza di raggio rint) in verso orario; il suo modulo vale (a partire dal teorema della circuitazione di Ampere, oppure dalla formula del campo generato da filo rettilineo infinito):!

Bint = B rint = 2 mm( )=

µ0

2πi1rint

= 2.5 ⋅10−5 T

b) Affinché a distanza radiale rext = 5 mm dall’asse dei due cilindri il campo valga Bint = 3 μT, dal teorema della circuitazione di Ampere, deve valere:

! Bext = B rext = 5 mm( )=

µ0

2πi1 + i2rext

⇒ i2 =2πµ0

rextBext− i1 =−0.175 A

Il segno negativo rende conto del fatto che i2 deve scorrere in senso opposto ad i1 (ossia uscente dal piano della figura).

FISICA GENERALEprova scritta del 10/09/2013

Problemi di Meccanica

Problema 1Due blocchetti A e B entrambi di massa m = 2,0 kg, collegati tramite un’asticciola rigida di massa trascurabile, sono appoggiati su di un piano inclinato di un angolo θ = θ1

= 15° rispetto all'orizzontale. Sia trascurabile l'attrito tra A ed il piano (figura 1).a) Calcolare il minimo valore del coefficiente di attrito statico µs tra il blocco B ed il piano inclinato necessario affinché il sistema non si muova.Si raddoppia l'angolo θ (θ2 = 2θ1 = 30°) e i blocchi scivolano lungo il piano inclinato.Supponendo che il coefficiente di attrito cinetico tra il blocco B e il piano valga µc = 0,50, calcolare:b) l' accelerazione dei blocchetti; c) la tensione dell’asta.

Problema 2Un’asta omogenea è imperniata ad una estremità, ed è libera di ruotare senza attrito in un piano verticale. L’asta, di lunghezza L = 1,0 m e massa M = 1,5 kg, inizialmente ferma in posizione verticale,viene colpita nel suo centro da un proiettile di massa m= M/10 e velocità iniziale v = 50 m/s, diretta come mostrato in figura 2, che resta conficcato nell’asta.Calcolare:a) la velocità angolare del sistema asta + proiettile subito dopo l’urto; b) l’angolo massimo di rotazione dell’asta.

figura 1 figura 2

Problemi di Elettromagnetismo

Problema 3

Una carica Q = 5,0 ⋅ 10-9 C è uniformemente distribuita lungo un sottile anello circolare di raggio a = 75 cm.a) Calcolare il campo elettrico ed il potenziale elettrico nel centro O dell’anello.

Una particella di dimensioni trascurabili, carica q = 1,0 ⋅ 10-11 C e massa m =

1,0 ⋅ 10-6 kg si trova inizialmente ferma nel centro dell’anello.b) Calcolare la velocità che la particella ha acquistato quando si trova in un

punto P sull’asse dell’anello a distanza d = 1,5 m dal suo centro.(Si supponga di allontanare impercettibilmente la particella dall’origine)

Problema 4Si vuole realizzare un campo magnetico uniforme, di intensità B = 3 mT, all’interno di un solenoide rettilineo di lunghezza d = 20 cm, connesso ad una sorgente di f.e.m. ε= 6,0 V. Si ha a disposizione un filo di rame (ρ=1,7⋅10-8 Ω⋅m) avente sezione S = 0,20 mm2.a) Calcolare quale deve essere il raggio degli avvolgimenti affinché il campo

magnetico all’interno della bobina abbia il valore richiesto; b) Calcolare il valore dell’energia magnetica immagazzinata all’interno del

solenoide. N.B. Utilizzare l’approssimazione del solenoide ideale.

FISICA GENERALEsoluzioni prova scritta del 10/09/2013


Problema 1a)

blocco A: mgsin θ

1( ) −T = 0

blocco B: T + mgsin θ

1( ) − fs= 0

Sommando: f

s= 2mgsin θ

1( ) ≤ µsN = µ

smgcos θ

1( ) µ

s≥ 2tan θ

1( ) = 0.54

b)

Fest∑ = m

tota

cm

2mgsin θ

2( ) − µcmgcos θ

2( ) = 2macm

a

cm= gsin θ

2( ) − 12µ

cmgcos θ

2( ) = 2.78 m / s2

c)

blocco A: mgsin θ

2( ) −T = macm

blocco B: T + mgsin θ

2( ) − µcmgcos θ

2( ) = macm

Sottraendo: T = 1

2µ

cmgcos θ

2( ) = 4.25 N

Problema 2a)Per la conservazione del momento angolare:

L

iniz= mvcos θ( )L2 = L

fin= I

totω

con: I

tot= I

asta+ m L2

4= M L2

3+ M

10L2

4= 43

120ML2

sostituendo e semplificando si ricava:

ω =

12vcos θ( )86L

= 6 rad/ s

b)Per la conservazione dell’energia meccanica dopo l’urto:

12I

totω2 = m + M( )gh

dove h = L

21 −cos θ( ) rappresenta la quota di cui sale il CM

12⋅ 43120

ML2ω2 = 1110

Mgh = 1110

Mg L2

1 −cos ϑ( )

θ = arccos 1 − 43

132ω2Lg

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 102.3°


Problema 3a)

E0= 0 per simmetria

V

0= Q

4πε0a= 60 Volt

b)

VP= Q

4πε0

a2 + d2= 26.8 Volt

ΔU = qΔV = q V

P−V

0( ) Kfin= −ΔU

v

fin=

2Kfin

m= 2.6 cm / s

Problema 4a)Poniamo: N = numero spire, L = lunghezza totale del filo, a = raggio del filo

N = L

2πa

n = N

d= L

2πad

R = ρL

s

I = ε

R= ε ⋅sρ ⋅L

B = µ

0I ⋅n = ε

R=

µ0ε ⋅s

2π ⋅ρ ⋅a ⋅d

a =

µ0ε ⋅s

2π ⋅ρ ⋅B ⋅d= 2.35 cm

b)

u

B= B2

2µ0

U

B= u

BV = B2

2µ0

πa2d = 1.25 mJ

Fisica Generaleprova scritta del 24 Settembre 2013

Parte 1 - Meccanica

Problema 1Tre blocchi, di masse, rispettivamente, mA =2.0 kg, mB =1.5 kg e mC =1.8 kg, sono disposti come in Figura 1. Il filo che collega la massa A alla massa C è inestensibile; inoltre sia il filo che la carrucola su cui scorre sono di massa trascurabile, come è pure trascurabile l’attrito fra di loro.a) Calcolare il minimo coefficiente d’attrito statico µs che consente al sistema di

rimanere fermo. b) Si toglie la massa B, il sistema si mette in moto: calcolare il modulo

dell’accelerazione delle masse A e C se il coefficiente d’attrito dinamico µd = 0.4c) in questa configurazione, calcolare il modulo della velocità v delle massa A e C dopo

che la massa C sarà scesa di un tratto h =1.7 m.

Problema 2Una ruota è formata da un anello di spessore trascurabile di massa m e di raggio R e da sei raggi ciascuno di massa m/12 (Figura 2). Tale ruota rotola senza strisciare, partendo da ferma, lungo un piano inclinato di un angolo θ = 30° e di lunghezza L = 4,8 m . Calcolare: a) la velocità vcm del centro di massa della ruota quando essa arriva in fondo al piano; b) il tempo t0 che la ruota impiega ad arrivare in fondo al piano; c) il valore del coefficiente di attrito statico se il massimo valore θmax dell’angolo di

inclinazione del piano inclinato oltre il quale la ruota inizia a scivolare vale θ = 40°

AB

C

Problema 1 Problema 2

Fisica Generaleprova scritta del 24 Settembre 2013

Parte 2 - Elettromagnetismo

Problema 3Una sfera isolante di raggio R = 50 cm possiede una carica elettrica Q = 5.0⋅10-9 C , uniformemente distribuita al proprio interno. Calcolare:a) i moduli E1 e E2 dei campi elettrici in due punti P1 e P2 che distano rispettivamente

R1 =30 cm e R2 =55 cm dal centro della sfera.; b) il potenziale elettrico V (r) generato dalla sfera carica per r ≥ R.Un particella di dimensioni trascurabili, massa m =1.0·10-8 kg e carica q = −2.0·10-11 C viene posta a distanza D = 30 cm dalla superficie della sfera; supponendo che tale particella abbia velocità iniziale nulla, calcolare:c) la velocità che essa possiede nell’istante in cui raggiunge la superficie della sfera.

Problema 4Un lungo solenoide rettilineo composto da n = 104 spire/m e di raggio R = 10,0 cm è percorso da una corrente costante I. Un elettrone viene iniettato all’interno del solenoide con velocità v = 107 m/s perpendicolare all’asse del solenoide stesso. Si osserva che l’elettrone descrive una circonferenza di raggio r = 2.0 cm in un piano perpendicolare all’asse del solenoide.Calcolare:a) la corrente costante I che fluisce nel solenoide;b) l’energia UB immagazzinata in una porzione di solenoide di lunghezza l = 1,5 m.

Problema 4

FISICA GENERALEappello del 17 febbraio 2014

Problemi di MeccanicaProblema 1Due blocchetti A e B entrambi di massa m=2.0 kg, collegati tramite un’asticciola rigida di massa trascurabile sono appoggiati su un piano inclinato di un angolo ϑ = ϑ1 =15° rispetto all’orizzontale. Sia trascurabile l’attrito tra il blocco A e il piano.a) Calcolare il minimo valore del coefficiente di attrito statico μs tra il blocco B e il piano

inclinato necessario affinchè il sistema non si muova.Si raddoppia l’angolo ϑ = ϑ2 = 2ϑ1 = 30° e i blocchi scivolano lungo il piano inclinato. Calcolare:b) l’accelerazione dei due blocchetti;c) la tensione dell’asta.

