VII. FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS (II)

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VII.3.1. Producto escalar

DEF. Sea V un espacio vectorial sobre R. Una aplicaciónV × V → R(~x , ~y) 7→ ~x · ~y es un producto escalar si se verifica

∀λ ∈ R, ∀~x , ~x ′, ~y ∈ V :1 ~x · ~y = ~y · ~x (Simetría)2 (~x + ~x ′) · ~y = ~x · ~y + ~x ′ · ~y (Linealidad (I))3 (λ~x) · ~y = λ(~x · ~y) (Linealidad (II))4 ~x · ~x > 0 ∀~x 6= ~0 (Positividad)

Un producto escalar es una forma bilineal simétrica definidapositiva.

El producto escalar canónico de Rn es:

(x1, x2, · · · , xn) · (y1, y2, · · · , yn) = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn

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VII.3.2. Norma

DEF. Un espacio vectorial en el que está definido un productoescalar se llama espacio euclídeo.

DEF. Sea V un espacio euclídeo. Se define la norma o módulode un vector ~x ∈ V con respecto al producto escalar definidoen V como:

‖~x‖ = +√~x · ~x

Propiedades1 ‖~x‖ ≥ 0 ∀~x ∈ V2 ‖~x‖ = 0⇔ ~x = ~03 ‖λ~x‖ = |λ|‖~x‖ ∀~x ∈ V , ∀λ ∈ R4 |~x · ~y | ≤ ‖~x‖‖~y‖ ∀~x , ~y ∈ V (Desigualdad de Schwarz)5 ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖ ∀~x , ~y ∈ V (Desigualdad triangular o

de Minkowski)

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VII.3.3. Ángulo entre dos vectores

DEF. Dados dos vectores ~x e ~y de un espacio euclídeo, sellama ángulo que forman estos dos vectores al único ánguloα ∈ [0, π] tal que:

cos(α) =~x · ~y‖~x‖‖~y‖

Por la desigualdad de Schwarz:

|~x · ~y | ≤ ‖~x‖‖~y‖ ⇒ |~x · ~y |‖~x‖‖~y‖

≤ 1⇒ −1 ≤~x · ~y‖~x‖‖~y‖

≤ 1

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VII.4.1. Ortogonalidad

DEF. Sea V un espacio euclídeo. Se dice que ~x , ~y ∈ V sonvectores ortogonales si:

~x · ~y = 0

Observaciones.1 Dos vectores son ortogonales si son conjugados respecto

al producto escalar.2 Dos vectores ortogonales forman un ángulo de π/2 .

DEF. Una base B ={~e1, ~e2, · · · , ~en

}de V es ortogonal si sus

vectores son ortogonales dos a dos:

~ei · ~ej = 0 i 6= j ,∀i , j = 1,2, · · · ,n

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VII.4.2. Ortonormalidad

DEF. Sea V un espacio euclídeo. Se dice que ~x ∈ V es unvector unitario si:

‖~x‖ = 1

DEF. Una base B ={~e1, ~e2, · · · , ~en

}de V es ortonormal si es

una base ortogonal de vectores unitarios:

~ei · ~ej =

{1 i = j0 i 6= j

∀i , j = 1,2, · · · ,n

Observaciones. En una base ortonormal:1 La matriz de un producto escalar es la identidad2 ~x · ~y = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn

3 ‖~x‖++√~x · ~x = +

√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n

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VII.4.3. Método de Gram-Schmidt

Dada una base B ={~u1, ~u2, · · · , ~un

}del espacio vectorial

euclídeo V , existe una base ortogonal{~e1, ~e2, · · · , ~en

}de V

construida:

~ei = ~ui − (α1~e1 + α2~e2 + · · ·+ αi−1~ei−1) i = 1,2, · · · ,n

donde αj =~ui · ~ej

‖~ej‖2j = 1,2, · · · , i − 1

Para obtener una base ortonormal basta con normalizar losvectores dividiendo por su norma.

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VII.5.1. Diagonalización Ortogonal de matricessimétricas

DEF. C ∈Mn×n(R) es una matriz ortogonal si: C−1 = Ct .

Teorema.1 Toda matriz real simétrica A ∈Mn×n(R) es

ortogonalmente diagonalizable: existe una matriz Cortogonal tal que D = C−1AC = CtAC es diagonal.

2 Las columnas de C son autovectores de A que forman unabase ortonormal.

3 Los elementos de la diagonal de D son los autovalores deA.

Propiedad. Si A ∈Mn×n(R) es simétrica, los autovectores de Aasociados a autovalores distintos son ortogonales.