Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3:...

25
Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25

Transcript of Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3:...

Page 1: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Probabilidade I

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25

Page 2: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Função de Distribuição

Definição 8.1:(Função de Distribuição) Seja X uma variável aleatória em (Ω,P),sua função de distribuição é definida por

F(x) = P(X ∈ (−∞,x]) = P(X ≤ x),

com x percorrendo todos os reais.

O conhecimento da função de distribuição permite obter qualquerinformação sobre a variável.

Mesmo que a variável só assuma valores em um subconjunto dos reais, afunção de distribuição é definida em toda reta.

F é também conhecida como função de distribuição acumulada, poracumular as probabilidades dos valores inferiores a x .

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 2 / 25

Page 3: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Função de DistribuiçãoPROPRIEDADES: As condições necessárias e suficientes para que uma funçãoseja uma função de distribuição são:

(F1) limx→−∞

F(x) = 0 e limx→∞

F(x) = 1;

(F2) F é contínua à direita, isto é, para xn ↓ x tem-se que F(xn) ↓ F(x)

limxn→x

F(xn) = F(x+) = F(x)

;

(F3) F é não decrescente, isto é, F(x)≤ F(y) sempre que x ≤ y ,∀x ,y ∈R.

Demonstração:(F1) Se xn ↓ −∞, então [X ≤ xn] = ω∈Ω : X(ω)≤ xn ↓∅ e

F(xn) = P(X ≤ xn) ↓ 0. Se xn ↑+∞, então [X ≤ xn] ↑Ω eF(xn) = P(X ≤ xn) ↑ 1.

(F2) Se xn ↓ x , então [X ≤ xn] ↓ [X ≤ x] e, pela continuidade deprobabilidade, F(xn) = P(X ≤ xn) ↓ P(X ≤ xn) = F(x).

(F3) x ≤ y⇒ [X ≤ x]⊂ [X ≤ y]. Logo,F(x) = P(X ≤ x)≤ P(X ≤ y) = F(y).

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 3 / 25

Page 4: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exemplos

Exemplo 8.1:

Seja,

F(x) =

0, se x < 0;1/2, se 0≤ x < 1;

1, se x ≥ 1.

Pergunta: F é uma função de distribuição?

limx→−∞

F(x) = 0 pois F(x) = 0 para x < 0. limx→∞

F(x) = 1 pois F(x) = 1 para

x ≥ 1.

Exceto nos pontos 0 e 1, F é contínua nos reais. Para os pontos 0 e 1 temoscontinuidade à direita, isto é,

F(0) = limx→0+

F(x) = 1/2 e F(1) = limx→1+

F(x) = 1

F é não decrescente, isto é, para x < y , temos que F(x)< F(y). Porexemplo, para x = 0< 1 = y , temos que F(0)< F(1).

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 4 / 25

Page 5: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exercícios

Exercício 8.1: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F éuma funções de distribuição:

a) F(x) =

0, se x < 6;(x −6)/2, se 6≤ x < 8;

1, se x ≥ 8.

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 5 / 25

Page 6: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

ExercíciosExercício 8.2: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F éuma funções de distribuição:

b) F(x) =

0, se x < 0;1/8, se 0≤ x < 1;1/2, se 1≤ x < 2;7/8, se 2≤ x < 3;

1, se x ≥ 3.

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 6 / 25

Page 7: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Variáveis Aleatórias DiscretasA classificação das variáveis aleatórias é feita de acordo com os valores queassumem.

Essa classificação tem estreita relação com o comportamento da função dedistribuição da variável.

Construa os gráficos das funções de distribuição do exemplo 8.1 e do exercício8.1. O que você pode concluir?

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 7 / 25

Page 8: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Variáveis Aleatórias DiscretasDefinição 8.2: (Variável aleatória discreta) Uma variável aleatória X é discreta seassume um número enumerável (finito ou infinito) de valores.

Isto é, os valores possíveis de X podem ser postos em lista como x1,x2, . . . ,xn.

EXEMPLOS:

Número de filhos;

Número de peças defeituosas;

Número de tumores detectados por um exame.

Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de umavariável aleatória discreta X é uma função que atribui probabilidade a cada umdos possíveis valores xi assumidos pela variável aleatória X , isto é,

p(xi) = P(X = xi) = P(ω∈Ω : X(ω) = xi)

para todo i = 1,2, . . . ,n e deve satisfazer as seguintes condições:

(i) 0≤ p(xi)≤ 1, ∀i ;

(i)∑n

i=1 p(xi) = 1

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 8 / 25

Page 9: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 9 / 25

Page 10: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Variáveis Aleatórias Discretas

Definição 8.4: Para uma variável aleatória discreta a função de distribuição édada por,

F(x) =∑

xi≤x

p(xi),

para todo x ∈R.