Problema 2Un’asta omogenea di lunghezza L = 1.0 m e massa M = 1.5 kg, inizialmente ferma in posizione verticale, viene colpita nel suo centro da un proiettile di massa m = M/9 e velocità iniziale v = 50 m/s diretta come mostrato in figura 2. Il proiettile dopo l’urto resta conficcato nell’asta. Calcolare: a) la velocità angolare del sistema subito dopo l’urto; b) l’angolo massimo di rotazione del sistema.


Problemi di ElettromagnetismoProblema 3Una carica Q = 0.5 μC e uniformemente distribuita su un disco di raggio R = 75 cm. Una particella di carica q = 0.3 μC e massa m = 2 μg e inizialmente fermo al centro del disco.Calcolare:a) il campo elettrico E a contatto e al centro del disco;b) la velocità che la particella ha acquistato quando si trova in un punto P sull’asse del

disco a distanza d = 1.5 m da esso.(Si approssimi il disco ad una superficie infinita)

Problema 4Il campo magnetico all’interno di un solenoide di forma cilindrica di raggio R = 5.0 cm ed altezza h = 2.0 m in cui circola una corrente I = 10.0 A, vale B = 0.1 T. Calcolare:a) l’energia magnetica immagazzinata nel solenoide;b) il valore della sua induttanza;c) il raggio di curvatura di un protone che entri nel campo magnetico del solenoide con

velocità v = 2.0·105 m/s diretta perpendicolarmente al campo stesso(Si tratti il solenoide come ideale).

Problema 4

soluzioniSoluzione Problema 1a) Condizioni di equilibrio dei due blocchi:mgsin ϑ1( )−T = 0

T +mgsin ϑ1( )− fs = 0" " da cui si ricava: fs = 2mgsin ϑ( )

dalla condizione fs ≤ µsN = µsmgcos ϑ( ) si ricava: µsmin = 2 tan ϑ1( ) = 0.54b) Fest∑ = mtotacm2mgsin ϑ2( )− µcmgcos ϑ2( ) = 2macmacm = gsin ϑ2( )− 1

2µcgcos ϑ2( ) = 2.78 m / s2

c) moto blocco A: mgsin ϑ2( )−T = macm moto blocco B: T − µcmgcos ϑ2( ) = macmSottraendo: T = 1

2µcmgcos ϑ2( ) = 4.25 N

Soluzione Problema 2a) Per la conservazione del momento angolare:

iniz = mvb = mv

L2sin ϑ( ) = fin = Itotω

dove: Itot = Iasta + Im = 13ML2 +m L2

4= 1336

ML2

Sviluppando i calcoli si ricava: MvL18

sin ϑ( ) = 1336

ML2ω

ω = 213vL sin ϑ( ) = 3.84 rad / s

b) Dalla conservazione dell’energia meccanica:

Mtotgh =109Mgh = 1

2Itotω

2 = 1372

ML2ω 2

dove h rappresenta la differnza di quota del centro di massa.

h = 1380

L2ω 2

g= 0.25 m

Ma; h =L21− cosϑmax( ) ⇒ ϑmax = arccos

L − 2hL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1 rad = 60°

Soluzione Problema 3

a) La densità superficiale di carica sul disco vale: σ = QπR2

Il campo lungo l’asse di un disco carico di raggio R a distanza z dalla superficie vale:

E = σ2ε0

1− zz2 + R2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

quindi, a contatto (z=0): E = σ2ε0

= 16 ⋅104V /m

b) Nell’approssimazione di piano infinito il campo elettrico è costante.

F = qE " a = Fn= qEm

vfin = 2ad = 85 m / s


uB =B2

2µ0 ⇒ UB = uBV = B2

2µ0πR2h = 62.5 J

b) Poichè UB =12L ⋅ I 2 , si ricava: L = 2UB

I 2= 1.25 H

c) La forza di Lorentz è centripeta, per cui:

e ⋅v ⋅B = mv2

r " ⇒" r = mveB

= 2.6 cm

FISICA GENERALEprova parziale del 25 marzo 2014

Problemi di MeccanicaProblema 1Un blocchetto di massa m = 50g si muove di moto circolare uniforme lungo la parete di un cono di semiapertura ϑ =30° rispetto alla verticale ad una altezza h = 60 cm rispetto al vertice del cono. Sia trascurabile l’attrito tra il blocco e la parete del cono. Calcolare:a) la velocità angolare del blocchetto;b) la reazione N del vincolo;c) Il lavoro fatto per porre il blocchetto (inizialmente fermo nel vertice del cono) in

rotazione su quell’orbita.

Problema 2Un’asta omogenea A di lunghezza L = 1.2 e massa M = 4 kg, inizialmente ferma in posizione orizzontale, è libera di ruotare senza attrito attorno ad un suo estremo O. Quando passa per la verticale urta un blocchetto B (considerato puntiforme) di massa m = 2 kg. Se l’urto è totalmente anelastico, calcolare: a) la velocità del blocchetto immediatamente dopo l’urto;b) l’angolo ϑ di massima escursione dopo l’urto;c) l’energia meccanica perduta nell’urto.


FISICA GENERALEprova parziale del 25 marzo 2014


N sinϑ = mg

N cosϑ = m v2

R= mω 2R = mω 2h tanϑ

Dividendo membro a membro:

a) ω = 1tanϑ

gh = 7.0 rad/s

b) N = mgsinϑ = 0.98 N

c) Lest = ΔE = ΔK + ΔU = 12mω 2R2 +mgh

ma: 12mω 2R2 = 1

2m 1tan2ϑ

gh⋅h2 tan2ϑ = 1

2mgh

E possiamo scrivere:

Lest =12mgh +mgh = 3

2mgh = 0.4 J


a) Per la conservazione dell’energia meccanica prima dell’urto:12Iastaω1

2 = ML2

6ω1

2 = MgL2 ! ⇒! ω1 =

3gL = 4.95 rad/s

Per la conservazione del momento angolare:

Iastaω1 = Itotω 2 = Iasta + Iblocco( )ω 2

ω 2 =ω1Iasta

Iasta + Iblocco=ω1

MM + 3m = 1.98 rad/s

Quindi:

b) vblocco =ω 2L =ω1ML

M + 3m= 3g

LML

M + 3m= 3gL M

M + 3m= 2.37 m/s

c) Si appllica la conservazione dell’energia meccanica dopo l’urto.La distanza del c.m. asta+blocco dal perno vale:

Lcm =miLi∑mi∑ =

M L2+mL

M +m= L M + 2m

2 M +m( )Si considera quindi l’intera massa (M+m) concentrata nel c.m.:12Itotω 2

2 = M +m( )gLcm 1− cosϑmax( ) = M +m( )gL M + 2m2 M +m( ) 1− cosϑmax( )

Sostituendo i valori di Itot ed ω2 e semplificando:12

M 2

M + 3mgL = gL M + 2m

21− cosϑmax( )

1− cosϑmax =M 2

M + 3m( ) M + 2m( ) =15

cosϑmax =45 ! ⇒! ϑmax = arccos

45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 36.8°

d) ΔE = 12Iasta + Iblocco( )ω 2

2 − 12Iastaω1

2 = 12Iasta + Iblocco( )ω1

2 IastaIasta + Iblocco

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− 12Iastaω1

2

ΔE = 12Iastaω1

2 IastaIasta + Iblocco

−1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − 1

2Iastaω1

2 IbloccoIasta + Iblocco

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −Mg L

23m

3m +M⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = -14 J

FISICA GENERALEprova del 17 giugno 2014


Problema 1Un blocchetto di massa m = 50g, collegato ad una molla ideale di costante elastica k = 2.5 N/m e lunghezza a riposo l0 = 40 cm incernierata ad un suo estremo si muove di moto circolare uniforme su un piano orizzontale liscio con velocità angolare ω = 5.6 rad/s. Calcolare:a) il raggio dell’orbita;b) il lavoro compiuto per porre in rotazione il blocchetto.

Problema 2Un’asta omogenea A di lunghezza L = 1.2 e massa M = 4 kg, inizialmente ferma in posizione verticale, è libera di ruotare senza attrito attorno ad un suo estremo O. Dopo aver ruotato di un angolo ϑ = 270° urta contro un blocchetto di dimensioni trascurabili e massa m = 0.5 kg. Il blocchetto è inizialmente in equilibrio (per es. retto da un sottile filo). Se l’urto è totalmente anelastico, calcolare: a) la velocità angolare del sistema immediatamente dopo l’urto;b) l’angolo ϑ di massima escursione dopo l’urto;c) l’energia meccanica perduta nell’urto.



Problema 3Nel circuito in figura: ε = 24 Volt, R1 = 20 kΩ, R2 = 30 kΩ, C1 = 120 μF, C2 = 80 μF. I condensatori sono inizialmente scarichi. Al tempo t=0 viene chiuso il circuito. Determinare:a) la costante tempo del circuito;b) l’intensità di corrente all’istante t = 1.2 s;c) la carica totale di regime presente separatamente sui condensatori;d) l’energia totale spesa dalla batteria.

