Segunda Ecuacin Cardinal

En este captulo vamos a profundizar en el estudio de la dinmica de rotacin de los cuerpos.

Incorporamos dos nuevos conceptos:Incorporamos dos nuevos conceptos:

Momento de una fuerza.

Momento angular

Modelo de partcula (M de P): Momento de una fuerza

y

z

Fr

Mo

Mo = r F

x

rP

Mdulo: Mo = r F sen

Direccin: perpendicular al plano que determinan r y F

Sentido: Regla de la mano derecha

Mo = r F

PF

r

Mo = r F

Mo = (r// + rn) F

Mo = r// F+ rn F

F//Fn

r

Momento de una fuerza

O

r

Plano d

Mo = rn F

Mo = d F

Mo = r (F//+Fn) = r F//+ r Fn = r Fn

rnr//

Mo = d F = r Fn

Momento mximo: Momax = r F (sen ) max. sen = 1

= /2

F

r

x

MoF

r

P

FMo

Mo = r F

r

Mo

Mo = r F

(entra al pizarrn)

(sale del pizarrn)

P

Momento mnimo: Momin = r F (sen ) min sen = 0 = 0 = 180

Fr

PO

Plano

P

O

F

r

Plano

Ejemplo

Momento resultante de la fuerzas actuantes sobre una particular

Mo = Mo 1 + Mo 2 + Mo 3 + + Mo n

Mo = r F1 + r F2 + r F3 + + r Fn

Mo = r (F1 + F2 + F3 + + Fn)y

zF1

Fn

F3F2

r

F

Mo = r F

Momento resultante Momento de la resultante

xO

=

M de P: Vinculacin del Momento de la fuerza resultante que acta sobre una partcula y el momento angular de la misma

v

Fr

zP

p

F =

F = r r

F = r

yO

Fr

xMo

p = r +

= v = mv

= 0

F = r

F = r

M de P: Vinculacin del Momento de la fuerza resultante que acta sobre una partcula y el momento angular de la misma

= Mo

Mo =

: Momento angular de la partcula

La variacin respecto al tiempo del momento angular de una partcula es igual al momento resultante de las fuerzas que actan sobre la misma

Mxo =

Myo =

Mzo =

M de P: Consideraciones acerca del momento angular de una partcula

lo

lo

Mdulo: lo = r p sen = r m v sen

Direccin: perpendicular al plano que determinan r y p

Sentido: Regla de la mano derecha

M de P: Conservacin del momento angular de una partcula

si Mo = 0 lo = cte

Esta condicin se satisface si:

Mo = r F = 0

1. La fuerza resultante es nula (F = 0) partcula librem

v= cte

r

xlo

d

m

trayectoria

lo

Mdulo: lo = r p sen = r m v sen = m v (rsen ) = mvd =cte

sen = d/r

d = r sen

vF

r

z

mF

r

m

2. Si la direccin de la fuerza resultante es paralela a la direccin de la posicin. F // r

r F sen 0 = 0 r F sen 180 = 0

Fuerzas centrales: si su direccin pasa siempre por un punto fijo

0 = lo = cte

yO

r

x

lo = cte r

Cuando una partcula se mueve bajo la accin de una Fuerza central, su momento angular se conserva

Fuerzas centrales

Veamos el movimiento de una partcula de masa m sometida a una fuerza resultante central:

lo = cte

lo = constante en mdulo, direccin y sentido

y

La trayectoria de la partcula ser una curva plana

Mdulo: lo = r m v sen

donde sen = h/r r sen = h

xO

mF

r

dA

p90

h

trayectoria

donde sen = h/r r sen = h

lo = m v h = cte

v h = cte

ds

xO

mF

r

y

dA

p90

hds

Como puede observarse en el grfico, el rea del triangulo azul:

dA= base altura /2= (ds h)/2

2 dA= ds h

xO 2 dA/dt= ds/dt h

dA/dt= v h = cte.

dA/dt= cte.