Dada a função de distribuição de uma variável discreta é possível obter a funçãode probabilidade correspondente.

p(xi) = F(xi)−F(x−i ),

em que F(x−i ) representa o limite de F tendendo a xi pela esquerda (isto é porvalores inferiores a xi ).

Para as variáveis discretas, a função de distribuição é descontínua e tem a formade escada. Seus pontos de descontinuidade são os valores assumidos pelavariável.

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 10 / 25

Page 11: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Variáveis Aleatórias Discretas

A magnitude de cada salto é p(xi) = F(xi)−F(x−i ).

Observação 8.1:Da definição 8.4 segue que

P(a< X ≤ b) = F(b)−F(a);

P(a≤ X ≤ b) = F(b)− [F(a)−P(X = a)] = F(b)−F(a−);

P(a≤ X < b) = [F(b)−P(X = b)]− [F(a)−P(X = a)] = F(b−)−F(a−);

P(a< X < b) = [F(b)−P(X = b)]−F(a) = F(b−)−F(a).

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 11 / 25

Page 12: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exemplos

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 12 / 25

Page 13: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exemplos

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 13 / 25

Page 14: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exemplos

Considere um lote com 4 peças, das quais 2 sãodefeituosas, e retire ao acaso duas peças, comreposição.

Seja D = a peça é defeituosa e P = a peça é perfeita.

Então, Ω =DD, DP, PD, PPEntão, Ω =DD, DP, PD, PP

Definindo X como sendo o número de peças perfeitas,temos:

ωωωω DD DP,PD PP

X(ωωωω) 0 1 2

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 14 / 25

Page 15: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Variáveis Aleatórias

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 15 / 25

Page 16: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exemplos

Representação Gráfica

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 16 / 25

Page 17: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

ExemplosEXEMPLO 8.2: Suponha que uma válvula eletrônica seja colocada em umsoquete e ensaiada. A probabilidade de que o teste seja positivo é 3/4.Considere uma grande quantidade de válvulas. Os ensaios continuam até que aprimeira válvula positiva apareça. Seja a variável aleatória X o número de testesnecessários para concluir o experimento.

p(n) = P(X = n) =

1

4

n−13

4

, n = 1,2, . . .

∞∑

n=1

p(n) =3

4

1 +1

4+

1

16+ . . .

=3

4

1

1− 14

= 1

Assim, como p(n)≥ 0, ∀n e∑∞

n=1 p(n) = 1, temos que p(n) é uma função deprobabilidade.

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 17 / 25

Page 18: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exemplos

Exemplo 2.7

• Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de

probabilidade:

P X kc k

c k( )

,

,= =

=

=

, para 3, 5

, para 4

1

2 2

a) Determine o valor da constante “c" que torna legítima a função

de probabilidade acima.

b) Determine a função de distribuição acumulada F e construa o

gráfico.

c) Calcule a P(X>1), P(X≥3), P(X≤4), P(5/2<X≤5).

P X kc k

( ),

= =

=

, para 42 2

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 18 / 25

Page 19: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

ExemplosEXEMPLO 8.3:

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 19 / 25

Page 20: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

ExemplosEXEMPLO 8.4: Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribuiçãodada por: F(−2) = 0.3, F(0) = 0.5, F(1) = 0.6, F(2) = 0.8 e F(5) = 1.

a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X .

b) Calcule P(−1≤ X ≤ 4).

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 20 / 25

Page 21: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exercícios

Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos

livros. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição

de probabilidade da variável aleatória X = número de livros

vendidos por semana:

xi

0 1 2 3 4 5

Exercícios

a) Obtenha a função de distribuição de X.

b) Calcule a probabilidade de se vender mais que 2 livros vendidos

por semana.

c) Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro.

d) O lucro da livraria é obtido através da relação Y=3X2+X-2. Qual a

distribuição de probabilidade do lucro.

p(xi) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 21 / 25

Page 22: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exercícios

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 22 / 25

Page 23: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exercícios

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 23 / 25

Page 24: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exercícios

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 24 / 25

Page 25: Probabilidade I - DE/UFPBde.ufpb.br/~tarciana/Probabilidade/Aula8.pdf · Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta

Exercícios

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 25 / 25