Problema 4Un solenoide ideale formato da n = 5000 spire/m è percorso da una corrente crescente nel tempo secondo la legge:

i t( ) = i0 1− e−λt( )con i0 = 8 A e 𝝺 = 5·10-3 s-1.All’interno del solenoide si trova una spira circolare di raggio r = 5 cm composta da N = 300 avvolgimenti avente una resistenza complessiva R = 20 Ω.Determinare all’istante t = 200 s:a) il campo magnetico all’interno del solenoide;b) il momento magnetico della spira.c) Determinare inoltre la carica totale fluita nella spira (t→∞)

FISICA GENERALEprova del 17 giugno 2014 - soluzioni

Soluzione Problema 1a) Chiamando x l’allungamento della molla:k ⋅ x = mω 2 L0 + x( )

x = L0mω 2

k −mω 2 = 0.67 m

r = L0 + x = 1.07 m

b) Lest = Etot = K +U = 12 kx

2 + 12 m ωr( )2 = 1.47 J


Iasta =ML2

3 & & Iblocco = mL2 & Itot = Iasta + Iblocco

a) Per la conservazione dell’energia meccanica prima dell’urto:12Iastaω1

2 = ML2

6ω1

2 = MgL2 & ⇒& ω1 =

3gL = 4.95 rad/s

Per la conservazione del momento angolare:Iastaω1 = Itotω 2 = Iasta + Iblocco( )ω 2

ω 2 =ω1Iasta

Iasta + Iblocco=ω1

MM + 3m = 3.60 rad/s

b) Si applica la conservazione dell’energia meccanica dopo l’urto.Se chiamiamo h l’altezza di cui sale il blocchetto, l’altezza di cui sale il c.m. dell’asta vale h/2:12Itotω 2

2 = mgh +Mg h2= gh m + M

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

h =12 Itotω 2

2

g m +M / 2( ) = 0.7 m

ϑmax = arcsinhL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 35.6°

c) L’energia meccanica è persa solo nell’urto. Perciò:

ΔE = ΔK = 12Itotω 2

2 − 12Iastaω1

2 = -6.4 J

Soluzione Problema 3Troviamo il circuito equivalente:

dove:

Req =R1R2R1 + R2 = 12 kΩ

Ceq = C1 +C2 = 200 μF

a) τ = ReqCeq = 2.4 sb) Dalla legge di carica di un condensatore:

i t( ) = εRe− t /τ

si ricava: i(t = 1.2 s) = 1.21 mA

c) A regime abbiamo:Q1 = C1 ⋅ε = 2.88 mCQ2 = C2 ⋅ε = 1.92 mC

d) Ltot = ER +UC = R ⋅ i t( )2 dt0

∞

∫ + 12Ceqε

2

Req ⋅ i t( )2 dt0

∞

∫ = ε 2

Reqe−2t /τ dt

0

∞

∫ = ε 2

Req⋅ReqCeq

2= 12Ceqε

2

Pertanto:Ltot = Ceqε

2= 0.115 J

Oppure, molto più semplicemente si può scrivere:

Ltot = ε ⋅dq0

∞

∫ = ε ⋅ dq0

∞

∫ = ε ⋅Qtot = 0.115 J


Dalla espressione della corrente i t( ) = i0 1− e−λt( ) si ricava B

B t( ) = µ0i t( )n = µ0i0 1− e−λt( )n

B(t=200) = 31.7 mTIl flusso di B attraverso la spira inserita nel solenoide vale:

ΦB t( ) = B t( )Nπr2 = µ0i0 1− e−λt( )nNπr2

Quindi:

fem t( ) = dΦB t( )dt

= µ0i0λnNπr2e−λt

La corrente che scorre nella spira è:

ispira t( ) = fem t( )R

= µ0i0λnNπr2

Re−λt

Quindi:

µspira t( ) = ispira t( )πr2 = µ0i0λnNπ2r4

Re−λt

μspira(t=200) = 2.56·10-4 J/T

Qtot = dqspira =0

∞

∫ ispira dt =0

∞

∫µ0i0λnNπr

2

Re−λt dt =

0

∞

∫µ0i0nNπr

2

RQtot= 59.2 mC

FISICA GENERALEprova del 15 luglio 2014


Problema 1Un blocchetto di massa m = 300 g è appoggiato ad una molla ideale (k=2.5 N/m) tenuta compressa di un tratto x=30 cm su un piano orizzontale liscio. La molla viene lasciata libera di dilatarsi e successivamente il blocchetto si muove lungo un piano inclinato di un angolo ϑ=30° rispetto all’orizzontale. Sia μ=0.3 il coefficiente di attrito dinamico. Calcolare:a) la massima altezza raggiunta rispetto al piano orizzontale;b) l’energia meccanica perduta;

Problema 2Un’asta omogenea A di lunghezza L = 1.2 e massa M = 4 kg, inizialmente ferma su un piano orizzontale liscio è libera di ruotare senza attrito attorno ad un suo estremo O. Un blocchetto di massa m=0.5 kg avente velocità v = 3 m/s diretta perpendicolarmente all’asta la colpisce al un suo estremo libero. Se l’urto è totalmente anelastico calcolare: a) la velocità angolare del sistema dopo l’urto;b) la reazione del vincolo in O dopo l’urto.



Problema 3Una carica puntiforme q1 = 5 μC è fissata nell'origine ed una seconda carica q2 = -2μC e' posta sull'asse x, a una distanza d = 3 m, come in figura.Calcolare:a) il potenziale elettrico in un punto P, sull'asse y, a una distanza di 4 m dall'origine;b) il lavoro richiesto per portare una terza carica puntiforme q3 = 4 μC dall'infinito al punto P;c) l'energia potenziale totale del sistema costituito dalle tre cariche nella configurazione finale.

Problema 4Un lungo solenoide ha 1200 spire/m ed inizialmente è percorso da una corrente I = 10A. All’interno del solenoide, e coassiale con esso, è collocata una bobina circolare di raggio r = 6 cm, con N = 50 spire resistenza complessiva R = 10 Ω.Calcolare:a) il campo magnetico B uniforme all’interno del solenoide.Ad un certo istante la corrente che percorre il solenoide viene portata a zero in un tempo ∆t = 0.2 sec. Calcolare:b) la f.e.m. media indotta nella bobina;c) la carica totale che fluisce nella bobina;d) il momento di dipolo magnetico indotto nella bobina.

FISICA GENERALEprova del 15 luglio 2014 - soluzioni

Soluzione Problema 1a) Dalla relazione Ltot = ΔK :

Ltot = Lmolla + Lg + Lattr = ΔK = 0

Lmolla =12k ⋅ x2

Se chiamiamo d lo spazio percorso lungo il piano inclinato:Lg = −mgd ⋅sinϑ

Lattr = −Fattrd = −µmg ⋅cosϑ ⋅dSommando e risolvendo per d:

d = kx2

2mg µ ⋅cosϑ + sinϑ( )h = d ⋅sinϑ = 2.5 cm

b) Lattr = −Fattrd = −µmg ⋅cosϑ ⋅d = -0.038 J


Iasta =ML2

3 $ $ Iblocco = mL2$ Itot = Iasta + Iblocco

a) Per la conservazione del momento angolare:Liniz = mvL = Lfin = Itotω $

ω =LinizItot

= mvLItot = 0.68 rad/s

La reazione del vincolo R funge da forza centripeta:R = m +M( )ω 2rdove r è la distanza del c.m. del sistema dal polo:

r =mL +M L

2m +M

R = 2m +M2 m +M( ) L = 1.39 N


V = 14πε0

q1r1+ q2r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 7.6 kV

Poichè a distanza infinita il potenziale è nullo:Lest = −L = − −ΔU( ) = ΔU = q3ΔV = q3V = 0.03 Jr12 = 3; r13 = 4;$ r23 = 5;

U = 14πε0

q1q2r12

+ q1q3r13

+ q2q3r23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 6·10-4 J


Dalla espressione della corrente i t( ) = i0 1− e−λt( ) si ricava B

B = µ0i ⋅n = 15 mTIl flusso di B attraverso la spira inserita nel solenoide vale:ΦB t( ) = Bπr2 = µ0i t( )n ⋅πr2

Alla variazione di corrente Δi = - i0 che avviene in un tempo Δt = 0.2 s corrsponde una variazione dai campo magnetico ΔB e quindi una variazione di flusso ΔΦ:ΔΦ = µ0Δi ⋅n ⋅πr

2 − µ0i0n ⋅πr2

La fem indotta nella spira nella spira vale:

fem = −N dΦdt

≈ −N ΔΦΔt

= µ0i0nNπr2

Δt = 43 mV

ispira =µ0i0nNπr

2

RΔtQuindi:

Qtot = dqspira =0

∞

∫ ispira dt =0

∞

∫ ispiraΔt =µ0i0nN

2π 2r4

R = 8.5·10-4 C

µspira = ispiraπr2 = µ0i0nNπ

2r4

RΔt = 2.41·10-3 J/T

FISICA GENERALEprova del 9 settembre 2014


Problema 1Un blocchetto di massa m = 300 g si trova in equilibrio ancorato ad una molla ideale (k=9.5 N/m) su un piano obliquo liscio inclinato di un angolo ϑ = 45° rispetto all’orizzontale. Calcolare:a) l’allungamento della molla;b) la velocità del blocchetto dopo che ha percorso un tratto d = 50 cm lungo il

piano inclinato;c) quanto vale e dove finisce l’energia potenziale immagazzinata nella molla?

