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Probabilidade I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
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Função de Distribuição
Definição 8.1:(Função de Distribuição) Seja X uma variável aleatória em (Ω,P),sua função de distribuição é definida por
F(x) = P(X ∈ (−∞,x]) = P(X ≤ x),
com x percorrendo todos os reais.
O conhecimento da função de distribuição permite obter qualquerinformação sobre a variável.
Mesmo que a variável só assuma valores em um subconjunto dos reais, afunção de distribuição é definida em toda reta.
F é também conhecida como função de distribuição acumulada, poracumular as probabilidades dos valores inferiores a x .
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Função de DistribuiçãoPROPRIEDADES: As condições necessárias e suficientes para que uma funçãoseja uma função de distribuição são:
(F1) limx→−∞
F(x) = 0 e limx→∞
F(x) = 1;
(F2) F é contínua à direita, isto é, para xn ↓ x tem-se que F(xn) ↓ F(x)
limxn→x
F(xn) = F(x+) = F(x)
;
(F3) F é não decrescente, isto é, F(x)≤ F(y) sempre que x ≤ y ,∀x ,y ∈R.
Demonstração:(F1) Se xn ↓ −∞, então [X ≤ xn] = ω∈Ω : X(ω)≤ xn ↓∅ e
F(xn) = P(X ≤ xn) ↓ 0. Se xn ↑+∞, então [X ≤ xn] ↑Ω eF(xn) = P(X ≤ xn) ↑ 1.
(F2) Se xn ↓ x , então [X ≤ xn] ↓ [X ≤ x] e, pela continuidade deprobabilidade, F(xn) = P(X ≤ xn) ↓ P(X ≤ xn) = F(x).
(F3) x ≤ y⇒ [X ≤ x]⊂ [X ≤ y]. Logo,F(x) = P(X ≤ x)≤ P(X ≤ y) = F(y).
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Exemplos
Exemplo 8.1:
Seja,
F(x) =
0, se x < 0;1/2, se 0≤ x < 1;
1, se x ≥ 1.
Pergunta: F é uma função de distribuição?
limx→−∞
F(x) = 0 pois F(x) = 0 para x < 0. limx→∞
F(x) = 1 pois F(x) = 1 para
x ≥ 1.
Exceto nos pontos 0 e 1, F é contínua nos reais. Para os pontos 0 e 1 temoscontinuidade à direita, isto é,
F(0) = limx→0+
F(x) = 1/2 e F(1) = limx→1+
F(x) = 1
F é não decrescente, isto é, para x < y , temos que F(x)< F(y). Porexemplo, para x = 0< 1 = y , temos que F(0)< F(1).
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Exercícios
Exercício 8.1: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F éuma funções de distribuição:
a) F(x) =
0, se x < 6;(x −6)/2, se 6≤ x < 8;
1, se x ≥ 8.
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ExercíciosExercício 8.2: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F éuma funções de distribuição:
b) F(x) =
0, se x < 0;1/8, se 0≤ x < 1;1/2, se 1≤ x < 2;7/8, se 2≤ x < 3;
1, se x ≥ 3.
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Variáveis Aleatórias DiscretasA classificação das variáveis aleatórias é feita de acordo com os valores queassumem.
Essa classificação tem estreita relação com o comportamento da função dedistribuição da variável.
Construa os gráficos das funções de distribuição do exemplo 8.1 e do exercício8.1. O que você pode concluir?
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Variáveis Aleatórias DiscretasDefinição 8.2: (Variável aleatória discreta) Uma variável aleatória X é discreta seassume um número enumerável (finito ou infinito) de valores.
Isto é, os valores possíveis de X podem ser postos em lista como x1,x2, . . . ,xn.
EXEMPLOS:
Número de filhos;
Número de peças defeituosas;
Número de tumores detectados por um exame.
Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de umavariável aleatória discreta X é uma função que atribui probabilidade a cada umdos possíveis valores xi assumidos pela variável aleatória X , isto é,
p(xi) = P(X = xi) = P(ω∈Ω : X(ω) = xi)
para todo i = 1,2, . . . ,n e deve satisfazer as seguintes condições:
(i) 0≤ p(xi)≤ 1, ∀i ;
(i)∑n
i=1 p(xi) = 1
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Variáveis Aleatórias Discretas
Definição 8.4: Para uma variável aleatória discreta a função de distribuição édada por,
F(x) =∑
xi≤x
p(xi),
para todo x ∈R.
Dada a função de distribuição de uma variável discreta é possível obter a funçãode probabilidade correspondente.
p(xi) = F(xi)−F(x−i ),
em que F(x−i ) representa o limite de F tendendo a xi pela esquerda (isto é porvalores inferiores a xi ).
Para as variáveis discretas, a função de distribuição é descontínua e tem a formade escada. Seus pontos de descontinuidade são os valores assumidos pelavariável.
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Variáveis Aleatórias Discretas
A magnitude de cada salto é p(xi) = F(xi)−F(x−i ).
Observação 8.1:Da definição 8.4 segue que
P(a< X ≤ b) = F(b)−F(a);
P(a≤ X ≤ b) = F(b)− [F(a)−P(X = a)] = F(b)−F(a−);
P(a≤ X < b) = [F(b)−P(X = b)]− [F(a)−P(X = a)] = F(b−)−F(a−);
P(a< X < b) = [F(b)−P(X = b)]−F(a) = F(b−)−F(a).
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Exemplos
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Exemplos
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Exemplos
Considere um lote com 4 peças, das quais 2 sãodefeituosas, e retire ao acaso duas peças, comreposição.
Seja D = a peça é defeituosa e P = a peça é perfeita.
Então, Ω =DD, DP, PD, PPEntão, Ω =DD, DP, PD, PP
Definindo X como sendo o número de peças perfeitas,temos:
ωωωω DD DP,PD PP
X(ωωωω) 0 1 2
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Variáveis Aleatórias
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Exemplos
Representação Gráfica
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ExemplosEXEMPLO 8.2: Suponha que uma válvula eletrônica seja colocada em umsoquete e ensaiada. A probabilidade de que o teste seja positivo é 3/4.Considere uma grande quantidade de válvulas. Os ensaios continuam até que aprimeira válvula positiva apareça. Seja a variável aleatória X o número de testesnecessários para concluir o experimento.
p(n) = P(X = n) =
1
4
n−13
4
, n = 1,2, . . .
∞∑
n=1
p(n) =3
4
1 +1
4+
1
16+ . . .
=3
4
1
1− 14
= 1
Assim, como p(n)≥ 0, ∀n e∑∞
n=1 p(n) = 1, temos que p(n) é uma função deprobabilidade.
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Exemplos
Exemplo 2.7
• Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de
probabilidade:
P X kc k
c k( )
,
,= =
=
=
, para 3, 5
, para 4
1
2 2
a) Determine o valor da constante “c" que torna legítima a função
de probabilidade acima.
b) Determine a função de distribuição acumulada F e construa o
gráfico.
c) Calcule a P(X>1), P(X≥3), P(X≤4), P(5/2<X≤5).
P X kc k
( ),
= =
=
, para 42 2
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ExemplosEXEMPLO 8.3:
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ExemplosEXEMPLO 8.4: Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribuiçãodada por: F(−2) = 0.3, F(0) = 0.5, F(1) = 0.6, F(2) = 0.8 e F(5) = 1.
a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X .
b) Calcule P(−1≤ X ≤ 4).
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Exercícios
Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos
livros. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição
de probabilidade da variável aleatória X = número de livros
vendidos por semana:
xi
0 1 2 3 4 5
Exercícios
a) Obtenha a função de distribuição de X.
b) Calcule a probabilidade de se vender mais que 2 livros vendidos
por semana.
c) Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro.
d) O lucro da livraria é obtido através da relação Y=3X2+X-2. Qual a
distribuição de probabilidade do lucro.
p(xi) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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