Variável Aleatória Discreta

Exercícios

1. Considere uma fonte de informação contendo 16 símbolosΩ = S0, S1, S2, S3, S4, S5, S7, S8, S9, S10, S11, S12, S13, S14, S15 que são enviados ale-atoriamente. Esses símbolos são codificados com sequências de 0′s e 1′s. As proba-bilidades de ocorrência desses símbolos e a codificação desses símbolos em binárioé dada pela seguinte tabela:

Sj P (Sj) CódigoS0 1/8 001

S1 1/8 000

S2 1/8 011

S3 1/8 010

S4 1/16 1111

S5 1/16 1110

S6 1/16 1001

S7 1/16 1000

S8 1/16 1011

S9 1/16 1010

S10 1/32 11011

S11 1/32 11010

S12 1/64 110001

S13 1/64 110000

S14 1/64 110011

S15 1/64 110010

Vamos definir uma variável aleatória X como sendo o número de bits da palavra-código.

(a) Qual é o espaço de amostras de X

(b) Considerando que a sequência dos símbolos é independente, calcule as seguin-tes probabilidades: P (X ≥ 3), P (X ≤ 2), P (X ≤ 4)?

(c) Qual a probabilidade de X ser ímpar?

(d) Dado que X ≥ 5, qual a probabilidade de X ser ímpar.

2. Em um jogo de roleta, tem-se os números 1−36 e os números 0 e 00. Em uma apostade rua, você aposta em 3 números. Quando você acerta um número ganha R$11.Quando se erra perde R$1. Sendo X a variável aleatória que representa seu ganhoou perda no jogo, defina.

(a) Qual o valor esperado de ganho?

(b) Qual a variância de ganho?

3. Considere o experimento de jogar dois dados.

(a) Qual a probabilidade de que se precise menos de 6 jogadas para se obter um 7.

(b) Qual a probabilidade de que se precise mais que 6 jogadas para se obter um 7.

4. Uma fonte de informação gera caracteres hexadecimais. Sendo X o valor de uminteiro correspondente ao caracter hex. Suponha que os quatro bits no caracter sãoindependentes e igualmente prováveis de ser "0"e "1".

(a) Descreva o espaço amostral S e a probabilidade de cada evento.

(b) Faça o mapeamento de S para SX .

(c) Agora considere que dentro do inteiro Y representado por 4 bits, o bit mais sig-nificativo é três vezes mais provável ser "1"do que "0". Faça a representação daf.m.p. de Y .

5. Um modem transmite uma tensão +2V em um canal. O canal adiciona um ruído comvalores 0,−1,−2,−3 com probabilidades 4/10, 3/10, 2/10, 1/10.

(a) Desenhe a fmp da variável de saída Y

(b) Qual a probabilidade de que a saída é igual a entrada?

(c) Qual a probabilidade da saída ser positiva?

6. Dada a V.A. X com pmf pk = c/k2 para k = 1, 2, . . .

(a) Indique c numericamente.

(b) P [X > 4]?

(c) P [6 ≤ X ≤ 8]?

Respostas

1. (a) Dica: evento com 4 elementos.

(b) 100% / 0 / 88%

(c) 56%

(d) 6%

2. (a) -1/19

(b) 10,473

ii

3. (a) 59,8%

(b) 33,5%

4. (a)

(b)

(c)

(d) P [0b1b2b3] =1

4

1

2

1

2

1

2

5. (a)

(b) 3/10

(c) 7/10

6. (a) 6/π2, aplicando a seguinte definição de convergência de série:∞∑k=0

1

k2=π2

6

(b) 0,1695

(c) 0,39

iii