Problema 2Un cilindro omogeneo di massa m=5 kg e raggio r=50 cm partendo da fermo inizia a rotolare senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo ϑ = 30° rispetto all’orizzontale. Dopo aver percorso un tratto d = 60 cm urta contro una molla ideale di costante elastica k = 1200 N/m e alla fine si arresta. Se il cilindro dopo il contatto (privo di attrito) con la molla continua a muoversi di puro rotolamento, calcolare:a) la velocità angolare del cilindro nell’istante del contatto;b) la massima compressione della molla.



Problema 3Un condensatore a facce piane e parallele di area A = 100 cm2 distanti d = 6 mm viene connesso ad una batteria da 400 V.a) Calcolare l’energia elettrica immagazzinata.Successivamente il condensatore viene sconnesso dalla batteria e le piastre vengono portate ad una distanza doppia.b) calcolare il lavoro esterno richiesto per allontanare le piastre;Il condensatore viene poi scaricato attraverso una resistenza R = 150 MΩ.c) Calcolare dopo quanto tempo la sua carica si è ridotta della metà.

Problema 4Il campo magnetico all’interno di un solenoide di forma cilindrica, con raggio R = 5.0 cm ed altezza h = 2.0 m in cui circola una corrente di 10A vale B = 0.1T.Calcolare :a) l’energia magnetica immagazzinata nel solenoide;b) il valore L della sua induttanza;c) il raggio della traiettoria di un protone che entri nel campo magnetico del solenoide con energia cinetica T = 200 eV, la cui direzione di volo sia diretta perpendicolarmente al campo stesso.(mp = 1.67⋅10-27 kg ). N.B. Si tratti il solenoide come ideale.


Soluzione Problema 1a) Per la condizione di equilibrio: Fx∑ = 0Orientando l’asse x lungo il piano inclinato:mg ⋅sinϑ − kx = 0

x = mg ⋅sinϑk

= 0.22 m

b) Ltot = Lg = mgh = mgd sinϑ = ΔK = 12mv2 =

v = 2gh = 2gd sinϑ = 2.63m / s

c) U = 12kx2 = 0.23 J


a) Ltot = Lg = mgh = ΔK = 12IPω

2 = 34mr2ω 2

ω = 4gh3r2

= 4gd sinϑ3r2

= 3.96 rad / s

b) Per la conservazione dell’energia, chiamando x la compressione della molla il cm del cilindro percorre lungo il piano inclinato una distanza d+x e si abbassa di una quota (d+x)·sinϑ:

Ltot = Lmolla + Lg = − 12kx2 +mg d + x( )sinϑ = ΔK = 0

L’equazione di secondo grado: −12kx2 +mg d + x( )sinϑ = 0 "

ha coma soluzione positiva:

x =mgsinϑ + mgsinϑ( )2 + 2k ⋅mg ⋅d sinϑ

k= 0.18 m


a) C0 = ε0Ad0 "

C1 = ε0Ad1

= 12C0

U0 =12C0V0

2 = 1.18 ⋅10−6 J

b) Essendo il condensatore sconnesso dalla batteria:

Q0 = C0V0 " Q1 = C1V1 =C0

2V1 =Q0 = C0V0

Da cui: V1 = 2V0

U0 =12C0V0

2" " U1 =

12C1V1

2 = 14C0 4V0

2 = C0V02

ΔU =U1 −U0 = 2U0 −U0 =U0

Lest = −LE = ΔU =U0 = 1.18 ⋅10−6 J

c) τ = RC1 = 1.1⋅10−3 s T1/2 = τ ⋅ ln2 = 7.7 ⋅10

−4 s

Soluzione Problema 4a)

uB =B2

2µ0 " V = πr2h " UB = uBV = B2πr2h2µ0

= 62.5 J

b) B = 12Li2 ! ! L = 2B

i2= 1.25 H

c) T(Juole) = T(eV)·1.6·10-19.

La quantità di moto del protone, data da: p = 2mpTp è legata al raggio di curvatura dalla relazione: r = p/(eB) dove e è la carica del protone in C.Risulta:

r = peB

=2mpTpeB

= 0.02 m

"

FISICA GENERALEprova del 23 settembre 2014


Problema 1Un blocchetto di massa m = 30 g è posto in rotazione lungo la parete liscia di un cono di semiapertura ϑ = 30° su un’orbita circolare di raggio r = 40 cm. Calcolare:a) la velocità angolare che deve possedere per restare in un’orbita stabile;b) la forza di reazione esercitata sul blocchetto dalla parete del cono;c) il lavoro compiuto per porre il blocchetto in rotazione se inizialmente si

trovava fermo all’altezza del vertice del cono.

Problema 2Un’asta rigida ed omogenea di massa m= 3 kg e lunghezza L = 80 cm è tenuta sospesa in posizione orizzontale tramite due fili rigidi A e B ad essa collegati: uno al suo estremo a l’altro nel suo centro di massa (vedi figura). Calcolare:a) la forza esercitata dai fili sull’asta;Improvvisamente il filo B si stacca dall’asta che resta libera di ruotare attorno al suo estremo O.b) calcolare la velocità angolare dell’asta quando passa per la posizione

verticale;c) calcolare la forza R esercitata dal filo A sull’asta in questa posizione.

! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Problema 1 Problema 2


Problema 3Su un condensatore isolato a facce piane e parallele di area A = 100 cm2 distanti d = 6 cm è depositata una carica Q = 20 nC. Calcolare:a) l’energia elettrica immagazzinata;b) l’energia cinetica che un protone, inizialmente fermo nel punto A (vedi figura), possiede quando transita per il punto B (a=3 cm)c) la differenza di potenziale VAC (b=4 cm, ϑ=45°)

Problema 4Un anello isolante di raggio R = 1.0 cm ruota con velocità angolare costante ω = 4.0·103 rad/s attorno ad un asse perpendicolare all’anello e passante per il suo centro O. Sull’anello è distribuita uniformemente una carica Q = 4C.Calcolare :a) il campo B sull’asse di rotazione a distanza d = 2.0 cm da O;b) il modulo del momento meccanico |τ| agente sull’anello se questo è immerso in un campo magnetico esterno uniforme Bext di modulo 1.5 T che forma un angolo di π/4 con l’asse dell’anello.

! !

problema 3! ! ! ! ! problema 4


Problemi Meccanica


a) Utilizzando il sistema di riferimento in figura e indicando con R la reazione del vincolo:

mg +R = maR ⋅sinϑ −mg = 0R ⋅cosϑ = mac = mω

2r

tanϑ = gω 2r ! ! ω = g

r tanϑ= 6.5 rad / s

b) R = mgsinϑ

= 0.017 N

c) Lest = ΔK + ΔU = 12 mω

2r2 + mgrtanϑ

= 0.31 J


a) le condizioni di equilibrio per un corpo rigido sono:Fi∑ = 0 ! ! τ i∑ = 0

Quindi:FA + FB −mg = 0Se prendiamo come polo il centro di massa: τ B = τ g = 0 (avendo braccio

nullo). Da cui risulta: ! τ i∑ = τ A = FAL2= 0 ⇒ FA = 0 (essendo L ≠ 0)

E quindi: FA = 0 e FB = mg = 29.43 N

b) Per la conservazione dell’energia:

ΔK = 12IOω

2 = −ΔU = mgh = mg L2

mL2ω 2

6= mgL

2 !! ω = 3gL

= 6.06 rad / s

c) La forza risultante, R - mg funge da forza centripeta.

R −mg = mω 2 L2 ! ! R = m ω 2 L

2+ g⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = 73.57 N

Problemi Elettromagnetismo


a) UE =Q2

2C= Q2d2ε0A

= 1.36 ⋅10−4 J

b) V = QC

= Q ⋅dε0A E = V

d= Qε0A ( del resto: E = σ

ε0= Qε0A )

VAB = E ⋅a = Q ⋅aε0A

Per la conservazione dell’energia:

Kp =12mpvp

2 = e ⋅VAB =e ⋅Q ⋅aε0A

vp =Kp

2mp

= e ⋅Q ⋅a2mpε0A

= 1.14 ⋅106 m / s

c) Le superfici equipotenziali sono parallele alle piastre. quindi la differenza di potenziale VAC dipende solo dalla distanza relativa rispetto alle piastre dei punti A e C (b·cosϑ).

VC =VC '

Quindi:

VAC =VAC ' = E ⋅b ⋅cos ϑ( ) = 6.4 ⋅103 V


a) Il campo B è quello creato da una spira percorsa da una corrente i = Q/T, dove T = 2π/ω è il periodo della rotazione dell’anello.

i = Q ⋅ω2π

Il campo è quindi diretto lungo l’asse, e in punto dell’asse a distanza d da O vale in modulo :

B = µ0i ⋅R2

2 R2 + d 2( )3/2= µ0Q ⋅ω ⋅R2

4π R2 + d 2( )3/2= 1.4 ⋅10−2 T

b) Il momento magnetico vale: µ = i ⋅S = i ⋅πR2 = Q ⋅ω ⋅R2

2Pertanto:

τ =

µ ∧Bext = µ ⋅Bext sinϑ = Q ⋅ω ⋅R2Bext sinϑ

2= 0.85 N ⋅m

FISICA GENERALEprova del 16 Febbraio 2015


Problema 1Un blocchetto di massa m = 30 g sorretto da una fune di lunghezza ℓ = 20 cm appoggiato alla parete esterna (liscia) di un cono di semiapertura ϑ = 30° è posto in rotazione su un’orbita circolare con velocità angolare ω. = 5 rad/s. Calcolare:a) la tensione della fune;b) la forza di reazione esercitata sul blocchetto dalla parete del cono;c) la velocità angolare che dovrebbe possedere il blocchetto in modo da

restare in rotazione sulla stessa orbita senza la necessità della spinta della parete del cono;

d) la tensione della fune in queste condizioni.

