ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Κ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ1Α)Έστω μια συνάρτηση f ,η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f΄(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ,να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

(Μονάδες 7)Β) i)Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία .

(Μονάδες 2) ii)Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει στο x0 τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; (Mονάδες 3) iii)Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [α,β];

(Μονάδες 3)Γ)Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις i)Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και η f είναι παραγωγίσμη στο x0 ,τότε η fog είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει (fog)΄(x0)=f ΄(g(x0))∙g΄(x0) ii)Για κάθε x∈ R και α>0 ισχύει (α x ¿΄=α x. iii)Aν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] ,τότε υπάρχει ξ∈(α,β) τέτοιο ώστε f΄(ξ)= f (β )−f (α )

β−α.

iv)Έστω μια συνάρτηση f: (α,β)→R η οποία είναι παραγωγίσιμη. Αν η εφαπτομένη της C f στο x0 ∈(α,β) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, τότε η f έχει ακρότατο στο x0. v)Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ=(α,β) ,τότε το

σύνολο τιμών της f στο Δ είναι f(Δ)= . (Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ2

Α)Έστω η συνάρτηση g(x)= 2xex

.

i)Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. (Μονάδες 6)

ii)Να δείξετε ότι ex>2x για κάθε x∈ R. (Μονάδες 4)

Β)Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ex- x3

3-x-1.

i)Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. (Μονάδες 7)

ii)Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

(Μονάδες 4) iii)Nα λύσετε την ανίσωση f(ex)<f(x2+1).

(Μονάδες 4)

ΘΕΜΑ3Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R→R με f(0)=1 έχει την ιδιότητα : f΄(x)=e2x ∙f(-x) για κάθε x∈ R. i)Να αποδειχθεί ότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη.

(Μονάδες 4) ii)Να αποδειχθεί ότι :f ΄΄(x)-2f΄(x)+f(x)=0 για κάθε x∈ R.

(Μονάδες 7) iii)Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g(x)=[f΄(x)-f(x)]∙ e−x είναι σταθερή στο R.

(Mονάδες 6)iv)Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f.

(Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ4Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R→R για την οποία ισχύουν f(4)=3 και

.

α)Να αποδείξετε ότι f(1)=3.

(Μονάδες 4)

β)Να υπολογίσετε την f΄(1) και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της

γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,f(1)).

(Μονάδες 6)

γ)Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y=x+1 τέμνει τη γραφική παράσταση

της f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x0∈(1,4).

(Μονάδες 5)

δ)Αν επιπλέον η f είναι κυρτή ,να αποδείξετε ότι:

i)υπάρχει ακριβώς ένα σημείο ξ ∈(1,4) στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό

ελάχιστο.

(Μονάδες 6)

ii)ισχύει f(2)<f(5)

(Μονάδες 4)