VARIÁVELVARIÁVEL ALEATÓRIA ALEATÓRIA e e

DISTRIBUIÇÃO DISTRIBUIÇÃO BINOMIALBINOMIAL

Variável AleatóriaVariável Aleatória

Uma função X que associa a cada elemento ω do espaço amostral Ω um valor x ∈ R é denominada uma variável aleatória.

A variável aleatória pode ser classificada em:

• Variável aleatória discretadiscreta• Variável aleatória contínuacontínua

1) Observa-se o sexo das crianças em famílias com três filhos (M: masculino e F: feminino).

Ω=(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF) ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω7 ω8

Defina X: nº de crianças do sexo masculino (M).

Exemplos:Exemplos:

→ Então X é uma v.a. discreta, pois X(ωι) = 0, 1, 2, 3

(X assume valores no conjunto 0, 1, 2, 3)

Ω MMM MMF MFM FMM MFF FMF FFM FFFx 3 2 2 2 1 1 1 0

2) Observar o tempo de vida, em horas, de lâmpadas produzidas por uma fábrica.

Defina T: tempo de vida, em horas, da lâmpada escolhida ao acaso.

→ Então, T é uma v.a. contínua que assume qualquer valor real positivo.

Exemplos:Exemplos:

0; ≥= ttT

P(X=xn)

xn

...P(X=x2)P(X=x1)P(X=x)

...x2x1x

1 )xP(X e 1 )xP(X 0n

1iii ∑

===≤=≤

Uma função de probabilidade deve satisfazer:

Função de probabilidadeFunção de probabilidade:: É a função que atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser representada pela tabela:

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA CaracterizaçãoCaracterização

O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo pelo menosmenos duas mulheres?

Vamos definir a v.a.

X: nº de mulheres na comissão.

Quais são os possíveis valores que X pode assumir?

Exemplo 1:Exemplo 1:

0,0563

0,2910,4500,203P(X=x)210x

Assim, P (X 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0,291 + 0,056 = 0,347. ≥

3 0,056 3312

3413

3514 (MMM)

2 0,097 3321

3413

3514 (MMH)

2 0,097 3313

3421

3514 (MHM)

2 0,097 3313

3414

3521 (HMM)

1 0,150 3320

3421

3514 (MHH)

1 0,150 3320

3414

3521 (HMH)

1 150,03314

3420

3521 (HHM)

0 0,2033319

3420

3521 (HHH)

=××

=××

=××

=××

=××

=××

=××

=××

Espaço amostral Probabilidade X

ΩΩ = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6).

Qual é a probabilidade de cada ponto wi de Ω ?

Exemplo 2Exemplo 2:: Um dado é lançado duas vezes, de forma independente. Qual é a probabilidade da soma dos pontos ser menor do que 6?

Admitindo que o dado é perfeitamente homogêneo e sendo os lançamentos independentes, P(wi) = 1/36 , qualquer wi ∈ Ω.

Defina X: soma dos pontos.

4/365

5/366

6/367

5/368

4/369

3/3610

2/3611

1/3612

3/362/361/36P(X=x)432x

Então,

P(X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36 = 0,278

Função de probabilidade de X:

Podemos estar interessados em outras v.a.’s definidas para o mesmo espaço amostral.

1/361

9/365

11/366

7/365/363/36P(Y=y)432y

Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos

Z: diferença entre os pontos do 2º. e do 1º. lançamento

4/36

-2

5/36

-1

6/36

0

5/36

1

4/36

2

3/36

3

2/36

4

1/36

5

3/362/361/36P(Z=z)

-3-4-5z

MÉDIA E VARIÂNCIAMÉDIA E VARIÂNCIAQual é o valor médio da soma dos pontos (X) no lançamento de dois dados?

ΩΩ = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

x

P(X

=x)

12111098765432

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1\36

0

x P(X=x)2 1/363 2/364 3/365 4/366 5/367 6/368 5/369 4/3610 3/3611 2/3612 1/36

MÉDIA E VARIÂNCIAMÉDIA E VARIÂNCIA

Valor Esperado Valor Esperado (média):(média): Dada a v.a. X, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor médiovalor médio ou valorvaloresperadoesperado ou esperança matemáticaesperança matemática de de XX o valor

No exemplo, para média de X ( soma de pontos), temos:E(X) = 2.(1/36) + 3.(2/36) + ... + 11.(2/36) + 12.(1/36) = 252/36 = 7

ou seja, em média, a soma dos pontos no lançamento dos dois dados é igual a 7.

Notação: µµ = = EE((XX))

)()(...)()(1i

11 i

n

inn xXPxxXPxxXPxXE =×==×++=×= ∑=

Variância:Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou seja, se X assume os valores x1, x2, ..., xn,

Da relação acima, segue que

.)Var()DP( XX =

Desvio PadrãoDesvio Padrão:: É definido como a raiz quadrada positiva da variância, isto é,

Notação: Var(X).σ2 ==

Notação: DP(X).σ ==

)( )]( - [ )Var(1

2i

n

ii xXPXExX =×= ∑

=

.)]([– )( )Var( 22 XEXEX =

83.,536210

361 7) - (12

362 7) - (11 ...