Problema 2Un’asta rigida ed omogenea di massa m = 3 kg e lunghezza L = 80 cm, è appoggiata su un piano orizzontale e vincolata ad un suo estremo O ad un asse verticale attorno al quale è libera di ruotare. Un blocchetto di dimensioni trascurabili e di massa m = 0.8 kg, avente velocità lineare u = 4 m/s urta perpendicolarmente l’asta al suo estremo libero A e vi resta attaccato. Calcolare:a) la velocità angolare del sistema dopo l’urto;b) la forza esercitata dall’asse verticale sul sistema dopo l’urto;c) l’energia meccanica perduta.

" "" " " " " " " " " " " " " Problema 1 Problema 2


Problema 3Le armature di un condensatore sferico hanno raggi R1 = 4.3 cm e R2 = 4.7 cm e sono collegate ad una batteria che mantiene fra di esse una d.d.p. V = 100 V. Calcolare:a) la carica posseduta da ciascuna armatura;b) il modulo del campo elettrico nei punti di una superficie sferica posta nello

spazio fra di esse, di raggio R = 4.5 cm.Una particella di massa m = 2·10-9 kg e carica positiva q = 3·10-10 C è lanciata (perpendicolarmente) con velocità v0 dall’armatura negativa verso quella positiva.c) Calcolare il valore minimo di v0 affinché la particella possa raggiungere l’armatura positiva.

Problema 4Al centro di un solenoide lungo L = 40 cm, con diametro D = 3 cm, costituito da N = 4000 spire, è posto un avvolgimento circolare piano, perpendicolare all’asse del solenoide, avente diametro d = 2 cm, a sua volta costituito da Na = 10 spire e chiuso su una resistenza R = 1000 Ω . La corrente nel solenoide è inizialmente nulla e viene fatta crescere linearmente nell’intervallo di tempo compreso fra t0 = 0.0 s e t2 = 0.2 s fino a raggiungere il valore I(t2) = 5,0 A e viene poi stabilizzata a quel valore . Calcolare :a) la f.e.m. indotta nella spira a t1 = 0.1 s e a t3 = 0.3 s; b) la corrente nella spira negli stessi istanti t1 e t3 ;c) l’energia complessivamente dissipata nella spira nell’intervallo di tempo compreso tra t0 e t3.


FISICA GENERALEprova del 16 Febbraio 2015 - soluzioni

Problemi MeccanicaSoluzione Problema 1a) Utilizzando il sistema di riferimento in figura e indicando con R la reazione

del vincolo:

T +R +mg = maT ⋅cosϑ + R ⋅sinϑ = mg

T ⋅sinϑ − R ⋅cosϑ = mac = mω2r = mω 2sinϑ

moltiplicando la prima equazione per sinϑ , la seconda per cosϑ e sommando si elimina R e si ottiene:a) T = mg ⋅cosϑ +mω 2sin2ϑ = 0.26 NNoto T, si ricava R:

b) R = mg −T ⋅cosϑsinϑ

= 0.14 N

Ponendo ora R = 0 (assenza del cono..):T1 ⋅cosϑ = mg " " T1 ⋅sinϑ = mω1

2r = mω12sinϑ

moltiplicando la prima equazione per sinϑ , la seconda per cosϑ e sottraendo:

c) ω1 =

g ⋅cosϑ

= 7.52 rad / s

d) T1 =mgcosϑ

= 0.34 N


a) per la conservazione del momento angolare:

m ⋅u ⋅L = Itotω = M3+m⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ L

2ω "

ω = 3m ⋅uM + 3m( )L = 2.22 rad / s

b) La reazione del vincolo fornisce al sistema la necessaria forza centripeta:

R = M L2+mL⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ω

2 = 9.09 N

dove L/2 ed L sono rispettivamente i raggi delle traiettorie circolari percorse dal c.m. dell’asta M e dal blocchetto m.c) L’energia meccanica perduta non è altro che la differenza tra energia

cinetica finale ed iniziale.

ΔE = K f − Ki =12Itotω

2 − 12m ⋅u2 = −3.56 J

Problemi Elettromagnetismo

Soluzione Problema 3La capacità di un condensatore sferico vale:

C = 4πε0R1R2R2 − R1

= 5.6 ⋅10−11 F

a) Pertanto: Q = C ⋅V = 5.6 ⋅10−9 C .Il campo elettrico si deduce applicando la legge di Gauss:

Φ E( ) = 4πR2 ⋅E = Qε0

da cui si ricava:

b) E = Q4πR2 ⋅ε0

= 2.5 ⋅104 V /m

Per la conservazione dell’energia:

Ki +Ui = K f +U f ≥U f Ki =12mv0

2 ≥U f −Ui = q ⋅ ΔV

c) v0 ≥2q ⋅ ΔVm

= 5.5 m / s

Soluzione Problema 4L’intensità di corrente che alimenta il solenoide ha il seguente andamento temporale:

Isol t( ) =25t 0 < t < 0.2( )5 t ≥ 0.2( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ ! ! ! ! ! ! ! (1)

B t( ) = µ0Isol t( )n = µ0Isol t( )NL

ΦB t( ) = πd 2

4B t( ) = πd 2Nµ0

4LIsol t( )

fem t( ) = NadΦB t( )dt

= πd 2NaNµ04L

dIsol t( )dt

Facendo riferimento alla (1), numericamente abbiamo;

fem t( ) =πd 2NaNµ0

4L25 0 < t < 0.2( )

0 t ≥ 0.2( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

9.87 ⋅10−4 0 < t < 0.2( )0 t ≥ 0.2( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥Volt

i t( ) = fem t( )R

= πd 2NaNµ04L ⋅R

dIsol t( )dt

i t( ) =πd 2NaNµ04L ⋅R

25 0 < t < 0.2( )0 t ≥ 0.2( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

9.87 ⋅10−7 0 < t < 0.2( )0 t ≥ 0.2( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥Ampere

L’energia dissipata si ottiene integrando la potenza Joule:

Ediss = P t( )dt0

0.3

∫ = R ⋅ i2 t( )dt0

0.2

∫l’estremo superiore si può abbassare perchè per t>0.2 la corrente è nulla.E poichè per t⩽0.2 la corrente nell’avvolgimento è costante, possiamo scrivere:

Ediss = R ⋅ i2 t( )dt0

0.2

∫ = R ⋅ i2Δt = 103 ⋅ 9.87 ⋅10−7( )2 ⋅0.2 = 1.95 ⋅10−10 J

Fisica Generale con Laboratorioprova del 7 Febbraio 2015


Problema 1Un blocco A di massa mA = 4.2 kg è fermo su un piano orizzontale scabro con coefficienti di attrito μs = 0.30 e μd = 0.15. Il blocco A è collegato da un lato, tramite una fune ideale che passa nella gola di una puleggia ideale, ad un corpo B di massa mB = 7.8 kg e dall’altro a una molla ideale di costante elastica k = 1.3·103 N/m, il cui secondo estremo è solidale alla parete.a) Determinare l’allungamento massimo della molla per cui il sistema può restare in equilibrio.b) Determinare il tempo impiegato dal corpo B a variare la sua quota di h = 0.80 m se la molla viene sganciata.

Problema 2Un corpo rigido è costituito da una sfera piena di raggio R = 12 cm e massa M = 5,4 kg saldata all’estremo di un’asta omogenea di lunghezza L = 0.90 m e massa m = 3.2 kg. Il secondo estremo dell’asta è vincolato a ruotare senza attrito intorno a un asse orizzontale, ortogonale all’asta.a) Determinare la posizione del CM del centro di massa (assumendo il vincolo come origine) e il momento di inerzia del sistema. b) Se l’asta forma inizialmente un angolo θ = 90° con la verticale e parte da ferma, determinare la velocità angolare del sistema quando il centro di massa passa per la verticale.



Problema 3Una sfera isolante di raggio R = 0.15 m, centrata nel punto A ≡ (-R, 0), porta uniformemente distribuita una carica Q = -2.2·10-8 C. Una seconda carica puntiforme, avente lo stesso valore, ma segno opposto, è posta in B ≡ (R, 0). Calcolare:a) l vettore campo elettrico E nel punto C ≡ (0, 2R);b) il potenziale elettrico nei punti D ≡ (2R, 0) e O ≡ (0, 0) assumendo nullo il potenziale all’infinito.

Problema 4Due condensatori uguali, di capacità C0 = 2μF, sono collegati in parallelo e collegati ad una batteria, con differenza di potenziale ΔV0 = 32 V. Rimosso il collegamento con la batteria, si aumenta la distanza fra le armature di uno dei due condensatori in modo da dimezzare la sua capacità. Determinare:a) la differenza di potenziale ∆V e la carica Q di ciascun condensatore nella configurazione finale;b) la variazione dell’energia elettrostatica conseguente alla modifica della distanza tra le armature.