Una partcula sometida a la accin de una fuerzas resultante central se mueve por una curva plana con una velocidad areolar constante.

velocidad areolar.

mi

S= compuesto por n partculasfji

x

y

z

mj

Fie

ri

fij

rj

Fje

Aplicando la 2 Ley de Newton a cada una de las partculas:

S de P: Momento angular total. Segunda ecuacin cardinal

Aplicando la 2 Ley de Newton a cada una de las partculas:

F1 = F1e + f21 + f31 + .. + fn1 = m1 a1F2 = F2e + f12 + f32 + .. + fn2 = m2 a2F3 = F3e + f13 + f23 + .. + fn3 = m3 a3

Fn = Fne + f1n + f2n + .. + f(n-1)n = mn an

Fie : resultante de las fuerzas exteriores que actan sobre la partcula i fij : fuerza que la partcula i ejerce sobre la partcula j

Multiplicando vectorialmente miembro a miembro cada una de estas ecuaciones diferenciales por el vector posicin ri de la partcula correspondiente:

Sumando miembro a miembro:

+

Analizando los momentos de las fuerzas internas: consideremos 2 partculas

= 0

Analizando los momentos de las fuerzas internas: consideremos 2 partculas genricas de masa mi y mj:

fji = - fijmi mj

O

fijfji

ri rjri -rj ri fji + rj fij =

ri fji - rj fji =

(ri - rj ) fji = 0

+ Moext = d ( lo)/dt

Moext = dLo/dtdonde Lo = lo

Momento angular total del S de P

Segunda ecuacin cardinal

Moext = dLo/dtSegunda ecuacin cardinal:

Conservacin del momento angular

donde Lo = lo

Segunda ecuacin cardinal referida al centro de masa del S de P

y

mi

ri

z

i

rCM

CMri = rCM + i

yO

x

ri = posicin de la partcula mi referida al sistema (Oxyz)

rCM = posicin del CM referida al sistema (Oxyz)

i = posicin de la partcula mi referida al sistema CM

El momento angular total respecto al CM es:

LCM= i m vi = (ri - rCM ) mi (vi vCM ) =

= ri mi (vi vCM ) - rCM mi (vi vCM )

LCM = ri mi vi ri mi vCM - rCM mi vi + rCM mi vCM

= rCM mi vi = rCM PLo

ri mi vCM = M/M ( ri mi vCM) = (mi ri / mi) mi vCM == rCM

= rCM mi vCM = rCM mi vCM

LCM= Lo - rCM P

LCM= Lo - rCM P

LO = momento angular total respecto de O

LO= LCM + rCM P

LCM = momento angular total respecto al CM.(espn)

LO= LCM si rCM Mvcm=0rCM P=0

vCM = 0

rCM vCM

rCM P = momento angular asociado al movimiento propio del CM (orbital)

mrCM d/2O L

rCM P

LO

O

LO= LCM + rCM P

P

Ejemplo

m

m

vCM d/2

d/2

O LCMO

CM

MCM e = i (Fi e ) = (ri - rCM ) (Fi e )

MCM e = ri (Fi e ) - rCM (Fi e ) = Moe - rCM (F e )

Moe

M e= M e - r (F e )

El momento resultante de todas las fuerzas exteriores respecto al CM es:

MCM e= Moe - rCM (Fi e )

MO e = MCMe + rCM (F e )

MO e = MCMe si rCM (F e )

F e = 0

rCM (F e )

= F e

MO e = dLO/dt

MCMe + rCM (F e ) = dLCM /dt + drCM/dt P + rCM dP/dt

=0

Segunda ecuacin cardinal:

MCMe + rCM (F e ) = dLCM /dt + rCM F e

MCMe = dLCM /dt

MCM + rCM (F ) = dLCM /dt + rCM F

Segunda ecuacin cardinal referida al CM