362

7) - (3 361 7) - (2 Var(X) 2222

==

.+.++.+.=

No exemplo,

83,5436

1974

361 12

362 11 ...

362 3

361 2 )E(X 22222

==

.+.++.+.=

Alternativamente, poderíamos calcular

e, portanto, Var(X) = 54,83 – 72 = 5,83.

4/365

5/366

6/367

5/368

4/369

3/3610

2/3611

1/3612

3/362/361/36P(X=x)432x

2) Se Y = aX + b, em que a e b são constantes, então

E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b e Var(Y) = Var(aX + b) = a2 Var(X).

Propriedades:Propriedades:

1) Se X = a, em que a é uma constante, então

E(X) = a e Var(X) = 0.

Exemplos:Exemplos:• uma peça é classificada como boa ou defeituosa;• o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo;• um paciente submetido a um tratamento durante um período de tempo fixo, cura-se ou não da doença;• um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;• no lançamento de um dado ocorre ou não a face 5.

MODELO DE BERNOULLI MODELO DE BERNOULLI

MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOSMODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS

Na prática, existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados.

Variável aleatória de Bernoulli:Variável aleatória de Bernoulli: É uma v.a. que assume apenas dois valores:

• 11 se ocorrer sucessosucesso, • 00 se ocorrer fracassofracasso.

Geralmente, a probabilidade de sucesso é representada por p,p, 0 < 0 < pp < 1. < 1.

Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas, genericamente, por respostas do tipo sucesso-fracasso.

Esses experimentos (se forem independentes e com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”) recebem o nome de Ensaios deEnsaios de BernoulliBernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli.

1, se ocorrer “sucesso” X = 0, se ocorrer “fracasso”

e sua função de probabilidade pode ser representada pela tabela

Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo binomialmodelo binomial.

Segue que E(X) = p,

Var(X) = p(1 – p).

1 - ppP(X=x)01X

“X X ~ Bernoulli (~ Bernoulli (pp))” indica uma v.a. com distribuição de BernoulliBernoulli com parâmetro pp, isto é,

Exemplo:Exemplo: Um dado equilibrado é lançado 3 vezes. Qual é a probabilidade de se obter a face 5 duasvezes?

Denotamos,

SS: sucesso, ocorre a face 5;FF: fracasso, não ocorre a face 5.

É fácil ver que pp = P(sucesso) = 1/6 e qq = 1 – 1 – pp = P(fracasso) = 5/6

ΩΩ = SSS, SSF, SFS, FSS, SFF, FSF, FFS, FFF

MODELO BINOMIALMODELO BINOMIAL

Estamos interessados no número total de sucessos que, no caso, é o número de vezes que a face 5 é observadanos 3 lançamentos.

p

q

F

S

p

p

p

p

p

pq

qq

q

q

q

F

S

F

S

F

S

S

F

S

F

S

F

(SSS) p3 3

(SSF) p2q 2 (SFS) p2q 2

(SFF) pq2 1 (FSS) p2q 2

(FSF) pq2 1 (FFS) pq2 1

(FFF) q3 0

ΩΩ Prob XX

A função de probabilidade de X é dada porProbabilidades binomiais para n = 3 e P(S) = p Nº de sucessos Probabilidades p = 1/6

0 q3 125/216 = 0,5787 1 3pq2 75/216 = 0,3472 2 3p2q 15/216 = 0,0694

3 p3 1/216 = 0,0046

0,0694. 2) (X Pexemplo, No ==

3. 2, 1, 0, k , k-3q kp k3 k) P(X

como função essa escrever Podemos

===

Sua função de probabilidade é dada por

Notação: XX ~ ~ bb((nn; ; pp)).

n. , ... 1, 0, k , k-np) - (1 kp k

n k) P(X ===

Distribuição binomialDistribuição binomial:: A v.a. XX, correspondente ao número de sucessos em número de sucessos em nn ensaios de Bernoulli ensaios de Bernoulli independentes e com mesma probabilidade independentes e com mesma probabilidade pp de sucesso de sucesso, tem distribuição binomial com parâmetros n e p.

ResultadoResultado::

média: µ = E(X) = n×p

variância: σ2 = Var(X) = n×p×(1-p)

Se X ~ b(n; p), então

Exemplo utilizando o MINITAB:

Considere uma prova com 12 questões, cada uma com 4 alternativas. Suponha que o aluno escolha a resposta ao acaso. Qual é a probabilidade de que ele acerte pelo menos 6 questões?

X: nº de questões que o aluno acertará

X= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

( ) ( ) xx

xxXP −−

== 1225,0125,0

12

Uso do Minitab para os cálculos!

X ~ b(12; 0,25)

Probability Density Function

Binomial with n = 12 and p = 0,25

x P( X = x ) 0 0,0317 1 0,1267 2 0,2323 3 0,2581 4 0,1936 5 0,1032 6 0,0401 7 0,0115 8 0,0024 9 0,0004 10 0,0000

No MINITAB, > pdf;> bino 12 0,25.

Portanto,

P(X 6) = 0,0544.≥Temos queE(X) = n×p = 12x0,25 = 3,

ou seja, em média, o aluno que responder “ao acaso” todas as questões, acertará 3.