Problema 3

Problema 4

Fisica Generale con Laboratorioprova parziale del 7 Febbraio 2015 - soluzioni

Problema 1a) Nella condizione di equilibrio per un allungamento massimo della molla la

forza di attrito statica assume il suo valore massimo (μsmag) e ha verso opposto alla forza di richiamo della molla. Le condizioni di equilibrio sono:

blocco A: T + fs − kxmax = T + µsmAg − kxmax = 0

blocco B: mBg −T = 0Sommando si elimina T e risulta:

xmax =g mB + µsmA( )

k= 6.8 ⋅10-2m

b) Quando la molla viene sganciata, essendo le accelerazioni uguali, le leggi del moto sono:blocco A: T − µdmAg = mAa

blocco B: mBg −T = mBaSommando le equazioni si elimina T e si ottiene:

a = g mB − µdmA

mA +mB

= 6.0 m / s2

Quando la quota del blocco B è variata di h, il tempo trascorso vale:

Δt = 2ha

=2h mA +mB( )g mB − µdmA( ) = 0.52 s

Problema 2a) Dalla definizione di centro di massa:

xcm = m1x2 +m2x2m1 +m2

Nel caso specifico abbiamo:

Lcm =m L2+M L + R( )m +M

= 0.81m

Il momento di inerzia è la soma dei momenti di inerzia. Il momento do inerzia della sfera rispetto al polo O si calcola dal teorema degli assi paralleli;

Itot = Iasta + Isfera =mL2

3+ 2ML

2

5+M L + R( )2 = 4.48 kg ⋅m2

b) Notando che il c.m. del sistema si abbassa di una quota uguale a Lcm, dalla conservazione dell’energia meccanica:12Itotω

2 = m +M( )gLcmDa cui:

ω =2 m +M( )gLcm

Itot= 4.58 rad / s

Problema 3a) Nel punto C i campi elettrici prodotti da A e da B sono uguali in modulo perchè uguali in modulo sono le cariche e uguali le distanze AC = BC = d:d 2 = R2 + 4R2 = 5R2

EA =

EB =

Q4πε0d

2 =Q

20πε0R2

Le componenti y si cancellano e le componenti x si sommano:EBy = −EAy % % Ey = EBy + EAy = 0

EAx = EBx %% % Ex = EAx + EBx = −2 Q20πε0R

2 cosϑ

e poichè cosϑ = Rd= 1

5

Ex = −2 Q20πε0R

2 cosϑ = −Q

10 5πε0R2 = -1572 V / m

Per quanto riguarda il potenziale:

VD = − Q4πε0

13R

+ Q4πε0

1R= 879.2 V

VO = 0 V

Problema 4a) Prima di rimuover eil collegamento con la batteria:Q0 = C0ΔV0 = 6.4 C % % C0 equiv = 2C0 % % Q0 tot = 2Q0

Dopo aver rimosso il collegamento e raddoppiato la distanza tra le armature di un condensatore:

Cequiv = C0 +C0

2= 32C0

Poichè i condensatori sono isolati la carica totale è rimasta la stessa:

Qtot =32C0ΔV =Q0 tot = 2C0ΔV0

Da cui si ricava la nuova differenza di potenziale:

ΔV = 43ΔV0 = 43Volt

La carica sui condensatori obbedirà quindi alla relazione:

ΔV = 43ΔV0 =

Q1C0 / 2

= Q2

C0; % %

Q1 =23C0ΔV0 = 4.3⋅10

−5 C % % Q1 =43C0ΔV0 = 8.6 ⋅10

−5 C

La variazione di energia è data da;

ΔU =U −U0 =12CeqΔV

2 − 12C0eqΔV0

2, ossia:

ΔU = 1232C0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟43ΔV0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

− 122C0( )ΔV02 = 13C0ΔV0

2 = 6.8 ⋅10−4 J

Fisica Generale con Laboratorioprova parziale del 14 Aprile 2015

Problema 1Un blocco A di massa mA = 4.2 kg è fermo su un piano orizzontale scabro con coefficienti di attrito μs = 0.30 e μd = 0.15. Il blocco A è collegato da un lato, tramite una fune ideale che passa nella gola di una puleggia ideale, ad un corpo B di massa mB = 7.8 kg e dall’altro a una molla ideale di costante elastica k = 1.3·103 N/m, il cui secondo estremo è solidale alla parete.a) Determinare l’allungamento massimo della molla per cui il sistema può restare in equilibrio.b) Determinare il tempo impiegato dal corpo B a variare la sua quota di h = 0.80 m se la molla viene sganciata.

Problema 2Un corpo rigido è costituito da una sfera piena di raggio R = 12 cm e massa M = 5,4 kg saldata all’estremo di un’asta omogenea di lunghezza L = 0.90 m e massa m = 3.2 kg. Il secondo estremo dell’asta è vincolato a ruotare senza attrito intorno a un asse orizzontale, ortogonale all’asta.a) Determinare la posizione del CM del centro di massa (assumendo il vincolo come origine) e il momento di inerzia del sistema. b) Se l’asta forma inizialmente un angolo θ = 90° con la verticale e parte da ferma, determinare la velocità angolare del sistema quando il centro di massa passa per la verticale.


Fisica Generale con Laboratorioprova parziale del 14 Aprile 2015 - soluzioni

Problema 1a) Nella condizione di equilibrio per un allungamento massimo della molla la

forza di attrito statica assume il suo valore massimo (μsmag) e ha verso opposto alla forza di richiamo della molla. Le condizioni di equilibrio sono:

blocco A: T + fs − kxmax = T + µsmAg − kxmax = 0

blocco B: mBg −T = 0Sommando si elimina T e risulta:

xmax =g mB + µsmA( )

k= 6.8 ⋅10-2m

b) Quando la molla viene sganciata, essendo le accelerazioni uguali, le leggi del moto sono:blocco A: T − µdmAg = mAa

blocco B: mBg −T = mBaSommando le equazioni si elimina T e si ottiene:

a = g mB − µdmA

mA +mB

= 6.0 m / s2

Quando la quota del blocco B è variata di h, il tempo trascorso vale:

Δt = 2ha

=2h mA +mB( )g mB − µdmA( ) = 0.52 s

Problema 2a) Dalla definizione di centro di massa:

xcm = m1x2 +m2x2m1 +m2

Nel caso specifico abbiamo:

Lcm =m L2+M L + R( )m +M

= 0.81m

Il momento di inerzia è la soma dei momenti di inerzia. Il momento do inerzia della sfera rispetto al polo O si calcola dal teorema degli assi paralleli;

Itot = Iasta + Isfera =mL2

3+ 2MR

2

5+M L + R( )2 = 6.51 kg ⋅m2

b) Notando che il c.m. del sistema si abbassa di una quota uguale a Lcm, dalla conservazione dell’energia meccanica:12Itotω

2 = m +M( )gLcmDa cui:

ω =2 m +M( )gLcm

Itot= 4.57 rad / s

Fisica Generale con Laboratorioprova del 16 Giugno 2015

problemi di Meccanica

Problema 1Un disco omogeneo di raggio R = 40 cm e massa M = 3 kg può ruotare senza attrito attorno ad un asse verticale baricentrico. Ad una distanza d = 20 cm dall’asse è appoggiato sul disco un blocchetto di massa m = 200 g. Il disco, inizialmente fermo, è posto in rotazione mediante l’applicazione di un momento meccanico costante τ = 0.2 N·m e si constata che dopo un tempo t = 6 s il blocchetto comincia a scivolare sul disco. Calcolare:a) il coefficiente di attrito statico tra blocco e disco;b) il lavoro fatto dal momento meccanico fino a questo istante.

Problema 2Un’asta rigida ed omogenea di lunghezza ℓ = 80 cm e massa M = 600 g incernierata ad un suo estremo O. All’altro estremo, tramite una fune orizzontale è applicata una forza T che la tiene in equilibrio nella posizione angolare ϑ = 60°Calcolare il valore della tensione T della fune.Successivamente la fune si spezza e l’asta, quando giunta in posizione verticale, urta elasticamente un blocco di massa m (considerato puntiforme) e dopo l’urto rimane ferma.a) Calcolare la massa m del blocco.b) Calcolare la velocità v acquistata dal blocco.


problemi di Elettromagnetismo

Problema 3Nel circuito di fig. 3 ε = 60 V, R1 = 1500 Ω, R2 = 500 Ω e C = 40 μF.L’interruttore viene posto nella posizione “a” per caricare il condensatore. a) Calcolare il valore della carica accumulata in un tempo t = 30 msb) Calcolare l’energia dissipata per effetto Joule durante il processo di carica.Successivamente l’interruttore viene posto in posizione “b” per scaricar eil condensatore. c) Calcolare il valore della differenza di potenziale ai capi di R2 all’istante t = 12 ms;d) Calcolare l’energia dissipata per effetto Joule durante il processo di scarica.

Problema 4In un solenoide (ideale) di lunghezza h = 1 m, raggio r = 50 cm e avente n = 20 spire/cm riempito da materiale ferromagnetico (μr = 1000) scorre una corrente costante I = 20 A. La resistenza complessiva degli avvolgimenti vale R = 100 Ω.a) Calcolare il valore del campo magnetico al suo interno.Per un guasto improvviso la corrente scende a zero in un tempo Δt = 2 ms.b) Calcolare la potenza media dissipata negli avvolgimenti.


Fisica Generale con Laboratoriosoluzioni prova parziale del 16 Giugno 2015


Itot = Idisco + Im = MR2

2+md 2 = 0.25 kg ⋅m2

τ = Itotα & & α = τItot

= 0.81 rad / s2

ω =ω 0 +α ⋅ t =α ⋅ t = 4.84 rad / sLa forza di attrito statico funge da forza centripeta:

a) fs ≤ µsN = µsm ⋅g = mω f2d & µs =

ω f2dg

= 0.48

ϑ =ϑ0 +ω 0t +12αt 2 = 1

2αt 2 = 14.52 rad

b) L = τ ⋅d0

ϑ

∫ ϑ = τ ⋅ϑ = 2.90 J

Soluzione Problema 2Scegliendo il punto O come polo e imponendo τ i∑ = 0 :

−T ⋅L ⋅cos ϑ( ) +Mg L2sin ϑ( ) = 0

T = Mg2tan ϑ( ) = 5.1N

Dalla conservazione del momento angolare e dell’energia cinetica:12I ⋅ω 2 = 1

2m ⋅v2 & (1)

I ⋅ω = m ⋅v ⋅L (2)dividendo la (1) per la (2):b) v =ω ⋅L = 3.43m / ssostituendo nella (2):

a) m = I ⋅ωv ⋅L

= I ⋅ωω ⋅L2

= ML3

3L2= M3

= 0.2 kg

Soluzione Problema 3Il condensatore si carica attraverso R1. Quindi τ1 = R1C = 0.06 s

Q t( ) = ε ⋅C 1− exp − tτ1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

a) Dalla quale si ricava: Q t = 0.03( ) = 9.44 ⋅10−4 CDalla conservazione dell’energia:

Lpila = EJoule +UC che si riscrive: ε ⋅Qtot = EJoule +12C ⋅ε 2

Ma Qtot = C ⋅ε , per cui:

b) EJoulecarica = ε ⋅Qtot −

12C ⋅ε 2 = C ⋅ε 2 − 1

2C ⋅ε 2 = 1

2C ⋅ε 2 = 0.072 J

Il condensatore si scarica attraverso R2. Quindi τ2 = R2C = 0.02 s

Q t( ) = ε ⋅C ⋅exp − tτ 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ & & VR t( ) =VC t( ) = Q t( )

C= ε ⋅exp − t

τ 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c) Dalla quale si ricava: V t = 0.012( ) = 32.9VTutta l’energia immagazzinate nel condensatore viene dissipata per effetto Joule. quindi:

d) EJoulescarica = 1

2C ⋅ε 2 = 0.072 J

Naturalmente, come deve, risulta: Lpila = EJoulecarica + EJoule

scarica


Isolenoide =εR= 2 A & N = n ⋅h = 2000

a) B = µ0 ⋅µr ⋅ Isolenoide ⋅n = 50.3T

L’energia immagazzinate nel solenoide vale: UB =12L ⋅ I 2

dove L = µ0µrn2h ⋅A = µ0µrn

2h ⋅πR2 è l’induttanza del solenoide.Se il solenoide si spegne questa energia viene dissipata per effetto Joule dalla corrente indotta nell’avvolgimento. Quindi:

b) Pdiss =UB

Δt= L ⋅ I 2

2Δt= µ0µrn

2h ⋅πR2 ⋅ I 2

2Δt= 3.95 ⋅108 W

Fisica Generale con Laboratorioprova del 14 Luglio 2015


Problema 1Un satellite artificiale di massa m=3000 kg ruota stabilmente su un’orbita equatoriale ad una altezza h = 100 km rispetto alla superficie terrestre. a) l Calcolare la sua velocità orbitale.b) Calcolare il lavoro meccanico totale fatto dal motori per porlo in rotazione su questa orbita. (Supporre nulli attrito e dissipazione termica).dati: Raggio Terra = 6400 km; Massa Terra = 5.97·1024 kg.

Problema 2Un disco omogeneo di raggio R = 40 cm e massa M = 3 kg al quale è attaccato sul bordo esterno un blocchetto di massa m = 0.5 kg (supposto puntiforme) può ruota senza attrito attorno ad un asse verticale baricentrico con velocità angolare ω = 5 rad/s. a) Calcolare la forza che l’asse esercita sul sistema disco + blocco.Ad un certo istante il blocchetto si stacca dal disco e si allontana muovendosi su un piano orizzontale privo di attrito. Calcolare:b) la velocità del blocchetto;c) la velocità angolare del disco dopo la frammentazione del sistema;d) la forza esercitata dall’asse sul disco dopo la frammentazione.



Problema 3Una sfera conduttrice di raggio R = 6 m è connessa ad una batteria avente una forza elettromotrice V0 = 60 Volt come mostrato in figura (A chiuso e B aperto) e successivamente sconnessa dalla batteria e scaricata a terra (A aperto e B chiuso) tramite una resistenza R 150 M Ω . Calcolare:a) il valore della carica accumulata sulla sfera;b) la carica ancora presente sulla sfera dopo un tempo t = 0.1 s dalla chiusura di B.c) il valore della differenza di potenziale ai capi di R in questo istante;d) l’energia dissipata per effetto Joule durante il processo di scarica.

Problema 4Una spira quadrata di lato a = 40 cm e resistenza complessiva R = 12 Ω si trova inizialmente immersa in campo magnetico costante B = 3 T perpendicolare al piano della spira e limitato alla sola zona tratteggiata in figura. La spira, inizialmente posizionata come in figura, viene estratta tramite una forza esterna F applicata ad essa con velocità costante v = 6 cm/s. Calcolare:a) il valore della forza F;b) intensità e verso della corrente che fluisce nella spira;c) la carica totale fluita nella spira durante tutta la fase di estrazione;d) il lavoro totale fatto dalla forza Fe) l’energia dissipata

.


Fisica Generale con Laboratoriosoluzioni prova scritta del 14 Luglio 2015


G M ⋅mr2

= mv2

r ! ! ! ! ! ! ! ! ! (1)

qui r è la distanza dal centro della terra: r = Rterra + h = 6.5 ⋅106 m

Si ricava allora:

v = G Mr

= 7.8 ⋅103 m / s

Ltot = LG + Lrazzo = ΔK = K fin − Kiniz =12mvfin

2 − 12mviniz

2 # # # (2)

dove viniz è la velocità che aveva il razzo fermo al suolo prima di accendere i motori e coincide con la velocità di rotazione della superficie terrestre.Applicando la legge di gravitazione universale (1) si ricava:12mvfin

2 = G M ⋅m2r ##

12mviniz

2 = G M ⋅m2RT

# # ΔK = G M ⋅m2

1r− 1RT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Inoltre:#

ΔUG =UG fin −UG iniz = −G ⋅M ⋅m 1r− 1RT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Sostituendo nella (2):

Lrazzo = ΔK − LG = ΔK + ΔUG = −G M ⋅m2

1r− 1RT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1.44 ⋅109 J

Soluzione Problema 2Scegliendo il punto O come polo calcoliamo la posizione del centro di massa:

rcmM ⋅0 +m ⋅RM +m

= R mM +m

L’asse fornisce la forza centripeta al sistema. E, come c’era da aspettarsi:Fasse = M +m( )ω 2rcm = mω 2R = 5 NDalla conservazione del momento angolare:Linz = Itot ⋅ω = Lfin = Ldisco + Lm = Idisco ⋅ω fin +m ⋅v ⋅R #che si riscrive:

Itot ⋅ω = Idisco +m ⋅R2( )ω = Idisco ⋅ω fin +m ⋅ω ⋅R2

Ossia, come c’era da aspettarsi: ω fin =ω = 5 rad / sUna volta che il blocchetto si è staccato il centro di massa del sistema in rotazione coincide con il polo di rotazione e non è necessaria nessuna forza esterna. Quindi: Fasse = 0

Soluzione Problema 3La sfera ha una capacità data da:C = 4π ⋅ε0 ⋅R = 6.67 ⋅10−10 FCollegata alla batteria, la sfera raggiunge il potenziale V0. Quindi:Q0 = C ⋅V0 = 4.0 ⋅10

−8 C Il condensatore successivamente si scarica attraverso R. Quindi la costante tempo risulta: τ = R ⋅C = 0.1 s

Q t( ) =Q0 exp − tτ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ # # # # # Q 0.1( ) = 1.47 ⋅10−8 C

Dalla quale si ricava:

VR t( ) =VC t( ) = Q t( )C

= Q0

Cexp − t

τ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ # # VR 0.1( ) = 22.1V

Il condensatore si scarica completamente, quindi:

ΔE = 0 −U0 = − 12CV0

2 = −1.2 ⋅10−6 J

Soluzione Problema 4fem = B ⋅a ⋅v = 7.2 ⋅10−3 V

I = femR

= 0.006 A in senso antiorario.

Poichè una corrente costante scorre per un tempo Δt =av= 6.67 s , avremo:

Q = I ⋅ Δt = B ⋅a ⋅vR

av= B ⋅a2

R= ΦB

max

R= 0.04 C

La forza è esattamente uguale alla forza subita dal tratto di filo verticale ad opera del campo magnetico: F = I ⋅a ⋅B = 0.072 NIl lavoro fatto da una forza costante che agisce per un tratto a è dato da:L = F ⋅a = I ⋅a2 ⋅B = 2.88 ⋅10−3 NLa potenza della forza F vale:P = F ⋅v = 4.32 ⋅10−4 W si verific aanche L’energia dissipata coincide con il lavoro fatto dalla forza F. Si verifica anche integrando la potenzaJuole sul tempo di estrazione:Ediss = P ⋅ Δt = F ⋅vΔt = F ⋅a

Fisica Generale con Laboratorioprova del 8 Settembre 2015


Problema 1Un blocchetto di massa m1=300 g è sospeso ad una fune ideale inestensibile di lunghezza L = 25 cm come in figura. Un secondo blocchetto di massa m2 = 100 g e velocità u = 2 m/s lo colpisce orizzontalmente e vi rimane attaccato. Calcolare:a) l’angolo massimo di oscillazione del sistema dopo l’urto.b) l’energia meccanica perduta nell’urto.

Problema 2Une sfera omogenea di raggio R = 10 cm e massa m = 2 kg rotola lungo un pinao inclinato di una angolo θ = 30° rispetto all’orizzontale. Calcolare: a) il minimo coefficiente di attrito statico che consenta alla sfera di muoversi di puro rotolamentob) l’energia cinetica della sfera dopo che questa ha percorso un tratto d = 80 cm lungo il piano inclinato



Problema 3due gusci sferici concentrici di raggio R1 = 5 cm e R2 = 20 cm possiedono rispettivamente una carica Q1 = 2 nC e Q2 = - 3 nC. Calcolare il valore del campo elettrico nei seguenti punti:a) nell’origine; sulla sfera interna; sulla sfera esterna; ad una distanza d = 40 cm dall’origine.Una particella di massa m = 3 mg e carica q = -10 pC si stacca dalla sfera esterna e si muove verso la sfera interna.b) calcolare la velocità di impatto della particella sulla sfera interna.

Problema 4Una spira circolare di raggio r = 2 cm formata da N = 500 avvolgimenti di resistenza complessiva R = 50 Ω è percorsa da una corrente I = 200 mA. Calcolare:a) il valore del campo magnetico nel suo centro;Se la corrente va linearmente a zero in un tempo Δt = 10 ms, calcolare:b) lintensità e verso della corrente indotta (rispetto a quella iniziale) nella spira. Si supponga, semplificativamente, che il campo magnetico prodotto dalla spira sia uniforme e pari alla metà del valore assunto al centro di essa.

.

problema 3

Fisica Generale con Laboratoriosoluzioni prova scritta del 8 Settembre 2015

Soluzione Problema 1Dalla conservazione della quantità di moto:

m1u = m1 +m2( )v !! v = m1

m1 +m2

u = 34u = 1.5 m / s

Dalla conservazione dell’energia meccanica dopo l’urto:

12m1 +m2( )v2 = m1 +m2( )gh = m1 +m2( )g 1− cosϑmax( )

Da cui:

ϑmax = arccos 1−

v2

2g⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 57o

L’energia meccanica perduta nell’urto totalmente anelastico vale:

ΔE = Ki − K f =12m1u

2 − 12m1 +m2( )v2 = 1

2m1m2

m1 +m2

u2 = 0.15 J

! ! !Soluzione Problema 2Riducendo il moto roto-traslatorio ad un moto puramente rotatorio avente polo nel punto P di contatto sfera-piano inclinato:

τ g = IPα $ $ mgRsinϑ = IPα = ICM +mR2( )α = 75mR2α = 7

5mRaCM

Da cui: aCM = 57gsinϑ

Dall’equazione del moto traslatorio:

mgsinϑ − fs = maCM = m 57gsinϑ si ricava:

fs =27gsinϑ ≤ µsN = µsmgcosϑ

Ossia:

µs ≥27tanϑ = 0.16

Per la conservazione dell’energia meccanica:K fin = −ΔUg = mgh = mgd sinϑ = 7.85 J

Soluzione Problema 3Applicando la legge di Gauss:ε0ΦE = 4πε0r

2E =Qint

abbiamo:E0 = 0

E1 =Q1

4πε0R12 = 7190V /m

E2 =Q1 +Q2

4πε0R22 = −224.8V /m

Ed =Q1 +Q2

4πε0d2 = −56.2V /m

Dalla conservazione dell’energia:

K fin =12mvfin

2 = −ΔUE = −qΔVE = −q V1 −V2( ) = − qQ14πε0

1R1

− 1R2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

vfin =2K fin

m= 1.97 ⋅10−3 m / s

Soluzione Problema 4Il campo magnetico al centro di una spira con N avvolgimenti vale:

B = µ0NI2r

= 3.1⋅10−3 T

Quando la corrente nella spira varia, per la legge di Faraday si genera una forza elettromotrice indotta data da:

fem = −N dΦB

dt= N ΦB

iniz

Δt= N πr2B

2Δt= 0.98V

dove il fattore 2 tiene conto del valor medio del campo magnetico all’interno della spira.La corrente indotta vale dunque:

I = femR

= 1.97 ⋅10−3 A

In base alla legge di Lenz il verso di tale corrente indotta è lo stesso della corrente primaria.

Fisica Generale con Laboratorioprova del 22 Settembre 2015


Problema 1Un blocchetto di massa m1=300 g, connesso ad una fune ideale inestensibile di lunghezza L = 24 cm come in figura, si muove di moto circolare uniforme su un’orbita di raggio R = 12; cm. Calcolare:a) la tensione della fune;b) la velocità angolare del blocchetto;c) il lavoro compiuto da un agente esterno per porlo nell’orbita suddetta se il

blocchetto era inizialmente appeso alla fune in stato di quiete.

Problema 2Un anello omogeneo di spessore trascurabile, raggio raggio R = 10 cm e massa m = 2 kg rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo φ = 30° rispetto all’orizzontale. Calcolare: a) l’accelerazione del centro di massa;b) la velocità angolare e la velocità del centro di massa dopo che l’anello ha

percorso un tratto d = 120 cm lungo il piano inclinato;c) il lavoro fatto dalla forza peso in questo spostamento.



Problema 3Nel circuito in figura si hanno i seguenti valori: ε = 24 Volt; R1 = 120 Ω, R2 = 60 Ω, R3 = 30 Ω. Inizialmente l’interruttore T è aperto. Calcolare:a) la corrente I1 che passa nel circuito;b) la potenza erogata dal generatore.Successivamente l’interruttore T viene chiuso. Calcolare:c) le correnti I1, I2 e I3 che passano nel circuito;d) la potenza erogata dal generatore.

Problema 4Una solenoide (considerato ideale) di lunghezza L = 20 cm e raggio r = 5 cm formato da N = 2000 avvolgimenti di resistenza complessiva R = 5 Ω genera al suo interno un campo magnetico B = 0.4 T. Calcolare:a) il valore della corrente che percorre il solenoide;Se la corrente va linearmente a zero in un tempo Δt = 3 ms, calcolare:b) lintensità e verso della corrente indotta (rispetto a quella iniziale) nel

solenoide.

.

problema 3

Fisica Generale con Laboratoriosoluzioni prova scritta del 22 Settembre 2015

Soluzione Problema 1T cosϑ = mgT sinϑ = mω 2RDividendo la seconda per la prima:

tanϑ = RL2 − R2( )1/2

= ω 2Rg

ω = gL2 − R2( )1/2

= 6.87 rad / s

T = mgcosϑ

= mgRL2 − R2

= 3.4 N

ΔU = mgL 1− cosϑ( ) = mgL 1− RL2 − R2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 0.094 J

ΔK = K = 12mω 2R = 0.102 J

Lext = ΔU + ΔK = 0.197 J! ! !Soluzione Problema 2Riducendo il moto roto-traslatorio ad un moto puramente rotatorio avente polo nel punto P di contatto sfera-piano inclinato:τ g = IPα

mgRsinϑ = IPα = ICM +mR2( )α = 2mR2α

α = gsinϑ2R $ acm =αR = gsinϑ

2= 2.45 m / s2

L’angolo totale di rotazione durante la traslazione di un tratto d vale:

ϕ = dR= 12 rad

Dalla relazione: ω fin2 =ω 0

2 + 2αϕ , essendo ω 0 = 0 , si ottiene:

ω fin = 2αϕ =gd sinϑR

= 24.26 rad / s

vcm =ω finR = gd sinϑ = 2.43m / sIl lavoro fatto dalla gravità vale:Lg = mg ⋅d ⋅sinϑ = 11.77 J

Soluzione Problema 3Con T aperto:

I1 =ε

R1 + R2= 0.133 A

P1 = ε ⋅ I1 = 3.2WCon T chiuso R2 e R3 sono in parallelo. Pertanto:

Rtot = R1 +R2R3R2 + R3

= 140Ω

I '1 =εRtot

= 0.171 A

La d.d.p. ai capi di R2 e R3 vale:V23 = ε − R1I '1 = 3.43VE quindi:

I2 =V23R2

= 0.057 A $ $ I3 =V23R3

= 0.114 A

Naturalmente: I2 + I3 = I '1

Infine: P2 =ε 2

Rtot= 4.114W

Soluzione Problema 4Il campo magnetico al centro di una spira con N avvolgimenti vale:

B = µ0I ⋅n = µ0I ⋅NL si ricava:

I = B ⋅Lµ0 ⋅N

= 31.83 A

Quando la corrente nel solenoide varia, per la legge di Faraday si genera una forza elettromotrice indotta data da:

fem = −N dΦB

dt= N ΦB

iniz

Δt= N πr2B

Δt= 2094 V

La corrente indotta vale dunque:

I = femR

= 419 A

In base alla legge di Lenz il verso di tale corrente indotta è lo stesso della corrente primaria.

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